增强的贸易引力模型：协调宏观经济和网络

我们再次强调，我们所有的公式都适用于网络的有向和无向表示，相应地，i，j上的和和和积在有向情况下应解释为i6=j（其中i，jand j，i对不同），在无向情况下应解释为i<j（其中i，j对与j，i对相同）。正如我们所预料的，P的因式分解*（W） 就q的产品而言*ij（w）表明，对于这种特定的约束选择，节点对在统计上是独立的，就像在标准GM方法中一样，即使我们没有假设这种独立性是我们方法中的一个假设。重要的是，尽管文献中迄今为止考虑的ITN最大熵模型中使用的约束是观察到的拓扑特性（例如，节点的度和/或强度），但此处考虑的约束是经济驱动的预期，即等式。（5） 和（11）。这一关键步骤使我们能够在一个广义框架内协调宏观经济和网络方法，并代表了与以前模型的一个重要区别。特别是，我们使用等式。（6） ，（8）和（10）用xijand-yij[48]：pij=1来表示pij、hwiji和hwij | aij=1i- Q*ij（0）=xijyij1- yij+xijyij，（16）hwiji=Xw>0wq*ij（w）=pij1- yij，（17）hwij | aij=1i=hwijipij=1- 哎呀。（18） 上述表达式允许我们重写等式（15）asq*ij（w）=1.- pijw=0，pijyw-1ij（1）- yij）w>0。（19） 现在，将等式（16）与等式（5）和等式（17）相等。（11） （或者，等价地，等式（18）到等式（4））允许我们找到解决原始问题的xijand yij的值：xij=G~ψ（~ni，~nj，~Dij）F~φ（~ni，~nj，~Dij）- 1，（20）yij=F~φ（~ni，~nj，~Dij）- 1F~φ（~ni，~nj，~Dij）。（21）插入等式。（20） 和（21）转化为等式。

（19） 我们最终得到了显式概率q*ij（w）指交易量为w的任何两个国家，作为~nian~Dij因子选择的函数。就条件概率而言，该模型变得非常简单：建立从国家i到国家j的联系是一个伯努利试验，成功概率由公式（5）给出；如果实现，该链接将获得概率为Q的权重w*ij（w | aij=1）=0 w=0，[F~φ（~ni，~nj，~Dij）-1] w-1[F~φ（~ni，~nj，~Dij）]ww>0，（22），这是代表w的变化的几何分布- 1个连续成功，每个成功的概率为yij，然后失败的概率为1- 哎呀。上述结果从链路建立和链路增强过程的角度对模型中的已实现容量进行了深刻的解释（见讨论）。C.最大似然参数估计我们现在从计量经济学的角度，讨论如何选择模型参数，以优化网络的特定实证实例。为此，我们将最大似然（ML）原理应用于网络模型[38]。如果W*表示权重矩阵（带有条目w*ij）在经验网络中，我们的模型生成了具有概率的特定矩阵*（W）*). 因此，我们定义了对数似然函数l（~φ，~ψ）=lnp*（W）*) =Xi，jlnG~ψA.*ijF~φ- 1.W*ij-A.*ij1+G~ψF~φW*ij（这里我们去掉了F和G对~ ni，~ nj，~ Dij的依赖关系），并寻找参数值~φ*,~ψ*通过要求所有关于φ和ψ的一阶导数同时消失，使L（~φ，~ψ）最大化：~~φL（~φ，~ψ）=Xi，j“w*ij- A.*ijF~φ- 1.-W*ijF~φ#~~φF~φ=~0（23）~~ψL（~φ，~ψ）=Xi，j“a*ijG~ψ-1+G~ψ#~~ψG~ψ=~0。（24）对于属于指数族的概率分布，即采用公式。

（14） 和我们正在考虑的一个一样，对数似然的二阶导数与（负）包含在哈密顿定义的inEq中的约束之间的协方差一致。（13） （例如参见[49,50]）。由于协方差矩阵是正半定义（如果选择的约束是线性独立的，即非冗余的，则实际上是正半定义），L（~φ）*,~ψ*) 确实是L（~φ，~ψ）的（全局，在正定义的情况下）最大值，确保解（~φ*,~ψ*) 到Eqs。（23）和（24）得到了我们模型中的最佳参数值。将这些值选择到等式中。（20） 和（21）得到x的值*艾伊和艾伊*当插入公式（15）时，完全指定模型。上述表达式适用于EGM的任何规格，表明参数~φ的估计与~ψ的估计很好地分离。这一结果一步解决了以往计量经济学方法中遇到的两个主要问题：一方面，在大多数替代模型中，零的存在严重影响了确定预期权重的参数的估计；另一方面，预期的零数可能矛盾地取决于权重的（任意）度量单位。例如，如果qij（w）是一个泊松分布，如零反馈GMs[20–22]中所述，则其唯一参数（平均值）决定链路权重的大小和连接概率pij。由于数据中的货币单位是任意更改的（例如，从美元更改为数千美元），因此估计的平均值和由此产生的预期零数也会随之更改。相比之下，在我们的模型中，货币单位影响φ*但不是~ψ*（因此他们应该，但不是G）。D.实值交易流量上述结果可以直接适用于假设链路权重取非负实值的情况，尽管更具技术性。

整个推导过程见附录。为了简单起见，这里我们只报告主要结果。在实值情况下，P*（W） 是一个多变量PDF（而非PMF），我们通过最大化熵函数S[P]的修改版本来寻找其形式，在与上文使用的haiji和hwiji（对于所有对I6=j）相同的约束条件下，仍然由等式给出。（5） 和（11）。结果也是公式（14）给出的因式分解形式，其中哈密顿量H（W）仍然在公式（14）中定义，而配分函数Z不同，q的结果表达式也不同*ij（w）isq*ij（w）=δ（w）（1）-皮杰）+Θ（w）皮杰-w/F~φ（~ni，~nj，~Dij）F~φ（~ni，~nj，~Dij），（25），其中δ（w）是狄拉克δ函数，π仍然由式（5）给出。上面的表达式表明q*ij（w）现在有一个q级的点质量*ij（0）=1- pijat w=0，然后是w>0的纯指数概率密度。根据设计，上述PDF仍然会产生所需的条件预期交易量hwij | aij=1i，连接概率Pijan和Eqs给出的无条件预期交易量hwiji。（4） 分别为（5）和（11）。建立从国家i到国家J的联系仍然是一个伯努利试验，成功概率为pijgivenby公式（5）；如果实现，该链接将获得条件概率密度Q的权重w*ij（w | aij=1）=0 w=0，e-w/F~φ（~ni，~nj，~Dij）F~φ（~ni，~nj，~Dij）w>0，（26）现在是一个纯指数分布，其期望（条件）平均值为F~φ（~ni，~nj，~Dij）。通过直接重新计算对数似然L（~φ，~ψ）=lnp，可以使用最大似然原理进行参数~φ和~ψ的估计*（W）*)以及相应的等式调整。（23）和（24）。四、 实证分析我们最终可以根据实证国际贸易数据检验我们模型的预测。附录中描述了这些数据集。

在这里，必须报告贸易量是以美元为单位的，因此是整数值。因此，在整个分析过程中，我们将采用我们获得的公式作为整数权重。显然，通过使用我们为实际重量提供的相应公式，可以很容易地对实值体积进行相同的分析。A.模型规格我们采用无向网络描述（两国之间的连接在任何方向上的权重等于总贸易），以便于定义ITN的拓扑特性。之前的工作表明，考虑到ITN的高度对称结构，无向表示保留了网络的所有基本属性[26,27,30]。我们选择F~φ（~ni，~nj，~Dij）的方式是，预期的非零贸易流量hwij | aij=1i与等式（1）定义的GM中的情况相同（现在被解释为条件预期）。这意味着选择~ni=GDPi，~Dij=Rij，~φ=（c，α，γ）和f~φ（~ni，~nj，~Dij）=c（GDPiGDPj）αR-γij，（27）这里我们设置了β≡ α是由于无向性。同样，我们选择G~ψ（~ni，~nj，~Dij）的方式是，概率pijis与在q中定义的模型中的概率pijis相同。（3） 也就是说，~ψ=δ和g~ψ（~ni，~nj，~Dij）=δGDPiGDPj。（28）根据上述规定，预期拓扑结构不依赖于任何并矢因子。这是最简单的选择，可以重现ITN井的拓扑结构[25,30,32,38]，并得到经验证据的支持，即地理距离[51]和贸易协定[47]等二元因素对ITN纯二元拓扑结构的影响比对贸易量的影响小得多。当然，我们的形式主义是这样设计的，我们可以立即添加二元因素，因此更一般。

例如，我们可以很容易地添加通过最优几何嵌入推断出的“隐藏”度量距离[47]（尽管它们不能与一些经验上可测量的“外部”宏观经济因素（如我们模型中其他地方使用的因素）相一致）。鉴于上述模型规格，对于给定实例W*对于经验网络，我们找到了最佳参数值c*, α*, γ*和δ*通过等式给出的条件。（23）和（24）。重要的是，在这种情况下，等式（24）表示L/δ=0并产生有效δ*这确保了linksPi的期望数，jpij=Pi，jG~ψ/（1+G~ψ）与经验数L完全相等*=皮，是的*不管贸易量有多大。这个结果相当于等式（3）[38]定义的纯二元模型的结果，表明，与标准GM不同，我们的模型总是生成正确数量的链接，并且与GM的一些更复杂变体不同，它独立于为数量选择的货币单位。B.根据实际数据测试模型我们首先测试EGM在复制经验贸易量方面的表现，即ITN的纯本地（二元）结构。在图2中，与之前给出的标准GM结果叠加 W10-2100102104104106W100101101031041051051061061990 W10-410-2100102104104106W100101101031041051051061061970 W10-2100102104104106W1001011021031041051062000 W10-2100102104104106W1001011021031041051061980HWIHWIHWIWW1970 19801990 2000图。2.经验非零贸易流与传统引力模型和增强引力模型下的相应预期。将ITN中所有非零双边贸易流量的经验量（y轴）与inEq定义的重力模型预测的相应（条件）预期量（x轴）进行比较的对数图。

（1） （绿色，参数估计如表一所示）和等式中定义的增强重力模型。（4） 和（27）（蓝色，估计参数如表二所示）。左上：1970年，右上：1980年，左下：1990年，右下：2000年。黑线是与理想完美匹配对应的身份线，如果经验权重完全等于其（条件）预期值，即在完全没有随机性的情况下，将实现理想完美匹配。等式（1）和图1中已经显示的经验非零链路权重w*Ij也与EGM-givenby公式（27）下的条件期望值hwij | aij=1i进行了比较。如上所述，对于EGM，参数通过公式（23）规定的ML原理获得，其结果值如表II所示。正如预期的那样，两个模型产生的点集在很大程度上是重叠的，这证实了就贸易量而言，EGM的表现不可能比GM差。此外，事实证明，EGM比GM更节省，因为它实现了更窄的点分散，同时没有专门的自由参数来调整方差（如前所述，GM通常假设每个交易量都来自某个概率分布，通常是正态分布或对数正态分布，平均值由公式（1）给出，方差由额外的自由参数指定）参数）。重要的是，将EGM表II中报告的参数α、β、γ的值与GM表I中先前显示的相同参数的相应值进行比较，我们发现GM产生了系统性较大的参数值（尤其是α、β）。这意味着，就EGM而言，GM高估了GDP和地理距离的影响，尤其是GDP。

这是因为EGM不仅用于解释增强重力模型年δcα，βγ1970 4.7·101.0·100.67 0.781980 1.1·109.3·100.77 0.751990 1.4·105.4·100.87 0.862000 3.3·101.7·100.91 0.90表二。通过考虑整数链接权重（等于数据集中使用的货币单位的整数倍）并按照等式进行相应的ML估计，计算出增强重力模型的参数值。（23）和（24）。已实现贸易流的数量，以及它们的存在，并具有单独的功能（F和G），可能具有重叠的解释因素集（本例中GDP是公共要素），但在任何情况下都有不同的参数集（α、β、γ和δ），以考虑这两个方面。由参数α、β、γ捕获的GDP和距离的影响仅取决于正在创建的链接，而通过参数δ忽略了链接创建本身的影响。注意，EGM发现α、β、γ和δ均随时间单调增加，突出了GDP和距离的影响（即使比GM中观察到的轻微）以及连接密度的持续增加。事实上，随着网络密度越来越大（EGM中的δ越大），我们看到两个模型中α、β的拟合值之间的差异越来越小，这与这样的想法一致，即如果所有国家对都是相互关联的，那么GM和EGM将仅通过贸易量的角度来估计GDP的影响，因为在这种极端情况下，GDP不再能够解释（完全连通的）拓扑结构。为了更好地理解两个模型预测的贸易量之间的差异，图。

3我们绘制了累积分布P≥（w） 计算经验（红色）、GM生成（绿色）和EGM生成（蓝色）网络中大于或等于w的链路权重的分数。所有分布均标准化为P≥（0）=1，以便在其支持中包含零权重，对应于未连接的成对国家。注意，P≥（w） 不仅仅是q的积分*ij（w），因为后者是为一对特定国家定义的概率分布，而前者是为整个网络定义的，因此由所有对特定概率的组合决定。我们发现经验分布在w=1时有一个不连续的跳跃，因为它从P值下降≥(1 - ) = 1到a值P≥(1 + ) ≈ 0.53，在哪里 > 0代表任意球。回顾在我们的分析中，链接权重只取非负整数，这种不连续性表明，在ITN的这一特定快照中，大约有47%的国家对没有连接（w=0），因此分布保持了P值≥（w） =1福鲁∈ [0,1），当我们穿过允许的最小非零权重值（w=1）时，当它不再“看到”那些未连接的对时，它会下降0.47≥(+∞) = 0，表明我们在w=1时看到的唯一不连续性实际上是由于链接生成过程产生的零权重下的超额概率质量。值得注意的是，经验分布与EGM密切匹配。该模型复制了不连续性的位置和大小，这一事实表明，ITN拓扑结构中缺失的贸易连接数量是正确预测的。相比之下，GM预测的是一个完全连通的网络，这可以从不存在间断性得到证明。

在真正的ITN中不相连的两个国家不可避免地被GM赋予正权重，因此<wij>100101102103104105106P>（wij）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91EGMGMITNhwijiP>（wij）P（w） wFIG。3.经验和模型产生的贸易流量累积分布。对数线性图，将2000年ITN中贸易流量的经验累积分布（标准化以包括零流量）与使用公式（1）中定义的重力模型（绿色，表I中报告的参数估计）和公式（1）中定义的增强重力模型获得的相应分布进行比较。（4） 和（27）（蓝色，估计参数如表二所示）。请注意，由于≈ 在经验曲线和EGM生成的曲线中，47%的国家对未连接，并且GM生成的曲线中没有此类特征（对于缺失的链接，错误地给出了正权重）。在分布中错放在右边，这导致绿色曲线相对于其他两条曲线的值非常大。我们知道，在Egmt中，不连续确实是由于q表达式中的额外点massat w=0造成的*ij（w）由等式给出。（15） 或（19）。请注意，从技术上讲，只有当权重取连续值时，才可以说“不连续”。通过使用附录中提供的结果和公式（25）中总结的结果，在实值权重的情况下复制我们的分析，这是可能的。重要的是，在这种情况下，P≥（w） 将在“真”值w=0时被精确观察到，与q的真δ形式一致*ij（w）由公式（25）给出（仅限于，不再可能显示P的不连续性）≥（w） 沿着对数轴绘制完整的累积分布）。