公平市场中的流动性和影响

因此，通过构造，与鞅公平价格相关的限价订单的事后收益为零，且假设1是满足的。在这个离散时间模型中，第n个市场订单是单位量购买（εn=+1）或销售（εn=-1） 序与符号过程是AR（1）型过程：E[εn | Fn-1] =ρεn-1具有0<ρ<1。订单对公平价格p的市场影响与订单流量的惊喜成正比，即：pn+1- pn=θ(N- E[n | Fn-1] ）+ζn=θ(N- ρN-1） θ>0和Fn的+ζnw-1是由（εk）k<nand（pk）k生成的σ代数≤其中ζ是一个独立的白噪声，对应于外部信息对价格的影响，我们在这里设置为零以简化。在这个模型中，对买卖限制订单施加等于零的事后收益，给出了一个sk pricean=pn+θ（1- ρN-1） ，投标价格bn=pn+θ(-1.- ρN-1） 因此，扩散Φn=an- bn=2θ。2.2.2下一次买入和卖出价格在MRR模型中，买入和卖出价格的计算应确保limitorders相对于公平价格的（预期）事后收益等于零。现在让我们展示一下，相反地，考虑到要价（或出价）的动态，我们可以重新定义公平价格。为此，我们需要引入以下数量：定义2.6。时间n之后的下一个询价（分别出价）价格由nan（分别出价）表示，是n（包括n）之后的第一个询价市场订单的价格。更正式地说：nan=ainf{k≥Nk=+1}和nbn=binf{k≥Nk=-1}.考虑到（a，b，), 我们可以将公平价格作为下一次询价或下一次出价的条件预期（因为它们是相等的）。提议2.1。我们有E[nan | Fn-1] =E[nbn | Fn-1] =pn。因此，P[n=+1 | Fn-1] =（ρεn）-1+ 1)/2.注：在Fn中，不包括anand BN-1.证据。

由于符号过程的马尔可夫性和模型对公平价格的平移不变性，下一个投标价格的条件期望为[nbn | Fn-1] =pn+fb（εn）-1） 对于某些确定性函数fb。让我们分解这个期望：E[nbn | Fn-1] =E[Iεn=+1nbn+1 | Fn-1] +E[Iεn=-10亿| Fn-1] 用这个：oFn中的bnis-因此[Iεn=-10亿| Fn-1] =bnP[εn=-1 | Fn-1].o 通过条件期望se[Iεn=+1nbn+1 | Fn]的塔性质-1] =E[Iεn=+1E[nbn+1 | Fn-1，εn=+1]|Fn-1] =P[εn=+1 | Fn-1] E[nbn+1 | Fn-1，εn=+1]=P[εn=+1 | Fn-1] （pn+θ（1）- ρεn-1） +fb（+1））。因此我们得到εn的结果-1=±1，E[nbn | Fn-1] =pn+fb（εn）-1） =（pn+θ）(-1.- ρN-1)) × (1 - ρεn-1） /2+（pn+θ（1）- ρεn-1） +fb（+1））×（1+ρεn-1)/2.取εn-1=+1，得到fb（+1）=0，然后取εn-1= -1.这会产生thatfb(-1） =0，因此E[nbn | Fn-1] =pn。同样，我们可以证明E[nan | Fn-1] =pn。现在，让我们证明命题2.1并非来自MRR模型的特定结构，而是来自MRR模型中做市商策略的平均收益为零。这意味着公平价格可以推广到任何满足假设1.2.3公平价格的一般定义的市场模型。在更一般的情况下，让我们假设我们已经了解了风险价格、投标价格和市场订单的连续时间动态，并且它们满足假设1。我们从连续时间确定下一个出价和要价开始。定义2.7。时间t之后的下一个询价（或出价）价格表示为nat（或nbt），是t之后的第一个询价市场订单的价格。更正式的说法是：nat=ainf{τ≥TvAτ>0}和nbt=binf{τ≥TvBτ>0}。我们得到了以下重要结果。提议2.2。在假设1下，我们有：E[nat | F*t] =E[nbt | F*t] 。证据

如果E[nat | F*t] >E[nbt | F*t] ，将两个限价指令保持在最好的ASK和最好的投标价格之前，直到执行为止，平均产生正利润。同样地，如果E[nat | F*t] <E[nbt|F*t] ，此策略平均产生负收益。备注2.2。这种说法乍一看可能显得不自然，因为要价总是高于投标价，但我们已经证明，在MRR模型中是正确的，我们将看到数据非常令人满意。我们现在可以确定公平的价格。定义2.8。公平价格定义为：Pt=E[nat | F*t] =E[nbt | F*t] 。（1） 关于公平价格，我们有以下第一个结果。提议2.3。公平的价格是F*-鞅：E[Pt+s | F*t] =E[nat+s | F*t] =E[nat | F*t] =Pt。证据如果E[nat+s | F*t] >E[nat | F*t] =E[nbt | F*t] ，在t中最好的出价前发布一个出价单，在t+s中最好的出价前发布一个要价单，这会给平均值带来积极的影响。因此，可以从任何模型中获得公平价格，其中存在满足假设1的要价、出价和订单流动过程。我们将在下一节中看到，有可能以另一种方式进行，并从任何影响模型中获得公平价格的出价和要价（正如在构建MRR框架时所做的那样）。此外，由于公平价格是一个鞅，与之相关的响应函数几乎如[6]asR（δ）=E[Pt+δ所示- Pt | vAt>0]与δ无关。实际上，对于δ>δ，R（δ）- R（δ）=E[E[Pt+δ- Pt+δ| F*t+δ]|vAt>0]=0。我们稍后将看到，这使得公平价格成为计算冲击函数的自然参考价格。备注2.3。在之前的证明中，我们假设我们总是可以把自己放在要价或出价的前面。

事实上，存在刻度值/优先级问题，这意味着不能在订单簿的任何位置下限价订单，因此命题2.2应该变成：|E[nat | F*[t]- E[nbt | F*t] |≤ 2α，其中α是刻度值。对于许多资产，我们不能忽略刻度值，但在这项工作中，我们假设它为空。2.4关于数据的命题2.2的验证本段的目的是提出一种方法，以实证方式检查关于realdata的命题2.2。根据条件期望的定义，命题2.2E[nat- nbt | F*t] =0意味着：Et∈ F*tE[natEt]P（Et）=E[nbtEt]P（Et）。定义为（F）*t） 对于图像空间中的任何可测集E，我们都得到了它，其中（Mt-y） y>0的值，表示为∑，我们有[natE（（Mt-y） y>0]P[（Mt-y） y>0∈ E] =E[nbtE（（Mt）-y） y>0]P[（Mt-y） y>0∈ E] 。现在我们假设市场是静止的，即对于每一个E，E[（nat- nbt）1E（百万吨）-y） y>0]P[（Mt-y） y>0∈ E] （2）不依赖于t。为了实证检验命题2.2是否有效，我们需要考虑一系列过去事件（Ei）i（足够频繁），对于每个i，我们使用一个大数定律来证明（2）等于零。以下是我们考虑的事件列表：oE=＠σ。oE（（Mt）-y） y>0）：t之前的最后一个市场订单是买入订单E（（Mt）-y） y>0）：t之前的最后一个市场订单是卖出订单E（（Mt）-y） y>0）：t上涨之前的最后一次中间价变动。oE（（Mt）-y） y>0）：t下降之前的最后一次中间价移动。备注2.4。我们本可以对过去经常发生的任何事件采取行动。我们的数据库描述我们的数据库是一个25个期货的列表。使用标准符号来命名资产。对于这些期货，我们考虑2012年1月的所有交易日。对于这些天中的每一天，我们只取最具流动性的成熟度。我们有一份当天所有第一限额订单预订事件（市场订单、第一限额订单和第一限额取消）的列表。

我们在交易日的第一个和最后一个小时进行交易。如果M是市场过程，请参见定义2.4。请提供欧洲/亚洲广泰酒店提供的数据，http://www.quanthouse.com.We然后考虑10秒间隔的常规时间网格（tn），对于每个tn，我们计算Ei（（Mt-y） y>0）和下一个买卖价格。平均每月的N个点，我们可以计算经验近似值iof E[（自然）-nbt）1Ei（（Mt）-y） y>0）]/P（Ei（（Mt）-y） y>0）：i=NNXk=1Eitn（natn）- nbtn）NNXk=1Eitn。（3） 我们在表1中给出了我们的结果。股票滴答声传播/滴答声传播GBL 3.31e-3.33e-3.29e-3.33e-3 3.29e-3 1。e-2 1.09xFGBS 3.27e-3 3.27e-3 3.26e-3 3.21e-3 3.28e-3 5。e-3 1.03xFGBM 4.05e-3 4.10e-3 4.01e-3 4.05e-3 4.06e-3 1。e-21.04xFDAX 6.26e-26.30e-26.20e-25.76e-26.75e-25。e-11.70xFSXE 6.34e-16.42e-16.23e-16.33e-16.34e-11。1.03X欧元3.42e-5 3.41e-5 3.43e-5 3.40e-5 3.44e-5 1。e-4 1.16xFAD 3.27e-5 3.96e-5 2.38e-5 3.42e-5 3.11e-5 1。e-4 1.26xFJY 7.67e-7 5.9e-7 2.92e-6 8.36e-7 7.02e-7 1。e-6 1.21xFBP 2.74e-5 2.11e-5 3.15e-5 2.94e-5 2.53e-5 1。e-4 1.40xFCAD 2.94e-5 2.68e-5 3.10e-5 3.01e-5 2.87e-5 1。e-4 1.21xFCH 3.25e-5 3.14e-5 3.04e-5 2.52e-5 3.83e-5 1。e-4 1.56xFSP 1.66e-1 1.69e-1 1.63e-1.68e-1 1.65e-1 2.5e-1 1.01xFND 1.01e-1 9.77e-2 1.04e-1 1 1 1.00e-1 1 1.01e-1 2.5e-1 1 1.21xFDJ 4.43e-1 4.47e-1 4.36e-1 4.40e-1 4.46e-1。1.39xFGOLD 3.18e-2 3.08e-2 3.31e-2 3.10e-2 3.26e-2 1。e-1 1.93xFCOPP 2.31e-4 2.28e-4 2.34e-4 2.43e-4 2.19e-4 5。e-4 2.13表1：2012年1月期间，下一次投标和下一次要求5个不同事件之间的差异预期。正如我们在公平市场假设下的理论所示，我们观察到，对于所有事件，差异小于一个刻度。

因此，对于小规模资产而言，这是一个边际价格，我们的预测在经验上是相当令人满意的。2.5公平价格作为参考价格在一个相当大的市场动态类别中，我们已经证明，总是有可能定义鞅“公平价格”，即代理商可以使用限价单进行整体购买或出售资产的预期价格。我们可以用任何合理的时间。我们选择这一个是为了有足够的点，通过它在这个时间网格上的经验平均值来近似期望值。如果分数太接近，那就没用了，因为那样他们就太依赖了。定义2.9。我们将与价格过程相比的询价（或报价）限价单的预期事后收益定义为限价单价格与限价单之后价格过程之间的差异预期（或限价单之后价格过程与限价单价格之间的差异）。在这项工作中，公平价格最重要的属性是以下结果。它解释了为什么应该将其视为计算事后收益的严格参考价格。提议2.4。在假设1下，与公平价格相比，限价单的预期事后收益等于零。证据让我们假设在时间t，ask限额订单的预期事后收益严格为正。这意味着本订单执行后公平价格的预期E小于订单A的执行价格。

考虑以下具体的做市策略：o在该限价单前面设置限价单。o在最终执行本限价令后，立即设定一个最高出价的限价令。然后，通过对公平价格的定义（对下一次投标交易价格的预期），投标限价指令的预期执行价格B是执行限价指令E后公平价格的价值。因此，该策略的预期收益为- B=A- E>0。在下一节中，我们将应用命题2.4来限制各种情况下的订单。3买卖价差、公平价格和影响3。1关于出价和要价的必要和充分条件在上一节中，我们给出了一种确定公平价格的方法，并且我们已经证明，根据公平市场假说，任何限价单相对于该价格的事后收益必须为零。在这里，我们从另一个角度出发，展示了一个关于市场订单流动对鞅公平价格影响的模型，我们可以推导出无套利的买入和卖出价格（正如在构建MRR模型时所做的那样）。为此，我们采用与[20]和[25]中相同的思路，应用2.4号提案限制以最低价和最低价下的订单。提议3.1。考虑到公平价格和订单流量（Pt、vAt、vBt）的动态，时间t、at和Bt的买卖价格必须满足：at=E[Pt+| vAt>0，F*t] （4a）和bt=E[Pt+|vBt>0，F*t] 。（4b）符号E[Pt+|vAt>0，F*t] 表示limε→0+E[Pt+ε|τAt∈ [t，t+ε]，F*t] 我们假设总是存在的，其中τAtis是t.证明之后（包括）下一个询问顺序的时间。

如果at>E[P+t | vAt>0，F*t] ，将一个极小的ask限制顺序放在ATT和min之间（t+ε，τAt）的正前面，可以得到足够小的ε的正平均事后增益。尽管微观结构文献中反复出现了市场订单的市场影响的概念，但对于如何定义它，甚至对于应该计算什么价格，都没有达成共识。在我们的框架中，我们可以对贸易对当地平均市场的影响给出一个自然的、独立于模型的定义。定义3.1。对于任何给定的市场动态，我们将投标或询价市场订单t时的当地平均市场影响定义为：AMIaskt=E[Pt+| vAt>0，F*[t]- PtAMIbidt=E[Pt+|vBt>0，F*[t]- Pt。通过将其称为局部，我们想强调的是，该值可能取决于时间t的市场状态，因此很难进行经验计算。备注3.1。对于任何h>0，我们可以采用以下定义：AMIaskt=E[Pt+h | vAt>0，F*[t]- PtandAMIbidt=E[Pt+h | vBt>0，F*[t]- Pt。事实上，由于P是一个鞅，因此影响的定义并不取决于地平线。这种独立性是考虑市场订单对公平价格的影响，而不是像通常那样对任意价格的影响的另一个很好的理由。以下结果立竿见影。提议3.2。根据市场影响的定义，提案3.1可以改写为：at=Pt+AMIASKT和BT=Pt+AMIbidt。备注3.2。这意味着（at，bt，vAt，vBt）的动力学可以从（Pt，vAt，vBt）的动力学推导出来。因此，在公平市场假说下，这两种动态是等价的。命题3.2意味着价差Φt=at- bt=AMIaskt- 阿米比蒂斯完全可以用逆向选择来解释。事实上，这并不奇怪，因为假设1本质上说，逆向选择“补偿”了做市商在订单簿中设定的流动性头寸。

在下一段中，我们将展示我们可以测试命题3。1.关于数据，我们将看到它确实非常令人满意（尤其是对于小规模资产）。3.2关于数据的命题3.1的验证由于不可能独立计算模型的公平价格，也不可能计算交易的平均市场影响。然而，让我们证明，我们可以根据经验计算足够的事后收益，从而检查命题3.1。通过定义Pt，可以改写方程式（4a）和（4b）：at=E[Pt+|vAt>0，F*t] =E[nat+| vAt>0，F*t] 和bt=E[Pt+|vBt>0，F*t] =E[nbt+|vBt>0，F*t] 。现在让我们按照第2.4节继续进行。我们需要以下引理：引理3.1。Setaεt=E[nat+ε|τAt∈ [t，t+ε]，F*t] 并假设∈ F*t、 E[（aεt- at）1Etτat∈[t，t+ε]]/P[τAt∈ [t，t+ε]]→ 0这在任何合理的模型中都是正确的，因为εt→ 在那么，我们有E∈ ■σ，E[atE（Mt-y） y>0）|增值税>0]P[（公吨）-y） y>0∈ E | vAt>0]=E[nat+E（（Mt）-y） y>0）|增值税>0]P[（公吨）-y） y>0∈ E | vAt>0]和E∈ ■σ，E[btE（（Mt-y） y>0）|vBt>0]P[（Mt-y） y>0∈ E | vBt>0]=E[nbt+E（（Mt）-y） y>0）|vBt>0]P[（Mt-y） y>0∈ E | vBt>0]。证据

通过定义所有Et的条件期望∈ F*t、 E[aεtEtτAt∈[t，t+ε]]/P[τAt∈ [t，t+ε]]P[Et，τAt∈ [t，t+ε]]/P[τAt∈ [t，t+ε]]=E[nat+εEtτAt∈[t，t+ε]]/P[τAt∈ [t，t+ε]]P[Et，τAt∈ [t，t+ε]]/P[τAt∈ [t，t+ε]]。当ε趋于零时达到极限，并替换事件Etby（Mt-y） y>0∈ E如第2.4节所述，证明结束。现在让我们假设e[（在- nat+1E（（Mt）-y） y>0）|增值税>0]P[（公吨）-y） y>0∈ E | vAt>0]安第斯[（英国）- nbt+1E（（Mt）-y） y>0）|vBt>0]P[（Mt-y） y>0∈ E | vBt>0]不依赖于t。t实际上意味着limε→0+E[nat+ε|τAt∈ [t，t+ε]，F*t] 。考虑到与之前相同的EIA，以及2012年1月期间我们数据库资产的纳斯坎-恩比达斯克和比德市场订单时间（taskn）和（tbidn）的总和，我们需要证明：Ai=NaskNaskXk=1Eitaskn（ataskn）- na（taskn）+Nasnaskxk=1Eitaskn\'0（5a）和Bi=NbidNbidXk=1Eitbidn（btbidn）- nb（tbidn）+）NbidNbidXk=1Eitbidn\'0。（5b）在表2中，我们列出了经验公式艾兰德b关于方程式（5a）和（5b）定义的事件后期货（Ei）清单。股票A.A.Bb点击NOrdersxFGBL-1.00e-6 1.91e-4-1.09e-6-2.08e-4 1。e-2 8.00e5xFGBS-1.16e-6.00e-5 4.72e-7-7.95e-5。e-3 1.98e5xFGBM-1.08e-6 1.62e-4 7.41e-7-1.84e-4 1。e-23.11e5xFDAX 1.35e-38.10e-31.48e-3-5.77e-35。e-1 1.23e6xFSXE 3.74e-4 2.05e-2 4.36e-4-2.66e-2 1。8.27E5XF欧元2.44e-8 1.15e-6 2.52e-8-1.02e-6 1。e-4 1.63e6xFAD 1.64e-7 7.66e-7 1.59e-7-3.74e-7 1。e-4 6.37e5xFJY 4.01e-8 4.41e-8 6.39e-10 4.14e-10 1。e-6 1.27e4xFBP 1.49e-7 2.93e-7 1.29e-7-2.55e-7 1。e-4 4.66e5xFCAD 1.43e-7 5.90e-7 1.45e-7-1.68e-7 1。e-4 3.98e5xFCH 2.47e-7-9.47e-7 1.66e-7 1.34e-6 1。e-4 1.90e5xFSP 2.73e-5 2.56e-3 2.63e-5-2.64e-3 2.5e-1 2.98e6xFND 3.73e-4 2.51e-3 3 3.61e-4-1.32e-3 2.5e-1 1.12e6xFDJ 7.97e-4 2.53e-3 9.24e-4 1.22e-3 1。7.33e5xFGOLD 1.88e-36.89e-36.11e-41.53e-41。e-1 9.02e5xFCOPP 2.08e-6 6.10e-6 2.15e-6-1.79e-6 5。e-4 3.66E5表2：平均下次提问（分别为。