有限多边际约束下的最优Skorokhod嵌入

[14, 11].尽管如此，我们在对偶问题（2.6）中使用了准肯定公式，在（2.7）中使用了冷漠公式。[1,2]中的对偶问题使用了一个路径公式。此外，在我们的例子中，他们没有使用随机积分（H·B），而是在对偶公式中使用在（t，ω）中连续的鞅。对于多重边缘情况（n≥ 2） 当Φ在ω中没有正则性时，我们需要时间变量（θ，···，θn）的一致连续性条件-1） 一致连续性条件是聚合经典最优停止问题中出现的超鞅族的技术条件。我们可以通过一系列Lipschitz函数来逼近u.s.c.函数。然而，为了保留Φ的非预期性质，我们需要假设Φ是假设2.3（ii）中的两个变量（ω，θ）（参见第4.3.2节中的证明）。这也是K–allblad，Tan&Touzi[39]中ω的正则性条件的主要原因，在这里，对偶结果被推广到了完全多边缘的情况。备注2.7。优化器的一个特征*已在[1]中提供，称为单调性原理。我们随附的论文[28]给出了这一结果的另一种证明。（ii）对于一般鞅最优运输问题，对偶优化器λ*可能不存在，如贝格洛克、亨利·劳德埃和彭克纳[3]所示。最近，通过放松一维离散时间鞅输运的对偶公式，Beiglb¨ock，Nutz&Touzi[5]得到了“弱”意义下对偶优化器的存在性。在我们的环境中，对偶优化器的存在仍然是一个开放的问题。（iii）然而，当函数Φ有一种特殊形式时，我们有双优化器λ*, 优化器呢*λ*可以显式构造。

例如，霍布森[33]提供了当n=1且Φ是运行最大值的递增函数时的构造，霍布森和克里梅克[35]研究了向前开始跨坐的情况，考克斯、霍布森和Ob l\'oj[14]考虑了本地时间的函数，参见布朗、霍布森和罗杰斯[9,10]、考克斯和Ob l\'oj[15]、戴维斯、Ob l\'oj和拉瓦尔[16]等，了解更多具体情况。我们还参考了Hobson[34]对这些结构的详细回顾。备注2.8。基于（2.5）中的第一个对偶问题D（u），Bonnans和Tan[7]给出了上述最优9月的数值算法。备注2.9。为了证明等式D（u）=D（u），我们使用反向迭代方法研究了多重最优停止问题，因为停止时间t···，tn被假定为有序的。订单条件T≤ · · · ≤ Tnis naturalas的动机在于其在金融领域的应用（见第3节），并且在我们的论证中具有技术上的必要性。如果没有顺序条件，人们总是可以制定非最优SEP，但相应的对偶问题似乎并不清楚。例2.10。（i） 设φ：R+×（R）nbe是一个连续函数，从上面有界，表示ωt:=sup0≤s≤tωsandωt:=inf0≤s≤tωs.自ω7→ （ωt，ωt，ωt）是连续的，由Φ（ω，θ）定义的奖励函数Φ：=φθi，ωθi，ωθi，ωθi，i=1，··，n满足度明显高于假设2.2和2.3（ii）。（ii）让我：Ohm ×R+→ R是布朗运动的局部时间。我们可以选择成为F-从任何一位足总都可以预测-可预测的过程与anF难以区分-可预测的过程。然后t 7→ 对于P，Lt（ω）是连续的并且是递增的-a、 e.ω∈ Ohm. 设φ：R+→ R是一个连续函数，从上面有界，那么Φ（°ω）：=φ（Lθn（ω））满足假设2.2和2.3（iii）。例2.11（强公式和弱公式之间的不等效性）。当u在0处有一个原子时，可以很容易地显示强公式和弱公式之间的不等价性。

设n=1，u：=δ{0}+δ{1}+δ{-1} Φ（ω，θ）：=1{0}（θ）。定义τ：=inf{t:| Bt |≥ 1} ，andP:=Po （B，0）-1+Po （B，τ）-1，那么∈ P（u）和EPΦ（B，T）=. 进一步，让τ∈ Tasuch表示Bτ~ 在维纳测度P下，然后P[τ>0]>0。由于增广布朗滤波满足Blumenthal的零一定律，那么P[τ>0]=1。接下来是supτ∈Ta，Bτ~uEPΦ（B，τ）= 0 <≤ 晚餐∈P（u）EPΦ（B，T）.最后我们给出了一个例子，当Φ（ω，θ）在θ中具有非正则性时，对偶性失效。例2.12。设n=1，Φ（ω，θ）：=1Q（θ），其中Q表示所有有理数的集合，u：=δ{1}+δ{-1}. 我们首先注意到p（u）只有一个元素，这是由（B，τ）引起的概率度量，其中B是标准布朗运动，τ：=inf{t:|Bt|≥ 1}. 事实上，对于任何一个P∈ P（u），一个hasEP[T]=EP[BT]=EP[τ（B）]和T≥ τ（B），P-a、 此外，由于命中时间τ是R+上连续分布的随机变量，因此p（u）=supP∈P（u）EPΦ（B，T）= EPQ（τ（B））= 关于对偶问题，我们注意到λ∈ ∧是一个连续函数，我们可以通过停止时间取Q，然后取supτ来近似停止时间∈塔普Q（τ）- λ（Bτ）]=supτ∈塔普1.- λ（Bτ）]，对于所有λ∈ Λ.然后根据（2.5）中的定义，D（u）=infλ∈Λu（λ）+supτ∈塔普1.-λ（Bτ）]= 1.类似地，我们可以很容易地推断出，对于Φ（°ω）=1Q（θ），D（u）=1，在上面的上下文中，p（u）=0 6=1=D（u）=D（u）。3.应用于一类鞅输运问题在本节中，我们利用最优SEP的对偶结果来研究多个边际约束下的连续时间鞅输运问题。作为研究鲁棒超边缘问题的金融应用，多边缘情况非常自然。

也就是说，当普通期权可用于多个到期日的交易，从而导致标的资产多次出现边际分布时，我们可以将鲁棒超边缘问题描述为多个边际约束下的鞅运输问题。3.1鲁棒超边缘和鞅传输定义标准过程X:=（Xt）0≤T≤1by Xt=B1∧t所有t∈ [0,1]且其自然过滤系数F=0≤T≤1.用M进一步表示所有鞅测度P的集合，即X是鞅的概率测度。设I:=（0<t<···<tn=1）是一组时间点，并定义了一组可移动的运输计划∈ PM（u）：=nP∈ M:Xtk＠P~ uk对于所有k=1，···，无。根据Karandikar[40]，存在一个非递减的F-渐进过程hXi取[0]中的值，∞], 使得hXi与X，~P的二次变化一致-a、 s.对于每个鞅测度P∈ M.表示hXi-1t:=infs≥ 0:hXis>t∧ 1和重量：=XhXi-1t{t<hXi}+X+cWt-hXi{t≥hXi}，（3.8），其中cw是一个独立的布朗运动。然后，根据DambisDubins-Schwarz定理（参见Revuz&Yor[49，定理1.7，第五章]），过程W是一个布朗运动。我们还表示W（X）：=（XhXi-1t）0≤T≤在一般情况下，我们需要扩大空间来获得一个独立的布朗运动。然而，在下文中，我们将始终考虑非预期函数Φ（WhXitn∧·, hXit，··，hXitn）表示0≤ T≤ · · · ≤ tn=1，这并不真正取决于Cw。这只取决于X。对于可测函数ξ：Ohm → R、 多重边际约束下的鞅输运问题定义为P（u）：=supP∈M（u）EPξ（X）. （3.9）用H表示所有F的集合-渐进过程H:=（~Ht）0≤T≤1如此之多+∞, M- q、 美国。

（H·X）是P- 所有人的超级马丁格尔∈ M.然后，这两个对偶问题由∧D（u）：=infλ给出∈∧nsupP∈我ξ十、- λ（XI）+ u（λ）oandD（u）：=inf（λ，~H）∈其中λ（XI）：=nXi=1λi（Xti），其中XI:=（Xt，···，Xtn）和D:=n（λ，~H）∈ λ××H:λ（XI）+（H·X）≥ ξ十、, M- q、 s.o.很容易检查弱对偶性是否成立：~P（u）≤~D（u）≤~D（u）。（3.11）3.2对偶性和财务解释利用定理2.4中最优SEP的对偶结果，我们可以建立上述鞅运输问题的对偶性。定理3.1。假设奖励函数ξ允许表示ξ（X）=ΦW、 hXit，···，hXitn对于某些Φ，W=W（X）：Ohm → R满足假设2.2和2.3。然后，P（u）=D（u）=D（u）。财务解释示例3.2。让我们：R+×RN→ R是一个连续函数，从上到下有界，ξ由ξ（X）=φ定义hXiti，Xti，Xti，Xti，i=1，·n, （3.12）其中xt:=sup0≤s≤tXsand Xt:=inf0≤s≤tXs。然后用Φ（ω，θ）：=φθi，ωθi，ωθi，ωθi，i=1，··，n,式中ωt:=sup0≤s≤tωsandωt:=inf0≤s≤tωs，很明显，ξ满足定理3.1中的条件（另见示例2.10）。形式（3.12）涵盖了回望期权、障碍期权、方差期权等一大类支付函数。定理3.1中的对偶结果将无套利价格边界问题与最小稳健超边问题联系起来。鞅测度P∈ M可以看作一个市场模型，在阿马丁格尔测度下的ξ期望提供了期权ξ的无套利价格。然后是一个概率测度P∈ M（u）可以被认为是一个根据市场信息校准的鞅模型，因为当市场上某些到期日的普通期权足够丰富时，可以恢复基础期权的边际分布u（参见E.g.[8]）。

因此，原始问题（3.9）提供了一个无套利的价格边界。对于对偶问题（3.10），λ和∧H定义了一个半静态策略，在所有可能的鞅模型下，几乎可以肯定地超级复制支付ξ。然后，D（u）使用一类可能的静态和动态策略，提供了奇异选项ξ的最小稳健超边缘成本。这里的稳健性指的是，潜在的概率度量不是预先确定的，因此在所有可能的模型下都会施加超级套期保值要求∈ M.在Dolinsky&Soner[21]中，对于n=1的情况，对于一般支付函数ξ，建立了对偶性（在更强的意义上），该函数相对于统一度量是Lipschtiz。在我们的定理3.1中，奖励函数ξ更具体，但它可能包括对基础过程二次变化的依赖，这与金融中的方差期权有关。此外，我们的结果考虑了多边缘病例，他们的技术的这种扩展似乎并不明显，另见Hou&Ob l\'oj[37]和Biagini，Bouchard，Kardaras&Nutz[6]的工作。最近，在Dolinsky&Soner[22]中的Skorokhod空间下适条件中证明了一种类似的对偶性，其中假定基础资产在c`adl`ag函数的某个子空间中取值（另见[29]）。定理3.1的证明。将OREM 2.4中的对偶P（u）=D（u）=D（u）与弱对偶P（u）相结合≤~D（u）≤~D（u），足以证明（u）≤~P（u）和D（u）≥§D（u），其中P（u）和D（u）分别在（2.3）和（2.6）中用奖励函数Φ定义。（i） 定义流程M:=（Mt）0≤T≤1byMt:=BTk+t-tktk+1-T∧Tk+1适用于所有t∈ [tk，tk+1）和0≤ K≤ N- 1，T=T=0，M=BTn。很明显，M在每个概率下都是连续鞅∈ P和Mtk=btk对于所有k=1，··，n，这特别意味着MtkP~ ukfor everyP∈ P（u）。

让P∈ P（u）可以是任意的，那么P:=Po M-1.∈ M（u）。此外，我们发现P-a、 美国，hMitk=TK对于所有k=1，···，nand Bt=MhMi-1t，即得出ξ（M）=ΦB、 嗯。。。，嗯= Φ（B，T），P- a、 s.P（u）≥ EPξ（M）= EPΦB、 T. （3.13）它遵循这一点（u）≤~P（u）。（ii）现在让我们来证明D（u）≤ D（u）。Let（λ，H）∈ D、 即（λ，H）∈ λ×H等于λ（BT）+（H·B）Tn≥ ΦB、 T,P- q、 s。。对于每一个P∈ M、 根据Dambis-Dubins-Schwarz定理，在（3.8）中定义的时变过程是关于时变过滤的布朗运动~FhXi-1tT≥0在每t的P和xt=whxit下∈ [0,1]，~P- a、 此外，hXiI:=（hXitk）1≤K≤鼻孔停止时间w.r.t.时间变化过滤~FhXi-1tT≥0.让我们定义：=~PoW、 hXit。。。，Hxitin-1，那么∈ 我们有-a、 s.λWhXiI+Hs·WhXi≥ ΦW、 hXit。。。，Hxitin.定义Hs（X）：=HhXisW、 hXit。。。，Hxitin,然后是Revuz和Yor[49]的命题V.1.4和V.1.5，即H是＠F-逐步可测量，使ZHsdhXis=ZhXiHsds<+∞,~P- a、 美国，以及H·WhXit=每0≤ T≤ 1，~P- a、 s.λ（XI）+（H·X）≥ ΦW、 hXit。。。，Hxitin= ξ十、,~P- a、 s.（3.14）注意∈ H、 因此（H·W）在＠P下是一个强上鞅，这是由随机积分H·WhXi·在P（就其自然过滤而言）下是可分的，在H·X下也是如此。因此H∈~H及进一步（λ，~H）∈~D.~D（u）≤ D（u），由此得出结论。4定理2.4的证明为了证明我们在定理2.4中的主要结果，我们从4.1节中的一些技术引理开始。

然后在第4.2节中，我们提供了优化器的存在性*∈ P（u）和定理2.4中的第一对偶性P（u）=D（u），其中主要参数是紧性以及芬切尔-莫罗定理。最后，在第4.3节中，我们使用最优停止理论的经典结果，完成了定理2.4中第二对偶P（u）=D（u）和命题2.5中第二对偶P（u）=D′（u）=D′（u）的证明。第二对偶公式中的超套期保值策略可以直接从D（u）中停止问题的Snell包络的Doob-Meyer分解和鞅表示定理得到。在第2.5.4.1条技术引理的证明中，第4.3.3节更好地说明了这一论点表示全中心孔雀的集合，这是R上概率测度向量的集合。我们首先引入收敛的概念强于弱收敛。一系列有中心的孔雀um=（um，··，umn）M≥1. P据说在Wtou=（u，···，un）下趋同∈ P如果umk收敛到ukunder，则allk=1，···，n的瓦瑟斯坦度量（我们用umW表示）-→ u). 请注意，巴塞尔斯坦度量下的收敛等价于弱收敛拓扑下的收敛以及一阶矩的收敛（Villani[53]中的定义6.1]）。更准确地说，根据[53]的定理6.9，收敛性为umW-→ u仅适用于iflimm→∞umk（φ）=所有φ的uk（φ）∈ Cand k=1，···，n.（4.15）此外，为了应用芬切尔-莫罗定理，我们将考虑包含所有中心孔雀的线性拓扑空间。设M表示R上所有有限有符号测度的空间1+| x||ν|（dx）<+∞. 我们用Wasserstein拓扑赋予WM，即（νm）m≥1. M和ν∈ M、 我们说在Wiflimm下，νmconverge到ν→∞ZRφ（x）νm（dx）=所有φ的ZRφ（x）ν（dx）∈ C

（4.16）设Mn:=M×。。。×M是n-M的乘积，赋予乘积拓扑。很明显，在W，P是MNP的一个闭凸子空间，且该收敛性对P的限制与Wasserstein收敛相同。众所周知，具有弱收敛拓扑的所有有限有符号测度的空间是局部凸拓扑向量空间，其对偶空间是所有有界连续函数的空间（参见Deuschel&Stroock[20]第3.2节）。通过完全相同的论证（见[29]的附录），我们得到了以下类似的结果。引理4.1。MNW存在一个与W兼容的拓扑-收敛，使得（Mn，On）是一个hausdorff局部凸空间。此外，它的对偶空间是（Mn）*= Λ.我们下一步转到spaceP(Ohm) 在Polishspace上所有的Borel概率测度中Ohm. 用Cb表示(Ohm) 上所有有界连续函数的集合Ohm, 和Bmc(Ohm) 所有有界可测函数φ的集合，使得θ7→ φ（ω，θ）对所有ω都是连续的∈ Ohm. 注意，弱收敛拓扑(Ohm) 定义为P7→ EP[ξ]对所有ξ都是连续的∈ Cb(Ohm). 继Jacod&M\'emin[38]之后，我们介绍了P上的稳定收敛拓扑(Ohm) 作为p7下的最粗糙拓扑→ EP[ξ]对所有ξ都是连续的∈ Bmc(Ohm). 回想一下，P中的每个概率度量（由（2.1）定义）在Ohm. 然后作为[38]中命题2.4的直接结果，我们得到以下结果。引理4.2。空间P上的弱收敛拓扑和稳定收敛拓扑。引理4.3。让（um）m≥1是一系列居中的孔雀，使得umW-→ u和（Pm）m≥1a具有Pm的概率测度序列∈ P（um）适用于所有m≥ 1.然后（下午）m≥1在弱收敛拓扑下是相对紧凑的。

此外，任何（Pm）m的累积点≥1至P（u）。证据（i） 对于任意ε>0，存在一个紧集D Ohm 使Pm（D×Θ）=P（D）≥ 1.- ε每m≥ 1.此外，根据门罗[45]的命题7，对于任何常数C>0，PmTn≥ C≤ C-1/31 +umn（|x |）≤ C-1/31 +卸荷点法≥1umn（|x |）.选择立方体[0，C]n足够大，以便T∈ [0，C]n≥ 1.- ε表示所有m≥ 1.密封性（Pm）m≥1弱收敛下的拓扑遵循byPmD×[0，C]n≥下午D×Θ+下午Ohm ×[0，C]n- 1.≥ 1.- 2ε适用于所有m≥ 1.不设任何限制点。通过可能减去一个子序列，我们假设→ 糟糕。（ii）注意B isF-每个P下的布朗运动，以及由此产生的过程φ（Bt）-Rt k′（Bs）ds是aF-Pm k下的鞅是有界的，光滑的，有界导数的。注意，映射（ω，t）7→ ν（ωt）-Rt~n′（ωs）ds也是有界连续的，然后是nepmh~n（英国电信）- ~n（Br）-Ztrа′（Bu）duψi=0，对于每个s<r<t和有界连续andFr-可测随机变量ψ。接受极限→ ∞, 就在那一刻~n（英国电信）- ~n（Br）-Ztrа′（Bu）duψi=0，（4.17）表示所有fr-可测有界连续随机变量ψ。自从财政司司长Fr-, Fr在哪里-由所有Fr的类生成-可测有界连续随机变量（见引理A.1），因此（4.17）对于所有边界和Fs仍然成立-可测ψ。让r→ s、 根据支配收敛定理，可以得出（4.17）适用于每一个s<t和有界F-可测随机变量ψ。这意味着B是anF-P.（iii）下的布朗运动，我们接下来假设∈ P（um）和proveBTn∧·是一致可积的。（4.18）μm的收敛性≥1到u特别意味着BTn- R+= umn（|x |- R）+-→ un（|x |- R）+< + ∞.因此，对于每一个ε>0，都有足够大的Rε>0，使得umn（|x）|-Rε）+<ε每m≥ 1.