资本配置的风险管理方法

我们还定义了一些理想的特性，这些特性是分配自然应该满足的。这些属性基于Artzner et al.（1999）[1]提出的一致性风险度量思想，以及Kalkbrener（2009）[16]给出的一致性资本分配公理化特征。定义2.2（正同质性）。一个分配是正齐次的，如果有α的话∈R+，它满足：AαX，。。。，αXd（αu）=αAX，。。。，Xd（u）。换句话说，如果资本分配方法对现金变化不敏感，那么它就是正同质的。定义2.3（翻译不变性）。如果对所有（a，…，ad）而言，分配是平移不变的∈ Rd，它满足了：AX-A.除息的-ad（u）=AX，。。。，Xdu+dXk=1ak！- （a，…，ad）。平移不变性性质表明，风险的增加（减少）对其资本u分配份额的影响，归结为其在资本u分配份额的增加（减少）减少（增加）的影响。定义2.4（连续性）。分配是连续的，如果我∈ {1，…，d}：林→0AX，。。。，（1+）Xi，。。。，Xd（u）=AX，。。。，xiXd（u）。这一特性反映了这样一个事实，即业务线风险的微小变化，对我们归因于它的资本部分的影响有限。让我们回顾一下随机支配秩序的定义，如Shaked and Shanthikumar（2007）[18]所述。对于随机变量X和Y，Y在随机支配下的第一个当且仅当：`FX（X）≤“FY（x），十、∈ R+，在这种情况下，我们表示为：X≤猪圈。这个定义也相当于以下定义：X≤猪圈<=> E[u（X）]≤ E[u（Y）]，对于所有u递增函数定义2.5（单调性）。如果（i，j）的分配满足单调性∈{1, . . .

，d}：Xi≤stXj=> 用户界面≤ uj。单调性是一个自然要求，它反映了一个事实，即如果分支XJI的风险高于分支Xi。然后，自然会向风险Xj分配更多资本。Dirk Tasche[21]定义的RORAC兼容性属性在构建分配方法时没有使用风险度量时失去了意义。3.最优配置的一致性在下文中，我们表明，最小化指标I的资本配置满足定义2.1的一致性公理，但次可加性除外。我们还表明，在第二小节中，它满足了其他期望的性质。指示器J.3.1也是如此。一致性。首先，完全分配公理通过构造进行验证，因为任何最优分配都满足等式：dXi=1ui=u。命题3.1表明，最优分配满足对称性。命题3.1（对称性）。在H1下，如果用于（i，j）∈ {1,2，…，d}，i6=j，夫妻（Xi，S-i） 和（Xj，S）-j） 分布相同，惩罚函数gi和gj是相同的gi=gj，然后：ui=uj。证据Let（i6=j）∈ {1，2，…，d}是这样的（Xi，S-i） 和（Xj，S）-j） 具有相同的分布和相同的惩罚函数gi=gj=g。如果ui6=uj，我们可以假设i<j，并表示：（u，…，ui，…，uj，…，ud）=AX，。。。，xiXj，。。。，Xd（u），那么，I（u，…，ui，…，uj，…，ud）=infv∈UduI（v）=infv∈Udxk=1Egk（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤u}.另一方面，由于gi=gj=g和（Xi，S-（一）~ （Xj，S）-j） ，然后：I（u，…，ui-1，uj，ui+1，uj-1，ui，uj+1，ud）=dXk=1，k6=i，k6=jEgk（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤u}+ Eg（用户界面）- Xi）11{Xi>ui}{S≤u}+ Eg（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u}= I（u，…，ui，…，uj，…，ud）。根据H1，指标I在Udu中允许一个唯一的最小值，我们推断：（u，…，ui，…，uj，…，ud）=（u，…，ui）-1，uj，ui+1。

，uj-1，ui，uj+1，ud）。我们得出的结论是ui=uj。推论3.2。在假设H1和H3下，如果（X，…，Xd）是一个可交换的随机向量，那么通过最小化I和J指标得到的分配是相同的，由以下公式给出：，。。。，Xd（u）=乌德，乌德，ud.以下命题表明，最优配置验证了无风险配置公理。提案3.3（无风险分配）。在假设H1和H3下，对于1-齐次罚函数，对于任何c∈ R:Ac，X，。。。，Xd（u）=（c，AX，…，Xd（u）- c） ，其中（c，AX，…，Xd（u）- c） ）是c和向量AX的串联向量，。。。，Xd（u）- c） 。证据离散分布的存在使得指标I不可区分，因此我们既不能使用梯度，也不能使用在存在j联合密度的情况下获得的最优性条件。让（你）*, U*, · · · , U*d） =Ac，X，。。。，Xd（u）和（u，··，ud）=AX，。。。，Xd（u）- c） 。我们表示S=Pdi=1Xi，公共惩罚函数g=gk，K∈ {1，…，d}，R上的凸函数-并且g（0）=0，我们推断g也是正齐次的。我们区分三种可能性：o案例1:u*< 在这种情况下，我（u）*, U*, . . . , U*d） =infv∈Ud+1uI（v）=infv∈Ud+1udXk=0Eg（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤U-c}= Eg（u）*- c） 11{S≤U-c}+dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c},尽管如此，k∈ {1，…，d}我们把，例如，αk=u*-cd<0，因为函数g是凸的，且g（0）=0，所以它满足所有实0<β<1，g（βx）≤ βg（x），十、∈ R-. 然后：我（u）*, U*, . . . , U*d）≥ Ed·gU*- 光盘{S≤U-c}+dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c}= Ed·g(-(-α） +）11{S≤U-c}+dXk=1Eg（-（Xk）- U*k） +）11{S≤U-c}=dXk=1E[g](-（Xk）- U*k） +）+g(-(-αk）+]11{S≤U-c},十、→ g(-（x） +）是一个lso 1-齐次凸函数，那么：*, U*, . . . , U*d）≥dXk=1Eg（-（Xk）- （u）*k+αk））+）11{S≤U-c},我们注意到Pdk=1（u*k+αk）=u- c、 然后（u）*+ α, . . . , U*d+α）∈ 乌杜-c、 所以，我（u）*, U*, . . .

U*d）≥dXk=1Eg（（u）*k+αk）- Xk）11{Xk>u*k+αk}{S≤U-c}≥ infv∈乌杜-cdXk=1Eg（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤U-c}=dXk=1Eg（英国）- Xk）+{S≤U-c}= I（c，u，…，ud），然后，I（u*, U*, . . . , U*d）≥ I（c，u，…，ud）。这与集Ud+1u上最小值的唯一性相矛盾案例2：美国*> 我们有：I（u）*, U*, . . . , U*d） =dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c},I（c，u，…，ud）=dXk=1Eg（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤U-c}.设α=u*-cd>0，我们注意到*+α, . . . , U*d+α）∈ 乌杜-c、 惩罚函数g在R上递减-因为g′（x）≥ 0, 十、∈ R-g′（0+）=0。那么，I（c，u，…，ud）=dXk=1Eg（-（Xk）- 英国）+）11{S≤U-c}= infv∈乌杜-cdXk=1Eg（vk）- Xk）11{Xk>vk}{S≤U-c}≤dXk=1Eg（-（Xk）- （u）*k+α）+）11{S≤U-c}<dXk=1Eg（-（Xk）- U*k） ）+{S≤U-c}=dXk=1Eg（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤U-c}= I（u）*, U*, . . . , U*d） 。这与我（u*, U*, . . . , U*d） =infv∈Ud+1uI（v）。我们推断唯一可能的情况是第三种情况*= c、 o案例3：美国*= C最小值的唯一性意味着：*, U*, . . . , U*d） =（c，u）*, . . . , U*d） =arg minUd+1udXk=1E[g（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤U-c} ]=arg minUdu-cdXk=1E[g（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤U-c} ]=（c，u，…，ud）。最后，我们证明了：*, U*, . . . , U*d） =（c，u，…，ud）。引理3.4与次可加性性质有关。它将用于证明共单调可加性性质。引理3.4。假设H1、H2和H3，以及所有（i、j）∈ {1，…，d}，其中，x.ei是向量x的点积∈ Rd和Rd规范基的组成部分。o如果AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ei<AX，。。。，Xd（u）。（ei+ej），然后：K∈ {1，…，d}\\i，j，AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ek>AX，。。。，Xd（u）。ek，o如果AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ei>AX，。。。，Xd（u）。（ei+ej），然后：K∈ {1, . . .

，d}\\i，j，AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ek<AX，。。。，Xd（u）。ek，o如果AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ei=AX，。。。，Xd（u）。（ei+ej），然后：K∈ {1，…，d}\\i，j，AX，。。。，xi-1，Xi+Xj，Xi+1，。。。，Xj-1，Xj+1，。。。，Xd（u）。ek=AX，。。。，Xd（u）。埃克。证据为了简化符号，在不丧失普遍性的情况下，我们假设i=d- 1和j=d。我们把（u，…，ud）放在一起-1，ud）=AX，。。。，Xd（u）和（u）*, . . . , U*D-2、美国*D-1） =AX，。。。，除息的-2，Xd-1+Xd（u）。（u，…，ud）的最优性条件-1，ud）是给定的（i，j）∈ {1，…，d}通过方程1.1:E[g′i（ui- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]=λ，对于（u）*, . . . , U*D-2、美国*D-1） 是吗我∈ {1，…，d- 2} E[g′i（u）*我- Xi）11{Xi>u*i} {S≤u} ]=E[g′i（u）*D-1.- （Xd）-1+Xd）11{Xd+Xd-1> u*D-1} {S≤u} ]=λ*.现在，我们假设*D-1> ud+ud-1.在这种情况下，存在k∈ {1，…，d- 2} 这样你*k<uk，并且由于函数x→ g′(-（x） +）在R+上减少，然后：E[g′i（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤u} ]=λ<E[g′i（u）*K- Xk）11{Xk>u*k} {S≤u} ]=λ*我们由此推断∈ 1.D- 2:u*英国。如果我们假设u*D-1<ud+ud-1，加法情况是前两种情况的推论。命题3.5（共单调可加性）。在假设H2下，对于gk（x）=| x |，对于所有k∈ {1，…，d}，如果r≤ d.风险十二∈克雷·科莫诺尼克：阿西∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk（u）=（uii∈{1，…，d}\\CR，Xk∈其中（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）是u在d风险（X，…，Xd），AXii上的最优分配∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk（u）是u在n上的最优分配-d+1风险（十二）∈{1，…，d}\\CR，Pk∈CRXk）和CR表示r共单调风险指数的集合。证据对于（i，j）∈ {1，…，d}，如果Xiand Xjare是共单调风险，则存在一个递增的非负函数h，使得Xi=h（Xj），我们注意到h在假设H2下严格递增。

设f为函数x→ f（x）=x+h（x），因此Xi+Xj=f（Xj）。我们表示（u，…，ud）=AX，。。。，Xd（u）和（u）*, . . . , U*D-1） =AXi∈{1，…，d}\\{i，j}，Xi+Xj（u），然后，AXi∈{1，…，d}\\{i，j}，Xi+Xj（u）。预计起飞时间-1=u*D-1和斧头，。。。，Xd（u）。（ei+ej）=ui+uj。从分配AX的最优性条件，。。。，Xd（u），在方程式1.2中给出：P（Xi≥ 用户界面≤ u） =P（Xj）≥ uj，S≤ u） 我们推导出ui=h（uj）和ui+uj=f（uj）。如果存在k∈ {1，…，d}\\{i，j}，因此*那么英国K∈ {1，…，d}\\{i，j}:P（Xk）≥ U*k、 S≤ u） >P（Xk≥ 英国，S≤ u） 所以，P（Xi+Xj）≥ U*D-1.S≤ u） =P（Xj）≥ F-1（u）*D-1） ，S≤ u） =P（Xk）≥ U*k、 S≤ u） >P（Xk≥ 英国，S≤ u） =P（Xj）≥ uj，S≤ u） 最后，我们推断：-1（u）*D-1） <uj，然后u*D-1<f（uj）=ui+ujand，Pk∈{1，…，d}\\{i，j}u*k<Pk∈这是荒谬的。同样，英国<u*kfor k∈ {1，…，d}{i，j}导致了矛盾。利用引理3.4，在假设H3下，我们推导出了其他风险的最优分配∈ {1，…，d}\\{i，j}。两个共单调风险的可加性可以简单地推广到几个共单调风险。关于次可加性性质，我们还没有为这个性质建立一个证明。然而，使用Cénac et al.（2012）[9]中提出的优化算法进行的模拟，似乎通过最小化指标I和j来确认分配的次可加性，即使是风险度量VaR的非次可加性的经典示例。备注3.6。通过最小化风险指标I，已经证明了最优分配的先前属性，它们可以通过最小化指标J.3.2，用相同的参数证明最优分配。其他理想的性能。在本节中，我们展示了通过最小化指标I和J实现的最优配置满足一些期望的特性。

我们通过最小化多变量风险指标I来考虑分配，在指标J.命题3.7（正同质性）的情况下，证明几乎相同。在假设H1下，对于1-齐次惩罚函数gk，k∈ {1，…，d}，对于任何α∈ R+：AαX，。。。，αXd（αu）=αAX，。。。，Xd（u）。证据由于罚函数是凸的且1-齐次的，那么，对于任何α∈ R*+:AαX，。。。，αXd（αu）=arg min（u*,...,U*d）∈UdαudXk=1E[gk（u*K- αXk）11{αXk>u*k} {αS≤αu}]=arg min（u*,...,U*d）∈UdαudXk=1αE[gkU*kα- Xk{Xk>u*kα}{S≤u} ]=arg最小值（u）*,...,U*d）∈UdαudXk=1E[gkU*kα- Xk{Xk>u*kα}{S≤u} ]=αarg min（u，…，ud）∈Udxk=1E[gk（英国）- Xk）11{Xk>uk}{S≤u} ]=αAX，。。。，Xd（u）。命题3.8（翻译不变性）。假设H1、H2和所有（a，…，ad）∈Rd，使得关节密度f（Xk，S）支撑包含[0，u+Pdk=1ak]，用于所有k∈ {1，…，d}:AX-A.除息的-ad（u）=AX，。。。，Xdu+dXk=1ak！- （a，…，ad）。证据我们用（u）表示*, . . . , U*d） 最优分配-A.除息的-ad（u）和（u，…，ud）最优分配AX，。。。，除息的u+Pdk=1ak.使用最优性条件（1.1），（u*, . . . , U*d） 是以下方程组的唯一解：E[g′i（u*我-（十一）-ai）11{Xi-ai>u*i} {S-A.≤u} ]=E[g′j（u）*J-（Xj）-aj））11{Xj-aj>u*j} {S-A.≤u} ]，J∈ {1，…，d}，其中a=Pdk=1ak。然后*, . . . , U*d） 同样令人满意的是：E[g′i（u*i+ai- Xi）11{Xi>u*i+ai}{S≤u+a}]=E[g′i（u*i+aj- Xj）11{Xj>u*j+ai}{S≤u+a}]，J∈ {1，…，d}。自从（美国）*+ A.U*d+ad）∈ Udu+a，并根据分配AX的最优性条件（1.1）的解唯一性，。。。，Xd（u+a），我们推断：*k+ak=k代表所有k∈ {1，…，d}。提案3.9（连续性）。假设H1和H2，如果K∈ {1，…，d}，>0以便：，<，E[supv]∈[0，u]| g′k（v）- （1+）Xk）|]<+∞,那么，如果（X，…，Xd）是一个连续的随机向量，对于所有i∈ {1, . . .

，d}：林→0AX，。。。，（1+）Xi，。。。，Xd（u）=AX，。。。，xiXd（u）。证据设（u，…，ud）为d风险（X，…，Xd）上u的最优分配：（u，…，ud）=AX，。。。，xiXd（u），然后（u，…，ud）是Uduof方程组（1.1）中的唯一解：E[g′i（ui）- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]，J∈ {1，…，d}。为了∈ R、 设（u，…，ud）为u在d风险（X，…，Xi）上的最优分配-1，（1+）Xi，Xi+1，Xd）：（u，…，ud）=AX，。。。，xi-1，（1+）Xi，Xi+1，。。。，Xd（u），然后（u，…，ud）是以下方程组的唯一解：E[g′i（ui- （1＋）Xi）11{（1＋）Xi>ui}{S＋Xi≤u} ]=E[g′i（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S+Xi≤u} ]，J∈ {1，…，d}。由于udui是（R+d）上的紧集，我们可以考虑（uk，…，ud）的收敛子序列（uk，…，ukd）。由于惩罚函数满足：> 0, ，<，E[supv]∈[0，u]| g′k（v）- （1+）Xk）|]<+∞,我们利用勒贝格的支配收敛定理得到：E[g′i（lim→0uki- 十一{Xi>lim→0uki}{S≤u} ]=E[g′i（lim）→0ukj- Xj）11{Xj>lim→0ukj}{S≤u} ]，J∈ {1，…，d}，因此（lim→好的，林→0ukd）是方程（1.1）的解，因为epdl=1lim→0ukl=lim→0Pdl=1ul=u（lim）→好的，林→0ukd）∈ 乌杜。从Udu中（1.1）的解的唯一性出发，我们推导出：limk→∞uki=ui∈ {1，…，d}。对于（u，…，ud）的所有收敛子序列，极限点为（u，…，ud），我们推导出：lim→0（u，…，ud）=（u，…，ud）。命题3.10（一对一）。在假设H2下，对于（i，j）∈ {1，…，d}，例如gi=gj=g:Xi≤stXj=> 用户界面≤ uj。证据让我们。

，uj）是最优分配AX，。。。，xiXd（u），在假设H2下，最优性条件（1.1）写为：E[g′（ui- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]=E[g′（uj）- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]。现在如果Xi≤stXj，从那以后，x7→ -g′(-（ui）- x） +）11{S≤u} 是R+上的一个递增函数，那么：E[g′（ui- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]≤ E[g′（ui）- Xi）11{Xi>ui}{S≤u} ]。我们推断：E[g′（ui- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} ]≤ E[g′（uj- Xj）11{Xj>uj}{S≤u} 因为g′是一个增函数，分布都是连续的，这意味着：uj≥ 用户界面。通过结合本节中演示的所有属性，我们证明了在惩罚函数gk（x）=|x |K∈ {1，…，d}，并且对于连续随机向量（X，…，Xd），使得联合密度f（Xk，S）支持至少一个k的[0，u]∈ {1，…，d}，通过最小化指标I和J得到的最优分配是对称的无风险完全分配。它满足了共单调可加性、正同质性、平移不变性、单调性和连续性的性质。因此，从经济角度来看，这些资产是可取的，它们被提出的最优配置所满足，这一事实意味着这种分配方法很可能用于集团不同分支机构之间的经济资本分配，就其对整体风险的分散参与而言，考虑到它们的边际分布和它们与剩余分支的依赖结构。4.讨论：资本配置的最佳选择是什么？在第3节中，我们试图解释为什么从经济学的角度来看，最优分配可以被认为是一致的。

现在，最实际的问题是为保险公司确定最佳分配方法。Solvency 2规范的第一个目标是保险公司的保护，而ORSA方法基于本地和全球层面的风险最小化。经典的风险分配方法给出了集团风险中每个业务线的权重。最优分配基于g-lo-bal风险优化。从这个角度来看，最优资本配置似乎更符合O RSA目标。事实上，在偿付能力资本要求确定之后，最优配置提供了第二个风险管理级别。最佳分配方法的选择最终取决于保险公司的风险规避。如果将SCR视为唯一的风险管理级别，则经典的风险分配方法是有效的。如果保险人同意提高其安全级别，因为这是ORSA的目标，那么最优分配可能是满足这一需求的一个很好的实际答案。传统的资本配置方法基于一个选定的单变量风险度量，其属性源自该风险度量的属性。在多变量框架中，直接使用多变量风险指标似乎更为一致，不仅用于风险衡量，也用于资本配置。选择分配方法的另一个重要标准是资本性质。投资资本的配置可能不同于偿付能力资本的配置。结论在本文中，我们已经表明，从经济角度来看，通过最小化多变量风险指标的资本分配方法可以被认为是一致的。