欧盟内部的商业周期同步：小波分析

这简化了对结果的进一步解释（Grinstedet al.，2004；Torrence and Compo，1998）。小波变换的一个便利性质是，可以从小波变换x（t）=CψZ重构原始时间序列∞-∞Z∞-∞ψτ，s（t）Wx（τ，s）dτdss，（4）其中Cψ来自允许重构的容许条件，Cψ=R∞|ψ（f）|fdf<∞, 式中，ψ（·）是ψ（·）的傅里叶变换。定义单小波功率谱| Wx（τ，s）|，给定小波变换，我们获得时间序列能量的度量。对于给定的两个时间序列xi（t）和xj（t），交叉小波变换被定义为其变换Wxixj（τ，s）=Wxi（τ，s）Wxj（τ，s）的乘积*, 哪里* 表示复共轭。2.2. 小波相干性和相位差在我们的应用中，我们使用小波相干性来量化两个时间序列的成对关系。傅里叶分析中的这种一致性被定义为两个时间序列的光谱之间相关性的度量（Cazelles等人，2008）。连贯性源于将连贯性定义为二的力量。对于两个时间序列，即xiand xj，测量它们之间关系的小波相干性定义为（Liu，1994）：Γ（τ，s）=Wxixj（τ，s）pWxi（τ，s）Wxj（τ，s）。（5） 考虑到相干性与小波功率一样复杂，我们更倾向于使用平方小波相干性来测量两个时间序列之间的协动，其计算公式为：R（τ，s）=| s（s-1Wxixj（τ，s））|s（s-1 | Wxi（τ，s）|）·s（s）-1 | Wxj（τ，s）|），R∈ [0,1]，（6）其中S是平滑函数，S（W）=Sscale（Stime（Wn（S））（Grinsted et al.，2004）。我们通过时域和频域的卷积来平滑相干性。由于小波相干性没有理论分布，测试程序使用蒙特卡罗方法来获得其重要性。

我们遵循Torrence和Compo（1998）的方法来评估统计显著性，图中显示为黑色轮廓，显著性水平为5%。我们使用Grinsted等人（2004）开发的软件包来计算相干性。有关更多详细信息，请咨询Grinsted等人（2004年）。当我们处理有限长时间序列和傅里叶变换假设周期数据时，我们将获得一个小波功率谱，其中包含分析周期开始和结束时的误差。解决这些边缘效应的一个方法是在时间序列的两端填充足够数量的零。受零填充影响的区域称为coneof influence（COI）。我们将COI图表示为具有e形折叠形状的阴影区域。有关更多细节，请咨询Cazelles等人（2008年）；托伦斯和康波（1998）。此外，通过两个时间序列的交叉小波变换，相位差提供了有关两个序列相对位置的信息。这一阶段不同于[-π、 π]的形式为：φxi，xj=tan-1.={Wxixj（τ，s）}<{Wxixj（τ，s）}, （7） 其中={Wxixj（τ，s）}和<{Wxixj（τ，s）}分别是交叉小波变换的虚部和实部。如果φxi，xj，这两个时间序列正相关∈ [-π/2，π/2]，否则相关性为负。此外，如果相位为[0，π/2]，则第一个变量xi领先第二个变量xj[-π, -π/2]; 什么时候进去[-π/2，0]和[π/2，π]，第二个变量为前导。统计意义的评估始终至关重要。根据Cazelles等人（2008年）的说法，自举方法用于提供功率谱和交叉谱的重要性。这些方法也用于小波相干性。然而，测试相位差的重要性是困难的，因为没有“首选”值，因为相位可能分布在[-π, π].

Aguiar Conraria和Soares（2014）指出，对于相位差异没有良好的统计检验。他们在Ge（2008）的支持下得出结论，相位的重要性应与功率谱或相干性的重要性相联系。为了获得置信区间，我们使用经典的引导技术。我们展示了两部分时间序列的相干性和相位差：xt=sin（t）+ε，t∈ [1,1000]（8）年至今=sin（t）+ε，t∈ [1100]sin（t）+ε，t∈ [101350]罪（t）- 0.01）+ε，t∈ [351605]sin（t+π）+ε，t∈ [606900]sin（t）+ε，t∈ [901, 1000]. （9） 我们观察到，当相干性较高且显著时，相位差的置信区间较窄，见图1。相比之下，对于400-600左右的观测，我们有高振幅的正弦函数和一个非常嘈杂的时间序列，在这个尺度上与正弦函数不相似。这两者的相位差是不稳定的，我们使用Morlet小波，因此COI是e-2-折叠。我们为每个分析序列添加5%的噪声。我们在蒙特卡罗研究中进行了1000次小波分析，然后对结果进行排序，并确定相位差的95%置信区间。图1：艺术时间序列（顶部）、其小波相干性（中部）和时间序列的相位差（底部），95%置信区间。某些点的置信区间包括[-π/2, π/2]. 这并不能提供有关这两个时间序列相位的相关信息。为了捕捉负相关性，Rua（2010）提出了定义为[-1,1]上实数的共同移动度量。它基于小波相干性（公式5），但在命名词中仅使用小波互谱的实部。

由ρxixj（τ，s）=<（Wxixj（τ，s））p | Wxi（τ，s）| | Wxj（τ，s）|，（10）给出度量，其中<（Wxixj（τ，s））是两个时间序列的互小波谱的实部，并且在分母中具有给定时间序列的两个功率谱的平方根。Rua和Silva Lopes（2012）利用这一指标，开发了一种基于小波的时频内聚性指标。我们证明了基于真实小波的度量（等式10）的有用性，该度量在两种特定情况下捕获两个人工时间序列的时频动态。我们展示了白噪声权重不变时的内聚性，ut~ N（0，1）及其滞后值ut-1，犹他州-4，和ut-8.对于图2中的前200个观测值，我们看到在最短时间内负相关等于-1，在长期内变为正相关等于1。如果我们将图2的这一部分随时间平均，得到的结果将如图2所示：两个系列的CO运动的基于实际小波的测量：at=utfort=[0511]；bt=ut-1对于t=[0200]，bt=ut-4对于t=[201350]，以及bt=ut-8对于t=[351511]。图3:at=utand和bt=bt两个系列的基于实小波的共同运动测量-1+ut。与Croux等人（2001）的动态相关性相同。在图2的第二部分，序列有更多的滞后，ut-4和ut-8，其与原始utat更长视界的关系为负，这表明在时间-频率平面中存在良好局部化信息的可能性。在图3中，我们绘制了白噪声与其累积和的动态相关性。与滞后噪声的图2相反，这两个系列在短期内正相关，而在长期内不相关。2.3. 具有时变权重的小波内聚性时域或频域中的许多协动度量依赖于双变量相关性。克劳克斯等人。

（2001）提出了一个研究多重时间序列关系的强大工具。该度量使用动态成对相关性，并在频率上构成一个新的内聚度量。设xt=（x1t··xnt）是n的多时间序列≥ 2，那么频域中的内聚度量值是coh（λ）=Pi6=jwiwjρxixj（λ）Pi6=jwiwj，（11），其中λ是频率，-π ≤ λ ≤ π、 Wii是与时间序列xit，andcoh（λ）相关的权重∈ [-1, 1].与Croux等人（2001）在频域中定义动态相关性的方式相同，Rua和Silva Lopes（2012）利用基于小波的量（等式10）并定义时频空间中内聚的多变量加权度量。内聚力是一个加权平均值，其中权重ωij附在对上。相关性遵循从零频率的1到零频率的曲线-1的频率等于π。对于系列（i，j），例如，对于两个系列，我们有两个负相关的权重。内聚力存在于[-我们有coh（τ，s）=Pi6=j′ωijρxixj（τ，s）Pi6=j′ωij。（12） 通过测量多个时间序列的协同运动，内聚揭示了关于共同动力学的重要信息。然而，固定权重，例如某一时间的总体τ，并不认为用于权重的数据也可能随时间而变化。由于发展中国家或新兴国家可能有不同的发展速度，因此允许权重随时间变化的重要性似乎是相关的。我们基于Rua和Silva Lopes（2012）：cohT V（τ，s）=Pi6=jωij（τ）ρxixj（τ，s）Pi6=jωij（τ），13）提出了一种利用内聚测度中的时变权重映射动态多元关系的新方法，其中ωij（τ）是给定时间τ下附在时间序列对（i，j）上的权重。内聚性允许使用不同类型的权重。

例如，使用GDP作为代表经济规模的权重，GDP较小或较大的国家对协同运动的影响可能比其他国家小或大，在凝聚力方面，这可能会导致集团内协同运动的差异性更大。3.数据为了研究经济周期同步，我们使用了主要宏观经济指标数据库中的工业生产指数（IIP）数据（OECD，2015）。Fidrmuc和Korhonen（2006）引用了许多研究，其中IIP被广泛用于研究商业周期同步。数据集周期为1990年1月至2014年12月，时间序列经过季节性调整。该数据集包括16个欧盟国家的月度数据，其中13个是欧洲货币联盟成员国（奥地利、比利时、德国、希腊、芬兰、法国、爱尔兰、意大利、卢森堡、荷兰、葡萄牙、斯洛伐克、西班牙），3个国家不是（捷克共和国、匈牙利、波兰）。在多变量分析中，我们将这些国家分为三组：欧盟核心国、维谢格拉德四国（V4）和PIIGS。PIIGSgroup由五个国家组成：四个来自南欧（葡萄牙、意大利、希腊和西班牙）和爱尔兰。我们以比利时、德国、芬兰、法国、卢森堡和荷兰为核心。对于所有国家，我们还使用当前价格的国内生产总值（GDP）（欧洲共同体统计局，2016年）和人均购电平价（PPP）的国内生产总值（世界银行，2016年）数据来加权通过美联储经济数据获得的工业生产，https://research.stlouisfed.org/fred2/Obtained通过欧盟统计局，http://ec.europa.eu/eurostat/web/products-datasets/-/namq_10_gdp，2016年1月18日。通过世界银行获得http://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.PCAP.PP.CD，2016年1月13日。多元分析。

小波分析对数据的要求很高，为了覆盖更长的时间，我们利用每月的IIP数据来表示经济活动。在多元分析中对国际投资头寸进行加权时，我们有按季度（按当前价格计算的GDP）和按年度（按人均购买力平价计算的GDP）计算的GDP数据。这种较低频率的抽样足以通过（较长）商业周期频率下的时变权重产生显著影响。我们的兴趣是超过一个季度的共同运动，因此，季度或年度的权重是可以接受的。4.结果4。1.维谢格拉德国家和欧盟的双变量同步首先，我们在集团内部的基础上分析V4的商业周期，以揭示其成对共同运动中的相似性以及集团内特定关系的发展。V4的合作始于90年代初，在3-4年的1-2年过渡期内，各国在过渡初期具有更高的一致性，见图4。V4国家的另一个共同特点是，在整个25年的短期商业周期中，从2个月到1年，所有对之间的关系都很弱。只有匈牙利和波兰在2010年前后在短于一年的时间内有显著的共同行动。重要的结果是，从1998年左右开始，匈牙利与斯洛伐克、1999年捷克共和国与波兰和匈牙利以及2000年波兰与斯洛伐克在2-4年期间，所有对都表现出高度同步。此外，捷克共和国和斯洛伐克在整个样本期的两年商业周期内保持同步，在2000年左右略有下降。匈牙利和波兰在2-5年的所有商业周期频率上都表现出高度的同步性。

在过渡期开始和过去5年中，他们的RCO运动覆盖了频谱的大部分。我们发现，在1-2年的时间段内，前3-5年的同步度较短。然而，我们看到，除匈牙利和波兰外，所有国家在1995年前后几乎没有共同行动。这种低程度的相似性可能是由于斯洛伐克在1993-1997年期间冷淡地参与政治讨论造成的，这些政治讨论被延迟地转化为商业周期。另一个与所有国家相关的可能解释是，经过几年正式的密集合作后，货币和金融政策开始分化。例如，在20世纪90年代末，捷克共和国经历了艰难的稳定期（Antal等人，2008年）。这些不同的经济形势可能会导致商业周期行为在短期和长期内出现一些不同步。这种长期的低同步性也可能来自其他宏观经济变量的低水平收敛（Kutan和Yigit，2004）。此外，我们对V4的每个国家在欧盟框架内的共同行动感兴趣。在成对分析中，我们将德国作为欧盟的代表。德国经常被用作参考国（Fidrmuc和Korhonen，2006），因为在本文中，我们使用了“1-2年周期”的概念，对应于该频率（周期长度）的商业周期，因此是1-2年的商业周期。图4：维谢格拉德四区内的小波相干性。5%对红色噪音的重要程度由黑色实线勾勒。阴影区域是影响的圆锥体。欧盟。此外，V4的大部分出口都经过德国；这意味着它靠近维谢格拉德地区，这也起到了作用。我们在图中描绘了德国和德国之间的关系。

5.我们观察到德国与捷克共和国和匈牙利这两个国家进行了最强有力的合作。二者的大范围高一致性始于2000年左右，为期1-5年。匈牙利-德国高度一致性在2000年之前开始，为期2年，但从2000年开始，持续1-5年。这些发现与Aguiar Conraria和Soares（2011a）的结果一致。斯洛伐克与德国的同步显示出一种有趣的模式。这种一致性从2000年开始逐渐增强，并从2-4年扩展到2008年前后的1-4年，这一点很重要，因为这正是斯洛伐克在2009年1月1日采用欧元的时候。斯洛伐克也可以被视为加入欧盟和欧洲货币联盟后同步程度增加的一个例子，这与最优货币区内生性理论是一致的。这种高度一致性可能是对全球金融危机的反应；然而，它可能会支持与欧盟进行更高程度的同步，因为冲击将波及欧元区国家，比如V4。对于所有V4，我们看到，在2000年之前不久，他们开始准备加入欧盟后，一致性有所增强，这支持了Kolasa（2013）的发现，他报告说，与欧盟东扩有实质性的一致性。例如，匈牙利的高度同步也支持Fidrmuc和Korhonen（2006）之前的结果。然而，同样的支持对波兰并不适用，因为我们观察到波兰和德国之间的关系最弱，尽管我们可能会发现一些孤立的岛屿具有更高的一致性，但与图5相比并不重要：维谢格拉德四国和德国的小波一致性。垂直的白色实线表明2004年是欧盟扩大的一年。

红色噪音下5%的显著水平由黑色实线勾勒而成。阴影区域是影响的圆锥体。与其他国家合作。此外，我们还分析了每个V4国家和德国之间的阶段差异。1-4年期间的阶段差异在大多数情况下都在零左右，这相当于两个具有正相关关系的国家之间的领先地位发生了变化。我们给出了这些相位差的置信区间。在大多数情况下，随着相位的变化，置信区间重叠为零；因此，我们无法确定哪个国家处于领先地位。此外，第一年和最后五年的数据受到零填充边缘效应的影响；因此，我们这里没有完整的信息。继Aguiar Conraria和Soares（2014）之后，我们依靠连贯性的重要性来了解相位差异是否也很显著。在2000年至2010年期间，所有国家的差异都很高，且大多显著。图6显示，在2006-2010年期间，阶段差异显著，属于[0，π]区间，这也表明V4商业周期领先于德国1990年1995年2005年2010年的周期-圆周率-pi/20pi/2piCzech共和国- 德国（1-4年）相位差0 50-圆周率-pi/20pi/2PI分配1990 1995 2000 2005 2010-圆周率-pi/20pi/2piHungary- 德国（1-4年）相位差0 50 100-圆周率-pi/20pi/2PI分配1990 1995 2000 2005 2010-圆周率-pi/20pi/2piPoland- 德国（1-4年）相位差0 50-圆周率-pi/20pi/2PI分配1990 1995 2000 2005 2010-圆周率-pi/20pi/2piSlovakia- 德国（1-4年）相位差0 50-圆周率-pi/20pi/2PI分布图6：相位差。黑色实线是两个时间序列的真实相位差。蓝色实线是95%自举置信区间。