有限多边际约束下的最优Skorokhod嵌入

接下来是詹森不等式和|x | 1{|x |>2R}≤ 2（|x |- R） +thatEPmBTn∧T{| BTn∧t |>2Rε}≤ 下午2点BTn- Rε+≤ 2ε适用于所有t≥ 注意函数|x | 1{|x |>2Rε}是下半连续的，我们通过Fatou的lemmaEP得到BTn∧T{| BTn∧t |>2Rε}≤ lim infm→∞EPmBTn∧T{| BTn∧t |>2Rε}≤ 2ε，这证明了索赔（4.18）。此外，由于映射（ω，θ）7→ ωθkis连续，因此BTkP~ uk对于所有k=1，··，n.因此，P∈ P（u），由此得出结论。4.2第一对偶的证明我们现在在定理2.4中提供第一对偶结果的证明。主要想法是显示u7→ P（u）是凹的，上半连续的，然后使用Offrenchel-Moreau定理。引理4.4。在假设2.2下，地图∈ P7.→ P（u）∈ R是凹面的，上半连续的w.R.t.w.此外，对于每u∈ P, 有一些*∈ P（u）使EP*[Φ]=P（u）。证据（i） 让我们来看看∈ P,P∈ P（u）和P∈ P（u）和α∈ （0,1），然后根据他们的定义，一个人有αP+（1）- α） P∈ P（αu+（1）- α)u). 紧接着，地图显示为u7→ P（u）是凹的。（ii）我们现在证明u7→ P（u）是上半连续的w.r.t.w.Let（um）m≥1. P和μm→ u∈ P在W中，在可能传递到子序列之后，我们可以有一个族（Pm）m≥1就这样下午∈ P（um）和lim supm→∞P（um）=limm→∞EPmhΦB、 Ti、 通过引理4.3，我们可以找到一个仍然用（Pm）m表示的子序列≥1弱收敛于someP∈ P（u）。此外，引理4.2表示映射P7→ EPΦ（B，T）是上半连续onP w.r.t.所有Φ满足假设2.2的弱收敛拓扑。然后我们通过法图的Lemmattlim supm获得→∞P（um）=limm→∞EPmhΦB、 T我≤ EPhΦB、 T我≤ P（u）。（iii）让我们∈ P, 选择um=u并使用相同的参数，紧接着就会出现someP*∈ P（u）使EP*[Φ]=P（u）。引理4.4中的结果以及芬切尔-莫罗定理暗示了定理2.4中的第一对偶性。

在提供证明之前，我们考虑对偶公式（2.5）中出现的最优停止问题。表示每λ∈ Λ,Φλ(ω, θ) := Φ(ω, θ) - λ（ωθ）表示所有（ω，θ）∈Ohm. （4.19）回顾Tadenotes收集了所有增加的Fa家族-停止时间τ=（τ，···，τn）使得Bτn∧·是一致可积的。回忆alsoP在（2.1）中定义为布朗运动和停止时间的一组度量。设N>0，也用TaN表示 t族的子集τ=（τ，···，τn）使得τn≤ N、 P-a、 s.进一步用PN表示 P的集合∈ P使Tn≤ N、 P-a、 s.引理4.5。设Φ有界，则对于每个λ∈ ∧，supτ∈TaEP[Φλ（B，τ）]=limN→∞supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]（4.20）=limN→∞晚餐∈PNEPΦλ（B，T）= 晚餐∈打气Φλ（B，T）.特别是，让我们∈ c用φconcits凹包络表示，一个hassupτ∈TaEP[φ（Bτn）]=φconc（0）。（4.21）证据。（i） 给定λ∈ ∧，有一个常数C>0，这样Φλ（B，τ）≤ C1+nXk=1Bτk. （4.22）让τ∈ Ta，定义τN:=（τN，···，τNn），其中τNk:=τk∧ N、 那么很明显limN→∞Φλ（B，τN）=Φλ（B，τ），P-a、 由（4.22）中的支配和Bτn∧·是一致可积的，我们有limN→∞EPΦλ（B，τN）=EPΦλ（B，τ）. 然后是τ的任意性∈ 还有谭的事实 Tathatsupτ∈TaEP[Φλ（B，τ）]=limN→∞supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]。根据同样的论点，很明显我们也有支持∈打气Φλ（B，T）= 画→∞晚餐∈PNEPΦλ（B，T）.（ii）我们现在应用引理A.7来证明，对于每个固定常数N>0，supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]=supP∈PNEPΦλ（B，T）. （4.23）首先，我们假设n=1。放松∈ PN，表示Yt:=Φλ（B，t∧ N） 很明显，EP监督≥0Yt< ∞. 表示byFP=（FPt）t≥0底层和FB增加的过滤，P B在Ohm 通过FB，P=（FB，Pt）t≥0itsP-强化过滤。很明显，FB，PtFPt。

更重要的是B是aFP-根据布朗运动，很容易检查概率空间(Ohm, FP，P）以及过滤FP和Fb，诗篇假设（K）（假设A.6）。然后是引理A.7，EPΦλ（B，T）≤ supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]，因此支持∈PNEPΦλ（B，T）≤ supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]。然后我们得到等式（4.23），因为逆不等式是明确的。最后，当n>1时，使用相同的参数和归纳法来证明（4.23）就足够了。（iii）证明（4.21）有必要≡ 0和n=1。然后由（4.20）得出supτ∈塔普φ（Bτ）= 画→∞supτ∈TaNEPφ（Bτ）≤ φconc（0）。通过考虑布朗运动从一个开放区间的存在时间，这个逆不等式是明显的。因此，我们得出结论。定理2.4（i）的证明。引理4.4已经证明了最优嵌入的存在性。对于第一个对偶结果，我们将使用Fenchel-Moreau定理。让我们首先扩展地图u7→ 来自P的P（u）通过设置P（u）=-∞,每微升∈ Mn\\P. 使用引理4.4很容易检查扩展映射u7→ 从拓扑向量空间mn到R的P（u）仍然是凹的和上半连续的。然后用芬切尔-莫罗定理和引理4。1，它遵循P（u）=P**（u）=infλ∈∧nsupν∈P晚餐∈P（ν）EPΦλ（B，T）+ u（λ）o=infλ∈∧nsupτ∈塔普ΦλB、 τ+ u（λ）o，其中最后一个等式后跟（4.20）。因此我们有P（u）=D（u）。备注4.6。

当Φ有界时（这与第4.3.2节的约化有关），我们可以进一步证明d（u）=infλ∈∧+nsupτ∈塔普Φλ（B，τ）+ u（λ）o，（4.24），其中∧+：=λ=（λ，··，λn）∈ ∧：λk≥ 0表示所有k=1，··，n.事实上，使用（4.21）很容易看出，在定义D（u）时，它足以对所有函数λ类进行精确定义∈ λ+使得凸包络λconvk（0）>-∞ 对于所有k=1，··，m，因为由（4.21）和Φ，supτ的有界性∈TaEP[Φλ]=+∞ 什么时候(-λk）conc（0）=∞ 对于某些k.因此，在所有λ中取数值∈ 使λconvk（0）>-∞ 对于所有的k=1，··，m，因此λkis由下面的某个函数控制。因为EP[Bτk]=0表示每个τ∈ Ta，我们看到，通过可能从λk减去最后一个函数，就足以对类∧+.4.3第二对偶性的证明我们现在证明定理2.4（ii）中的第二对偶性P（u）=D（u），以及命题2.5中的P（u）=D′（u）=D′（u）。主要技术是使用最优停止问题的斯奈尔包络特征，以及Doob-Meyer分解。我们将逐步提供证据。在4.3.1节中，我们证明了弱对偶结果P（u）≤ D（u）在定理2.4和命题2的上下文中。5.然后在4.3.2节中，我们证明了有界奖励函数Φ的定理2.4（ii）和命题2.5已经足够了。接下来，在第4.3.3节中，我们提供了命题2.5的证明，该命题在假设2.2和2.3（i）下立即暗示了定理2.4（ii）。

最后，我们在第4.3.5节和第4.3.6节的假设2.2和2.3（ii）或（iii）下完成定理2.4（ii）的证明。在本小节中，我们称之为过滤空间上的过程X(Ohm, F、 P，Fa），如果每个t≥ 0，族{Xτ：τ∈ Ta，τ≤ t} 是统一整数的；我们说安法-类（DL）的可选进程X是所有有界停止时间σ的上乘IFF≤ τ，有Xσ≥ EP[Xτ| Faσ].4.3.1关于弱对偶我们注意到，从它们的定义来看，我们很容易在定理2.4和命题2.5的上下文中得到弱对偶。引理4.7。让我们：Ohm → R非预期，则一个搭扣（u）≤ D（u），P（u）≤ D′（u）和P（u）≤ D′（u）。证据（i） Let（λ，H）∈ D、 一个定义为λ（BT）+（H·B）Tn≥ Φ（B，T），P- q、 在美国，（H·B）是一个强大的超级艺术家。让P∈ P（u），根据上述不等式的期望值，可以得出u（λ）=EP[λ（BT）]≥ EPΦ（B，T）.随之而来的是P的任意性∈ P（u）和（λ，H）∈ D其中一个有P（u）≤D（u）。（ii）我们接下来证明P（u）≤ D′（u）。注意，对于任何H∈ H、 一个人有（H·B）t≥-C（1+| Bt |）。那么无论如何∈ P、 自进程BTn∧·是一致可积的，它由Fatou引理thatEPhZTk+1TkHsdBsi跟随≤ 0，每k=0，··，n- 1、使用与上述完全相同的参数，我们可以得出以下结论：P（u）≤ D′（u）。（iii）同样，我们可以很容易地证明P（u）≤ D′（u）。4.3.2减少到有界奖励函数建议4.8。为了证明定理2.4（ii）和命题2.5，在Φ有界的附加条件下证明结果就足够了。证据我们将在定理2.4（ii）的上下文中证明它，因为在命题2.5的上下文中的论点是相同的。假设当Φ有界且满足假设2.2和2.3时，对偶P（u）=D（u）成立。我们现在考虑Φ无界的情况。

设Φm:=Φ∨ (-m） （或Φm:=Pnk=1）(-m）∨ Φkin假设2.3（iii）），则Φmis-bounded满足假设2.2和2.3。用Pm（u）和Dm（u）表示与奖励函数Φm相关的对应原始值和对偶值，这样我们就得到了二元数m（u）=Dm（u）。此外，请注意Φm≥ Φ，一个有Pm（u）=Dm（u）≥ D（u）≥ P（u），其中最后一个不等式是引理4.7中的弱对偶。那就足以证明Lim supm→∞Pm（u）≤ P（u）。莱普姆∈ P（u），使lim supm→∞Pm（u）=lim supm→∞EPm[Φm]。然后在可能传递到子序列之后，我们可以假设lim supm→∞Pm（u）=limm→∞EPm[Φm]。通过引理4.3，我们知道（Pm）m≥1紧密，每个极限点都属于顶部（u）。设Pbe为（Pm）m的极限点≥1，并用m再次标记会聚子序列，即Pm→ P.然后通过单调收敛定理（u）≥ EP[Φ]=limm→∞EP[Φm]=limm→∞极限→∞EPl[Φm]≥ 林姆→∞极限→∞EPl[Φl]= 林苏普→∞Pl（u），这是所需的结果。4.3.3除命题2.5外，我们还可以通过命题4.8假设Φ是有界的，没有一般性损失。然后给出第一对偶P（u）=D（u），有必要研究最优停止问题SUPτ∈TahΦλB、 τi=limN→∞supτ∈塔恩Φλ（B，τ）, （4.25）对于给定的λ∈ ∧+（备注4.6）和有界Φk。注意，在这种情况下，有一些C-C1+nXk=1 |ωθk|≤ Φλ(ω) ≤ C.（4.26）假设n=1，那么通过引理A.3，有一个Fa-可选的l`adl`ag过程（Z1，Nt），每N∈ N、 哪个是Fa-超鞅与最优停止问题supτ的Snell包络∈TaNE[Φλ（B，τ）]。很明显，Z1，N增加了9。此外，由于Z1，N通过（4.26）使φλ减小，因此-C（1+| Bt |）≤ 新界Z1≤ 对于一些与N无关的常数C。

然后利用支配收敛定理和引理4.5，Z:=supN∈NZ1，仍然是一个adl ag Fa-（DL）类的上鞅，使得z=supτ∈TaE[Φλ（B，τ）]，和Zt≥ Φλ（B，t），对于所有t≥ 0，P- a、 现在，通过Doob Meyer分解（参见下面的引理a.4），对于没有右连续性的类（DL）的超鞅，以及鞅表示定理，有一个-λ（Bt）+（H·B）t≥ Φ（B，t），对于所有t≥ 0，P- a、 此外，由于任何Fa-可预测的过程（或等效）-可选流程）可与F区分-可预测过程（参见Dellacherie&Meyer[18]的定理IV.78和RemarkIV.74），我们也可以选择Hto为F-可预测的这尤其证明了D′（u）≤ D（u）=P（u）和D′（u）≤ D（u）=P（u）。结合弱对偶P（u）≤ D′（u）和P（u）≤ 在引理4.7中，我们得到了p（u）=D（u）=D′（u）=D′（u）=D′（u）。假设现在n=2，我们首先考虑最优停止问题supτ∈TNΦ（B，τ）- λ（Bτ）,其Snell包络由Z2，Nb引理A.3给出，其中-C（1+| Bt |）≤ Z2，新界≤ 对于与N无关的常数C和z2，Nθ≥ Φ（B，θ）- λ（Bθ），对于所有θ≤ N、 P- a、 然后，我们将多重最优停止问题（4.25）简化为n=1的情况，即supτ∈塔恩Φλ（B，τ）= supτ∈特恩Z2，Nτ+Φ（B，τ）- λ（Bτ）.再次使用n=1的情况下的程序，我们得到一个新的斯奈尔包络，用Z1，n表示，这样Z1，Nt≥ -C（1+| Bt |）。因此，Z1，N，Z2，Nare都是（D）类的上鞅，从上面以byC为界，从下面以byC为主导-C（1+| Bt |）对于一些与N无关的常数C>0。更重要的是，我们有Z1，N=supτ∈塔恩Φλ（B，τ）, 和z1，Nθ+Z2，Nθ- Z2，Nθ≥ Φλ（B，θ，θ），对于所有θ≤ θ≤ N、 P- a、 s.自Z1、Nand Z2、N同时增加以来，定义Z：=supNZ1、Nand Z：=supNZ2、N，遵循支配收敛定理，Zand-Zareboth类超鞅（DL）。

此外，引理4.5得出z=supτ∈泰Φλ（B，τ）andZθ+Zθ- Zθ≥ Φλ（B，θ，θ），对于所有θ≤ θ、 P- a、 然后（s，s）：=（Z，Z）是对偶公式中所需的上鞅。此外，利用Doob-Meyer分解和Zand Z上的鞅表示，我们得到了对偶公式D′中所需的过程H=（H，H）。最后，n>2的情况可以用完全相同的递归论证来处理。对于假设2.3（i）下定理2.4（ii）的n=2.4.3.4情形，当n=1时，定理2.4是定理2.4（ii）的命题2.5.4.3.5的直接结果。假设2.3（iii）让n>0，我们首先研究多重最优停止问题∈TaNEPΦλ（B，τ）= supτ∈TaNEPhnXk=1Φk（B，τ，··，τk）- λk（Bτk）i、 （4.27）式中λ∈ λ+和Φkis有界，所以-C1+nXk=1 |ωθk|≤ Φλ(ω) ≤ C、 （4.28）对于某些常数C，表示vNn+1（ω，θ，·θ，θn，θn）：=Φλ（ω，θ，·θ，θn）。引理4.9。

有泛函（vNk）k=1，··，n，其中vNk：Ohm ×（R+）k→ R、 suchthatvN（ω，0）=supτ∈TaNEPΦλ（B，τ）,在P下，对于每个k=1，··，n和θ≤ · · · ≤ θk-1，过程θ7→ vNk（B，θ，··，θk）-1，θ）是Fa- 上鞅，vNk（B，θ，θk）-1, θ) ≥ vNk+1（B，θ，··，θk）-1，θ，θ），P- a、 此外，VNK增加了N和满意度-C（1+Pki=1 |ωθi |）≤ vNk（ω，θ，··，θk）≤定理2.4（ii）的证明通过注释4.6和命题4.8，我们可以在不损失一般性的情况下假设每个Φkis有界并选择λ∈ 双公式D（u）中的∧。（i） 假设vNkbe由引理4.9给出，我们进一步定义vk（·）：=supNvNk（·），使v（ω，0）=supτ∈塔普Φλ（B，τ）.根据支配收敛定理，对于所有k=1，···，和0=：θ≤ θ≤ · · · ≤ θk-1.过程vk（B，θ，··，θk）-1.t）T≥θk-安法-超鞅与vk（B，θ，··，θk）-1.t）≥ vk+1（B，θ，··，θk）-1，t，t），对于所有t≥ θk-1，P- a、 s.（ii）通过Doob-Meyer分解（见下面的引理a.4）和鞅表示定理，可以得出，对于每个k=1，···，n，都有-可预测过程Hkt（ω）：=Hkt（ω，θ，…，θk）-1） 使得vk（ω，θ，…，θk-1，θk-1） +Zθkθk-1香港浸会大学≥ vk（ω，θ，…θk）-1，θk）≥ vk+1（ω，θ，…θk）-1，θk，θk），P- a、 s.（4.29）（iii）接下来，遵循（a.38）中二次协变量Q的路径构造-对于一个超鞅和一个连续鞅，有一个二次共变hvk（B，θ，··，θk）的Borel版本-1，·），B·它。然后通过引理A.5，下面定义的过程是F-可预测，Hkt（θ，··，θk-1） ：=lim supε→0hvk（B，θ，··，θk）-1，·），位- hvk（B，θ，··，θk）-1，·），位-εε.特别地，映射（ω，θ，··，θk）7→ Hkθk（ω，θ，·θk）-1） Borel是可测量的，ztθk-1.Hks（·，θ，·，θk）-1)ds<+∞ 尽管如此，t≥ θk-1，P- a、 美国。

（4.30）（iv）接下来，我们定义了一个流程H:R+×Ohm → R byHu（ω）：=nXk=1（θk）-1，θk]（u）Hku（ω，θ，…，θk）-1） 对于所有的ω=（ω，θ）∈Ohm,其中，根据惯例θ=0。此外，由于（ω，θ，··，θk）7→ Hkθk（ω，θ，·θk）-1） Borel是可测的，我们清楚地知道Hkθk（ω，θ，··，θk）-1） =Hkθk（ωθk）∧·, θ、 ··，θk-1） ，那么这个过程就是F-附录中引理A.2可选。（v） 现在，让我们做一个任意选择∈ 并考虑一个r.c.P.d.（正则条件概率分布）（P’ω）’ω族∈Ohm关于0的FTK的ofP≤K≤ N- 1（关于r.c.p.d.的存在，见引理A.2）。那么福普-几乎每一个ω∈Ohm, 在条件概率P′ω下，过程t7→ BTT≥ Tkis仍然是布朗运动。此外，我们还有p′ω（Tk=θk，BTk∧·= ωθk∧·) = 1.然后是（4.29）vk+1（B，T，…，Tk，Tk）≤ vk（B，T，…，Tk）≤ vk（B，T，…，Tk）-1，Tk-1） +ZTkTk-1HksdBs，P′ω- a、 这意味着设置Ak：=vk+1≤ vk+RTkTk-1HksdBs是P的完全测量下限ω-几乎每一个ω∈ Ohm, 因此，对于所有k=0，···，n，塔的性质P（Ak）=1（我们也参考[12]来讨论阿昆德P′ω的可测性）。这就产生了Φλ（B，T）=vn+1（B，T，…，Tn，Tn）≤ v（B，0）+（H·B）Tn，P- a、 s.（4.31）（vi）为了得出证据结论，必须检查H∈ H.首先，对于任何概率测量∈ P、 通过使用r.c.P.d和（4.30），很明显ZTHSDS<+∞ 每一个t≥ 0，P- a、 请注意（4.31）对每个人都适用∈ P、 根据塔楼的属性，任何人都是如此-停止时间τ，我们有所有的P∈ P、 （H·B）Tn∧τ≥ -C1+sup1≤K≤n | BTk∧τ|, P- a、 其中r.h.s.是一致可积的。利用Fatou引理，得出（H·B）Tn∧·在每个P下都是一个强超鞅∈ 引理4.9的证明。我们在这里为n=2的情况提供了一个证明，以便于演示。