增强的贸易引力模型：协调宏观经济和网络

这可能会产生关于ITN结构的有趣且反直觉的见解。例如，与朴素的经济推理所预测的相反，事实证明，纯二元局部属性（例如节点度）的知识比相应加权属性（例如节点强度）的知识更具信息性。事实上，虽然仅根据所有国家的学位知识重建的二元网络在拓扑上与真实ITN非常相似，但仅根据所有国家的实力重建的加权网络密度更大，与真实网络非常不同[26–28]。这有点令人惊讶，因为经济文献基本上假设加权属性本身比相应的二元属性信息更丰富。这一明显悖论的解决方案在于，尽管整个加权网络的知识必然比其二元预测的知识更丰富（根据经济学假设），加权网络的某些边缘性质的知识可能比二进制网络的相应边缘性质的知识的信息量少得出人意料。事实上，事实证明，如果除了国家的实力外，还（未）指定了国家的程度，那么由此产生的最大熵模型（无法）令人满意地重现国际贸易的经验加权网络[27,40,41]。一个重要的带回家的信息是，与主流文献相比，ITN模型的目标不仅是复制国家的实力（就像通用汽车通过近似复制所有非零权重自动做到的那样），还应该是它们的程度（即贸易伙伴的数量）[26-28，41]。

除了这些研究，另一种方法，线性重力运输模型（LGTM）也证明了ITN拓扑的重要性[46]。在该模型中，每个国家（节点）的货币流量根据贸易伙伴数量（度）平衡。该模型使用贸易流量和ITN拓扑结构作为输入，得出与实际数据一致的国家GDP预期。这些研究表明，为了设计改进的ITN模型，应将纯拓扑性质的度作为主要目标量进行复制。这是我们在本文中将遵循的指导原则。与GM不同，贸易区的最大熵模型是先验的非解释性模型，即它们以结构属性（与解释性经济因素相反）作为输入来解释其他结构属性。然而，它们实际上可以用来选择后验概率，即ITN结构对潜在解释因素的明确、经经验验证的功能依赖性。对于具有特定国家/地区约束的模型，此操作可按如下方式执行。从数学上讲，通过为每个节点分配一个或多个拉格朗日乘数（也称为“隐藏变量”或“适应性参数”~xi），可以实现对节点特定属性的控制。如果发现局部约束的某种选择令人满意地复制了现实世界网络的高阶属性，那么我们可以寻找相关隐藏变量的值与ni型非拓扑特定国家的随机因素（如GDP或总进出口）值之间的经验关系。如果隐藏变量确实（至少大致）是某些特定国家因素的函数（即。

如果~xi≈~f（~ni）），则可以用最大熵模型中的~f（~ni）替换~xi，从而将后者重新表述为一个带有贸易解释变量（即“回归器”）的模型，与GM完全相同。在关于ITN拓扑结构的最早研究之一[30]中，上述方法导致了对网络二元结构的GDP驱动模型的定义，其中~xi∝ GDPi（即，在这种情况下，~xi被认为是一维的）。该模型是对给定度的二进制网络的最大熵模型的重新表述，它预测从国家i到国家j存在贸易连接的概率为Ipij=δGDPiGDPj1+δGDPiGDPjδ>0，（3），其中δ是一个自由参数，允许再现经验链路密度。该模型已通过多种方式成功测试[24、25、30、32、38]。式（1）中的GM和式（3）中的最大熵模型具有互补的优势和劣势，前者是非零交易量的良好模型（而对于拓扑结构而言是一个糟糕的模型），而后者是拓扑结构的良好模型（但不提供关于交易量的信息）。最近，通过将最大熵模型扩展到加权网络的情况，提出了一种调和这两种互补且目前不兼容的方法的尝试[42]。正如我们所提到的，具有给定强度和度的加权网络的最大熵模型[40]可以正确复制ITN的许多结构属性[41]，因此有必要将此类模型重新表述为受经济启发的ITN模型。

事实上，就像在二进制情况下一样，实施约束的隐藏变量被发现与GDP密切相关，因此允许将Pijan和hwiji都表示为GDP的函数[42]。结果表明，该模型与实际ITN中观测到的拓扑结构和体积一致。不幸的是，在上述方法中，国家特定约束（程度和强度）的选择仅适用于具有相应国家特定性质的回归者。这使得参考文献[42]中的模型与包含Dijand类型的二元变量不兼容，因为（至少）两个原因，Dijand代表了一个强大的限制。首先，从传统的GM中吸取的主要教训之一是，地理距离的增加显著提高了经验量的fit。事实上，鉴于国际经济学文献中积累的大量知识，很难想象一个现实且具有经济意义的国际贸易模型不允许简单的成对数量控制贸易成本和激励，包括地理[9,10]。其次，即使根据公式（3）[25,30,32]中定义的“仅GDP”模型，ITN的结构可以令人满意地复制，但最近的分析发现，某些度量（尽管并非必要的地理）距离也在确定ITN的拓扑结构中发挥了作用[47]。综上所述，这两项证据要求在hwiji和pij中纳入二元因素，并强调了当前仅基于国家特定约束的最大熵模型的局限性。综合以上所有考虑因素，很明显，ITN的改进模型应旨在保持基于onEq的模型假设的实际贸易量。

（2） （包括GM、RM，可能还有manymore），同时将它们与最大EntropyModel（扩展）生成的现实网络拓扑结合起来。这种模型还应旨在提供贸易流量的完全概率分布，而不仅仅是公式（1）中的预期值，并且与公式（3）[25]中的GDPonly模型或其当前加权扩展[42]不同，允许包含二元和节点特定的宏观经济因素。三、 国际贸易的增强引力模型在本节中，我们将介绍我们所称的贸易增强引力模型（EGM）。EGM在数学上形式化了两个要素，根据前面的讨论，任何“好”的经济网络模型都应该具备这两个要素：即现实的（贸易）量和现实的拓扑结构，这两个要素都可以由宏观经济因素控制。A.拓扑和权重的单一模型我们学到的第一个教训是，只有在链路本身的存在被初步确定之后，等式（2）才能成功地再现链路权重。这意味着，等式（2）作为现实世界贸易流动的模型，实际上并不令人满意，应该重新表述为权重wij的条件预期，因为wij>0。换句话说，如果aijdenotes输入ITN的邻接矩阵A=Θ（W）（通过阶跃函数定义为aij=Θ（wij）），即aij=1基于存在嵌入现实世界网络的潜在隐藏度量空间的假设，参考文献[47]通过在某个抽象度量空间中寻找国家的最佳嵌入来建模ITN。由此产生的推断距离被解释为包含了所有可能的经验揭示贸易成本来源，可能还包括地理距离。

然而，由于假定的嵌入空间要么是一维圆，要么是双曲面，这些距离必然不同于GM中出现的通常地理距离，并在我们的球面三维世界中作为测地线测量。如果wij>0，如果wij=0，则aij=0），则改进模型应将等式（2）替换为hwij | aij=1i=F~φ（~ni，~nj，~Dij）F>0，（4）其中hwij | aij=1i是从国家i到国家j的贸易联系的条件预期权重，假设存在这种联系。这一操作确保，无论新模型看起来是什么样的，它对相互关联的成对国家之间的预期贸易量的预测与更传统的宏观经济模型中提出的预测保持一致。例如，选择f~φ（~ni，~nj，~Dij）=c GDPαiGDPβjR-等式（1）中的γijas允许我们保留（几乎完整的形式）自Jan Tinbergen引入GM以来在计量经济学文献中积累的所有经验知识。然而，一个重要的区别是，在我们的模型中，贸易量将从不同的概率分布中得出。我们学到的第二个教训是，在与公式（4）类似的情况下，公式（3）应该被推广，以考虑并矢（~Dij）和节点特定（~ni）因素，如下所示：pij=haiji=G~ψ（~ni，~nj，~Dij）1+G~ψ（~ni，~nj，~Dij）G>0，（5）其中一个关键的要求是，G通常可以不同于公式（4）中的F，相应地，参数向量~ψ可以不同于~φ。注意，由于pijis在G中是单调的，所以上面的表现主义完全是通用的，也就是说，我们对pij的功能形式没有限制。还值得注意的是，等式中使用的解释性因素。（4） （5）不必重合。

然而，为了避免对这两个函数的参数使用不同的符号，我们采用了一种惯例，即~Dijand~忽略所有用作F或G参数的因子集，并且这些函数可以对它们的一些参数有一定的依赖性（即不依赖）。例如，通过设置~ni=gdpian并假设fl依赖于~Dij，公式（5）简化为公式（3），或通过将~Dijequal设置为双曲距离并假设fl依赖于~ni，从而导出参考文献[47]中的双曲模型。我们希望我们的模型能够产生等式（4）作为链路权重的预期（类似重力）条件期望，以及等式（5）作为现实的预期拓扑。为此，我们引入了全概率P（W），即模型产生一个加权网络，该网络由theN×N矩阵W和条目（wij）指定。我们可以自由选择是否使用非负整数值（在这种情况下，P（W）是多元概率质量函数，或PMF）或非负实值（在这种情况下，P（W）是多元概率密度函数，或PDF）。分布P（W）是充分说明模型的关键数量，并决定ITN的拓扑和链路权重。从P（W），集中在一对节点i，j上，并将所有其他节点对进行积分，我们可以确定二元分布qij（W），表明wij产生特定值W的概率（质量或密度）。请注意，事件wij>0表示存在贸易联系（即aij=1）。相比之下，事件wij=0表示不存在atrade链接（即aij=0），但也作为可能的结果包含在qij（w）中。规范化条件就在这里≥0qij（w）=1（对于整数权重）或w≥0dw qij（w）=1（对于连续权重，在这种情况下，我们预计qij（w）将在w=0时具有类似于三角形的点质量）对于所有i，j。

请注意，我们没有假设两个不同国家对之间的贸易量和Wkl的独立性，也没有假设P（W）被等效地分解为Yadic概率的乘积Qi，jqij（wij）。然而，我们稍后会发现，所需的模型恰恰具有这种独立性。重要的是，与传统的GM不同，在我们的方法中，二元独立是一种结果，而不是一种假设。我们现在寻找强制两种行为的qij（w）形式。（4） 和（5）。让我们首先考虑后一种情况。在qij（w）中，i和j相连的概率pij（与贸易量无关）由它们不相连的概率qij（0）的补码给出，即pij=1- qij（0）=Pw>0qij（w）（整数）Rw>0qij（w）dw（实数）（6），其中，对于实数权重，qij（0）表示点质量，即在w=0时，类δ概率密度函数qij（w）的大小。假设式（6）具有式（5）所规定的形式，导致对qij（0）的以下唯一选择：qij（0）=1+G~ψ（~ni，~nj，~Dij）G>0。（7） 我们现在以类似的方式将qij（w）与等式（4）联系起来。预期的交易量，无论是否存在LinkedIn，ishwiji≡Pw>0w qij（w）（整数）Rw>0w qij（w）dw（实数）（8）（请注意，事件w=0不影响上述数量）。另一方面，假设链路已实现（w>0），wijequals w的条件概率isqij（w | aij=1）=（qij（w）pijw>00 w=0（9），其期望值给出了链路权重的条件期望，假设链路存在：hwij | aij=1i=hwijipij。（10） 将等式（10）设置为等式（4）将导致hwiji=F~φ（~ni，~nj，~Dij）G~ψ（~ni，~nj，~Dij）1+G~ψ（~ni，~nj，~Dij）F，G>0。（11） 方程式（11）传达了一个重要信息。这表明，虽然对公式（8）的超级官方检查可能表明，预期贸易量hwiji与ITN的拓扑结构无关，即。

在qij（0）或等价物yg上，事实并非如此。事实上，qij（0）通过等式（6）中的规范化条件与其他值qij（w）（w>0）耦合。这必然意味着ITN的拓扑结构必须对两国之间的预期贸易量产生中间影响。这种影响在inEq中被严格量化。（11） 这表明hwiji同时依赖于F和g。这一结果证实了根据式（1）定义的传统GM及其对式（2）形式的任何扩展的不一致性。相比之下，ITN的预期拓扑结构与预期贸易量无关，因为PIJD依赖于G而非F。这个简单但据我们所知，之前未被认可的结果突显了ITN中权重和拓扑结构之间的非对称性，并进一步指出，在我们涉及F和G的通用表达式所描述的任何（经济）网络中。这一基本发现为前面的实证观察提供了一个自然的解释，即ITN和其他几个网络的拓扑可以从聚合局部约束中满意地重建[26,40]，虽然同一结果不适用于同一网络的加权结构[27,28]，但拓扑信息明确包含为附加约束[40,41]的情况除外。B.最大熵构造方程（7）和（11）是我们对qij（w）和最终P（w）所要求的两个重要性质的x，但它们没有唯一地规定这些概率分布。为了做到这一点，我们调用最大熵原理来确保P（W）的函数形式是最大随机的，给定所需的约束。众所周知，该程序保证产生最小的偏差推理，即。

在选择特定形式的P（W）[43,44]时，不引入不合理的“隐藏”假设。在应用这种方法时，我们将主要关注整数值链接权重的情况，因为这一要求与我们分析中的数据集相匹配。重新估值的链接权重在附录中处理，相应的关键结果在本节末尾简要报告。我们寻找最大化熵泛函[P]=-XWP（W）ln P（W）（12）（其中，总和延伸到具有n个节点、非负整数链接权重的所有加权图上，所有i的wii=0）受等式规定的约束。（7） 和（11）。因为等式（7）相当于toEq。（5） ，我们选择haiji和hwiji（对于所有对I6=j）作为指定模型的两组约束。这样，如果我们引入αijas和βijas（实值）拉格朗日乘子，分别执行aij=Θ（wij）和wij的期望值（其中Θ（x）=1，如果x>0，则Θ（x）=0），那么最大熵问题就相当于参考文献[48]中精确解决的问题。结果表明，在引入所谓的哈密顿量（W）=Xi时，jαijΘ（wij）+βijwij, （13） （表示期望值受到约束的数量的线性组合）和配分函数Z=PWe-H（W），最大熵概率P*（W） 在限制条件下，海吉和海吉被发现*（W） =e-H（W）Z=Yi，jq*ij（wij），（14）其中，给定xij≡ E-αij∈ (0, +∞) 还有yij≡ E-βij∈（0,1），q*ij（w）≡xΘ（w）ijywij（1）- yij）1- yij+xijyij，w≥ 0（15）是从节点i到节点j的链路承载权重w的结果（最大熵）概率。这种概率称为玻色-费米分布，因为它不符合量子统计物理中遇到的玻色-爱因斯坦和费米-狄拉克分布[48]。