半鞅检测与拟合优度检验

虽然我们的结果对bθ的选择是有认识的，但一个简单的选择是由最小二乘估计bθ：=arg minθ给出的∈ΘPn-1i=0（Yi）- u（θ，ti，bXi）），（7），可通过数值优化找到。在非线性回归的标准正则性假设下，这个估计Bθ可以满足你的条件，例如Vetter and Dette（2012）的第5节。最后，我们注意到，在微观结构噪声和随机挥发物模型中，我们需要对底层过程Xt进行n+1观测，以构造n估计Yi。因此，我们可以期望达到下面给出的任何收敛速度的平方根；然而，这种行为在文献中对这些问题的所有方法中都是常见的。因此，我们证明了许多不同的半鞅优度问题可以用我们的假设1来描述。接下来，我们将描述我们对这些问题的解决方案。3小波检测测试为了说明我们对假设1给出的问题的测试，我们首先考虑信号函数st（θ）：=（ut- u（θ，t，Xt））/σ（θ，t，Xt）。该函数测量模型平均值u与真实平均值ut之间的距离，通过模型方差σ进行加权。在H下，我们有（bθ）≈ St（θ）=0，而在H下，我们通常可以预期| St（bθ）|会很大。因此，当St（bθ）的估计值与零显著不同时，我们可能会反对。为了估计信号St（θ），我们将使用小波方法。设φ和ψ为Haar标度函数和小波，φ：=1[0,1），ψ：=1[0,1/2）- 1[1/2,1），对于j=0,1，…，k=0，…，2j- 1.定义哈尔基函数φj，k（t）：=2j/2φ（2jt- k） ，ψj，k（t）：=2j/2ψ（2jt）- k） 。然后，我们可以用它的标度和小波系数αj，k（θ）：=R~nj，k（t）St（θ）dt，βj，k（θ）：=Rψj，k（t）St（θ）dt。为了估计这些系数，我们首先选择分辨率水平J∈ N、 这是n1/2号订单的2个JIS。

然后，我们估计标度系数αJ，k（θ）乘以bαJ，k（θ）：=n-1Pn-1i=0~nJ，k（ti）Zi（θ），其中归一化观测Zi（θ）：=（Yi）- u（θ，ti，bXi））/σ（θ，ti，bXi）。我们注意到，对于固定θ，这些估计值可以在线性时间内计算，每个观测值只贡献一个系数bαJ，k（θ）。估计系数α0,0（θ）和βj，k（θ），0≤ j<j，然后我们进行快速小波变换，得到估计值bα0,0（θ）：=Plbαj，l（θ）Rаj，lа0,0，bβj，k（θ）：=Plbαj，l（θ）Rаj，lψj，k。我们注意到，这种变换的有效实现，在线性时间内运行，是广泛可用的。为了检验我们的假设，我们将取这些估计系数的最大值，得出检验统计量Bt（θ）：=max0≤j<j，k | bα0,0（θ）|，|bβj，k（θ）|。我们将证明，在H下，bT（bθ）是渐近Gumbel分布的，而在H下，bT（bθ）将趋于更大。定理1。等一下。（i） 在H下，a-1J（n1/2bT（bθ）- bJ）d→ 君士坦桑号：=（2对数（m））-1/2，bm:=a-1米-amlog（πlog（m）），G表示标准的甘贝尔分布。（ii）在H，bT（bθ）下- T（bθ）=Op（n-1/2log（n）1/2）一致，其中t（θ）：=max0≤j<j，k |α0,0（θ）|，|βj，k（θ）|。因此，我们得到，在H下，bT（bθ）以速率n集中在零附近-1/2对数（n）1/2。在H下，它以相同的速率集中在量T（bθ）周围，该量测量信号St（bθ）的大小。我们可以利用这一结果对我们的假设进行检验，并证明其性能的界限；我们首先注意到，对于我们的一些边界，我们需要以下假设。假设2。

对于布朗运动Bs，过程u和x是半鞅，ut=Rt（busds+（cus）TdBs+RRfus（x）λ（dx，ds）），Xi，t=Rt（bXi，sds+（cXi，s）TdBs+RRfXi，s（x）λ（dx，ds）），对于布朗运动Bs∈ Rq+1，具有补偿器dx ds的独立泊松随机测度λ（dx，ds），可预测过程bus，bXi，s，cus，cXi，s=O（1），可预测函数fus（x），fXi，s（x）满足RR1∧ |fs（x）| dx=O（1）。在假设2下，我们得到了uand Xtare It’o半鞅，具有有界特征和有限变异跳跃。这一假设适用于许多常见的财务模型，如果在适当的本地化步骤后有必要的话。使用这个条件，我们现在可以描述我们的测试，并约束它们的性能。定理2。假设1保持，对于α∈ （0,1），定义Gumbelquantileqn，α=-aJlog(-日志（1）- α） ）和临界区域n，α：={n1/2bT（bθ）>qn，α}。（i） 在H下，我们有P[Cn，α]→ α一致。（ii）在H下，让Mn>0与Mn成固定序列→ ∞. 如果埃尼是其中一个：（a）{kS（bθ）k∞≥ Mnn-1/4log（n）1/2}，给出了假设2；或（b）{max0≤J≤J、 kj/2 | R-j（k+1）-jkSt（bθ）dt|≥ Mnn-1/2log（n）1/2}；我们有P[En\\Cn，α]→ 0。因此，我们得出，拒绝事件Cn，α的测试具有交感大小α，并且在假设2下，可以在n速率检测信号St（bθ）-1/4log（n）1/2in上确界范数。我们进一步发现，即使没有假设2，只要信号的平均二进间隔较大，我们的测试也可以检测到信号。特别是，如果St（bθ）∝ 对于某些非零确定性过程，则在某个并矢区间2上，et必须具有非零积分-j[k，k+1）。我们推断我们的测试可以检测到固定方向上的信号-1/2log（n）1/2，没有et的先验知识。我们可以进一步证明这些检测率接近最优。定理3。假设1成立，且δn>0为δn的固定序列→ 0

如果埃尼是其中一个事件：（i）{kS（bθ）k∞≥ δnn-1/4}，假设2；或（ii）{maxkjn/2 | R-jn（k+1）-jnkSt（bθ）dt|≥ δnn-1/2}，对于某些jn=0，J那么，临界区域的序列Cn不能在H和P[En\\Cn]上一致地满足ylim supnP[Cn]<1→ 0在H上一致。因此，我们得出结论，我们的拟合优度测试实现了接近最佳的检测率n-1/4log（n）1/2against一般的非参数选择，在各种各样的半鞅模型中。这个结果已经比以前的工作有了显著的改进；我们注意到，类似的方法并没有为Dette和von Lieres Undwillkau（2003）的程序建立近似最优性，例如，相应的下限将-1/3.此外，我们还表明，我们的方法可以同时提供接近最优的检测率，以应对更容易检测的备选方案，包括信号St（bθ）位于固定方向et的情况。因此，我们可以在完全非参数设置下获得良好的检测率，而不会对固定备选方案产生干扰。4.有限样本测试我们接下来考虑我们测试的实证性能。由于收敛到Gumbel分布可能非常缓慢，在下文中，我们将考虑测试的引导版本，这将在有限样本中更准确。一般程序如下。首先，我们使用一些估计Bθ，从数据中估计参数θ。接下来，我们从零假设出发，用bθ选择的参数模拟了多组观测Y（j）。θ未描述的零假设的任何成分，如漂移或跳跃过程，都被设置为零。对于每组模拟观测值Y（j）i，我们然后计算参数估计bθ（j）和统计b（j）（bθ（j））。

最后，如果原始统计量Bt（bθ）大于（1），我们拒绝了零假设-α） -模拟统计的分位数bt（j）（bθ（j））。我们现在对这些测试进行一些简单的蒙特卡罗实验。我们将使用与asDette和Podolskij相同的方法，将我们的测试与Dette和von Lieres und Wilkau（2003）、Dette等人（2006）以及Dette和Podolskij（2008）的测试进行比较。正如在那篇论文中，我们将在局部波动设置下生成Monte Carlo观测（2）。然后，我们将使用我们的测试来评估波动性的各种参数模型的优度。在每种情况下，我们考虑接收n=100、200或500个观察结果，并在α=5%或10%的水平上构建可信度测试。然后，我们生成1000个模拟数据的实现，将我们的统计数据与每个实现中的1000个bootstrap样本进行比较，并报告拒绝零假设的运行的比例。在我们的测试中，我们将分辨率设置为J:=日志（n）/2, 使用（7）给出的最小平方参数估计sbθ。由于我们考虑的模型在参数θ上是线性的，我们将能够以闭合形式计算这些估计，作为线性回归。表1给出了我们在两个模型中测试的观察到的拒绝概率：一个恒定波动率模型，其中u（x，t，θ）=θ；以及一个比例效用模型，其中u（x，t，θ）=θx。在每种情况下，我们给出了各种无效假设和替代假设下的测试结果。我们注意到，测试的假设与Detteand Podolskij（2008）的表1-4、Dette和von Lieres und Wilkau（2003）的表3以及Dette等人（2006）的表3.1和3.4相同。因此，我们可以直接将测试的性能与之前工作中给出的性能进行比较。我们发现，在这两个模型中，我们的测试在零假设下具有良好的覆盖率，并且在替代假设下可靠地拒绝。

我们的测试能力与之前在恒定波动模型下的工作具有竞争力，并且总体上比之前在比例效用模型下的工作有所改进。我们的结论是，我们的测试不仅实现了良好的理论检测率，还提供了强大的有限样本性能。因此，它们可能被推荐用于许多不同的拟合优度问题，无论是之前在文献中讨论过的，还是我们更一般的假设中新描述的。5.证据我们现在为我们的结果提供证据。第5.1节我们将陈述一些技术结果，第5.2节给出我们的主要证明，并在第5.3节中证明我们的技术结果。5.1技术结果我们首先陈述我们将需要的技术结果。我们的主要技术成果是鞅差序列的中心极限定理，它限定了距离高斯分布的指数矩。引理1。勒特(Ohm, F、 （Fj）nj=0，P）是一个过滤概率空间，让Xi，i=0，N-1，是Fi+1-可测量的实随机变量。

假设对于100 200 500α5%10%5%10%5%10%5%10%恒定波动率，为空，ut=1bt=0.048 0.105 0.056 0.101 0.035 0.089bt=2 0.055 0.114 0.057 0.103 0.044 0.084bt=Xt0。056 0.101 0.041 0.093 0.037 0.092bt=2- Xt0。048 0.095 0.052 0.105 0.051 0.100bt=tXt0。038 0.094 0.060 0.101 0.063 0.111恒定波动率，备选方案，bt=Xt√ut=1+Xt0。777 0.840 0.898 0.932 0.976 0.985√ut=1+sin 5Xt0。964 0.977 0.997 0.999 1.000 1.000√ut=1+Xtexp t 0.954 0.975 0.987 0.994 0.999 0.999√ut=1+Xtsin 5t 0.851 0.908 0.970 0.982 0.994 0.995√ut=1+tXt0。742 0.796 0.883 0.914 0.951 0.972比例波动率，空，ut=Xtbt=0.062 0.119 0.044 0.090 0.043 0.087bt=2 0.073 0.120 0.056 0.106 0.043 0.081bt=Xt0。070.115 0.055 0.100 0.043 0.098bt=2- Xt0。053 0.085 0.055 0.100 0.034 0.081bt=tXt0。070.106 0.062 0.123 0.045 0.106比例波动率，备选方案，bt=2- Xtut=1+Xt0。602 0.673 0.700 0.766 0.844 0.884ut=10.832 0.871 0.927 0.951 0.979 0.991ut=5 | Xt | 3/20.580 0.669 0.672 0.760 0.854 0.902ut=5 | Xt | 0.896 0.932 0.963 0.974 0.995 0.998ut=（1+Xt）0.831 0.878 0.894 0.920.969观察到的拒收概率：自举试验表。一些κ≥ 1，E[Xi | Fi]=0，Pn-1i=0E[|Xi | 4κ| Fi]=O（n1-2κ).（i） 如果也是-1i=0E[Xi | Fi]- 1 | 2κF]=O（n-κ） 然后在一个适当扩展的概率空间上，我们有实随机变量ξ，η和M，与给定的F F无关，比如pn-1i=0Xi=ξ+η；ξ为标准高斯函数；我们有e[|η| 4κ| F]=O（n-κ);为了你∈ R、 E[exp（uη）-|F]≤ 1.还有M≥ 0满意度[M2κ| F]=O（n-κ). （8） （ii）对于随机变量ci=O（1），设Γc:=Pn-1i=0ciXi。

然后在可适当扩展的概率空间上，我们有一个常数a=O（1）和一个随机变量M，与给定的F Fn无关，使得supce[|c | 4κ| F]=O（1）；为了你∈ R、 supcE[exp（u~nc-u（A+M）| F]≤ 1.还有M≥ 0个满意度（8）。我们还需要以下关于组合指数动量边界的结果。引理2。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，具有实随机变量（Xi）n-1i=0和M。假设u∈ R、 E[exp（uXi-对于某些速率rn>0的情况，uM]=O（1），M=Op（rn）。Thenmaxi | Xi |=Op（r1/2nlog（n）1/2）。我们的下一个技术结果将限制我们观测的时刻Yi及其归一化Zi（θ）。结果将使用H¨OlderSpace Cs进行说明，定义如下。给定一个函数f:X→ R、 适用于suitableX Rd，我们定义了1-H–older normkfkC:=kfk∞∨ 你好∈X | f（X）- f（y）|/kx- yk，和2-H-k=kfkc（kfk∞∨ maxdi=1k(f） ikC，f是可区分的，∞, 否则我们还说f是Csif kfkCs<∞.引理3。在Hor H下，假设bxi=O（1），且Θ有界。（i） 对于固定i和Yi，变量Zi（θ）是θ和bxi的C函数，带有H¨older范数O（1+| Yi |）。（ii）变量St（θ）是θ、t、u和Xt的C函数，对于固定θ和t，也是u和Xt的C函数，两者都具有H¨older范数O（1）。（iii）对于θ∈ 我们有[Zi（θ）|Fti]=Sti（θ）+O（n-1/2），E[|Zi（θ）|4+ε| Fti]=O（1），在H下，也可以[Zi（θ）|Fti]=1+O（n）-1/4).（iv）定义时间sk:=n2-Jk/n、 k=0，2J。（9） 然后-1/2 NSK+1-1i=nskYi=Op（1）。最后，我们需要一个在假设2下控制进程st（θ）行为的结果。引理4。在H下，假设Θ有界，设Θn Θ是有限集合的序列，对于某些κ，大小为O（nκ）≥ 设δn=O（n-1/2).

假设假设2，我们有St（θ）=eSt（θ）+St（θ），其中processest（θ）和St（θ）如下所示。（i） 我们有supθ∈Θn，|s-t|≤δn | eSs（θ）-eSt（θ）|=Op（n）-1/4log（n）1/2）。（ii）在L（[0，1]）中，让PJf表示f在标度函数φJ，k跨越的子空间上的正交投影，并定义余数RJf:=f- PJf。然后是supθ∈ΘnkRJeS（θ）k∞= Op（n）-1/4log（n）1/2）。（iii）我们有一个随机变量N∈ N、 随机时间0=τ<···<τN=1，这样过程st（θ），θ∈ Θn在区间[τi，τi+1]，[τn]上是常数-1，τN]，和p[mini（τi+1- τi）<δn]→ 0.5.2主要证据我们现在可以继续我们的主要证据。我们首先证明了定理1，从一个控制估计比例系数bαJ，k（θ）方差的引理开始。引理5。对于k=0，2J-1, θ ∈ Θ，定义标度系数方差项αJ，k（θ）：=n-1Pn-1i=0~nJ，k（ti）（Zi（θ）- E[Zi（θ）|Fti]）。（i） 在H下，假设bxi=O（1）。然后在适当扩展的概率空间上，我们有一个过滤（Gk）Jk=0，和Gk+1-可测实随机变量ξk，ηk，Mk，使得n1/2eαJ，k（θ）=ξk+ηk；变量ξkare标准高斯给定Gk；E[exp（uηk）-uMk）|Gk]≤ 1.变量Mk≥ 0满意度[M2+ε/2k | Gk]=O（n-(1/2+ε/8)). （10） （ii）在H下，假设Θ有界，且bxi=Xti。然后我们有常数Ak=O（1），在适当扩展的概率空间上，过滤（Gk）Jk=0和实随机变量Mk，比如supθ∈ΘE[exp（un1/2eαJ，k（θ）-u（Ak+Mk）| Gk]≤ 1.变量Mk≥ 0（10）；eαJ，k（θ）和mk是Gk+1可测的。证据我们首先证明第（i）部分，并通过归纳法对k进行论证。设G=F，并假设对于i=0，K- 1我们在扩展概率空间上构造了σ-代数Gi+1和随机变量ξi，ηi，不满足我们的条件。

我们还假设gk被选择为独立于给定的Fsk，其中时间sk由（9）给出；我们注意到这个条件对于G来说非常满足。然后我们可以写出1/2eαJ，k（θ）=Pnsk+1-1i=nskζi，其中m:=n（sk+1- sk）总和ζi:=n-1/2J/2（Zi（θ）- E[Zi（θ）|Fti]）。为了计算ζi的矩，我们可以应用lma 3（iii），注意，由于我们只对θ=θ感兴趣，我们可以假设Θ是有界的。Wethus-haveE[ζi | Fti，Gk]=0，Pnsk+1-1i=nskE[ζi | Fti，Gk]=1+O（m-1/2），Pnsk+1-1i=nskE[|ζi | 4+ε| Fti，Gk]=O（m-（1+ε/2）），还使用ζi与给定的Fti无关。因此，我们可以将λ1（i）应用于变量n1/2eαJ，k（θ）。在进一步扩展的概率空间上，我们得到了满足第（i）部分条件的随机变量ξk，ηk，mk，与给定的gk和Fsk+1无关。将Gk+1定义为由Gk、Fsk+1、ξk、η和Mk生成的σ-代数，我们推断Gk+1满足归纳假设的条件。通过归纳，我们得出结论的第（一）部分成立。为了证明第（二）部分，我们也进行了类似的论证，指出随机变量sn1/2eαJ，k（θ）=Pnsk+1-1i=nskci（θ）eζi，其中Fti+1-可测量总和seζi:=n-1/2J/2（易建联）- E[Yi | Fti]），以及Fti可测量系数ci（θ）：=1/σ（θ，ti，Xti）。由于函数σ是连续且正的，且θ和xT是有界的，我们有变量ci（θ）=O（1）。因此，我们可以应用lma 1（ii），产生满足第（ii）部分条件的随机变量Ak，mk。结果如下。现在我们证明了一个引理，它限定了我们估计的尺度和小波系数bα0,0（θ），bβj，k（θ）的方差。引理6。假设bxi=O（1），对于j=0，J-1，k=0，2j-1和θ∈ 定义小波系数方差项seβj，k（θ）：=n-1Pn-1i=0ψj，k（ti）（Zi（θ）- E[Zi（θ）|Fti]）。类似地，使用φ0,0确定缩放系数方差项eα0,0（θ）。（i） 在H下，假设bθ- θ=O（n）-1/2).