半鞅检测与拟合优度检验

然后在一个适当扩展的概率空间上，我们有实随机变量seξj，k，eηj，k，eΓj，ksuch thatn1/2eα0,0（bθ）=eξ-1,0+eη-1,0+e~n-1,0;n1/2eβj，k（bθ）=eξj，k+eηj，k+eΓj，k；ξj，kare独立标准高斯；对于某些ε′>0，maxj，k|eηj，k|=Op（n-ε′），maxj，kj/2|e|j，k|=Op（1）。（ii）在H下，假设Θ有界。然后是supj，k，θ∈Θeα0,0（θ）|，|eβj，k（θ）|=Op（n）-1/2log（n）1/2）。证据我们将考虑小波系数方差项seβj，k（θ）；wenote我们可以类似地包括标度系数方差项eα0,0（θ）。为了验证第（i）部分，我们应用引理5（i）。我们在引理的陈述中得到了过滤Gl和变量Ml，ξ和ηlas。由于βj，k（θ）=Plbj，k，leαj，l（θ），其中系数bj，k，l:=Rψj，kаj，l，我们有n1/2eβj，k（bθ）=eξj，k+eηj，k+eаj，k，对于ξj，k:=Plbj，k，lξl，eηj，k:=Plbj，k，k，lηl，andаj，k:=n1-eβj，k（θ））。我们首先描述了ξj，k这一术语。因为ξ是联合中心高斯分布，所以ξj，k也是。此外，我们还有cov[eξj，keξj′，k′]=Plbj，k，lbj′，k′，l=R（Plbj，k，lj，l）（Pl′bj′，k′，l′j，l′）=Rψj，kψj′，k′=1（j，k′，k′）。（11） 我们推导出eξj，kare独立的标准高斯分布。下一步我们对eηj，k进行了定界。设置m:=maxlMl，我们得到了e[M2+ε/2]≤PlE[M2+ε/2l]=O（n-ε/8），因此M=Op（n-ε′）对于某些ε′>0。利用（11），我们还得到了[exp（ueηj，k-嗯）]≤ E[Qlexp（ubj，k，lηl-ubj，k，lMl）]≤ 1.应用引理2得到期望的结果。最后，我们控制e~nj，k。因为我们只对θ=θ，bθ感兴趣，我们可以假设Θ是有界的。对于θ，θ′∈ Θ, |θ -θ′|=O（n）-1/2），然后我们有supj，k，θ，θ′j/2|eβj，k（θ）-eβj，k（θ′）|=maxj，kO（n）-3/2j/2）零件号-1i=0 |ψj，k（ti）|（1+| Yi |），使用单mma 3（i），=O（n）-1/2）（1+maxkn-1/2 NSK+1-1i=nsk | Yi |）=O（n）-1/2）（1+（最大）-1/2 NSK+1-1 i=nskYi）1/2），作者：柯西o施瓦兹-1/2），（12）使用单一MMA 3（iv）。我们推导出supj，kj/2 | e|j，k |=Op（1）。为了证明第（二）部分，我们首先声明我们可以假设Bxi=Xti。

为了证明这一说法，我们定义了术语sz′i（θ）：=（Yi- u（θ，ti，Xti））/σ（θ，ti，Xti），andβ′j，k（θ）：=n-1Pn-1i=0ψj，k（ti）（Z′i（θ）- E[Z′i（θ）|Fti]）。然后我们有supj，k，θ∈Θeβj，k（θ）-eβ′j，k（θ）|=O（n）-1） 麦克斯，kPn-1i=0 |ψj，k（ti）|（1+| Yi |）kbXi- Xtik，使用引理3（i），=O（n）-1/2）（最大值，千牛-1Pn-1i=0ψj，k（ti）（1+Yi））1/2×（Pn-1i=0kbXi-Xtik）1/2，由柯西o施瓦兹（Cauchy Schwarz）撰写，=Op（n）-1/2）（1+maxkn-1/2 NSK+1-1i=nskYi）1/2，自E[Pn-1i=0kbXi- Xtik]=O（1），=Op（n）-1/2），使用单MMA 3（iv）。因此，我们可以假设bxi=Xti，并应用lma 5（ii）。在一个扩展的概率空间中，我们得到了一个过滤Gl，常数Al=O（1），以及引理声明中的变量MLA。设置M:=maxl（Al+Ml），我们得到M=Op（1）和supθ∈ΘE[exp（un1/2eβj，k（θ）-嗯）]≤ 1.如第（i）部分所述的争论。让Θdenote n-Θ的1/2净重 对于sizeO（np/2），我们有maxj，k，θ∈Θn | eβj，k（θ）|=Op（n-1/2log（np/2）1/2）=Op（n）-1/2log（n）1/2），使用单个MMA 2。接下来，对于任何θ∈ Θ，我们有一个点θ∈ Θn带θ- θ=O（n）-1/2).利用（12），我们推导出thatsupj，k，θ∈Θeβj，k（θ）-eβj，k（θ）|=Op（n）-1/2).我们得出结论：supj，k，θ∈Θeβj，k（θ）|=Op（n）-1/2log（n）1/2）。接下来，我们证明了一个引理，它限定了我们估计的尺度和小波系数bα0,0（θ），bβj，k（θ）的偏差。引理7。假设bxi=O（1），对于j=0，J-1，k=0，2J-1和θ∈ 定义小波系数偏差项βj，k（θ）：=n-1Pn-1i=0ψj，k（ti）E[Zi（θ）|Fti]- βj，k（θ），类似地，使用φ0,0确定标度系数偏差项α0,0（θ）。（i） 在H下，假设bθ- θ=O（n）-1/2). 然后maxj，k |α0,0（bθ）|，2j/2 |βj，k（bθ）|=Op（n-1/2).（ii）在H下，假设Θ有界。然后是supj，k，θ∈Θ|α0,0（θ）|，|βj，k（θ）|=Op（n）-1/2).证据我们将约束小波系数偏差项βj，k（θ）；我们注意到，我们可以类似地包括标度系数偏差项α0,0（θ）。

对于t∈ [0,1]，定义：新界/n、 设置βj，k（θ）：=Rψj，k（t）（St（θ）- St（θ））dt。在第（i）和（ii）部分中，我们将证明βj，k（θ）与βj，k（θ）很接近，而βj，k（θ）很小。我们注意到，在任一部分中，我们都可以假设Θ是有界的，因为在第（i）部分中，我们只对θ=θ，bθ感兴趣。然后我们有|βj，k（θ）- βj，k（θ）|≤ N-1Pn-1i=0 |ψj，k（ti）| E[Zi（θ）|Fti]- Sti（θ）|+R |ψj，k（t）- ψj，k（t）|St（θ）|dt=O（n）-1/2-j/2），（13）使用MMAS 3（ii）和（iii）。因此，它仍然与βj，k（θ）有关。为了证明第（i）部分，我们注意到βj，k（θ）=Pn-1i=0ζi，j，k，其中Fti+1-可测量总和ζi，j，k:=-Rti+1tiψj，k（t）（St（θ）- Sti（θ））dt。利用单mma 3（ii）和泰勒定理，我们也得到了（θ）- Sti（θ）=ci（ut- uti）+dTi（Xt- Xti）+O（|ut- uti |+kXt-Xtik+n-1） ，对于有界Fti可测随机变量ci∈ R、 di∈ Rq。我们推导出e[ζi，j，k | Fti]=O（n-2j/2）和类似的var[ζi，j，k | Fti]≤ E[ζi，j，k | Fti]=O（n-3j）。此外，对于固定的j和k，除了O（n2-j） ζi，j，kareal最肯定为零。因此我们有e[βj，k（θ）]=O（n-2).我们推导出e[maxj，kβj，k（θ）]≤Pj，kE[βj，k（θ）]≤ O（n）-2） Pjj=O（n）-3/2），所以maxj，k |βj，k（θ）|=Op（n-3/4). 我们还有βj，k（θ）- βj，k（bθ）=O（n-1/2-j/2），使用单一MMA 3（ii）。我们得出结论：maxj，kj/2 |βj，k（bθ）|≤ maxj，kj/2 |βj，k（θ）|+maxj，kj/2 |βj，k（θ）- βj，k（bθ）|+maxj，kj/2 |βj，k（bθ）- βj，k（bθ）|=Op（n）-1/2），使用（13）。为了证明第（二）部分，使用引理3（二），我们有（θ）- St（θ）=O（|ut）- ut |+kXt- Xtk+n-1).我们推导出supj，k，θ∈|βj，k（θ）|=O（1）supj，kR |ψj，k（t）|（|ut）- ut |+kXt-Xtk+n-1） dt=O（1）（supj，kRψj，k（t）dt）1/2×（R（|ut）- ut |+kXt- Xtk+n-2） dt）1/2，由柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）提出，=Op（n）-1/2），sinceRψj，k（t）dt=1，and[R（|ut）- ut |+kXt- Xtk+n-2） dt]=O（n）-1).利用（13），我们得出了supj，k，θ∈Θ|βj，k（θ）|=Op（n）-1/2).现在我们可以证明统计b（bθ）的极限定理。第1项的证明。

我们首先注意到，我们估计的标度系数和小波系数等价地由bα0,0（θ）=n给出-1Pn-1i=0а0,0（t）Zi（θ），bβj，k（θ）=n-1Pn-1i=0ψj，k（t）Zi（θ）。因此，我们可以将方差偏差分解为bα0,0（θ）- α0,0（θ）=eα0,0（θ）+α0,0（θ），bβj，k（θ）- βj，k（θ）=eβj，k（θ）+βj，k（θ），其中术语eα0,0，α0,0，eβj，kβj，kare由引理6和7定义。我们将继续使用这些引理来限制bt（bθ）的分布。首先，我们可以假设估计的协变量bxi=O（1）。我们注意到e[maxikbXik]≤ E[suptkXtk]+馅饼[kbXi]- Xtik]=O（1），所以maxikbXik=Op（1）。对于常数R>0，定义变量sexi:=（bXi，kbXik≤ R、 Xti，否则。然后作为R→ ∞, 在n中，theexindbxiagree趋于1的概率。因此，用theexi替换bxi可以证明我们的结果；等价地，我们可以假设bxi=O（1）。我们现在证明第（一）部分。Sincebθ- θ=Op（n）-1/2），我们可以类似地假设θ- θ=O（n）-1/2). 设J=J/2, 和writebT（θ）=max（T（θ），eT（θ）），其中termsT（θ）：=max0≤j<j，k | bα0,0（θ）|，|bβj，k（θ）|，eT（θ）：=maxJ≤j<j，k | bβj，k（θ）|。在H下，使用单mmas 6（i）和7（i），我们可以写出1/2T（bθ）=max0≤j<j，k | eξj，k |+Op（1），n1/2eT（bθ）=maxJ≤j<j，k | eξj，k |+Op（n-ε′），对于一些ε′>0，以及独立的标准高斯ξj，k，按标准甘贝尔极限，我们也有一个-1J（最大值0≤j<j，k | eξj，k |- bJ）d→ G、 a-1J（最大值）≤j<j，k | eξj，k |- bJ）d→ G我们注意到，在第二个极限中，我们可以使用常数aJ和bJ，而不是aJ-2Jand bJ-2J，因为差异可以忽略不计。我们推导出p[bT（bθ）=eT（bθ）]→ 1.和soa-1J（n1/2bT（bθ）- bJ）=a-1J（n1/2eT（bθ）- bJ）+op（1）=a-1J（最大值）≤j<j，k | eξj，k |- bJ）+op（1）d→ 接下来，我们证明第（二）部分。和前面一样，由于bθ=Op（1），我们可以假设bθ=O（1），因此Θ是有界的。

使用MMAS 6（ii）和7（ii），wethen havebT（bθ）-T（bθ）=O（1）max0≤j<j，k | bα0,0（bθ）- α0,0（bθ）|，|bβj，k（bθ）- βj，k（bθ）|=Op（n）-1/2log（n）1/2）。最后，我们注意到，所证明的收敛速度仅取决于对输入假设的上界。因此，它们一致地高估了满足我们假设的模型。接下来，我们将在测试覆盖率和检测率方面证明我们的结果。证据2。我们首先注意到，第（i）部分是定理1（i）中的直接部分。为了证明第（二）部分，我们分别考虑（a）和（b）两种情况。在每种情况下，我们将证明，当概率趋向于1时，事件数最大（bθ）≥ 曼恩-1/2log（n）1/2，对于固定序列M′n→ ∞. 结果将遵循定理1（ii）。在案例（a）中，我们注意到，在定理1中，我们可以假设Θ是有界的。让我们来看看-1/4-大小为O（np/4）的Θ的净，bθ是Θnsatisfyingbθ的元素-bθ=O（n）-1/4).使用单mma 3（ii），我们有St（bθ）=St（bθ）+O（n）-1/4），依此类推En，kS（bθ）k∞≥ kS（bθ）k∞- O（n）-1/4) ≥ Mnn-1/4log（n）1/2/2，对于大n，我们可以进一步假设bθ∈ Θn.然后我们应用MMA 4，获得事件En上某个点u的过程est（θ）、St（θ）和时间τi∈ [0,1]，我们有| Su（bθ）|≥ Mnn-1/4log（n）1/2。我们就这样拥有了你∈ [τi，τi+1）对于某些i<N-1，还是u∈ [τi，τi+1]对于i=N-1.从引理4（iii），概率趋向于1，我们也有τi+1-τi≥ 21-J、 因此存在一个v点∈ [τi+2-J、 τi+1- 2.-J] |u- v|≤ 2.-J.我们推导出当概率趋于1时，|α0,0（bθ）|+PJ-1j=0j/2 |βj，2-J2jv（bθ）|=|α0,0（bθ）|0,0（v）|+P0≤j<j，k |βj，k（bθ）ψj，k（v）|≥ |α0,0（bθ）~n0,0（v）+P0≤j<j，kβj，k（bθ）ψj，k（v）|=|PJSv（bθ）|，写出小波函数ψj，k的投影PJin项，≥ |Su（bθ）|- |Sv（bθ）- Su（bθ）|- |RJSv（bθ）|≥ |Su（bθ）|- |eSv（bθ）-伊苏（bθ）|- |RJeSv（bθ）|，sinceSt（bθ）在距离2内是常数-乔夫v，≥ Mnn-1/4log（n）1/2/2，使用引理4（i）和（ii）。

我们推导出t（bθ）≥ max（|α0,0（bθ）|，|βj，2-J2jv（bθ）|：j=0，J- 1),≥ 2.-（J+3）/2（|α0,0（bθ）|+PJ-1j=0j/2 |βj，2-J2jv（bθ）|）≥ 曼恩-1/2log（n）1/2，对于序列M′n→ ∞.在情况（b）中，关于事件En，我们同样有|α0,0（bθ）|+Pjn-1j=0j/2 |βj，2-J2j-jnkn（bθ）|≥ |PjnS-jnkn（bθ）|=2jn | R-jn（kn+1）-jnknSt（bθ）dt|≥ Mnjn/2n-1/2log（n）1/2，对于某些jn=0，J和kn。结果如第（i）部分所述。最后，我们可以证明我们的检测率下限。证据3。在每种情况下（i）和（ii），我们将把陈述简化为一个已知的检验不等式。我们将考虑模型yi:=δ1/2nn-1/2jn（Bti）∨τ-Bτ）+εi，其中bt是一个适应的布朗运动，独立的Fti+1-可测变量εi是给定Ftiτ的标准高斯变量∈ [0,1]将被定义，在（i）情况下，我们设置jn:=J。可以检查该模型是否满足我们的假设。在H下，我们设置τ：=1，所以我们有均值和方差函数u：=0，σ：=1。在H下，我们设置τ：=tm，其中m:=n（1）-2.-jn）. 然后我们得到st=δ1/2nn-1/2jn（英国电信）∨τ- Bτ），所以在（i）情况下，P[En]=P[kSk∞≥ δnn-1/4] → 1.同样地，在第（ii）种情况下，P[En]≥ P[2jn/2 | R1-2.-jnStdt|≥ δnn-1/2] → 1.仍然需要证明的是，在H和P[Cn]下，临界区序列Cn不能满足lim-supnP[Cn]<1→ 1在H下。我们注意到在H下，我们有Y~ N（0，I），而在H，Y下~ N（0，I+δN∑），对于方差矩阵∑k，l=0∨ 22jn（k）∧ L- m） /n.由于∑是非负定义，且具有Frobenius范数O（1），其结果来自于Munk和Schmidt Hieber（2010）的引理2.1。5.3技术证明我们现在对我们的技术结果进行证明，首先从证明我们的示例满足我们的假设开始。引理8。第2节中的例子满足假设1的条件。证据如第2节所述，我们可以假设u、σ和bθ的条件满足。

因此，仍然需要为每个示例确定条件（4）-（6）。根据标准本地化参数，我们可以假设条件（4），以及bt，u-1t=O（1）。条件（5）微不足道。为了建立条件（6），我们进行分解yi=（Z1，i+Z2，i+Z3，i），其中Z1，i：=√nRti+1ti√utidBt，Z2，i：=√nRti+1ti(√ut-√uti）dBt，Z3，i：=√nRti+1tibtdt。对于p>0，Z1，i | Fti~ N（0，uti），E[|Z2，i | p | Fti]=O（N-p/2），使用Burkholder-Davis-Gundy和| Z3，i |=O（n-1/2).使用Cauchy-Schwarz得到所需的边界。我们可以再次假设（4）以及边界，通过本地化进行跳跃-1t，RR1∧ |ft（x）|βdx=O（1）。条件（5）同样微不足道。对于（6），我们写出了i=gn（Z1，i+Z2，i+Z3，i+Z4，i+Z5，i），其中Z1，i：=√nRti+1ti√utidBt，Z2，i：=√nRti+1tiRAtft（x）λ（dx，dt），Z3，i：=√nRti+1tiRActft（x）λ（dx，dt），Z4，i：=√nRti+1ti(√ut-√uti）dBt，Z5，i：=√nRti+1tibtdt，andAt:={x∈ R:|英尺（x）|≤ N-1/2+δ′}，对于一些非常小的δ′>0。然后我们得到了，对于p=2，4，16，以及一些′>0，Z1，i|Fti~ N（0，uti），E[|Z2，i | p | Fti]=O（N-1/2-通过反复应用Burkholder-Davis-Gundy，E[Z1，iZ2，i|Fti]=0，通过它的引理，E[|Z4，i|p|Fti]=o（n-p/2），由伯克霍尔德·戴维斯·甘迪（Burkholder Davis Gundy）和| Z5，i |=O（n）-1/2).让Zi:=Z1，i+Z2，i+Z4，i+Z5，i和Y′i:=Zi，我们推导出e[Y′i | Fti]=uti+O（n-1/2），E[|Y′i | Fti]=σti+uti+O（n-1/4），E[|Y′i | Fti]=O（1）。因此，仍然需要控制Yi和Y’i之间的差异。我们首先注意到≥ 2，足够小的q>1，αnas在（3）中，E[|Zi | pZi>αn]=O（n-1/2）+O（1）E[|Z1，i | pZi>αn]=O（n）-1/2）+O（1）P[Zi>αn]1/q，使用H¨older不等式，=O（n）-1/2），使用高斯尾界，马尔可夫不等式，以及αnGrowsPer对数。我们也有p[Z3，i6=0 | Fti]=O（n-1/2-δ′），使用我们对ft（x）的假设。

与αngrows次多项式一样，Yi也遵循所需的边界。微观结构噪声与之前一样，通过局部化，我们可以假设条件（4），以及特征过程的有界性。为了说明（5），我们首先注意到bx1，j- X1，tj=W1，j+W2，j，其中W1，j:=n-1Pn-1i=0εi，nj+i，W2，j:=n-1Pn-1i=0（X1，t′nj+i- X1，tj）。对于p=2，4，我们有e[|W1，j | p | Ftj]=O（n-p/2），使用引理1（ii），andE[|W2，j | p | Ftj]=O（n-p/2），使用Burkholder Davis Gundy。我们推导出e[| bX1，j- X1，tj | p | Ftj]=O（n-p/2）。通过类似的方法，将bx2，jin分解为一个干扰项和鞅差序列的和，bx2，j也有相同的界。为了显示（6），我们将j=2（Z1，j+Z2，j+Z3，j）- πbX2，j，使用部分积分，其中z1，j：=√nRtj+1tjsin（πn（t- tj））√utdBt+πn-1/2Pn-1i=0cos（π（i+）/n）εnj+i，Z2，j：=√nRtj+1tjsin（πn（t- tj）btdt，Z3，j:=π（n）-1/2Pn-1i=0cos（π（i+）/n）X1，t′nj+i- n3/2Rtj+1tjcos（πn（t- tj）X1，tdt）。然后我们得到[2Z1，j | Ftj]=utj+πX2，tj+O（n-1/2），通过直接计算，E[4Z1，j | Ftj]=3（utj+πX2，tj）+O（n-1/4），使用引理1（ii），|Z2，j |=O（n），使用单mma 1（i），E[|Z1，j |κ| Ftj]=O（1）-1/2），对于p>0，E[|Z3，j | p | Ftj]=O（n-p） ，使用引理1（ii）。预期的结果随之而来。随机波动率利用分部积分，我们可以得到一个分解yj=2（Z1，j+Z2，j+Z3，j+Z4，j）- 2πbX2，j，其中z1，j：=√nRtj+1tjsin（πn（t- （tj））√utdB′t+πn-1/2Pn-1i=0cos（π（i+）/n）×（eX2，nj+i）- E[eX2，nj+i | Ft′nj+i]），Z2，j：=√nRtj+1tjsin（πn（t- b′tdtZ3，j:=π（n）-1/2Pn-1i=0cos（π（i+）/n）X2，t′nj+i- n3/2Rtj+1tjcos（πn（t- tj）X2，tdt），Z4，j:=πn-1/2Pn-1i=0cos（π（i+）/n）×（E[eX2，nj+i | Ft′nj+i]- X2，t′nj+i）。然后，期望的结果与微观结构噪声示例类似。接下来，我们给出了随机积分的一些标准指数矩界。引理9。

让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0,∞], P） 是一个经过过滤的概率空间，具有适应的布朗运动∈ R、 以及具有补偿器dx-dt的泊松随机测度λ（dx，dt）。（i） 让ct∈ R是一个可预测的过程，定义ρt:=RTCSD。如果ρ∞< ∞ 几乎可以肯定，那么对你来说∈ R、 随机积分wt:=RTCSDBSSatifie[exp（uW∞-uρ∞) | F]≤ 1.（ii）在第（i）部分的设置中，如果ρ∞≤ 几乎可以肯定的是，我们还有≥0 | Wt |- uR）| F]=O（1）。（iii）让t≥ 0和fs（x）∈ R是一个可预测函数，具有| fs（x）|≤ 1，RtRR | fs（x）| dx ds=O（R），对于某些R∈ (0, 1). 那么对你来说≤ -log（R），随机积分wt:=RtRRfs（x）（λ（dx，ds）-dx ds）满足[exp（u sups∈[0，t]| Ws | | F]=O（1）。证据我们从第一部分开始。通过局部化和鞅收敛，我们得到了WTA。s→ W∞.Dol\'eans Dade指数（uW）t:=exp（uWt-uρt）是一个非负局部鞅，因此是一个超鞅。因此由Fatou\'slemma，E[E（uW）∞| F]≤ lim inft→∞E[E（uW）t | F]≤ E[E（uW）| F]=1。为了展示第二部分，我们有[E（uW）∞| F]≤ exp（uR）E[E（2uW）∞| F]≤ exp（uR），所以E（uW）是真鞅。我们推断出≥0 | Wt |- uR）| F]≤ 经验(-u）E[支持]≥0E（uW）t+supt≥0E(-uW）t | F]=O（1）exp(-uR）E[E（uW）∞+ E(-（华盛顿州）∞| F] 1/2，使用Doob的鞅不等式，=O（1）。我们现在证明第（三）部分，注意我们可以假设≥ 0.定义变异鞅mt:=RtRR | fs（x）|（λ（dx，ds）- dx-ds），然后我们有SUP∈[0，t]| Ws |≤ Mt+O（R），因此它必须约束Mt。让Mctdenote表示Mt的连续部分，并且它在时间t跳，然后在时间v跳≥ 0，多尔-戴德指数（vM）t:=exp（vMct）Qs≤t（1+v）Ms）是一个非负局部鞅，所以是一个超鞅。此外，由于美国太太∈ [0, -log（R）]，我们有exp（uMs）≤ 1+铜Ms，其中常数c:=（1- R-1） /log（R）。

我们推导出E[exp（uMt）|F]=O（1）E[exp（c- 1） 城市轨道交通+城市轨道交通）| F]=O（1）E[exp（城市轨道交通+不间断电源）≤TMs）|F]=O（1）E[E（cuM）t |F]=O（1）E（cuM）=O（1）。现在我们可以证明鞅微分的中心极限定理。我们的论点使用了Skorokhod嵌入，例如inMykland（1995）或Ob l\'oj（2004）。mma 1的证明。我们从一个Skorokhod嵌入开始，允许我们考虑扩展概率空间上的变量Xias停止布朗运动。我们的论证通过对变量k=0的归纳来进行，n、 我们声称，对于i=0，K- 在扩展概率空间上，我们可以构造过程（Bi，t）t∈[0,∞), 这是布朗运动，给定由F和B生成的σ-代数，毕-1，并且独立于给定的Fi+1。我们进一步声称我们可以构造变量τi∈ [0, ∞),这是自然过滤Gi，tof the Bi，t的停止时间，因此xi=Bi，τi。对于k=0，这一说法微不足道；我们将证明，如果这个断言成立，那么它也适用于k+1。通过Skorokhod嵌入，在进一步扩展的概率空间上，我们可以构造一个processeBk，它是给定的布朗运动，一个变量eτk，它是eBk，t自然过滤的停止时间，使得变量eXk:=eBk，eτkis分布为XkgiveneFk。自停止进程（eBk，t∧ eτk）t∈[0,∞)是连续且最终恒定的，对（（eBk，t∧ eτk）t∈[0,∞), eτk）取波兰空间中的值。我们定义了（（eBk，t）的正则条件分布Qk（x）∧ eτk）t∈[0,∞), eτk）给定nexk=x和fk。在进一步扩展的概率空间中，我们可以生成一对（（Bk，t）∧τk）t∈[0,∞), τk）的分布Qk（Xk）给定nefk和Xk，与给定Fk+1的F无关。我们推断三重态（（Bk，t∧τk）t∈[0,∞), τk，Xk）以三分体（（eBk，t）的形式分布∧ eτk）t∈[0,∞), eτk，eXk）给定nefk，因此Bk，t∧τkandτk满足我们索赔的条件。