半鞅检测与拟合优度检验

对于t>τk，仍需确定Bk，t；我们设定k，t+τk:=Bk，τk+B′k，t，t≥ 对于一个独立的布朗运动B′k，t，我们得出结论，Bk，tandτk满足我们的条件；通过归纳，这个主张因此保持fork=n。接下来，我们将展示我们能够实现sumsPn-1i=0针对普通布朗运动的IXIAS积分。定义流程Bt:=Pn-2j=0Bj，T（j，T）∧τj+Bn-1，T（n）-1，t），其中变量（j，t）：=0∨ （t）-Pj-1i=0τi）。我们将证明Bt是一个关于适当过滤Gt的布朗运动，sumsPn-1i=0可以写成随机积分，对于固定的j=0，N- σ-代数egj，t:=σ（eFj，Gj，t）在t中形成过滤≥ 0，变量T（j，T）是egj，T-停止时间。固定时间≥ 因此，我们可以定义σ-代数gj，T（j，T），它在j=0，N- 变量sj（t）：=max{j=0，…，n- 1:Pj-1i=0τi≤ t} ，即Egj，t（j，t）-停止时间。然后我们可以定义σ-代数Gt:=eGj（t），t（j（t），t），它们在t中形成过滤，并检查过程bt是否是Gt布朗运动。我们得出结论，给定Fi可测量变量ci，sumsPn-1i=0ciXi=R∞fc（t）dBt，（14），其中Gt和SFC（t）：=Pn-1j=0cj（0，τj）（T（j，T））。在第（i）部分中，我们考虑了ci=1的情况，得到了pn-1i=0Xi=Bν，ν：=Pn-1i=0τi.定义随机变量ξ：=B，η：=Bν- B、 然后我们就有了-1i=0Xi=ξ+η和ξ~ N（0，1）给定F。此外，使用Burkholder-Davis-Gundy，我们得到了E[|η| 4κ| F]=O（1）E[|ν- 1 | 2κ| F]，而使用单一MMA 9（i），E[exp（uη-u|ν- 1 |）| F]≤ 1.因此，仍然需要限制从1到ν的距离。对于j=0。

，n，定义theeFj鞅vj:=Pj-1i=0（τi）- E[τi | eFi]），以及总平均值ν：=Pn-1i=0E[τi | eFi]。然后我们有|ν- 1| ≤ |Vn |+|ν- 1|;我们将展示右边的两个术语都很小。我们首先得到[|Vn | 2κ| F]=O（1）E[（Pn-1i=0 |τi-E[τi | eFi]|）κ| F]，作者Burkholder Davis Gundy，=O（nκ-1） Pn-1i=0E[|τi- E[τi | eFi]| 2κ| F]，通过詹森不等式，=O（nκ-1） Pn-1i=0E[|τi | 2κ| F]=O（nκ-1） Pn-1i=0E[|Xi | 4κ| F]，由Burkholder-Davis-Gundy和Doob的鞅不等式[O（n）]提出-κ). （15） 我们也有，ν=Pn-1i=0E[Xi | eFi]，根据伊藤等距，=Pn-1i=0E[Xi | Fi]，作为Bj，皮重与给定Fj+1的F无关。我们推断出- 1 | 2κF]=O（n-κ） ，视需要而定。在第二部分中，我们再次将Burkholder-Davis-Gundy和引理9（i）应用于求和（14）。我们声称∞fc（t）dt≤ A+M，对于在theLemma声明中的术语A和M，sosupcE[|c|4κF]=O（1），和supce[exp（u|c-u（A+M）| F]≤ 1.因此，仍需证明该主张。和以前一样，我们有|ν|≤ |Vn |+|ν|，和ν=Pn-1i=0E[Xi | Fi]=O（n1）-1/2κ（Pn）-1i=0E[|Xi | 4κ| Fi]）1/2κ，根据詹森不等式，=O（1）。对于任意随机变量ci=O（1），我们推导出R∞fc（t）dt=Pn-1i=0ciτi=O（ν）=O（1+| Vn |）。因此，该主张适用于术语A=O（1），M=O（|Vn |），我们进一步使用（15）得到了M的满足性（8）。接下来我们将证明关于组合指数矩界的结果。mma 2的证明。我们首先注意到，通过重新缩放Xi，我们可以假设n=1。然后在一个扩展的概率空间上，设ξ为标准高斯分布，与F无关。对于任何R>0，我们有[exp（Xi/4R）1M≤R] =E[E[exp（（2R）-1/2Xiξ）1M≤R | F]]≤ E[exp（ξ/4）E[exp（（2R）-1/2ξXi-（2R）-1ξM）1M≤R |ξ]]=O（1）E[exp（ξ/4）]=O（1）。我们推断，对于任何R>0，E[maxiexp（Xi/4R）1M≤R]≤派[exp（Xi/4R）1M≤R] =O（n），索马西| Xi | 1M≤R=Op（R1/2log（n）1/2）。由于M=Op（1），我们得出结论，maxi | Xi |=Op（log（n）1/2）。我们继续证明了我们在yi和Zi（θ）上的矩界。mma 3的证明。

为了说明第（i）部分，我们注意到函数u和σ是局部Lipschitz，σ是正的，θ是有界的。因此，我们可以将函数u和σ限制为一个紧集，其中u和σ是C，1/σ是有界的。我们推断（i）部分成立；通过类似的论证，第（二）部分也成立。为了展示第（三）部分，我们有E[|Zi（θ）|4+ε| Fti]=O（1）E[1+| Yi | 4+ε| Fti]=O（1），和Zi（θ）=（Yi-u（θ，ti，Xti））/σ（θ，ti，Xti）+γi，对于γi=O（1）（1+|Yi |）kbXi项- 克斯蒂克。利用Cauchy-Schwarz，我们得到了[γi | Fti]=O（n）-1/2），E[γi | Fti]=O（n-1/2).我们得出结论：E[Zi（θ）|Fti]=Sti（θ）+E[γi | Fti]，=Sti（θ）+O（n-1/2），在H下，使用Cauchy-Schwarz，alsoE[Zi（θ）|Fti]=1+O（1）（E[γi | Fti]1/2+E[γi | Fti]），=1+O（n-1/4).为了显示第（四）部分，我们定义了随机变量srk:=m-1Pnsk+1-1i=nsk（（Yi）- E[Yi | Fti]）- Var[Yi | Fti]），其中m:=n（sk+1-sk）。RK是鞅差序列m项的平均值，其条件方差是有界的。我们推断E[Rk]=O（m-1） =O（n）-1/2）和soE[（最大）-1/2 NSK+1-1i=nskYi]=O（1）E[1+maxkRk]=O（1）（1+PkE[Rk]）=O（1）。预期结果如下。最后，我们在假设2下证明了我们关于过程St（θ）行为的结果。mma 4的证明。我们首先定义过程est（θ）、St（θ）和时间τi。我们可以将过程utinto分割为部分ut=eut+ut，其中eu是一个大小跳跃最多为n的过程-1/4log（n）1/2和utisan正交纯跳跃过程，跳跃大小至少为n-1/4log（n）1/2。我们可以类似地定义术语SEXT，Xt。设τ<··<τN-1记录utor XT跳跃的时间，并设置τ：=0，τN:=1。然后我们可以分解过程St（θ）=eSt（θ）+St（θ），（16），其中St（θ）：=Pτi≤TSτi（θ），让St（θ）表示时间t时St（θ）的跳变，而est（θ）则由（16）定义。为了证明第（i）部分，我们首先注意到模型函数u和σ在t中连续可微，在X中连续可微两次，σ为正。

通过它的引理，我们可以写出est（θ）=ebt（θ）dt+ect（θ）TdBt+RReft（x，θ）（λ（dx，dt）- dx dt），对于由假设2给出的积分器bt和λ（dx，dt），可预测过程bt（θ），ect（θ）和可预测函数seft（x，θ）。由于θ，t，u和x是有界的，我们还有ebt（θ），ect（θ）=O（1），eft（x，θ）=O（n）-1/4log（n）1/2）和rr | eft（x，θ）| dx=O（1）。为了限制est（θ）中变化的大小，我们将考虑变量smk（θ）：=supt∈Ik | eSt（θ）-锿-Jk（θ）|，其中间隔Ik:=2-J[k，k+1]。我们有mk（θ）≤Pq+2i=0Mk，i（θ），对于术语Smk，i（θ）：=监督∈Ik | Rt-Jkebt（θ）dt |，i=0，支持∈Ik | Rt-Jkeci，t（θ）dBi，t |，i=1，q+1，支持∈Ik | Rt-jkreft（x，θ）（λ（dx，dt）-dx dt）|，i=q+2。在每种情况下，i=0，q+2，我们将限制最大值FMI:=maxk，θ∈ΘnMk，i（θ）。从定义来看，我们有Fm=O（n-1/2).对于i=1，q+1，我们使用引理9（ii），得到exp（un1/4Mk，i（θ）- uR）]=O（1），代表所有u∈ R、 一些固定的R>0。用单峰2，我们推导出Fmi=Op（n-1/4log（n）1/2）。最后，使用MMA 9（iii），对于足够小的ε′>0，我们有[exp（ε′n1/4log（n）1/2Mk，q+2（θ））=O（1）。我们推导出[exp（ε′n1/4log（n）1/2fMq+2）]≤Pk，θ∈ΘnE[exp（ε′n1/4log（n）1/2Mk，q+2（θ））=O（nκ+1/2），sofMq+2=Op（n-1/4log（n）1/2）。我们得出结论，随机变量：=maxk，θ∈ΘnMk（θ）≤Pq+2i=0fMi=Op（n-1/4log（n）1/2）。接下来是第（i）部分。展示第（二）部分，用于s，t∈ [0,1]，定义翻译过程s（t）s（θ）：=eSs（θ）-eSt（θ）。然后我们有rjest（θ）=RJeS（t）t（θ），因为小波与常数函数正交-PJeS（t）t（θ），因为（t）t（θ）=0-PkаJ，k（t）RаJ，k（s）（eSs（θ）-eSt（θ））ds=O（M），使用φ的紧凑支撑。预期结果如下。为了说明第（iii）部分，我们首先注意到过程St（θ）在区间[τi，τi+1]和[τN]上是恒定的-1，τN]。

将τi=1设为i>N，我们得到[我≤ n1/4：τi≤ 1.-δn，τi+1<τi+δn]≤Pn1/4i=0P[τi≤ 1.-δn]P[τi+1<τi+δn|τi≤ 1.- δn]=o（n）-1/4）Pn1/4i=0P[τi≤ 1.- δn]，使用假设2，τiis是一个停止时间，=o（1）。同样地，我们有[i：τi∈ (1 - δn，1），P[n>n1/4]=o（1）。预期结果如下。参考Ait-Sahalia Y.检验即期利率的连续时间模型。《金融研究回顾》，9（2）：385-4261996。Ait-Sahalia Y和Park J Y.过程非平稳时基于平稳性的差异规格测试。《计量经济学》，169（2）：279-2922012。Andersen T G、Bollerslev T、Diebold F X和Ebens H.已实现股票收益波动率的分布。金融经济学杂志，61（1）：43-762001。Barndor ff-Nielsen O E和Shephard N.已实现波动的计量经济学分析及其在估计随机波动模型中的应用。J.R.统计Soc。爵士。B.统计方法。，64(2):253–280, 2002.巴恩多夫-尼尔森O E和维拉特A.连续时间波动的随机波动性。创建研究论文，2009年12月25日。Bibinger M、Jirak M和Vetter M.波动性的非参数变点分析。arXiv预印本arXiv:1502.000432015。Bull A D.“半鞅检测和拟合优度测试”软件。http://dx.doi.org/10.17863/CAM.125, 2016.陈Q，郑X和潘Z。扩散的挥发性函数的渐近无分布检验。《计量经济学》，184（1）：124-1442015。Cont R和Tankov P.带跳跃过程的金融建模。查普曼与霍尔/CRC金融数学系列。查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，2004年。Corradi V和White H.差异方差的规范检验。J.Ti me Ser。肛门。，20(3):253–270, 1999.Dette H和Podolskij M.测试连续时间扩散模型中波动的参数形式——一种随机过程方法。J

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