金融传染与资产清算策略

如果代理人i采取不同的行动（并假设所有其他公司按照*-i） 然后它会降低自己的估值。因此，我们有一个经过修改的（可能是设定值的）清算机制，以确定清算付款*∈ Rn+，结算价格q*∈ Rm+、均衡清算策略γ*∈ Rn×m+。清除机制由设定值函数ψ[0，\'p]×[0，\'q]×[0，S]定义→ P（[0，\'P]×[0，\'q]×[0，S]），其中P表示功率集。我们通过将其逐点定义为ψ（p，q，γ）来说明清除机制：=\'p∧ （x+Sq+ATp）×（FnXi=1[si∧ γi]！）×nYi=1arg maxgi∈Γi（p，q）sTiF[si]∧ gi]+Xj6=i[sj∧ γj]. （4.2）清算付款、价格和清算策略由定点问题（p*, Q*, γ*) ∈ ψ（p*, Q*, γ*).在这种均衡状态下，每家公司都满足自q以来的最低清算条件（假设3.1）*= F（Pni=1[si∧γ*i] ）。重要的是，在均衡状态下，没有一家公司可以在不改变清算策略的情况下增加自身估值，即解决方案是纳什均衡。在下面的定理中，我们将为这种清除机制ψ的平衡解的存在提供条件。定理4.1。考虑一个具有流动性捐赠x和非流动性捐赠S的金融系统（a，`p）。考虑满足假设2.1的反向需求函数F，使得F（Pni=1si）∈ Rm++和β∈ [0，Pnj=1sj]7→ 对于所有i=1，2，…，和。。。，n、 存在一种综合清算支付、清算价格和均衡清算策略，即存在（p*, Q*, γ*) ∈ ψ（p*, Q*, γ*).下面这个简单的例子说明，联合清算支付、清算费用和均衡清算策略通常不是唯一的。然而，这个例子暗示了我们将使用InCollary 4.4中的唯一性参数。例4.2。

考虑任何有n家公司和一个额外汇节点（如外部经济）的金融系统。此外，假设所有公司都是对称的，即它们拥有相同的资源，并具有相同的义务结构（例如，环形或完全连接的网络）。给出一个均衡清算策略γ*, 还有其他策略吗∈ [0，S]满足pni=1γ的最小清算条件*i=Pni=1′γi也将是一种均衡流动策略。然而，应注意的是，清算付款和价格将是以这种方式建造的任何选择的基础。为了定义独特性的概念，我们首先需要修改[23]中的对角严格凹形游戏。定义4.3。让ui:Rn×m+→ 对于每个i=1，2。。。，n在一个博弈中，支付函数是连续可微的。支付函数（ui）i=1,2，。。。，称为对角线严格凹骨料ifnXi=1（(R)xi- 十、*i） Tiui（x）*) +nXi=1（x*我- \'xi）T每x的iui（`x）>0*, \'x∈ Rn×m+带PNI=1x*i6=Pni=1\'-x*我在这里iui=用户界面xi1，用户界面xi2。。。，用户界面ximT.推论4.4。考虑定理4.1的设置，使得逆需求函数F是额外连续可微的，且（sTiF（·））i=1,2，。。。，nis聚合严格呈对角凹形。对于任何给定的支付p，都存在一个唯一的总均衡清算策略∈ [0，\'p]和价格q∈ [F（Pni=1si），\'q]，即如果γ*我∈ γi（p，q，γ*-（一）∩ [0，si]和^γ*我∈ γi（p，q，^γ）*-（一）∩ [0，si]对于每个银行i=1，2。。。，n thenPni=1γ*i=Pni=1^γ*i、 进一步，让（p，q）∈ [0，\'p]×[F（Pni=1si），\'q]7→Pγ*（p，q）∈ Rm+表示这个唯一的聚合，然后是pγ*只是在增加。以下示例提供了一个满足推论4.4中提出的条件的简单网络设置。例4.5。考虑例4.2中描述的金融系统，每个资产的价格独立确定，即：。

F（γ）：=（^F（γ），^F（γ）。。。，^Fm（γm））t对于任何γ∈ Rm+。然后（sTiF（·））i=1,2，。。。，如果^Fk:[0，Pni=1sik]，则[0，Pni=1sik]上的nis聚合呈对角三角形凹→ [0，\'\'qk]对于每一个a组k=1，2，…，都是严格凹的。。。，m、 备注4.6。在推论4.4的条件下，我们可以保证定理3.4（ii）中的最大和最小清算支付向量和隐含价格向量。如果另外满足定理3.4（iii）的条件，则存在唯一的已实现支付向量和隐含价格向量。然而，即使在独特的支付和价格下，均衡清算策略也可能不是唯一的——只有总量需要是唯一的——我们参考示例4.2对此进行简要讨论。5.构造清除向量本节我们将假设定理3.4（ii）的条件；值得注意的是，如备注4.6所述，推论4.4设定下的平衡策略满足必要条件。在唯一性条件下，例如，在定理3.4（iii）中，算法5.1提供了唯一的清算支付和价格向量。我们将从[13,22,5,3]中引入一个修改版的有效默认算法，用于构建最大的清算支付和价格（p+，q+）。虽然该算法在最多n+1次迭代中收敛，但它在每次迭代中都包含一个执行点，可能无法在有限时间内收敛。算法5.1。在orem 3.4（ii）的假设下，最大清算付款和价格（p+，q+）可以通过以下算法在最多n+1次迭代中找到。初始化k=0、pk=\'p和qk=\'q。

重复直到收敛：（i）增量k=k+1；（ii）对于任何i=1,2。。。，n、 通过eki=xi+Pml=1silk确定权益和损失水平-1l+Pnj=1ajipk-1j- “pi；（iii）用Dk表示破产银行：=我∈ {1,2，…，n}| eki<0;（iv）如果k≥ 2和Dk=Dk-1然后终止；（v） 定义矩阵∧∈ {0，1}n×nso∧kij=（如果i=j，则为1）∈ 还有Dk0。pk=^p和qk=^q是以下定点问题^p的最大解=我- λk\'p+k∧x+S^q+AT^p, （5.1）^q=Fxi∈Dksi+Xi6∈Dk[si∧ γi（^p，^q）]. （5.2）备注5.2。如果具有流动性捐赠x+SF（Pnk=1sk）（且没有非流动性捐赠）的金融系统在[13，定义5]的意义上是正则的，那么（5.1）可通过标准输入输出矩阵结果（参见[20，定理8.3.2]）立即作为^q的函数求解，由^p给出=我- ∧凯特-1.\'p+k∧（x+S^q）- “-p）.算法5.1首先假设所有债务均已全额支付（p=`p），且非流动资产的价格处于最高水平（q=`q）。第一次迭代假设没有企业违约，并确定由此产生的资产价格。使用这种新的价格向量可能会导致一些企业陷入困境（通过市值计价）。如果没有新公司被迫陷入困境——特别是在迭代1中没有清算——那么算法终止。（请注意，[5]中介绍的算法在初始化步骤中使用了该迭代。）然后，假设默认公司的集合与上一次迭代的结果保持一致，则重复该过程。如果在任何时候，默认格式的集合与之前的集合相等，则当到达固定点时，算法停止。由于只有n个公司，这意味着该算法必须至少进行1次迭代，但最多n+1次迭代。备注5.3。

在推论4.4的条件下，grea测试清算支付向量和隐含价格向量（p+，q+）可通过算法5.1计算。为了实现这一点，我们对（5.2）进行了修改，只考虑了总体结算，而不是单个策略。也就是说，我们用唯一的ag gregate清算函数Pγ替换（5.2）的逆需求函数中的参数之和*在推论4.4中定义。这种唯一门策略可以通过对任何平衡策略求和来计算（例如，用Scarf算法[24]发现）。6定理4.1的证明。请注意，在问题（4.1）中，清算策略总是在资产持有水平上被削减。因此，我们可以考虑^Γi（p，q）={γi上最大化的等价问题∈ [0，si]| qTγi=（qTsi）∧“圆周率- xi-Pnj=1ajipj+}. 由于问题（4.1）可能有一组解，我们将用Gi（p，q，γ）定义的集值映射来表示全套解*-i） ：=arg maxgi∈^Γi（p，q）sTiFgi+Pj6=iγ*J对于每一个i.通过计算，目标函数（p，q，γ*-i、 γi）7→ sTiF（γi+Pj6=iγ*j） 是连续的拟凹的。如果^ΓiiiiInnepty紧值和连续对应，那么我们可以应用Berge极大值定理。（i） （非空且紧值）通过构造γi∈^Γi（p，q）当且仅当某些r的qTγi=r∈ [0，qTsi]和γi∈ [0，si]。这立即意味着^Γi（p，q）不是空的。此外，^Γi（p，q） [0，si]根据定义，andis closed s inc.eγi7→ qTγ是一个利用闭图定理（参见[1]中的定理17.11）的连续算子r.（ii）（上半连续），因为^Γ是闭值且范围空间是紧的（^Γiis[0，si]的范围空间），那么^Γiis上半连续当且仅当它是闭图。

通过定义^iis下半连续if（pk，qk）k，这与^i.（iii）（下半连续）约束方程的连续性无关∈N→ （p，q）与γi∈^Γi（p，q）然后存在一个子序列（pkl，qkl）l∈确认存在一个序列（γli）l∈N→ γi与γli∈^Γi（pkl，qkl）forevery l∈ N（参见[1]中的定理17.19）。因为^Γi（^p，^q）是一个超平面（与有界区间相交），具有法线^q和移位参数（^qTsi）∧ （\'pi- xi-Pnj=1aji^pj）+关于（^p，^q）连续。这立即意味着lim infk→∞d（γi，^Γi（pk，qk））=0，其中d（γi，^Γi（pk，qk））=infγki∈Γi（pk，qk）kγi- γkik是γi和^i（pk，qk）之间的最小距离。由于^Γiis紧致值达到了最小值，我们将该解称为γki。根据极限下界的定义，存在一个f（γki）k序列∈n收敛到γi。因此，通过Berge极大值定理（参见[1]中的定理17.31），gi具有非空紧值，并且是上半连续的。此外，由于目标函数是准凹的，而^Γ是凸值的，因此GI具有凸值（例如，参见[26]中的推论9.20（1））。因此我们可以把清除机制（4.2）写成ψ（p，q，γ）=\'p∧ （x+Sq+ATp）×（FnXi=1γi！）×nYi=1Gi（p，q，γ-i） ，其中ψ具有非空紧值和凸值。因为GI是上半连续的，有比较值，和（p，q，γ）7→ \'p∧ （x+Sq+ATp）和（p，q，γ）7→ F（Pni=1γi）是连续的单值（因此是紧值的），根据[1]的定理17.28，ψ是上半连续的。因此，我们可以应用Kakutani不动点定理（参见[4]中的定理3.2.3]）来获得不动点的存在性（p*, Q*, γ*) ∈ ψ（p*, Q*, γ*).推论4.4的证明。修正p∈ [0、\'p]和q∈ [F（Pni=1si），\'q]。让γ*, ^γ*∈Qni=1[0，si]是两种平衡清算策略。假设Pni=1γ*i6=Pni=1^γ*i、 对于表示法，让JF表示逆需求函数F的雅可比矩阵。

进一步，让λ∈ Rnandu，ν∈ Rn×m+是与解γ对应的优化问题（4.1）的最优KKT乘子*（分别为λ、u、ν表示γ）*). 这里λi∈ R是等式约束的乘数ui∈ Rm+是γi的乘数≥ 0和νi∈ Rm+是γi的乘数≤ 硅。0=nXi=1（γ*我- ^γ*i） TJF（nXj=1γ*j） Tsi+λiq+ui- νi+nXi=1（^γ）*我- γ*i） TJF（nXj=1^γ*j） Tsi+^λiq+^ui- ^νi（6.1）=nXi=1（γ*我- ^γ*i） T[JF（nXj=1γ*（一）- JF（nXj=1^γ*i） ]Tsi-nXi=1[uTi^γ*i+νTi（si）- ^γ*i） +^uTiγ*i+^νTi（si）- γ*i） [（6.2）≤nXi=1（γ*我- ^γ*i） TJF（nXj=1γ*i） Tsi+nXi=1（γ）*我- γ*i） TJF（nXj=1^γ*i） Tsi<0。（6.3）因此，总清算策略必须是唯一的。注意（6.1）遵循最大化问题（4.1）的KKT条件。（6.2）如下所示：*i=qT^γ*对于每个i，对于每个i和k，uikγik=0，对于每个i和k，νikγik=νiksik。（6.3）遵循ui，νi，^ui，^νi≥ 0和γ*i、 ^γ*我∈ [0，si]对于每一个i.最终的不平等性是微不足道的，因为集合对角严格凹的定义。此外，根据贝尔曼的原则，总清算策略没有增加。算法5.1的证明。首先，请注意等式（5.1）和（5.2）中描述的固定点概率m的唯一变化是矩阵∧k，它仅取决于默认的形式Dk。因此，固定点（^p，^q）与k处的迭代k相同- 1如果Dk=Dk-1.因此终止条件（iv）有效。此外，方程（5.1）和（5.2）作为默认格式D的函数是非递增的。

自从D D、 因此，Dk Dk-1通过归纳法。由于dk的最大基数为n，并且在终止条件下，最大迭代次数为+1。为了构造方程（5.1）和（5.2），我们假设处于困境的企业在每次迭代k时都是固定的，即a firmpays^p=\'piif i 6∈ Dkand pays^pi=xi+Pml=1sil^ql+Pnj=1aji^pjif i∈ Dk，同样对于^q，我们观察到∈ DK必须根据假设3.1清算其所有资产。因此，方程式（5.1）和（5.2）紧随其后。参考文献[1]C haralambos D.Aliprantis和Kim C.Border。有限维分析：搭便车指南。2007年春天。[2] 哈米德·阿米尼、达米尔·菲利波维奇和安德烈亚·明卡。中央清算对手设计的系统性风险。瑞士金融研究所研究论文第13-34号，瑞士金融研究所，2015年。[3] 哈米德·阿米尼、达米尔·菲利波维奇和安德烈亚·明卡。具有清算费用的支付系统均衡的唯一性。运筹学通讯，44（1）：1-52016。[4] Jean-Pierre Aubin和H\'el\'ene Frankowska。集值分析。系统与控制。Birkh–auser，1990年。[5] Kerstin Awiszus和Stefan We ber。破产成本、交叉持股和再销售对金融网络系统风险的共同影响。2016年，工作文件。[6] 阿戈斯蒂诺·卡波尼、彭楚珍和大卫·D·姚。金融网络中的负债集中和系统性损失。运筹学，64（5）：1121-11342016。[7] 阿戈斯蒂诺·卡波尼和马丁·拉尔森。价格通过资产负债表联系传染。资产定价研究回顾，5（2）：227–253，2015年。[8] 陈楠、刘欣和姚大卫。金融系统风险建模的优化视角：网络效应和市场流动性效应。运筹学，64（5）：1089–1108，20 16。[9] 罗德里戈·西富内斯、玄松申和詹路易·费鲁奇。流动性风险和传染。

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