资本配置的风险管理方法

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英文标题：
《A risk management approach to capital allocation》
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作者：
V\\\'eronique Maume-Deschamps (ICJ), Didier Rulli\\`ere (SAF), Khalil
  Said (SAF)
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The European insurance sector will soon be faced with the application of Solvency 2 regulation norms. It will create a real change in risk management practices. The ORSA approach of the second pillar makes the capital allocation an important exercise for all insurers and specially for groups. Considering multi-branches firms, capital allocation has to be based on a multivariate risk modeling. Several allocation methods are present in the literature and insurers practices. In this paper, we present a new risk allocation method, we study its coherence using an axiomatic approach, and we try to define what the best allocation choice for an insurance group is.
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中文摘要：
欧洲保险业很快将面临偿付能力2监管规范的应用。这将真正改变风险管理实践。第二支柱的ORSA方法使资本分配成为所有保险公司，特别是集团的一项重要工作。考虑到多分支机构，资本配置必须基于多元风险模型。文献和保险公司实践中存在几种分配方法。在本文中，我们提出了一种新的风险分配方法，我们用公理化的方法研究了它的一致性，并试图定义一个保险集团的最佳分配选择是什么。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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关键词：风险管理方法 资本配置 管理方法 风险管理 Applications

资本配置的风险管理方法v。毛姆·德尚、D·鲁利埃和K·塞达布斯特拉特。欧洲保险业不久将面临偿付能力监管规范的应用。这将真正改变风险管理实践。第二支柱的ORSA方法使资本分配成为所有保险公司，特别是集团的重要工作。考虑到多分支企业，资本分配必须基于多变量风险模型。文献和保险公司实践中存在几种分配方法。在本文中，我们提出了一种新的风险分配方法，我们使用公理化方法研究了其一致性，并试图确定n保险集团的最佳分配选择。简介偿付能力2标准将使精算行业的风险管理实践发生根本性变化。它们基于风险控制的加强和破产概率的最小化。在这种审慎机制下，经济监管资本的确定将面临一场方法革命。两种方法都需要选择不同的依赖模型和聚合方法。在规定的标准公式中，风险聚合是使用关联矩阵来完成的，关联矩阵将风险家族和子家族联系起来。一旦计算了偿付能力资本要求（SCR），其在不同的业务分支机构之间的分配将成为新的运营挑战。资本分配是一项内部活动，当然不受偿付能力2第一支柱的控制，但它在决定所有保险公司活动的绩效方面起着至关重要的作用。保险集团的情况需要在自身风险和偿付能力评估（ORSA）方法的背景下进行特殊处理。

在这种情况下，风险的多变量分析似乎是相关的。多元背景下的资本分配问题源于各种风险活动之间的依赖关系，这可能会产生多元化效应。文献中的几种分配方法是基于单变量风险度量和分配原则的选择。另一些是基于优化多变量破产概率或一些多变量风险指标。在本文中，我们通过最小化一些风险指标来研究分配技术。关于资本配置方法的文献非常丰富。在过去的二十年里，人们提出了一些原则。最重要和研究最多的是Shapley方法、Aumann-Shapley方法和Euler方法。Shapley方法基于合作博弈论。Denault\'spaper（2001）[10]对此进行了详细描述。Denault证明，该方法最初用于在联盟博弈环境中分配参与者之间的总成本，可以很容易地适应于解决分段之间的总体风险分配问题。塔什用了两篇论文[21]和[22]来描述欧拉的方法。欧拉的方法也成立日期：2015年6月15日。2010年数学学科分类。62H00，62P05，91B30。关键词和短语。多元风险指标、偿付能力2、偿付能力资本要求SCR、自有风险和偿付能力评估ORSA、相关性建模、一致性属性、风险理论、最优资本配置。在以g射线法为名的文献中。它基于根据每个风险的微小边际影响来分配资本的理念。这种影响对应于总体风险的增加，从而产生边际风险的微小增加。欧拉方法在文献中非常常见。

几篇论文分析了它的性质（相容性[6]，[23]，[5]，…）在不同的假设下（Tasche（2004）[20]，Balog（2011）[2]）。它之所以出名，是因为存在可以证明其用于制定分配规则的经济论据。最后，Aumann-Shapley方法是Shapley方法的一个连续推广。它的原理基于奥曼和沙普莱在博弈论中提出的价值观。Denault[10]分析了该方法及其在资本配置中的应用。这三项资本配置原则依赖于不同的风险度量。分配方法的一致性取决于所选风险度量的属性。一些pap根据所用风险度量的性质处理资本配置一致性。我们引用了一个例子，Fischer（2003）[12]、Bush and Dor Fleitner（2008）[5]和Kalkbrener（2009）[16]。最近，通过最小化一些多元破产概率，特别是蔡和李（2007）[7]定义的那些概率，或者通过最小化一些新的多元风险指标，提出了其他技术来构建最优分配方法。在这种情况下，Cénac等人[8]，[9]定义了三种类型的指标，既考虑了分支机构层面的破产严重性，也考虑了依赖结构对其局部严重性的影响。在一个周期的情况下，这些指标可以被视为Dhaene等人提出的一般指标的特例。(2012) [11]. Cénac et a l.（2014）[8]在双变量维度研究了通过最小化这些指标进行的分配，Maume Deshamps et al.（2015）[17]在更高维度研究了通过最小化这些指标进行的分配。在[17]中，我们研究了它的行为及其对一些特殊分布族的渐近行为。我们在同一篇论文中也研究了依赖性对分配构成的影响。

本文主要研究这种分配方法的相干性。通过最小化一些真实的多元风险指标进行分配，可以在系统风险建模的更一般框架中使用。在再保险中，在某些特殊情况下，它还可以用于确定最佳止损协议。这种分配技术也有助于衡量瑞士偿付能力测试（SST）中计算集团资本要求的表现，该测试为法定分支机构和集团偿付能力资本要求提供了一致的框架。这篇文章的结构如下。在第一部分中，我们通过最小化多变量风险指标，提出了最优分配方法。使用公理化方法，我们在第2节中定义了多变量环境下分配方法的一些一致性特性。第三部分是关于最优分配一致性的研究。第四部分是关于保险集团最佳分配方法选择的讨论。1.最优分配表示在多元风险框架中，我们考虑向量风险过程Xp=（Xp，…，Xpd），其中xpk对应于pth期间KTH业务线的损失。我们用时间p时kthline的Rpkthereserve表示，所以：Rpk=uk-pXl=1Xlk，其中英国∈ R+是KTH业务线的初始资本。u=u+··+u是集团的初始资本，d是业务线的数量。Cénac等人（2012）[9]在给定惩罚函数gk，k的情况下，定义了以下两个多变量风险指标，分别针对d r Isk和N期∈ {1，…，d}：o指标I:I（u，…，ud）=dXk=1EnXp=1gk（Rpk）11{Rpk<0}{Pdj=1Rpj>0},o 指示器J:J（u，…，ud）=dXk=1EnXp=1gk（Rpk）11{Rpk<0}{Pdj=1Rpj<0},gk:R-→ R+是C，gk（0）=0的凸函数，gk（x）≥ 0表示x<0，k=1。

，d.当集团对I指标有偿付能力时，或当集团对J指标也有偿付能力时，各分支机构必须支付的成本合计。他们建议通过最小化这些指标来分配一些资金。我们的想法是找到一个位置向量（u，…，ud），该向量将u=u+·ud等指标最小化，其中u是需要在所有分支机构之间共享的初始资本。指标I代表当地废墟的预期罚款金额，知道该集团仍有偿付能力。在指标J的情况下，仅在集团破产的情况下才考虑当地破产严重程度。通过使用优化随机算法，我们可以估计这些风险指标的最小值。Cénac等人（2012）[9]在一般假设下，提出了镜像算法的Kiefer-Wolfowitz版本，作为收敛算法，以找到最小化指标I的最优分配。该算法有效地解决了最优分配问题，尤其是对于大量业务线，以及多个时期的分配。1.1. 定义和符号。由于新的监管规则（如偿付能力2）只要求在一年内进行合理的分配，因此本文将重点放在单期（n=1）的分配情况上。这一选择的另一个目标是提出第一种计算方法。对于保险公司来说，年度分配似乎是一个更有效的决定；在一年的手术期间，这将使他能够整合风险港及其附属结构中发生的变化。使用以下符号： u是公司的初始资本。 Udu={v=（v，…，vd）∈ [0，u]d，Pdi=1vi=u}是初始资本u的可能分配集。 尽管我∈ {1，…，d}设αi=uiu，那么，如果（u。

，ud）∈ 乌杜。 11du={α=（α，…，αd）∈ [0,1]d，Pdi=1αi=1}是一组可能的分配百分比αi=ui/u。 风险XK对应于kthbranch在一段时间内的损失。在我们的语境中，这是一个积极的变量。 对于（u，…，ud）∈ Udu，我们在期末确定kthbusiness line的储备：Rk=uk- Xk，其中UK代表分配给kthbranch的部分资本。 风险的总和是：S=Pdi=1Xi，让我们-i=Pdj=1；j6=IXJI∈ {1，…，d}。 Fzi是随机变量Z的累积分布函数，\'Fzi是其生存函数和fZits概率密度函数。定义1.1（最佳分配）。设X是Rd，u的正随机向量∈ R+和KX:Udu→ R+一个与X和u相关的多变量风险指标。风险向量X的资本u的最佳分配定义为：（u，…，ud）∈ arg inf（v，…，vd）∈Udu{KX（v，…，vd）}。对于KX（v）=E[S（X，v）]形式的风险指标，对于评分函数S:R+d×R+d→ R+，这一定义可以被视为启发性概念多元框架的延伸。Gneiting（2011）[14]引入了可激发性，最近Bellini和Bignozzi（2013）[3]，Ziegel（2014）[24]和Steinwa r t等人（2014）[19]对univa r ia t e风险度量进行了研究，例如。假设。在本文中，我们将使用以下假设：H1：风险指标KX在Udu中具有唯一的最小值。在这种情况下，我们表示byAX，。。。，Xd（u）=（u，…，ud）在Udu中d风险分支上的金额u的最优分配。H2：函数gk是可微分的，因此对于所有k∈ {1，…，d}，g\'k（英国）- Xk）允许一阶矩，并且（Xk，S）有一个由f（Xk，S）表示的联合密度分布。H3:d风险具有相同的惩罚函数gk=g，K∈ {1, . . .

，d}。当指示器严格凸时，第一个假设得到验证，当至少有一个k∈ {1，…，d}，gk是严格凸的；节理密度f（Xk，S）包含[0，u]（见[9]）1.2。最优性条件。在本节中，我们重点讨论指标I和J的最优性条件。对于初始资本u，以及最小化多元风险指标I，weseek u的最优配置*∈ Rd+这样：I（u）*) = infv+··+vd=uI（v），v∈ Rd+。在假设H2下，风险指标I和J是不同的，在这种情况下，我们可以计算以下梯度：(I（v））I=dXk=1Z+∞vkgk（vk- x） fXk，S（x，u）dx+E[g′i（vi）- Xi）11{Xi>vi}{S≤u} ]而且(J（v））i=dXk=1Z+∞vkgk（vk- x） fXk，S（x，u）dx+E[g′i（vi）- Xi）11{Xi>vi}{S≥u} ]。在H1和H2条件下，利用拉格朗日乘子方法，我们得到了一个由该优化问题唯一解验证的最优性条件：（1.1）E[g′i（ui- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]，J∈ {1，…，d}。惩罚函数的一个自然选择是破产严重度：gk（x）=| x |。在这种情况下，如果连接密度f（Xk，S）支持[0，u]，则至少有一个k∈ {1，…，d}，我们的优化问题有唯一的解。我们可以这样写指标：I（u，…，ud）=dXk=1E|Rk | 11{Rk<0}{Pdi=1Ri≥0}=dXk=1E（Xk）- 英国）11{Xk>uk}{Pdi=1Xi≤u}=dXk=1E（Xk）- 英国）+{S≤u},J（u，…，ud）=dXk=1E|Rk | 11{Rk<0}{Pdi=1Ri≤0}=dXk=1E（Xk）- 英国）11{Xk>uk}{Pdi=1Xi≥u}=dXk=1E（Xk）- 英国）+{S≥u}.这些指标的梯度的各个组成部分的形式如下：- P十> u，dXj=1Xj≤ U, . . . , 基- PXd>ud，dXj=1Xj≤ U,还有，KJ- P十> u，dXj=1Xj≥ U, . . .

，KJ- PXd>ud，dXj=1Xj≥ U,式中，KI=KJ=dXk=1Z+∞英国（x）- 英国）fXk，S（x，u）dx。利用拉格朗日乘子求解凸优化问题，在唯一约束tu+u+···+ud=u的情况下，从1.1中得到以下最优性条件，其中gk（x）=| x |：：（1.2）P（Xi>ui，S≤ u） =P（Xj>uj，S）≤ u） ,，（i，j）∈ {1,2，…，d}。对于J指示器，这个条件可以写成：（1.3）P（Xi>ui，S）≥ u） =P（Xj>uj，S）≥ u） ,，（i，j）∈ {1,2，…，d}。利用这个最优性条件，可以得到一些显式和半显式的最优分配公式。我们的问题归结为对这种分配的研究，这取决于风险分布的性质以及它们之间的依赖程度。2.多元背景下资本分配的一致性在他的文章[10]中，德诺引入了一致性分配的概念，提出了四个公理，这些公理必须通过资本分配原则验证，才能被定性为一致性。根据Artzner等人（1999）[1]定义的标准，Denault的定义只能用于由单变量风险度量驱动的分配方法，尤其是多变量风险度量。我们的最优资本分配不是直接从单变量风险度量中得出的，即使它是通过最小化多变量风险指标得到的。在本节中，我们将在更一般的多元语境中重新表述连贯性公理。我们还定义了其他一致性属性，并从经济角度为每一个属性证明为什么它是一个可取的属性。2.1. 一致性。我们遵循德诺的想法，在多变量文本中定义一致的资本分配。定义2.1（一致性）。A资本分配（u，…，ud）=AX，。。。，初始资本的Xd（u）∈ 如果R+满足以下特性，则R+是一致的：1。

全部分配：所有的资本∈ R+必须在分支之间分配：dXi=1ui=u.2。对称性：如果向量（X，…，Xd）的联合分布通过风险xAnd Xj的排列保持不变，则分配也通过该排列保持不变，并且ITH和JTH业务线对风险资本的贡献相同：If（X，…，Xi-1，Xi，Xi+1，Xj-1，Xj，Xj+1，Xd）L=（X，…，Xi-1，Xj，Xi+1，Xj-1，Xi，Xj+1，Xd），然后ui=uj。3.无风险分配：对于确定性风险X=c，其中常数c∈ R+：AX，X，。。。，Xd（u）=（c，AX，…，Xd（u）- c） ）。该属性意味着分配方法仅与风险分支相关，确定性风险的存在对分配给风险分支的份额没有影响。4.次可加性：M {1，…，d}，让（u）*, U*, . . . , U*r） =APi∈MXi，Xj∈{1，…，d}\\M（u），其中r=d- 卡（M）和（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）：u*≤xi∈梅。该属性意味着分配考虑了多元化收益。它与Denault定义的无底价资产有关，这在我们的环境中毫无意义。5.共单调可加性：对于r 6 d共单调风险，AXii∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk（u）=（uii∈{1，…，d}\\CR，Xk∈其中（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）是u在d风险（X，…，Xd）上的分配，crr表示r共单调风险指数的集合。共单调随机变量的概念与霍夫丁（1940）[15]和弗雷切特（1951）[13]的研究有关。这里我们使用Borch（1962）[4]精算文献中对共单调风险的定义。随机变量向量（X，X，…，Xn）是共单调的当且仅当存在随机变量Y和非递减函数φ，确保：（X，…，Xn）=d（ν（Y），~nn（Y））.2。其他理想的性能。