非线性估值解的不变性、存在性和唯一性

我欠财政部的未偿债务加上利息（利率f）是VT- Ct+Ct（1+ctdt）+（Vt- Ct）ftdt=Vt（1+ftdt）+Ct（Ct- ftdt）。我把刚刚获得的现金交给财政部，净效益为- Vt（1+ftdt）- Ct（Ct- ft）dt=dVt- ftVtdt- Ct（Ct- 英国《金融时报》dt16。我现在知道，总流量为：-tdSt+HTDT+dVt- ftVtdt- Ct（Ct- 英国《金融时报》dt17。现在，我提出——在风险中性的情况下，对t中的上述流量进行估值。Et[-tdSt+HTDT+dVt-ftVtdt-Ct（Ct-ft）dt]=-t（rt-ht）Stdt+（rt-ft）Vtdt-Ct（Ct-ft）dt-d~n（t）=-Ht（rt- ht）dt+（rt- 英尺（Ht+ft+Ct）dt- Ct（Ct- ft）dt- d~n（t）=（ht- ft）Htdt+（rt- ft）Ftdt+（rt- ct）Ctdt- d（t）假设Et[dSt]=rtStdt和Et[dVt]=rtVtdt，该推导成立- dа（t），其中dа是表示融资成本的V in[t，t+dt]的一个数值。将上述表达式设置为零，我们得到dа（t）=（ht- ft）Htdt+（rt- ft）Ftdt+（rt- ct）Ctdt，与前面（6）中给出的定义一致。Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性在FWe下的FBSDE旨在切换到无默认过滤F=（Ft）t≥以下引理（摘自Bieleckian和Rutkowski[2]第5.1节）是理解G表示的信息与F表示的信息之间关系的关键。引理3.1。对于任意A-可测随机变量X和任意t∈ R+，我们有：EGt[1{t<τ≤s} X]=1{τ>t}EFt[1{1{t<τ≤ s} }X]EFt[1{τ>t}]。（7） 特别是，对于任何Gt可测的随机变量Y，存在一个Ft可测的随机变量Z，使得{τ>t}Y=1{τ>t}Z。下面是前面引理的一个应用，它利用了我们必须处理一个随机过程结构，而不仅仅是一个简单的随机变量这一事实。类似的结果如[1]所示。引理3.2。假设μuis是一个G适应的过程。我们考虑强度为λu的默认时间τ。

如果我们表示τ=τ∧ 我们有：EGt“ZτT#udu#=1{τ>T}EFt”ZTtD（T，u，λ）f#udu#其中f#是一个可测变量，使得1{τ>u}f#u=1{τ>u}u。通过使用引理3.1，我们得到了=ZTt{τ>t}{t}{u}udu{t}udu{t}=zttegtegth{τ>t}{t}{t}{u}uidu然后我们得到了=ZTt{τ>t}EFth{τt}t{t}u}uiQ[τt>t}Ft]du 1{t>t}t}t}-1.我们选择一个可测变量，使1{τ>u}fаu=1{τ>u}аua，并获得=1{τ>t}zttefuh{τ>u}如果аuiD（0，t，λ）-1du=1{τ>t}ZTtEFt[D（0，u，λ）f~nu]D（0，t，λ）-1du=1{τ>t}EFt“ZTtD（t，u，λ）e#udu#类似的结果将使我们能够处理默认现金流项。事实上，我们有以下（引理[1]中的引理3.8.1]）引理3.3。假设是一个F-可预测的过程。我们考虑两个条件独立的默认时间τI，τcg由具有F-强度率λIt，λCt的Cox过程生成。如果我们表示τ=τC∧ τIwehave:EGth{t<τ<t}{I<τC}τI=1{τ>t}EFt“ZTtD（t，u，λI+λC）λIu#udu#.Brigo，D，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程7的不变性，存在性和唯一性现在我们假设了默认现金流的一种特殊形式，更准确地说，如果我们指出F适应的过程，即{eVt>t=1θt>- 1{τC<τI}LGDC（εt- Ct）++1{τI<τC}LGDI（εt- （Ct）-.其中LGD表示违约损失，通常定义为1-REC，其中REC是相应的回收率，d（x）+表示x和（x）的正部分-= -(-x） +。考虑到θτ，这些波动的含义如下：o在第一次到默认时间τ时，我们计算收尾值ετ；o如果交易对手违约，我们是净债务人，即ετ- Cτ≤ 0那么我们必须向交易对手支付全部损失价值ετ如果交易对手违约，而我们是净债权人，即。

ετ- Cτ>0，那么我们只能恢复我们的cred its的一小部分，即Cτ+R ECC（ετ- Cτ）=RECCετ+LGDCCτ=ετ- LGDC（ετ）- Cτ），其中LGDC表示违约损失，等于1减去恢复率RECC。类似的推理也适用于投资者违约的情况。如果我们现在改变过滤，我们得到了Vt的以下表达式（我们省略了速率的波浪符号，见备注3）：Vt=1{τ>t}EFt“D（t，t，r+λ）Φ（ST）+ZTtD（t，u，r+λ）（πu+（fu- cu）cu+（ru）- fu）eVu- （如- hu）eHu）du#+1{τ>t}EFt“ZTtD（t，u，r+λ）eθudu#，（8）其中，如果我们假设εt是F-pr-ed ictable，我们有（使用引理3.3）：eθu=εuλu- LGDC（εu）- Cu）+λCu+LGDI（εu）- 铜）-λIu。（9） 备注3。从现在起，我们将省略“胡”字上的波浪符号。此外，我们注意到，如果一个速率等于formxt=x+{g（Vt，Ht）>0}+x-{g（Vt，Ht）≤然后在集合{τ>t}上，它与rateEx=ex+{g（eVt，eHt）>0}+ex一致-{g（eVt，eHt）≤0}.我们注意到这个表达式的形式是Vt=1{τ>t}Υ，这意味着Vt在{τ上为零≤ t} 在集合{τ>t}上，它与F-可测随机变量Υ一致。但是我们已经知道了一个与Vton{τ>t}重合的变量，即eVt。因此我们可以写出以下evt=EFt“D（t，t，r+λ）Φ（ST）+ZTtD（t，u，r+λ）（πu（fu- cu）cu+（ru）- fu）eVu- （如- hu）eHu）du#+EFt”ZTtD（t，u，r+λ）eθudu#。（10）我们现在展示了一种从等式（10）获得BSDE的方法，另一种可能的方法（没有违约风险）如[9]所示。我们介绍了p过程Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，a。

非线性赋值方程8Xt=ZtD（0，u，r+λ）πudu+ZtD（0，u，r+λ）eθudu+ZtD（0，u，r+λ）h（fu）的不变性、存在性和唯一性- cu）cu+（ru）- fu）eVu- （如- 胡）鄂惠都。（11） 现在我们可以构造一个鞅，将Xt和交易的贴现值相加，如下所示：D（0，t，r+λ）eVt+Xt=EFt[Xt+D（0，t）Φ（ST）]。因此，区分双方，我们得到：-（ru+λu）D（0，u，r+λ）eVudu+D（0，u，r+λ）deVu+dXu=dEFu[XT+D（0，T）Φ（ST）]，如果我们用x代替，我们有：deVu+hπu- （ru+λu）eVu+eθu+（fu）- cu）cu+（ru）- fu）eVu- （如- hu）eHuidu=dEFu[XT+D（0，T）Φ（ST）]D（0，u，r+λ）过程（EFt[XT+D（0，T）Φ（ST）]T≥0显然是闭F-鞅，henceRtD（0，u，r+λ）-1dEFu[XT+D（0，T）Φ（ST）]是局部F-鞅。那么，beingRtD（0，u，r+λ）-1dEFu[XT+D（0，T）Φ（ST）]通过我们的鞅表示定理（0，u，r+λ）适应布朗驱动的过滤F-1dEFu[XT+D（0，T）Φ（ST）]=RtZudWufor s ome F-可预测过程Zu。因此我们可以写：似然+hπu- （fu+λu）eVu+eθu+（fu）- cu）cu- （如- hu）eHuidu=ZudWu（12）4马尔可夫FBSDE和PDE对于Fvtas来说，方程（12）太笼统了，因此我们将做出一些简化假设，以保证解的存在性和唯一性。首先，我们假设一个马尔可夫环境，因此我们认为（12）中出现的所有过程都是Su、eVuor和时间的确定函数。

更准确地说，我们假设：o红利过程πui是u和Su的确定函数π（u，Su），在Su中是连续的速率r，f±，c±，λI，λc，h±是时间的确定有界函数并行过程是过程vu的一部分，即Cu=αueVu，其中0≤ αu≤ 1是时间的函数收尾值ε等于vt（这增加了关于选择无arisk收尾的非线性来源，参见示例[5]和[4]）套期保值过程的形式为：H=H（u，Su，eVu，Zu），其中H（u，s，v，z）是v，z上的确定函数Lipschitz连续潜在动力的扩散系数σ（t，St）在StRemark 4中的时间一致为Lipschitz连续。请注意，在对外汇交易的动力学系数进行某些假设的情况下，在第5节中，我们将实际表明，外汇交易是一个连续的过程，因此是一个可预测的过程，因此，对抵押品和平仓价值过程的假设是合理的。备注5。我们之所以可以为对冲过程假设这样一种特定形式，是因为违约强度是确定性的，一旦我们切换到过滤F，唯一需要对冲的风险就是市场风险。Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性9在我们的假设下，方程（12）变成了以下FBSDE（已重写以强调对初始数据的依赖性，并且没有波浪线来简化符号）：dSq，st=rtSq，stdt+σ（t，Sq，st）dWtq<t≤ TSq=sq0≤ T≤ qdVq，st=- [πt+θt（ft（αt- 1) - λt- ctαt）Vq，st- （rt）- H（t，Sq，st，Vq，st，Zq，st）]{z}B（t，Sq，st，Vq，st，Zq，st）dt+Zq，stdWtVq，st=Φ（Sq，st）。（13） 现在，我们希望直观地解释如何从FBSDE中获得类似于PDE的黑色Sch-oles。

我们假设合同的价值是时间和基础的确定的C1,2函数，即Vq，st=u（t，Sq，st）。然后我们可以写出Ito的公式，表示u（t，Sq，st），得到：du（t，Sq，st）=图（t，Sq，st）+rtSq，stsu（t，Sq，st）+σ（t，Sq，st）苏（t、Sq、st）dt+σ（t，Sq，st）su（t、Sq、st）载重吨。（14） 然后通过比较表达式（14）和（13），我们得到以下结果图（t，Sq，st）+rtSq，stsu（t，Sq，st）+σ（t，Sq，st）苏（t，Sq，st）=-B（t，Sq，st，eVt，Zq，st）σ（t，Sq，st）su（t，Sq，st）=Zq，st.（15）So，Vt，st=u（t，s）满足以下半线性偏微分方程：tu（t，s）+σ（t，s）su（t，s）+u（t，s）su（t，s）+B（t，s，u（t，s）(suσ（t，s））=0u（t，s）=Φ（s）（16）此外，我们从（15）中看到，过程Zq，sti在某种意义上是delta套期保值过程的倍数。5 FBSDE存在唯一性结果我们现在陈述精确条件，在此条件下，我们可以获得上一节中FBSDE和PDE的解的存在唯一性。更具体地说，正如Pardoux和Peng[14]所做的那样，我们有（对于完全耦合的FBSDE的推广，参见示例[7]）：定理5.1。考虑区间[0，T]dXq，xt=u（T，Xq，xt）dt+σ（T，Xq，xt）dWtq<T上的以下FBSDE≤ TXt=x0≤ T≤ qdYq，xt=-f（t，Xq，xt，Yq，xt，Zq，xt）dt+Zq，xtdWtYq，xt=g（Xq，xt）（17）假设存在一个常数K，使得to|u（t，x）- u（t，x′）|+|σ（t，x）- σ（t，x′）|≤ K | x- x′|o|u（t，x）|+|σ（t，x）|≤ K（1+| x |）o| f（t，x，y，z）- f（t，x，y′，z′）|≤ K（| y）- y′|+| z- Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A。

非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性≥ 1/2这样：|g（x）|+|f（t，x，0，0）|≤ K（1+| x | p）和mapx 7→ （f（t，x，0，0），g（x））是连续的，则存在两个可测量的确定函数u（t，x），d（t，x），使得（17）的唯一解（Xq，xt，Yq，xt，Zq，xt）由Yq给出，xt=u（t，Xq，xt）Zq，xt=d（t，Xq，xt）σ（t，Xq，xt），而且u（t，x）=Yt Yt xt Yttu（t，x）+σ（t，x）xu（t，x）+u（t，x）xu（t，x）+f（t，x，u（t，x），σ（t，x）xu（t，x））=0u（t，x）=g（x）（18）为了得到方程（18）的经典解，我们需要假设方程（17）的系数具有某种光滑性。一个可能的选择如下（见J.Zhang[15]第41页定理2.4.1）：定理5.2。考虑等式（17）。如果我们假设存在一个正常数K，那么oσ（t，x）≥K、 o|f（t，x，y，z）- f（t，x′，y′，z′）|+|g（x）- g（x′）|≤ K（| x）- x′|+|y- y′|+| z- z′|）；o|f（t，0，0，0）|+|g（0）|≤ K此外，函数u（t，x）和σ（t，x）是有界导数的cw，那么方程（17）有唯一的解（Xq，xt，Yq，xt，Zq，xt），u（t，x）=Yt，xt是线性偏微分方程（18）的唯一经典解（即C1，2）。我们的目标是将定理5.1应用于我们的FBSDE。事实上，我们可以检验定理5的假设。1在我们的环境中是满意的，从而获得关于信用担保融资收尾包容性估值的s emilinear偏微分方程经典解的存在唯一性的以下定理。定理5.3。（综合评价用半线性偏微分方程粘性解的存在唯一性）。

如果速率λt，ft，ct，ht，rta有界，那么| B（t，s，v，z）- B（t，s′，v′，z′）|≤ K（| v）- v′|+| z- z′|）。因此，如果存在一个p≥ 1/2使得| B（t，s，0，0）|+Φ（s）≤ K（1+| s | p）满足定理5.1的假设，因此方程（13）有唯一的解，而且u（t，s）=Vt，sti是以下半线性PD E的粘度解：tu（t，s）+σ（t，s）su（t，s）+rtssu（t，s）+B（t，s，u（t，s），σ（t，s）su（t，s））=0u（t，s）=Φ（s）（19）证明。我们首先重写termB（t，ω，v，z）=πt（s）+θt（v）+（ft（αt- 1) - λt- ctαt）v- （rt）- H（u，s，v，z）。由于两个Lipschitz函数的和本身就是一个Lipschitz函数，我们可以限制自己分析前面公式中出现的和。根据假设，π项在s中是连续的。θ项和（ft（αt- 1) - λt- ctαt）v项是连续的、分段线性的，因此是连续的。最后一项是分段线性作为H的函数，这是v、z、Brigo、D、Francischello M和Pallavicini的Lipschitz函数，a.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性116不变性T heoremWe现在想把方程（13）专门化为我们使用D elta套期保值的情况。特别是在第4节中的启发式推理之后，我们选择chooseeht=StZtσ（t，St）。现在我们证明了这个选择方程（13）有一个解Vq，st，使得Vq，st=u（t，Sq，st）和u∈ C1,2。我们不能直接将T heorem 5.2应用于我们的FBSDE，因为B（T，s，v，z）在s中不是连续的，因为对冲期限。但是，由于delta对冲项在ZT中是线性的，我们可以将它从向后方程的漂移移动到向前方程的d裂谷。

更精确地考虑以下因素：dSq，st=htSq，stdt+σ（t，Sq，st）dWtq<t≤ TSq=sq0≤ T≤ qdVq，st=- [πt+θt- λtVq，st+ftVq，st（αt- 1) - ct（αtVq，st）{z}B′（t，Sq，st，Vq，st）dt+Zq，stdWtVq，st=Φ（Sq，st）。（20） 注：在（20）中的S-动力学中，报告h为漂移。由于通常h取决于d eal的未来值，这可能是非线性的来源，有时非正式地用预期值EH或定价度量Qh表示，参见示例[4]和关于h=f情况下操作影响的相关讨论。事实上，我们可以检查定理5.2的假设是否满足等式：定理6.1。如果速率λt，ft，ct，ht，rta有界，那么|B′（t，s，v）-B′（t，s′，v′）|≤ K（| s）-s′|+|v-v′|）和|B′（t，0，0）|+Φ（0）≤ K.因此，如果σ（t，s）i是一个有界导数的正C函数，且速率H不依赖于H的符号，即H+=H-, 那么定理5.2的假设是满足的，因此方程（20）有唯一的解，而且Vt，st=u（t，s）∈ C1、2满足以下半线性偏微分方程：tu（t，s）+σ（t，s）su（t，s）+htssu（t，s）+B′（t，s，u（t，s））=0u（t，s）=Φ（s）（21）我们现在证明，方程（13）的解可以通过模型（19）的经典解获得。我们开始考虑下面的正向方程，在我们关于σ（t，s）的假设下，它已知有一个非唯一解。dSt=rtStdt+σ（t，St）dWtS=s.（22）我们定义Vt=u（t，St）和Zt=σ（t，St）苏（t，St）。

根据定理6.1，我们知道u（t，s）∈ 通过应用伊藤公式和（21）我们得到：dVt=du（t，St）=tu（t，St）+rtStsu（t，St）+σ（t，St）苏（t，St）dt+σ（t，St）苏（t，St）dWt=（rt）- ht）圣苏（t，St）- B′（t，St，u（t，St））dt+σ（t，St）苏（t，St）dWt=（rt）- ht）StZtσ（t，St）- πt（St）- θt（Vt）- （ft（αt）- 1) - λt- ctαt（Vt）dt+ZTDW由此我们发现：Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性12定理6.2（估值方程的解）。设St为方程（22）的解，u（t，s）为方程（19）的经典解。然后是过程（St，u（t，St），σ（t，St）su（t，St））是方程（13）的唯一解。证据根据上述推理，我们发现（St，u（t，St），σ（t，St）su（t，St））解方程（13）。从定理5.3我们知道方程（13）有唯一的解，因此我们有了这个论点。备注6。既然我们用u（t，s）证明了Vt=u（t，St）∈ C1，2，我们使用的推理，当说eht=StZtσ（t，St）代表选择一个delta对冲时，它实际上不仅仅是一个启发式论点。此外，由于（21）不依赖于无风险利率rt，我们可以陈述如下：定理6.3（不变性定理）。