社会选择对应关系的坚决改进

然而，自σjρσ以来，最后一个关系成立-1j=ψjandψj（xj）6=xjb因为xj∈ AC（pj）。接下来让我们证明f∈ FC。然后考虑p∈ P并显示出f（P）∈ C（p）。对于合适的j，Letp=pj（ψ，ψ，ρ）∈ PUand（ψ，ψ，ρ）∈ U.-如果j∈ pu和ρ=id，然后f（p）=ψ（yj），通过C的U-一致性，ψ（yj）∈ψC（pj）=C（pj（ψ，ψ，id））=C（p）如果j∈ 然后f（p）=ψ-1.*（zj）和（12）以及c，ψψ的U-c一致性-1.*（zj）∈ ψψ-1.*C（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）=C（pj（~n）*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,（身份证）= C（pj（ψ，ψ，ρ））=C（p）。-如果j∈ pu和ρ=id，然后f（p）=ψ（xj），通过C的U-一致性，ψ（xj）∈ψC（pj）=C（pj（ψ，ψ，id））=C（p）如果j∈ pu和ρ=ρ，然后let（ψ，ψ，ρ）∈ U应使pj（ψ，ψ，ρ）=pj。通过（12），wehavep=pj（φ，ψ，ρ）=（pj（φ，ψ，ρ））（φ）-1,ψψ-1，id）=pj（аа）-1,ψψ-1.id）。（25）因此，f（p）=ψ-1（xj）和，通过C的U-一致性，ψψ-1（xj）∈ ψψ-1C（pj）=C（pj（а）-1,ψψ-1，id））=C（p）。最后，为了证明唯一性，让f′∈ f′（pj）=yjand f′（pj（φ*,ψ*,ρ） ）=zj代表所有j∈ PU和f′（pj）=xj表示所有j∈ 聚氨基甲酸酯。然后是f，f′∈ 对于所有j，固化f（pj）=f′（pj）∈ pu和f（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）=f′（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）尽管如此∈ 聚氨基甲酸酯。因此，本文从命题13出发。让你≤ G要有规律，以便U 6≤ Sh×Sn×{id}，（pj）j∈聚氨酯∈ S（U），*, ψ*, ρ) ∈ U和C∈ 特写。-如果PU=, 然后让ψ：AC→ FUCbe是a与每个（yj，zj）j关联的函数∈聚氨酯∈AC，唯一的f∈ 在19号提案中有定义。-如果PU=, 然后让ψ：AC→ FUCbe是与每个（xj）j关联的函数∈聚氨酯∈ AC，唯一的f∈ 在19号提案中有定义。-如果PU6= PU6=, 然后让ψ：AC×AC→ FUCbe是与每个（（yj，zj）j关联的函数∈浦（xj）j∈（浦）∈ AC×AC，唯一的f∈ 在19号提案中定义。cour se，ψ，ψ和ψ依赖于U，（pj）j∈PU，（~n）*, ψ*, ρ） C，但我们不强调符号中的依赖性。还要注意，ψ、ψ和ψ是内射的。定理20。

让你≤ G要有规律，以便U 6≤ Sh×Sn×{id}，（pj）j∈聚氨酯∈ S（U），*, ψ*, ρ) ∈U和C∈ 铜。然后呢=ψ（AC）如果PU=ψ（AC）如果PU=ψ（AC×AC）如果PU6= PU6=此外，我们还有| FUC |=|AC |如果PU=|AC |如果PU=|AC |·| AC |如果PU6= PU6=FUC6=.证据首先假设Pu和Pub都是非空的。以f为例∈ 注意（f（pj），f（pj）*,ψ*,ρ） ）j∈PU，（f（pj））j∈聚氨酯∈ AC×AC和ψ（f（pj），f（pj）*,ψ*,ρ） ）j∈PU，（f（pj））j∈聚氨酯= f、 然后ψ是双射的，所以|FUC |=| AC×AC |=| AC |·| AC |。我们完成的证明表明，对于每一个j∈ PU，AC（pj）6= 而对于每一个j∈ PU，AC（pj）6=. AC（pj）对所有j至少有一个元素∈ Pu是C的U一致性的直接结果。现在假设存在j∈ PUsuch the AC（pj）= 考虑（2-3）中定义的ψjas。然后，对于每个x∈ C（pj），我们有ψj（x）=x。另一方面，作为ρ的ψja共轭，它有相同数量的ρ固定点。因此，如果n是偶数，则ψjhas没有固定点，因此C（pj）=, 矛盾。如果n是奇数，则ψj是唯一的固定点x，因此C（pj）={x}。Pick（ψ，ψ，ρ）∈ 斯塔布（pj）。根据U的正则性，我们得到了ψ=ψjandthusψ（x）=x-1C（pj）=C（pj）。现在，通过（12）和C的U-一致性，我们最终推断出C（pj（φ*,ψ*,ρ） ）=C（pj（φ，ψ，ρ））（φ*φ-1,ψ*ψ-1、身份证）= C（pj（φ）*φ-1,ψ*ψ-1，id））=ψ*ψ-1C（pj）=ψ*C（pj），与（9）相矛盾。卡斯e普= 而PU= 相似，然后省略。6.一些应用在本节中，我们主要应用一致性概念的一般理论来研究关于分区的匿名性和中立性的性质，以及对反转偏差的免疫力。特别是，我们描述了一些涉及第3节中考虑的经典SCC的具体情况。

下面我们用C表示*集合{par，Bor，Cop，Kem，Min}。6.1定理8的证明我们将通过证明下面的定理21来证明定理8。事实上，根据论文中引入的符号和命题10，定理21只不过是对定理7和8的重新表述。更准确地说，陈述（i）指的是定理7，而陈述（ii）指的是定理8。由于第4节已经证明了陈述（i），我们只剩下证明陈述（ii）。定理21。设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1，R≤ Ohm.（i） 如果FV（Y）×W（Z）×RP ar6=, 然后（20）。（ii）如果C∈ CV（Y）×W（Z）×Rand（20），然后FV（Y）×W（Z）×RC6=.证据（ii）设U=V（Y）×W（Z）×R和C∈ 铜。根据定理14，（20）意味着U是正则的。如果R={id}，那么我们应用定理18，得到FUC6=. 如果R=Ohm, 然后我们应用EoREM 20，我们再次得到FUC6=.6.2五个人和三个备选方案考虑五个人（h=5）和三个备选方案（n=3），因此G=S×S×Ohm. 自从GCD（5，3！）=定理14保证G是正则的。因此，根据定理20，对于每一个C∈ CG，我们有FGC6= FGCCA中的元素可以显式构建和计数。这里我们确定C的FGC∈ C*. 注意，当n=3时，命题11保证C* CGP ar。为了开始FGC中元素的具体构造，我们首先需要一个G轨道表示系统。我们选择系统p，P内置于Bubboloni和Gori（2015年，第7.2节）中∈ {1，…，26}，我们表示pjby j的轨道。因此，PG={1。

一个简单但乏味的计算表明，tPG={2,4,5,7,8,10,11,12,14,15,16,18,21,22,23,24}，PG={1,3,6,9,13,17,19,20,25,26}。接下来，我们选择（ν）*, ψ*, ρ） =（id，id，ρ）和∈ C*, 我们计算一个ll j的C（pj）∈ PG和C（pj（id，id，ρ））表示所有j∈ PG.这样做，我们发现Kem（pj）=Min（pj）为llj∈ PG，我们将所有j的Kem（pj（id，id，ρ））=Min（pj（id，id，ρ））∈ 因此，命题13给出了最小值。接下来我们计算，对于每一个j∈ PG，在（21）中定义的集合AC（pj）和，对于everyj∈ PG，在（22）中定义的集合AC（pj）。表1和表2中汇总了这些计算，其中 = {1, 2, 3}*= {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}. （26）从这些表中，到20世纪末，我们立即得到所有C的FGC中的EVERY元素∈ C*. 事实上，一旦决定，每个j∈ {1，…，2 6}是pj对应的条目之一，我们使用（24）中给出的定义准确识别FGC中的一个元素。特别地，我们推导了FGKem=FGMin，FGKem（FGBor）（FGP-ar，FGKem（FGCop）（FGP-ar，FGBor6 FGCop，FGCop6 FGBorand | FGP ar |=2，| FGBor |=8，| FGCop |=4，| FGKem |=FGMin |=2。请注意，Kem的两个G一致性因素仅取决于1和3之间的哪一个备选方案与以下偏好相关=1 1 3 2 32 2 2 3 13 3 1 1 2选择3可能被认为更合适，因为大多数人更喜欢3比1。6.3有杰出个人的委员会我们在第4节中观察到，如果个人i在委员会中扮演特殊角色，那么Y={{i}，H\\{i}是个人的自然划分，需要处理。

让C∈ C和considerCi，Ci∈ C定义，每p∈ P、 byCi（P）={x∈ C（p）：Y∈ C（p），xpiy}，Ci（p）={x∈ C（p）：Y∈ C（p），ypix}。AP ar（pj）ABor（pj）ACop（pj）、AKem（pj）、AMin（pj）p（1,3）、（2,3）（1,3）（1,3）p（1,3）、（2,1）、（2,3）（1,3）（1,3）（1,3）p（1,3）、（2,3）（1,3）p（1,3）、（2,3）（1,3）p （1,3）（1,3）p（1,3）、（2,1）、（2,3）（1,3）（1,3）p （1,3）（1,3）p （1,3）、（2,3）（1,3）p （2,3）（2,3）p（1,2）、（1,3）、（2,3）（1,3）（1,3）p （2,3）（2,3）p （2,1），（2,3）（2,1）p （2,3）（2,3）p （1,3）（1,3）p （1,3）（1,3）p （1,3）（1,3）表1:AC（pj）与C的计算∈ C*还有j∈ PG.AP ar（pj）ABor（pj）ACop（pj）AKem（pj），AMin（pj）p1 11 p1，311P1，311P1，311P1，221P1，221P1，221P1，211P1，211P1，211P1，311P1，311P1，311P1，311P1，311P1，321P1表2：用C计算AC（pj）∈ C*还有j∈ PG.当然，CIAN和CIA都是C的坚决反对者。请注意，CID与将个人i解释为委员会主席是一致的，个人i有权根据自己的偏好打破联系，而CIDOE似乎没有任何自然的解释。如果C是Y-匿名[中立]，很容易检查CIAN和CIA都是Y-匿名[中立]。如果C对反转偏差免疫，通常不能保证Ciand CIA也对反转偏差免疫。实际上，考虑，例如，（h，n）=（5，4）a和Minimaxscc。回想一下，根据命题3，Min不受反转偏差的影响。现在给定p，^p∈ P定义BYP=4 4 4 2 12 3 1 3 23 1 2 1 31 2 3 4 4, ^p=1 4 4 2 22 3 1 3 23 1 2 1 34 2 3 4 1我们有M in（p）=M in（^p）={4}和Min（p（id，id，ρ））=M in（^p（id，id，ρ））={1，3，4}。然后wehaveMin（p）=M in（p（id，id，ρ））=M in（^p）=M in（^p（id，id，ρ））={4}，这样M in和M不受反转偏差的影响。

然而，请注意，由于定理8，我们知道Min肯定承认一个坚决的结果，即{{5}，H\\{5}，匿名，中立，不受反转偏差的影响。值得注意的是，如果C满足对反转偏差免疫的适当更强版本，则可以证明C对反转偏差免疫。根据Bubboloni和Gori（2016）的说法∈ C对类型3的逆转偏倚免疫，如果∈ P、 C（P）∩ C（p（id，id，ρ））6=意味着C（p）=N。注意，如果C是坚决的，那么对普遍偏差的免疫力和对类型3的逆转偏差的免疫力的定义是一致的。22号提案。让我∈ H和C∈ C.对3型的逆转偏倚免疫。然后Ciand Ciare对反转偏差免疫。证据通过矛盾假设存在p∈ P和x*∈ N例如tCi（p）=Ci（p（id，id，ρ））={x*}.然后，特别是x*∈ C（p）∩ C（p（id，id，ρ））并且，由于C对类型3的反转偏倚免疫，我们得到C（p）=C（p（id，id，ρ））=N。成为x*∈ Ci（p）我们有x*为所有人祈祷∈ 另一方面，作为x*∈ Ci（p（id，id，ρ））我们还有x*πρy，也就是y皮克斯*尽管如此∈ N.既然是反对称的，我们就得到x*是N中唯一的元素，与N相对≥ 2.类似的论点适用于Ci。推论23。让我∈ H和Y={i}，H\\{i}。然后Bori，Bori，Copi和Copi是高效的，匿名的，中立的，对逆转偏见免疫。证据我们知道Bor和Cop是高效、匿名和中立的。根据Bubboloni和Gori（2016）中的提案3，我们发现Bor和Cop对类型3的反转偏差免疫。因此，本文遵循命题2，并回顾任何一个有效的条件都是有效的。6.3.1三个个体和三个候补个体考虑三个个体（h=3）和三个候补个体（n=3），因此G=S×S×Ohm.

自从GCD（3，3！）6=1，G是不规则的，根据定理7，不存在唯一的、有效的、匿名的和中性的scc。因此，FGC= 不管怎样，C∈ C*.然后考虑区分个体3的H的分区Y={{1,2}，{3}，以及N的分区Z={N}，定义U=V（Y）×W（Z）×Ohm. 根据定理14，U是正则的，因此，根据定理20，对于每一个C∈ 特写，我们有他妈的6= 所有的元素都可以被明确地构建和计算。在这里，我们确定所有C∈ C*. 注意，当n=3时，命题11保证C* CGC* 铜。作为一个代表U轨道的系统，我们考虑系统p，PBUBBOLONI和Gori（2015年，第7.1节）以及∈ {1，…，13}，我们表示pjbyj的轨道。因此，PU={1，…，13}一个简单的计算表明PU={3，4，8，9，10，11，12，13}，PU={1，2，5，6，7}。接下来，我们选择（ν）*, ψ*, ρ） =（id，id，ρ）和∈ C*, 我们计算一个ll j的C（pj）∈ PU和C（pj（id，id，ρ））表示所有j∈ 聚氨基甲酸酯。这样做，我们会发现Cop（pj）=Kem（pj）=M in（pj）for all j∈ PU，以及所有j的Cop（pj（id，id，ρ））=Kem（pj（id，id，ρ））=M in（pj（id，id，ρ））∈ 聚氨基甲酸酯。因此，根据命题13，我们得到了Cop=Kem=M in。特别是，这些SCC也承认同样的坚决要求。接下来我们计算每一个j∈ PG，第（21）条中定义的s et AC（pj），以及∈ PU，第22页中定义的集合AC（pj）。注意这里AC（pj）=C（pj）\\{2}，因为ψj=ρ=（13）表示所有的j∈ 聚氨基甲酸酯。表3和表4总结了这些计算，其中 定义为（26）。

从这些表中，根据定理20，我们立即得到fuc中所有C的每个元素∈ C*如第6.2节所述。特别是，我们推导出FUCop=FUKem=FUMin，FGCop（FGBor）（FGP ar.和| FUP ar |=2，| FGBor |=8，| FUCop |=| FUKem |=| FUMin |=2。请注意，Cop的两个U一致性条件仅取决于1和3之间的哪个选项与偏好相关=2 3 13 1 21 2 3注意，pgives上升到经典的康多塞特循环。根据推论23，cop和Copbelongto FUCop。同样清楚的是Cop6=Cop，因为可怕的ct计算显示Cop（p）=1和Cop（p）=3。因此，我们有那个FUCop={Cop，Cop}。AP ar（pj）ABor（pj）ACop（pj），AKem（pj），AMin（pj）p（1,2），（1,2），（3,2），（3,2）p（1,2），（1,3）（1,2）（1,2）（1,2）p（1,3），（2,3）（1,3），（1,3）（1,3）p（1,3），（1,3），（2,1,3）p （3,2）（3,2）p （1,2）（1,2）p （1,3）（1,3）p（1,3）、（2,1）、（2,3）（2,3）（2,3）表3:AC（pj）与C的计算∈ C*还有j∈ 聚氨基甲酸酯。AP ar（pj）ABor（pj）、ACop（pj）、AKem（pj）、AMin（pj）p1 1p1、3 3p1、3 1p1、3 1、3 1表4:AC（pj）与C的计算∈ C*还有j∈ 聚氨基甲酸酯。假设U是G的正则子群，当PU6= 或PU6=. 注意，显然，如果U是G的正则子群，则≤ Sh×Sn×{id}，那么PU= PU=PU6=.这种子组的一个例子是Sh×{id}×{id}。另一方面，肯定存在不包含在Sh×Sn×{id}中的G的正则子群，例如，{id}×{id}×Ohm 和h（φ，ρ，ρ）i，其中∈ 这是固定的。下面的命题是关于这类子群的。24号提案。

让你≤ 要有规律，这样你就6岁了≤ Sh×Sn×{id}。（i） 如果n=2，则PU6= 当且仅当H存在一个划分Y={Y，Y}，使得Γ∩ V（Y）=, 式中Γ={Γ∈ Sh：（，ρ，ρ）∈ U}和V（Y）={~n∈ Sh:~n（Y）=Y}。（ii）如果n≥ 3，那么PU6=.（iii）PU6= 当且仅当存在（ψ，ψ，ρ）∈ U使得ψ是ρ的共轭。证据（i） 首先，请注意n=2表示U≤ Sh×S×Ohm, 所以，对于每一个p∈ P和我∈ H、 圆周率∈ S={id，ρ}。由于ρ在Sisρ中的唯一共轭，U是正则的当且仅当，对于每一个ρ∈ P、 斯塔布（P） （Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ρ}×{ρ}）。假设Y={Y，Y}是H的一个划分，使得Γ∩ V（Y）= 并证明PU6=.考虑p∈ P由pi定义=所有i的id∈ Y、 对于所有i，π=ρ∈ 我们证明了Stabu（p）≤ Sh×{id}×{id}。事实上，通过矛盾的方式假设存在∈ Sh使得（φ，ρ，ρ）∈ 斯塔布（p）。然后呢∈ Γ，所以Γ∩ V（Y）= 瓜兰提斯我的存在∈ Ysuchthat~n（i）∈ Y.此外，通过（φ，ρ，ρ）∈ StabU（p），对于所有i，我们有pа（i）=ρpiρ∈ H.但是，由于是阿贝尔的，ρ=id，这就给出了所有i的pа（i）=Pi∈ H.尤其是，ρ=p k（i）=pi=id，这是一个矛盾。现在假设，对于H的每个分区Y={Y，Y}，我们有一个Γ∩ V（Y）6= 证明PU=. 我们需要证明，对于每一个p∈ P、 存在着∈ Sh使得（φ，ρ，ρ）∈ 斯塔布（p）。首先，请注意Γ∩ V（Y）6= 意味着Γ6=. 如果p∈ P是常数，也就是所有i，j的pi=pj∈ H、 选择一个∈ Γa并注意到，作为Sabelian和ρ=id，我们有p（Γ，ρ，ρ）i=ρpΓ-1（i）ρ=pа-1（i）=pi。如果改为p∈ P不是常数，考虑H的分区Y={Y，Y}，其中Y={i∈ H:pi=id}和Y={i∈ H:pi=ρ}。假设存在∈ Sh使得（φ，ρ，ρ）∈ U和~n（Y）=Y，so表示~n（Y）=Ytoo。因此，我∈ H、 我们有p（ρ，ρ，ρ）~n（i）=ρpiρ=pi=p k（i），因为i和а（i）都是从Yor到Y的长。

因此，（η，ρ，ρ）∈ 斯塔布（p）。（ii）我们必须证明p∈ P s uch that StabU（P）≤ Sh×{id}×{id}。然后考虑p∈ 由p=id和pi=（12）定义的Pde∈ H\\{1}。特别地，对于所有i，我们有p（1）=1和pi（1）=2∈ H\\{1}，因此在p中，个体排列在不同选择的第一位。吉文诺（ψ，ψ，ρ）∈ U、 我们知道，参考文件p（ψ，ψ，ρ）允许一个等于ψρ和h的分量- 1等于ψ（12）ρ的分量。观察ψρ（1）=ψ（n）以及n≥ ψ（12）ρ（1）=ψ（12）（n）=ψ（n）。因此，在p（ψ，ψ，ρ）中，每个个体都排在同一备选ψ（n）的前面，这意味着p（ψ，ψ，ρ）6=p.（iii）如果存在（ψ，ψ，ρ）∈ 如果ψ是ρ的共轭，那么就存在σ∈ Snsuchthatψ=σρσ-1.以p为例∈ 由pi定义的P=所有i的σ∈ H.那么，对于每一个我∈ H、 我们有p（ψ，ψ，ρ）i=σρσ-1σρ=σ=π（ψ，ψ，ρ）∈ StabU（p）和PU6=. 另一方面，如果PU6=, 然后就有了p∈ P和（ψ，ψ，ρ）∈ 斯塔布（p）。因此，根据U的规律性，ψ是ρ的共轭。我们强调，24号提案中描述的所有情况都可能发生。事实上，ifU={id}×{id}×Ohm, 那么PU6= PU=; 如果U=h（（12），ρ，ρ）i，那么PU6= PU6=;如果U=h（id，ρ，ρ）i和n=2，那么PU= PU6=.参考Bubboloni，D.，Gori，M.，2014年。匿名和中立的多数规则。社会选择和福利43377-401。Bubboloni，D.，Gori，M.，2015年。对称多数规则s.数学社会科学NCES 76，73-86。Bubboloni，D.，Gori，M.，2016年。关于极小极大社会选择对应的反向偏差。数学社会科学81,5 3-61。坎贝尔，D.E.，凯利，J.S.，2011年。多数人从二元议程中选择一个备选方案。经济学报110272-273。坎贝尔，D.E.，凯利，J.S.，2013年。匿名性、单调性和有限的中立性：从二元议程中选择一个单一的替代方案。