有限多边际约束下的最优Skorokhod嵌入

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英文标题：
《Optimal Skorokhod embedding under finitely-many marginal constraints》
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作者：
Gaoyue Guo, Xiaolu Tan and Nizar Touzi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The Skorokhod embedding problem aims to represent a given probability measure on the real line as the distribution of Brownian motion stopped at a chosen stopping time. In this paper, we consider an extension of the optimal Skorokhod embedding problem to the case of finitely-many marginal constraints. Using the classical convex duality approach together with the optimal stopping theory, we obtain the duality results which are formulated by means of probability measures on an enlarged space. We also relate these results to the problem of martingale optimal transport under multiple marginal constraints.
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中文摘要：
Skorokhod嵌入问题旨在将实线上给定的概率测度表示为布朗运动在选定的停止时间停止的分布。在本文中，我们考虑将最优Skorokhod嵌入问题推广到有限多个边际约束的情况。利用经典的凸对偶方法和最优停止理论，我们得到了在一个扩大的空间上用概率测度表示的对偶结果。我们还将这些结果与多重边际约束下的鞅最优运输问题联系起来。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-8 08:49:01 上传

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关键词：skor Mathematical Differential Applications Optimization

有限多边缘约束下的最优Skorokhod嵌入*郭高跃+谭小璐Nizar Touzi§2022年3月22日摘要Skorokhod嵌入问题旨在表示当布朗运动的分布在选定的停止时间停止时，实线上的给定概率度量。在本文中，我们考虑了Beiglb¨ock，Cox&Huesmann[1]中最优Korokhod嵌入问题的弱公式在许多边际约束情况下的推广。利用经典的凸对偶方法和最优停止理论，我们在比[1]更一般的条件下建立了一些对偶结果。我们还将这些结果与多重边际约束下的最优运输问题联系起来。关键词。Skorokhod嵌入，鞅最优运输，无模型定价，鲁棒套期保值。AMS学科分类（2010年）。初级：60G40，60G05；中学：49M29。1简介设u为R上的概率测度，以有限的第一时刻为中心，Korokhod嵌入问题（SEP）包括在aBrownian运动W上找到停止时间τ，使得Wτ~ u和停止的过程Wτ∧·:=Wτ∧TT≥0是一致可积的。我们建议读者参考Ob l\'oj的调查文件[46]，以全面了解该领域。*我们感谢Jan Ob l\'oj和三位匿名推荐人提供的有用建议和意见。我们衷心感谢ERC 321111 Ro Firm、ANR Isotace和the Chiers Financial Risks（风险基金会，由Soci\'et\'e G\'erale赞助）以及Financial and Sustainable Development（由EDF和CA赞助的IEF）的财务支持CMAP，法国理工学院。guo@cmap.polytechnique.fr巴黎多芬大学、巴黎科学院研究大学、法国国家科学研究院、法国统一市场研究院[7534]，Ceremed。tan@ceremade.dauphine.fr§CMAP，法国理工学院。

尼扎尔。touzi@polytechnique.eduWhile在制作本文的最终版本时，我们从Mathias Beiglb¨ock那里了解到[2]中的新发展，这也是最终制作版本中的新发展，并将之前的工作[1]扩展到了许多边际约束的情况。我们强调，我们的方法完全不同，我们的结果是在更一般的条件下建立的，尽管两篇论文中的双重公式略有不同（更多细节见第2.3节）。在本文中，我们考虑将其推广到多个边际约束的情况。也就是说，设u：=（u，··，un）是一个给定的中心概率测度族，使得该族在凸序中增加，即对于每个凸函数φ：R→ R、 一个hasZRφ（x）uk（dx）≤ZRφ（x）uk+1（dx）对于所有k=1，·n- 1.扩展SEP是为了找到一个不断增加的停止时间族τ：=（τ，···，τn），使得Wτk~ uk对于所有k=1，··，n和停止的过程Wτn∧·是统一整数的。我们研究了一个相关的优化问题，它包括在所有这些嵌入中最大化某些奖励函数的期望值。研究这一问题的动机之一是将其应用于金融领域，以计算与普通期权市场价格相关的或有索赔的无套利模型独立价格界限。从数学上讲，根据无套利条件，标的资产必须是鞅，并且市场校准允许在某些到期日恢复标的资产的边际规律（参见Breeden&Litzenberger[8]）。然后通过考虑满足给定边际分布的所有鞅，我们可以得到无轨道价格界。

基于Dambis Dubins Schwarztheorem认为每一个连续鞅都是一个时变布朗运动的事实，Hobson在他的论文[33]中利用SEP研究了回望期权的无模型套期保值。他的开创性工作的主要思想是利用满足某些最优性准则的SEP的一些解，这将产生无模型套期保值策略，并允许同时解决无模型定价和套期保值问题。从那时起，最优SEP得到了数学金融界的大量关注，并在文献中实现了各种扩展，如Cox&Hobson[13]、Hobson&Klimek[35]、Cox、Hobson&Ob l\'oj[14]、Cox&Ob l\'oj[15]和Davis、Ob l\'oj&Raval[16]、Ob l\'oj&Spoida[47]等。霍布森的调查论文[34]提供了详尽的文献。Beiglb–ock、Cox和Huesmann推广了这种启发式思想，并在[1]中公式化了最优SEP，它通过统一的公式恢复了许多以前已知的结果。也就是说，他们的主要结果是双重的。首先，他们建立了最优SEP和相应的套期保值问题模型之间的预期一致性。其次，他们通过几何路径性质推导出最优嵌入的特征，该性质允许恢复文献中所有已知的嵌入。无模型套期保值的问题也通过鞅最优运输进行了探讨，如Beiglb¨ock、Henry Labord`ere&Penkner[3]在离散时间情况下提出的，以及Galichon、Henry Labord`ere&Touzi[27]在连续时间情况下提出的。进一步的发展丰富了这方面的文献，如Beiglb–ock&Juillet[4]、Henry Labord`ere&Touzi[32]、Henry Labord`ere、Tan&Touzi[31]等。Dolinsky&Soner[21,22]对连续时间鞅最优输运做出了显著贡献。

我们还参考了Tan和Touzi[52]，了解更一般受控随机动力学下的最优运输问题。本文的目的是重温[1]的对偶结果，并在更一般的条件下将对偶性推广到多个边缘约束的情况。我们的方法使用完全不同性质的工具。首先，通过遵循凸对偶方法，我们将最优SEP转化为经典最优停止问题的一个极小值。接下来，我们使用标准的动态编程方法将此类最优停止问题与模型问题联系起来。我们观察到，导出的对偶性允许重现[1]中介绍的最优嵌入的几何特征，参见例[28]。最后，我们证明了我们的结果导出了连续路径空间中一类鞅最优运输问题的对偶性。论文的结构如下。在第2节中，我们在许多边际约束下给出了最优解，并给出了两个对偶结果。第三，最优SEP的对偶性和时变参数给出了多边际约束下鞅最优运输问题的对偶性。我们最终在第4节中提供了相关证据。符号。（i） 让Ohm := C（R+，R）是所有连续路径的空间ωonR+，ω=0，B是标准过程，Pbe是维纳测度，F:=（Ft）t≥0是由B生成的标准过滤，Fa:=（Fat）t≥0为P.（ii）定义中某些固定整数的建议过滤≥ 1.扩大的正则空间Ohm := Ohm ×Θ（见El Karoui&Tan[25,26]），其中：=（θ，··，θn）∈ Rn+：θ≤ · · · ≤ θn. 所有的元素Ohm 表示为ω：=（ω，θ）和θ：=（θ，·θ，θn）。用（B，T）（T:=（T，···，Tn））进一步表示Ohm, i、 e.Bt（\'ω）：=ωtandT（\'ω）：=每ω=（ω，θ）的θ∈Ohm.

放大的标准过滤表示为byf:=（Ft）t≥0，其中FTI由（Bs）0生成≤s≤看完所有的布景{Tk≤ s} 所有的∈ [0，t]和k=1，··，n。特别是，所有随机变量t，··，TnareF-停车时间。（三）捐赠Ohm 对于紧致收敛拓扑，以及对于经典吕氏拓扑，则Ohm 和Ohm 这两个空间都是波兰空间（可分离、完全可量化的空间）。尤其是F∞:=Wt≥是波雷尔σ吗-波利斯空间的领域Ohm （见引理A.1）。（iv）用C:=C（R）表示R上具有线性增长的所有连续函数的空间。（v） 在本文中，a.s.和q.s.分别是一致可积、几乎肯定和拟肯定的缩写。此外，在某个可测空间上给定一组概率测度N（例如，下面的N=P和N=M），我们写出N-q、 为了表示某些性质在N.2的每一个概率下都有一个最优Skorokhod嵌入问题和对偶性，在这一节中，我们构造了一个在许多边际约束下的最优Skorokhod嵌入问题（SEP），以及它的对偶问题。然后我们提供了两个对偶结果。2.1最优Skorokhod嵌入问题在本文中，u：=（u，···，un）是n个概率测度onR的向量，我们表示，对于任何可积函数φ：R→ R、 uk（φ）：=ZRφ（x）uk（dx）对于所有k=1，··，n。如果每个概率uk为有限的第一时刻，即uk（|x |），则向量u称为孔雀+∞, μ在凸序中增加，即k7→ 对于每一个凸函数φ，uk（φ）都是不变的。如果uk（x）=0表示所有k=1，···，n，则称孔雀u为居中。用P表示所有孔雀的集合。最佳SEP正如Beiglb–ock、Cox&Huesmann[1]中所述，我们将在弱环境下考虑问题，即停车时间可以通过扩大空间上的概率测量来确定Ohm.

回想一下Ohm 用ω表示：=ω、 θ=（θ，··，θn）标准元素用B、 T=（T，·Tn）, 尤其是T，TN都是F-停车时间。让P(Ohm) 上所有概率测度的空间Ohm, 和定义：=nP∈ P(Ohm) : B是F- 布朗运动与BTn∧·用户界面在Po下。（2.1）为任何给定的概率度量族设置u=（u，···，un）P（u）：=nP∈ P:BTkP~ uk对于所有k=1，···，no.（2.2）作为[42]中凯勒定理的结果，P（u）是非空的当且仅当u∈ P.让我们：Ohm → R是一个Borel可测函数，如果Φ（ω，θ）=Φ，则Φ称为非预期函数ωθn∧·, θ对于每个（ω，θ）∈Ohm. 定义非激励函数ΦbyP（u）：=supP的最佳SEP∈P（u）EPΦ（B，T）, （2.3）其中，随机变量ξ的期望值由EP[ξ]=EP[ξ+]定义- EP[ξ-]与公约∞ - ∞ = -∞. 如果至少存在aP，则问题是适定的∈ P（u）使得EP[|Φ（B，T）|]+∞. 我们强调，在本文中，Φ被认为是非预期的。备注2.1。（i） Au-嵌入是一个集合=Ohmα、 Fα，Pα，Fα=（Fαt）t≥0，Wα，τα=（τα，·τα，ταn）,其中Wα是Fα-布朗运动，τα，··，τα增加Fα-停止时间，使Wαταn∧·是一致可积的，Wαταk~ uk对于所有k=1，···n.我们观察到，对于每一只居中的孔雀u-嵌入α会导致一种可能性测量ep:=Pαo （Wα，τα）-1.∈ P（u）。相反，每一个概率测量∈ P（u）与正则空间(Ohm, F∞), 标准元素（B，T）是μ-嵌入。然后用（u）表示所有u的集合-嵌入时，最佳SEP（2.3）相当于tosupα∈A（u）EPαΦ（Wα，τα）.（ii）问题（2.3）可被视为最优SEP的弱公式。强公式包括考虑所有停车时间w.r.t。

布朗过滤，它可能不等同于弱配方（尤其是当μ的原子为0时，参见示例2.11）。虽然大多数著名的嵌入都是“强”停止时间，但一些最优嵌入是在“弱”意义下构造的，如Hobson&Pedersen[36]中的嵌入。我们还注意到，在一般情况下，考虑弱公式以获得优化器的存在是自然的，因为在weakconvergence拓扑下，所有“弱”嵌入的空间都是紧凑的，如下所示。2.2对偶结果我们引入两个对偶问题。回想一下，Pis的Wiener measureOhm =C（R+，R），其中标准过程B是标准布朗运动，F=（Ft）t≥0是标准过滤，Fa=（Fat）t≥0是P吗-强化过滤。指所有不断增加的家族的集合-停止时间τ=（τ，···，τn）使得过程Bτn∧·是一致可积的。定义函数类∧：=Cn=nλ：=（λ，···，λn）：λk∈ c对于所有k=1，····否（2.4）表示u=（u，···，un），λ=（λ，··，λn）和ω、 θ=（θ，··，θn）∈Ohm, 我们用ωθ表示u（λ）：=nXk=1uk（λk）和λ（ωθ）：=nXk=1λk（ωθk），ωθ：=（ωθ，···，ωθn）。然后给出了最优SEP（2.3）的第一个对偶问题byD（u）：=infλ∈∧nsupτ∈塔普Φ（B，τ）- λ（Bτ）+ u（λ）o.（2.5）至于第二个对偶问题，我们回到放大的空间Ohm. 给定P∈ P、 安非他命-可选流程M=（Mt）t≥0被称为强P-超级艺术家MτFτ≤ Mτ，P- a、 s代表所有F-停止时间τ≤ τ. 让我们分享所有F的空间-渐进可测量过程H=（Ht）t≥0使zthsds<+∞ 每一个t≥ 0，P- q、 s。。因为∈ Lloc，随机积分（H·B）：=R·hsdbs是定义良好的P-a、 s.福尔普∈ P

我们引入了一个子过程：H:=nH∈ Lloc:（H·B）是P- 对所有P∈ 阿宝。表示进一步的d:=n（λ，H）∈ ∧×H:λ（BT）+（H·B）Tn≥ Φ（B，T），P- q、 第二个对偶问题是比亚迪（u）：=inf（λ，H）∈Du（λ）。（2.6）粗略地说，这两个对偶问题分别将原始问题（2.3）的不同约束二元化。通过惩罚边际约束，我们得到了（2.5）的第一个对偶问题D（u），其中每个固定λ出现一个多周期最优停止问题∈ Λ. 然后（2.6）中的第二个对偶问题D（u）接着通过斯奈尔包络法和杜布-迈耶分解来解决最优停止问题。我们的主要对偶结果需要以下条件。假设2.2。奖励功能：Ohm → R是Borel可测的，非能动的，从上方有界，θ7→ Φ（ωθn）∧·, θ） 上半连续forP-a、 e.ω∈ Ohm.假设2.3。下列条件之一成立。（i） n=1。（ii）n≥ 2和映射ω7→ Φ（ω）是上半连续的。（iii）n≥ 2和奖励函数Φ允许表示Φ（°ω）=nXk=1Φk（ω，θ，··，θk），其中每个k=1，··，n，Φk：Ohm ×Rk+→ 满足Φk（ω，θ，··，θk）=Φk（ωθk∧·, θ、 和（θ，θ，θk）-1) 7→ Φk（ωθk）∧·, θ、 ··，θk）对0是一致连续的≤ θ≤ · · · ≤ θk-1.≤ θk，在θk中一致。定理2.4。（i） 在假设2.2下，有一些*∈ P（u）使*[Φ]=P（u）=D（u）。（ii）另外假设假设2.3成立，则p（u）=D（u）=D（u）。当Φ是假设2.3（iii）中引入的形式时，我们可以考虑一个更强的对偶公式。

用H表示所有F的集合-可预测过程H:R+×Ohm → R，使得stocstic积分（H·B）t:=rthsdbs是P和（H·B）t下的鞅≥-C（1+| Bt |）对于某些常数C>0。在过滤过的空间里(Ohm, F、 P，F），我们说一个进程X是（DL）类的，如果对于每个进程≥ 0，族{Xτ：τ≤ t是停止时间}是一致可积的；我们说F-类（DL）的可选进程X是F- 对于所有有界停止时间σ≤ τ、 一个有Xσ≥ EP[Xτ| Fσ]。用S进一步表示所有F的集合-超级艺术家(Ohm, F、 P）使| St |≤ C（1+| Bt |）对于某些常数tc>0。定义d′：n（λ，H，··，Hn）∈ ∧×（H）n:nXk=1λk（ωθk）+Zθkθk-1HksdBs≥ Φω, θ对于所有0≤ θ≤ · · · ≤ θn和P- a、 e.ω∈ Ohmo、 and d′：=n（λ，S，·Sn）∈ ∧×（S）n:nXk=1λk（ωθk）+Skθk- Skθk-1.≥ Φω, θ对于所有0≤ θ≤ · · · ≤ θn和P- a、 e.ω∈ Ohmo、 提议2.5。假设假设2.2和假设2.3（iii）成立。另外假设Φk（ω，θ，··，θk）仅依赖于（ω，θk）。然后p（u）=D′（u）：=inf（λ，H）∈D′u（λ）=D′（u）：=inf（λ，S）∈D′u（λ）。（2.7）2.3更多讨论和示例标记2.6。在（ω，θ）7的条件下，上述对偶公式（2.6）已由[1]在一个边际情形（n=1）中初步给出并证明→Φ(ωθ ∧·, θ） 是从上到上半连续的。当n=1时，我们的对偶结果在更一般的条件下成立：Φ是非预期的，从上面有界，θ7→ Φ(ωθ ∧·, θ） u.s.c.代表P-a、 e.ω∈ Ohm. 特别是，这允许包括Φ是停止的布朗运动的局部时间的函数的情况，因为布朗运动的局部时间在θ中是连续的，但在ω中没有规律性。作为一个重要的例子，Vallois的sembedding提供了最优嵌入w.r.t.局部时间的凸函数，参见。