非线性估值解的不变性、存在性和唯一性

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英文标题：
《Invariance, existence and uniqueness of solutions of nonlinear valuation
  PDEs and FBSDEs inclusive of credit risk, collateral and funding costs》
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作者：
Damiano Brigo, Marco Francischello, Andrea Pallavicini
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study conditions for existence, uniqueness and invariance of the comprehensive nonlinear valuation equations first introduced in Pallavicini et al (2011). These equations take the form of semilinear PDEs and Forward-Backward Stochastic Differential Equations (FBSDEs). After summarizing the cash flows definitions allowing us to extend valuation to credit risk and default closeout, including collateral margining with possible re-hypothecation, and treasury funding costs, we show how such cash flows, when present-valued in an arbitrage free setting, lead to semi-linear PDEs or more generally to FBSDEs. We provide conditions for existence and uniqueness of such solutions in a viscosity and classical sense, discussing the role of the hedging strategy. We show an invariance theorem stating that even though we start from a risk-neutral valuation approach based on a locally risk-free bank account growing at a risk-free rate, our final valuation equations do not depend on the risk free rate. Indeed, our final semilinear PDE or FBSDEs and their classical or viscosity solutions depend only on contractual, market or treasury rates and we do not need to proxy the risk free rate with a real market rate, since it acts as an instrumental variable. The equations derivations, their numerical solutions, the related XVA valuation adjustments with their overlap, and the invariance result had been analyzed numerically and extended to central clearing and multiple discount curves in a number of previous works, including Pallavicini et al (2011), Pallavicini et al (2012), Brigo et al (2013), Brigo and Pallavicini (2014), and Brigo et al (2014).
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中文摘要：
我们研究了Pallavicini等人（2011）首次提出的综合非线性估值方程的存在性、唯一性和不变性条件。这些方程采用半线性偏微分方程和正倒向随机微分方程（FBSDE）的形式。在总结了现金流定义之后，我们可以将估值扩展到信用风险和违约了结，包括可能再抵押的抵押品保证金和财政部融资成本，我们展示了在无套利环境下进行估值时，这些现金流如何导致半线性偏微分方程，或者更一般地导致FBSDE。我们提供了粘性和经典意义下此类解的存在和唯一性的条件，并讨论了套期保值策略的作用。我们展示了一个不变性定理，表明即使我们从基于本地无风险银行账户以无风险利率增长的风险中性估值方法开始，我们的最终估值方程并不依赖于无风险利率。事实上，我们的最终半线性PDE或FBSDE及其经典或粘性解决方案仅取决于合同利率、市场利率或国债利率，我们不需要将无风险利率与实际市场利率进行代理，因为它充当工具变量。方程推导、数值解、相关的XVA估值调整及其重叠，以及不变性结果已经进行了数值分析，并在许多以前的工作中扩展到中央结算和多个贴现曲线，包括Pallavicini等人（2011年）、Pallavicini等人（2012年）、Brigo等人（2013年）、Brigo和Pallavicini（2014年）以及Brigo等人（2014年）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Invariance,_existence_and_uniqueness_of_solutions_of_nonlinear_valuation_PDEs_an.pdf (211.63 KB)

2022-5-8 07:15:06 上传

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关键词：不变性 非线性 存在性 唯一性 Quantitative

包含信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值PDE和FBSDE解的不变性、存在性和唯一性*Damiano Brigo+Marco FrancischelloAndrea Pallavicini§第一版：2014年2月1日。本版本：2018年10月9日摘要我们研究了Pallavicini等人（2011年2月）首次引入的综合非线性估值方程的存在性、唯一性和不变性条件[11]。这些方程采用半线性RPDE和正反向随机微分方程（FBSDE）的形式。在总结现金流定义后，我们可以将估值扩展到信用风险和违约了结，包括可能再抵押的抵押保证金和财政部融资成本，我们展示了在无套利环境下对现金流进行估值时，这些现金流如何导致半线性偏微分方程，或更一般地导致FBSDE。在粘性和经典意义下，我们给出了这类解的存在性和唯一性的条件，并讨论了套期保值策略的作用。我们展示了一个不变性定理，表明即使我们从基于本地无风险银行账户的风险中性估值方法开始，以arisk自由利率增长，我们的最终估值方程也不依赖于无风险利率。事实上，我们的最终半线性PDE或FBSDE及其经典或粘性解仅取决于合同利率、市场利率或保险利率，我们不需要将无风险利率与实际市场利率进行代理，因为它作为一个结构变量。

在之前的许多工作中，包括[11]、[12]、[10]、[6]和[4]，对方程的推导、数值解、相关的XVA估值调整及其重叠以及不变性结果进行了数值分析，并将其扩展到中心清除和多圆盘计数曲线。AMS分类代码：35K58、60H30、91B70JEL分类代码：G12、G13关键字：交易对手信用风险、融资估值调整、融资成本、抵押、非线性估值调整、非线性估值、衍生品估值、半线性偏微分方程、FBSDE、BSDE、解的存在性和唯一性、粘性解。1简介这是一篇技术论文，我们详细分析了非线性估值方程解的不变性、存在性和唯一性，包括信用风险、可能再抵押的抵押品保证金和融资成本。特别是，我们研究了Pallavicini等人（2011）[11]首次引入的综合非线性估值方程的存在条件、唯一性和不变性。在简要总结了现金流定义后，我们可以将估值扩展到违约了结、抵押品保证金以及可能的再抵押和国库融资成本，我们展示了在无障碍环境下对现金流进行估值时，这些现金流如何直接导致半线性偏微分方程，或者更普遍地导致FBSDE。我们是图迪*此处表达的观点仅为作者的观点，不代表其雇主的观点。Ackwnowledgements。我们感谢克里斯汀·布埃斯库、让·弗朗索瓦·查萨涅克斯、弗朗索瓦·德拉鲁和马雷克·鲁特科夫斯基的讨论和建议，帮助我们改进了论文。Marek Rutkowski和Andrea Pallavicini的访问通过EPSRC数学平台授权EP/I019111/1获得资金。+部。

伦敦帝国理工学院数学系达米亚诺。brigo@imperial.ac.uk——伦敦帝国理工学院数学系，m。francischello14@imperial.ac.uk§伦敦帝国理工学院和米兰银行，a。pallavicini@imperial.ac.ukBrigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性2粘性或经典意义下此类解的存在性和唯一性的条件。我们形式化了一个方差定理，表明即使我们从一个基于无风险银行账户以无风险利率增长的风险中性估值方法开始，我们的最终估值方程根本不依赖于无风险利率。换句话说，我们不需要将无风险利率与任何实际市场利率进行代理，因为它是一个工具性变量，不会在我们的最终估值方程中表现出来。事实上，一旦我们使用对冲策略，我们的最终半线性偏微分方程或FBSDE及其经典或粘性解决方案仅取决于合同、市场或国库券利率和合同收尾规格，该策略被定义为经典环境下自然增量对冲的直接推广。在之前的许多工作中，包括[11]、[12]、[10]、[6]、[4]和m on ograph[5]，对方程推导、数值解和不变性结果进行了数值分析，并将其扩展到中央清算和多个贴现曲线，这进一步总结了早期的信用和债务估值调整（CVA和DVA）结果。我们参考这些作品和其中的参考文献，以全面介绍综合非线性估值，以及与信贷（CVA）、抵押品（LVA）和融资成本（FVA）相关的估值调整相关问题。

在本文中，鉴于我们调查的技术性质和对非线性估值的重视，我们避免将非线性估值分解为估值调整或XVAs。此外，在实践中，这种分离只有在特定的假设下才可能实现，而在一般情况下，所有术语都取决于非线性导致的所有风险。强制分离可能会导致重复计算，正如最初通过[4]中的非线性估值调整（NVA）分析的那样。[6]中的CCP设置中讨论了分离。本文的结构如下。第2节介绍了概率设置、现金流分析，并基于条件预期推导出了第一个估值方程。第3节根据违约时间和无违约初始投资组合现金流的条件独立性假设下的初始估值方程，推导出无违约过滤下的FBSDE。第4节详细说明了在马尔可夫环境下获得的FBSDE，并通过假设FBSDE解的正则性推导出了一个半线性偏微分方程。第5节研究非线性估值FBSDE解的存在性和唯一性条件，以及相关偏微分方程的经典解或粘性解。第6节给出了不变性定理：当采用增量套期保值时，解不依赖于无风险利率。第7节以类似于arisk中性预期的方式重新编写了估值方程，同时强调了关键差异，并总结了本文。2现金流分析和第一估值方程我们定义了一个过滤的概率空间(Ohm, A，Q），带有过滤（Gu）u≥0代表市场上所有可用信息的演变。由于符号的滥用，我们将指（Gu）u≥0g。

我们调查的对象是一系列合同，或“合同”“为简洁起见，通常是两个金融实体，即投资者I和交易对手C之间具有最终到期日T的净额结算集。I和C都会受到违约风险的影响。特别是，我们用两个G-停止时间τI，τC对其违约时间进行建模。我们假设停止时间由强度λI和λC的Cox过程生成。此外，我们还描述了违约-f通过过滤（Fu）u获得稀土元素信息≥0由我们合同的基础价格生成。在测量条件下，该过程具有以下动态：dSt=rtStdt+σ（t，St）dwt其中RTT是一个F适应过程，称为无风险率。然后，我们假设在dynamicsdBt=rtBtdt之后存在一个无风险账户BTBT。我们表示D（s，t，x）=e-RTSxUDUTH与费率xu关联的贴现系数。在无风险利率的情况下，我们定义D（s，t）：=D（s，t，r）。我们进一步假设，对于所有t，我们都有Gt=Ft∨ 打∨ HCtwhereHIt=σ（1{τI）≤s} ，s≤ t） ，HCt=σ（1{τC）≤s} ，s≤ t） 。Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性我们指出（Fu）u≥用F写出EGt[·]：=E[·| Gt]，同样地，我们也会写出F。此外，我们假设默认时间与F有条件独立，如Duffee和Huang[8]的经典框架中所述，我们指出τ=τI∧ τC。根据这些假设，我们得出停止时间τ的强度λu=λIu+λCu。为了便于记法，我们使用s符号τ表示τ和T之间的最小值。备注1。我们假设度量Q是所谓的风险中性度量，即。

以无风险利率贴现的交易的非股息支付资产的价格是鞅的一种度量，或者，不等价的术语，与基准Bt相关的度量。2.1现金流为该投资组合定价，我们对该投资组合的所有现金流取有条件的预期，并以无风险利率贴现。[3]中讨论了此处采用的明确现金流方法的替代方法。首先，我们考虑抵押对冲合同，因此合同产生的现金流是：o合同本身的付款，通过F-可预测的过程πtof fin site variation和Lipschitz函数g建模的到期支付的最终现金流Φ（ST）进行建模。在时间t时，由于这些组件而计算的贴现流量为{τ>t}D（0，t）Φ（ST）+ZτtD（t，u）πudu由于违约而支付的款项，尤其是我们认为，在时间τ时，由于违约事件（如果发生）而产生的现金流由Gτ-可测量的随机变量θτ建模。因此，由该分量引起的流是{t<τ<t}D（t，τ）θτ=1{t<τ<t}ZTtD（t，u）θud1{τ≤u} .o对于应付给抵押品账户的款项，更准确地说，我们通过F-可预测过程Ct对该账户进行建模。我们假设，如果投资者是抵押品接受者，Ct>0，如果投资者是抵押品提供者，Ct<0。此外，我们假设抵押品接受者以一定的利率（写在CSA上）兑换账户，特别是我们可能会根据谁是抵押品接受者而有不同的利率，因此我们引入利率Ct=1{Ct>0}c+t+1{Ct≤0}c-t、 （1）式中c+t，c-皮重两个F-可预测的过程。我们还假设抵押品可以再次减压，即抵押品持有者可以将抵押品用于融资目的。

由于抵押品接受者必须以Ct的利率偿还该账户，因此抵押品的贴现流量可以表示为结转成本，总计为zτtD（t，u）（ru- Cudu.o我们假设，我们正在考虑的交易将通过现金和风险资产头寸进行对冲，分别由G-适应过程FTA和Ht表示，按照惯例，Ft>0意味着投资者在借款（例如从银行的国库借款），而F<0意味着我在投资。同样在这种情况下，为了考虑借贷中的不同利率，我们引入了利率ft=1{Vt-Ct>0}f+t+1{Vt-计算机断层扫描≤0}f-t、 （2）流向融资部分的流量为tτtD（t，u）（ru）- 傅）福都。Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性4对于与风险资产账户Ht有关的流动，我们知道Ht>0意味着我们需要一些风险资产，所以我们借用它，而如果H<0，我们借出它。例如，如果我们需要借入风险资产，我们需要从财政部获得现金，因此我们以F的利率借入现金，一旦我们拥有资产，我们就可以以ht的利率回购和借出现金。通常，HTT定义为asht=1{Ht>0}h+t+1{Ht≤0}h-T

（3） 因此，我们得出对冲风险部分的总贴现现金流等于zτtD（t，u）（hu）- （傅）胡都。最后一个表达式也可以被视为resu-letting f rom（r- f）-（r）-h） ，与之前的定义一致。如果我们将上述所有现金流相加，我们得到合同价值必须等于vts fyvt=EGt“{τ>T}D（T，T）Φ（ST）+ZτtD（T，u）（πu+（ru- cu）cu+（ru）- fu）fu- （傅）- hu）hu）du#+EGtD（t，τ）1{t<τ<t}θτ.（4） 如果我们进一步假设我们能够使用融资、抵押品（假设再抵押，否则C将从以下等式中省略）和风险资产，即Vu=Fu+Hu+Cu，（5）我们有，用Fu代替：Vt=EGt“{τ>T}D（T，T）Φ（ST）+ZτtD（T，u）（πu+（Fu）- cu）cu+（ru）- )似曾相识- （如- hu）hu）du#+EGtD（t，τ）1{t<τ<t}θτ.（6） 备注2。在经典的无套利理论中，在没有信用风险的完全市场条件下，套期保值过程H对应于一个delta套期保值策略账户。在这里，我们还没有强制执行这种解释。然而，我们将看到，在无违约过滤F（部分信息下的估值）下工作，以及在合理的规律性假设下，识别产生的BSDE解决方案的一部分的组合效应，会产生增量套期保值解释，作为价值对基础资产价格的敏感性，S.2.2在一个简单的交易模型下调整后的现金流，我们现在展示了调整后的现金流是如何产生的，假设我们购买了strike K股票资产的看涨期权。我们分析了交易者为了为交易提供资金而与财政部和回购市场进行的操作，我们将这些业务映射到相关的现金流。

从交易员/投资者购买期权的角度来看，我们在每个小区间[t，t+dt]中进行以下步骤。为了清晰起见，本文以第一人称撰写，并基于与银行债券交易员的对话。时间：1。我想买一个到期日为T的看涨期权，其当前价格为Vt=V（T，St）。我需要现金来做那件事。所以我从我的银行库里借现金买了这个电话。2.我收到了我给财政部的催缴款的抵押品金额。Brigo，D.，Francischello M.，和Pallavicini，A.非线性估值方程的不变性、存在性和唯一性53。现在我想对冲我买的看涨期权。为此，我计划回购借款t=SVtstock在回购市场上。4.为此，我借用Ht=财政部在时间t的tStcash。5.我回购借款tof股票，以现金作为担保。6.我将刚从回购协议中获得的股票出售给市场，以现金形式收回价格。7.我把钱还给财政部。我欠财政部的未偿债务是Vt- 计算机断层扫描。时间t+dt:9。我需要关闭回购协议。要做到这一点，我需要回报托克。我需要从市场上买这只股票。要做到这一点，我需要tSt+dtcash。10.我就这样出生了tSt+DTT来自银行资金的现金。11.我买tstock和我将其返还以完成回购，然后我取回在t plusinterest htHt时存入的现金。12.我将HtI刚刚获得的现金返还给财政部，以确认回购操作的净值为（1+htdt）- tSt+dt=-注意-TDSTI是我在经典的d elta对冲设置中对冲V所需的正确金额。13.我关闭衍生品头寸，买入期权，并获得Vt+dtcash。14.我必须偿还抵押品加上利息，因此我向财政部索要返还给交易对手的金额Ct（1+ctdt）。15