社会选择对应关系的坚决改进

，n}，秩为r的替代方案被移动到秩ρ（r）。2.3从现在开始，让h∈ N和h≥ 2是固定的，让H={1，…，H}是个人的名字集。偏好文件是L（N）h的一个元素。集合L（N）his由P表示。如果P∈ 潘迪∈ H、 p的第i分量用pian表示，代表个人的偏好。任何p∈ P可以用n×h矩阵识别，其第i列是表示所有i的列向量∈ H.让我们考虑集合G=Sh×Sn×Ohm. 请注意，G是一个按组分进行的乘法，也就是说，对每一个（ψ，ψ，ρ）进行定义∈ G和（ψ，ψ，ρ）∈ G、 （ψ，ψ，ρ）（ψ，ψ，ρ）=（ψ，ψ，ρ）。对于每（ψ，ψ，ρ）∈ G a和p∈ P、 定义P（ψ，ψ，ρ）∈ P作为偏好，例如∈ H、 （p（ψ，ψ，ρ））i=ψp~n-1（i）ρ。因此，p根据以下规则（适用于任何顺序）获得偏好文件p（ψ，ψ，ρ）：∈ H、 个人i更名为а（i）；每x∈ N，备选方案x为ψ（x）；每一个r∈ {1，…，n}，秩为r的备选方案被移动到秩ρ（r）。例如，如果n=3，h=7和p=3 1 2 3 2 1 12 2 1 2 3 3 31 3 3 1 1 2 2, ψ=（134）（25），ψ=（12），ρ=ρ=（13），那么我们有p（ψ，id，id）=3 2 3 2 1 1 12 3 2 1 2 3 31 1 1 3 3 2 2, p（id，ψ，id）=3 2 1 3 1 2 21 1 2 1 3 3 32 3 3 2 2 1 1,p（id，id，ρ）=1 3 3 1 1 2 22 2 1 2 3 3 33 1 2 3 2 1 1, p（ψ，ψ，ρ）=2 2 2 3 3 1 11 3 1 2 1 3 33 1 3 1 2 2 2.很容易验证，如果n=2，那么p（id，ρ，id）=p（id，id，ρ）表示一个ll p∈ P如果n≥ 3，那么就不存在了∈ 尚德ψ∈ 因此，对于伊芙·瑞普来说∈ P、 P（ψ，ψ，id）=P（id，id，ρ）。换言之，自上而下的反向偏好不能归结为个人和其他人姓名的改变。

在下面的内容中，我们将第i分量p（φ，ψ，ρ）简单地写成p（φ，ψ，ρ）i，而不是（p（φ，ψ，ρ））i.2.4社会选择对应关系社会选择对应关系（scc）是从p到n的非空子集集的函数。SCC的集合用C表示∈ C、 我们说C是坚决的，如果，对于每一个p∈ P、 | C（P）|=1。我们说C′∈ C是C的一个元素，如果，对于每一个p∈ P、 C′（P） C（p）。请注意，C允许一个唯一的坚决条件，当且仅当C是坚决的。现在想想吧，帕尔∈ C定义，每p∈ P、 a sP ar（P）={x∈ N: Y∈ N\\{x}， 我∈ H使得x皮伊。（1） PAR被称为帕累托scc。请注意，P ar（P）包含至少在pi中排名第一的备选方案。特别是，P ar（P）6=.我们说C∈ C是有效的，如果C是P ar T hus的一个替代品，有效的scc永远不会选择一个被另一个一致击败的替代品。当然，每一个有效率的企业都是有效率的。给定一个分区y={Yj}sj=1of H，其中s∈ N、 我们定义了setV（Y）={~n∈ Sh:~n（Yj）=所有j的Yj∈ {1，…，s}，我们说C对于Y，brie fly Y是匿名的，如果，对于每一个p∈ P和φ∈ V（Y），我们有C（p（φ，id，id））=C（p）。因此，将Y的要素解释为小组委员会，我们有Y匿名SCC将相同的决策权赋予sa me小组委员会中的个人。注意V（Y）≤ 现在给定一个参数Z={Zk}tk=1of N，其中t∈ N、 我们定义了setW（Z）={ψ∈ Sn:ψ（Zk）=Zk表示所有k∈ {1，…，t}，一个非空集X的一个划分是X的一组非空的两两不相交子集，其并集是X。我们说C是中性的，相对于Z，br ie fly Z-中性，if，对于每一个p∈ P和ψ∈ W（Z），我们有C（p（id，ψ，id））=ψC（p）。因此，将Z的元素解释为子类，我们发现Z-中性SCC无法区分同一子类中的替代品。

注意W（Z）≤ Sn。当然，如果Y={H}[Z={N}]，那么V（H）=Sh[W（Z）=Sn]，因此匿名性[中立性]的经典要求对应于Y-匿名性[Z-中立性]的要求。此外，Cis anonymous[neutral]当且仅当对于H[Z]的所有分区Y，C是Y-匿名[Z-中立]的。继Bubboloni和Gori（2016）之后，我们最后说C对反转偏差免疫，如果∈ 当| C（P）|=1时，我们有C（P（id，id，ρ））6=C（P）。换言之，如果scc从未将sa me uniq ue winnerboth与偏好文件p以及通过p反转每个人的偏好文件相关联，则scc不受反转偏差的影响。3一些经典SCC的分析帕累托SCC、博尔达SCC、科普兰SCC、极小极大SCC和凯梅尼SCC是文献中深入研究的经典SCC。回想一下，P ar在（1）中定义，而对于每一个P∈ P、 我们有这个bor（P）=argma xx∈NhXi=1（n- rankpi（x）），Cop（p）=argmaxx∈NY∈ N:wp（x，y）≥h+1-Y∈ N:wp（y，x）≥h+1,最小值（p）=argmaxx∈n米尼∈N\\{x}wp（x，y），Kem（p）=nx∈ N: Q*∈ argmaxq∈L（N）kp（q）与rankq*（x） =1o。在哪里，每一个p∈ P、 x，y∈ N和q∈ L（N），我们有setwp（x，y）={i∈ H:xpiy}|，kp（q）=Xxqywp（x，y）。众所周知，下列命题成立。提议1。PAR、Bor、Cop、Min和Kem是高效、匿名和中立的。特别是，所有考虑的SCC对于H的任何划分都是匿名的，对于N的任何划分都是中性的。在下一个命题中，我们找到了关于个体数和备选方案数的条件，这些条件是必要和有效的，以使这些SCC与反转偏差和坚决性保持一致。为了简化符号，给出ψ∈ 斯南德X N、 我们写ψX而不是ψ（X）。对于博尔达scc，我们指的是著名的博尔达伯爵。

所有其他定义均取自Fishburn（1977）。提议2。PAR、Bor、Cop和Kem对反转偏差免疫。证据Borda和Copeland SCC的这一事实在Bubboloni和Gori（2016年，提案3）中得到了证明。因此，我们只能考虑C∈ {par，Kem}并证明如果，对于一些P∈ P和X，y∈ N、 我们有C（p）={x}和C（p（id，id，ρ））={y}，然后x 6=y。下面，对于每个p∈ P、 我们将把Pρ写成P（id，id，ρ）。假设对于某些P，P ar（P）={x}和P ar（Pρ）={y}∈ P和x，y∈ 然后，特别地，我们有rankp（x）=1和rankpρ（y）=1。因此，rankp（y）=n6=1=rankp（x），表示x6=y。现在考虑一下Kem。我们开始定义每一个p∈ P、 L（N）K（P）=argmaxq的非空子集∈L（N）kp（q）并表明，对于每一个p∈ P、 K（Pρ）=K（P）ρ。（2） 事实上，考虑到p∈ P、 很快就会发现，对于每一个x，y∈ N，我们有wpρ（x，y）=wp（y，x）。因此，对于每一个q∈ L（N），我们有kpρ（qρ）=Xxqρywpρ（x，y）=Xyqxwp（y，x）=kp（q）。现在给出^q∈ K（p）ρ，注意^q=q*ρ为合适的q*∈ K（p）。然后，对于每一个q∈ L（N），我们有kp（q*) ≥ kp（q），因此kpρ（q*ρ） =kp（q）*) ≥ kp（q）=kpρ（qρ）。因为L（N）ρ=L（N），这意味着^q=q*ρ∈ K（pρ）。因此，K（p）ρ K（pρ）。同样的论点也适用于pρgivesK（pρ）ρ K（p）。因此K（pρ） K（p）ρ，完成了（2）的证明。现在假设对于某些p，Kem（p）={x}和Kem（pρ）={y}∈ P和x，y∈ N.皮克*∈ K（p）注意rankq*（x） =1。另一方面，通过（2），q*ρ∈ K（pρ），所以*ρ（y）=1，即rankq*（y） =n。因此，x和y的替代品按Q排列*, 这意味着x 6=y。下面的结果由Bubboloni和Go ri（2016，T heorem A）证明。提议3。当且仅当h≤ 3或n≤ 3或（h，n）∈{(4, 4), (5, 4), (7 , 4), (5, 5)}.提议4。帕尔并不坚定。证据

考虑p∈ P使得rankp（1）=1，rankp（2）=1。然后{1，2} P ar（P）使P ar不是孤立的。提议5。让C∈ {Bor，Cop，Min，Kem}。那么C是坚决的当且仅当n=2且h为isodd。证据如果n=2且h为奇数，则Bor、Cop、Min和Kem同意简单多数，因此他们是坚决的。然后我们要证明h是偶数还是n≥ 3.那么阿蒙博尔，警察，我在，肯姆是坚决的。假设一开始是偶数。定义q=[1,2，（3），…，（n）]T，q=[2,1，（3），…，（n）]并考虑任何偏好文件p∈ P使得|{i∈ H:pi=q}|=H，|{i∈ H:pi=q}|=H。立即验证Bor（p）=Cop（p）=M in（p）={1,2}。此外，还可以检查kp（q）=kp（q）=maxq∈L（N）kp（q）=（N）- N- 1） 因为Kem是有效的，所以Kem（p）={1，2}。现在假设≥ 3和h是奇数。然后存在r，t∈ 带t的{0,1}≤ r和k∈ Nsuch茅草H=3+2r+2t+6k。定义q=[1,2,3，（4），（n）]T，q=[1,3,2，（4），（n）]T，q=[2,1,3，（4），（n）]T，q=[2,3,1，（4），（n）]T，q=[3,1,2，（4），（n）]T，q=[3,2,1，（4），（n）]T，并考虑任何偏好文件p∈ P使得|{i∈ H:pi=q}|=1+k+r，|{i∈ H:pi=q}|=k+t，|{i∈ H:pi=q}|=k，|{i∈ H:pi=q}|=1+k+t，|{i∈ H:pi=q}|=1+k，|{i∈ H:pi=q}|=k+r。立即验证Bor（p）=Cop（p）=Min（p）={1,2,3}。此外，可以检查kp（q）=kp（q）=kp（q）=maxq∈L（N）kp（q）=5+3r+3t+9k+（N）- N- 6） 因此，由于Kem是有效的，Kem（p）={1,2,3}。4上一节中所示的主要问题和结果，经典的社会选择问题通常不能令人满意。如果scc C不是坚决的，那么它会接受不同的条件，每一个条件都自然地被解释为C的打破平局规则。

因此，人们可能想知道，是否有可能找到具有特殊和理想性能的坚定的企业。Moulin（1983年，第23页）证明了关于帕累托scc以及匿名性和中立性的一个有趣结果。定理6。当且仅当ifgcd（h，n！）=1（3）定理6的一个重要结果是，任何有效的scc只有在（3）的情况下才具有匿名和中立的决定性条件。不幸的是，由于（3）是关于个体数量和备选方案数量的一个非常强的算术条件，在大多数情况下，没有匿名和中立的条件可用。当scc没有匿名和中立的再解决问题时，人们可能会关注那些坚定的问题，即匿名和中立的较弱版本。事实上，本文致力于这类调查。更准确地说，考虑到第2.4节中讨论的属性，我们解决了以下问题。主要问题。给定scc C、个体的划分Y和备选方案的划分Z，在C、Y和Z上找到条件，确保C允许Y-匿名和Z-中立的坚决竞争[且不受反转偏差的影响]。我们提出的第一个结果为分区的结构提供了算术条件，这些条件对于存在帕累托scc的决定性元素是必要的，这些元素对于这些分区来说是匿名和中立的[并且不受反转偏差的影响]。Dogan和Giritligil（2015）最近主要在假设（3）下对SCC的匿名、中性和单调的决定性因素进行了分析。

同样值得一提的是Campbelland Kelly（2015）的贡献，他指出，如果存在n>h（因此（3）个失败）和匿名、中立和坚决的SCC，那么这些SCC表现出的不良行为甚至比效率更高。定理7。设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1。（i） 如果P ar承认一个坚决的对手是Y-匿名和Z-neu-tral，t hengcdgcd（| Yj |）sj=1，|Zk*|!= 1.（4）（ii）如果P ar承认存在Y-匿名、Z-中立且不受普遍偏见影响的坚决反对，则为GCDgcd（| Yj |）sj=1，lcm（| Zk）*|!, 2 )= 1.（5）证据。（i） 让C坚定、高效、Y匿名、Z中立。自相矛盾地假设（4）不成立。然后存在一个素数π除以gcdgcd（| Yj |）sj=1，|Zk*|!.然后，对于每一个j∈ {1，…，s}，π| | Yj |和π≤ |Zk*|. 考虑π不同的选择x，xπ∈Zk*用y表示，伊恩-π剩余的备选方案。每一个j∈ {1，…，s}，设hj=|Yj |和ij，ijhj可能是Yj中所有元素的列表。定义φ=（i…ih）（i…ih）。（是……是）∈ Sh（6）和ψ=（x…xπ）∈ Sn。请注意∈ V（Y）和ψ∈ W（Z）。然后考虑偏好关系p∈ L（N）定义的byxPpxπpyP派恩-π、 对于每个j∈ {1，…，s}和r∈ {1，…，hj}，由pijr=ψr表示-1便士。一个简单的检查表明，par（P）={x，…，xπ}和thatp=（P（φ，id，id））（id，ψ，id）。现在让我们来看看x*∈ N等于C（p）={x*}. 然后{x*} = C（p）=C（p（φ，id，id））（id，ψ，id）= ψC（p（φ，id，id））=ψC（p）={ψ（x）*)}  P ar（P）。因此x*是ψ属于{x，…，xπ}的一个固定点，这是一个矛盾。（ii）让C是绝对的、有效的、Y-匿名的、Z-中性的，并且不受反转偏差的影响。自相矛盾地假设（5）不成立。

然后存在一个素数π，它划分gcdgcd（| Yj |）sj=1，lcm（| Zk）*|!, 2 ). 如果π≥ 3，那么我们就有了，对于e非常j∈ {1，…，s}，π| | Yj |和π≤ |Zk*|. 因此，我们完全按照（i）的证明进行，并找到矛盾。如果π=2，那么对于每j∈ {1，…，s}，hj=|Yj |是偶数。让我，IJHJ是Yj中所有元素的列表。设ψ定义为（6）和ψ=id∈ Sn。请注意∈ V（Y）和ψ∈ W（Z）。考虑为每个j定义的偏好文件∈ {1，…，s}和r∈ {1，…，hj}，通过pijr=ρr-1.一个简单的检查显示p=（p（id，id，ρ））（ν，id，id）。那么C（p）=C（p（id，id，ρ））（Ф，id，id）= C（p（id，id，ρ））6=C（p），一个矛盾。请注意，（5）显然意味着（4），（4）和（5）是等价的，如果Z元素中有一个的大小大于1。此外，考虑到Y={H}和Z={N}，（4）和（5）都等价于（3）。因此，定理7（i）暗示了定理6的“仅当”部分。现在让我们介绍一下论文的主要结果。它表明，考虑到满足定理7中描述的算术条件的个体和备选方案的划分，对于具有相同性质的任何scc，存在一个关于给定划分的匿名和中立的决定性条件[且不受反转偏差的影响]。与理论7不同的是，这个结果的pro是相当技术性的，将在第6节中作为第5节中开发的理论的结果进行介绍。定理8。

设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1。（i） 如果C∈ C是Y-匿名和Z-中立的，并且（4）成立，那么C承认一个坚决的对手是Y-匿名和Z-中立的。（ii）如果C∈ C是Y-匿名、Z-中性且不受反转偏差影响的，并且（5）是正确的，那么C承认一个坚决的对手是Y-匿名、Z-中性且不受反转偏差影响的。注意，如果（3）成立，那么（4）和（5）都满足Y={H}和Z={N}。因此，从定理8中，我们得到（3）意味着每一个匿名和中立的scc[并且不受反转偏差的影响]都承认一个匿名和中立的坚决反对[并且不受反转偏差的影响]。这特别表明，定理8（i）暗示了定理6的“如果”部分。为了更好地理解定理8如何应用于具体情况，我们考虑成立一个委员会，其目的是在一定的候选人中选出唯一的获胜者。假设一个委员会的成员已经就使用C匿名且中立[且不受反转偏见影响]的特定SCC C C达成一致意见。如果C不是坚决的，那么联合委员会成员需要确定一个打破平局的规则，即C的坚决对手。根据定理8，如果委员会成员和候选人的特征自然地建议将他们分成满足（4）[（5）]的组，对于所考虑的分区，可以设计一个匿名且中立的C的绝对值[且不受反转偏差的影响]。作为一个值得注意的例子，假设委员会是一个个人，比如说个人i，在委员会中有特殊的角色。例如，当委员会有一位主席时，就会发生这种情况。

在这种情况下，可以合理地假设主席的决策权可能与委员会中任何其他成员的决策权有所不同。这导致考虑Y={i}，H\\{i}给出的H的划分，它决定了对决策过程的结果具有同等影响的人群。现在考虑到N的分区Z={N}，这给了任何选择一个非齐次的优势，我们得到Y和Z满足（5），所以也满足（4）。定理8适用，我们知道存在一个C的绝对值，它是Y-匿名和中立的[并且不受反转偏差的影响]。最后，我们要强调的是，一般来说，定理8所确定的决定性条件可能很多，因此很难区分它们。然而，第5节提出的理论提供了一种潜在地建立和计算所有这些因素的方法。这使得它们之间的比较更加容易。为了描述这种方法的工作原理，请参见第6节。2.我们建立并统计所有匿名、中立且不受帕累托、博尔达、科普兰、极大极小值和凯梅尼SCC普遍偏见影响的决定性因素，当个体为五个且替代方案为四个时。在第6.3.1节中，我们考虑了三个个体和三个备选方案的情况，并分析了前面提到的每一个SCC的所有决定性因素，即{1,2}，{3}匿名、中立和对逆转免疫。在这个例子中，个体3与个体1和2是不同的，而个体1和个体2是无法区分的。5一般理论在这一大节中，我们发展了结果背后的一般理论。agroup在集合上的作用概念是所使用的ma in工具（见Jacobson，1974年，第1.12节）。5.1 U-一致的坚决sccs let F表示坚决sccs的状态。