社会选择对应关系的坚决改进

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英文标题：
《Resolute refinements of social choice correspondences》
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作者：
Daniela Bubboloni and Michele Gori
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Many classical social choice correspondences are resolute only in the case of two alternatives and an odd number of individuals. Thus, in most cases, they admit several resolute refinements, each of them naturally interpreted as a tie-breaking rule, satisfying different properties. In this paper we look for classes of social choice correspondences which admit resolute refinements fulfilling suitable versions of anonymity and neutrality. In particular, supposing that individuals and alternatives have been exogenously partitioned into subcommittees and subclasses, we find out arithmetical conditions on the sizes of subcommittees and subclasses that are necessary and sufficient for making any social choice correspondence which is efficient, anonymous with respect to subcommittees, neutral with respect to subclasses and possibly immune to the reversal bias admit a resolute refinement sharing the same properties.
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中文摘要：
许多经典的社会选择对应只有在两个选择和奇数个个体的情况下才是坚决的。因此，在大多数情况下，它们接受了几项果断的改进，每一项都自然地被解释为打破平局的规则，满足不同的特性。在本文中，我们寻找社会选择对应的类别，这些类别允许对匿名性和中立性的合适版本进行坚决的改进。特别是，假设个体和替代品被外生地划分为子委员会和子类，我们找出子委员会和子类大小的算术条件，这些条件对于进行任何社会选择通信是必要和充分的，对于子委员会来说是有效的、匿名的，对于子类来说是中性的，并且可能不受反转偏差的影响，允许使用具有相同属性的坚决细化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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关键词：对应关系 社会选择 alternatives Quantitative Refinements

社会选择对应的坚决要求*Daniela Bubbolonidi Partitiono di Scienze per l\'Economia e l\'Impersonaniversation\'a degli Studi di Firenzevia d elle Pandette 9，50127，Firenze，Italy电子邮件：Daniela。bubboloni@unifi.ittel:+39 055 2759667米歇尔·戈里迪门托科学研究院（michele Goridipartmento di Scienze per’Economia e l’Impersonaniversation’a degli Studi di Firenzevia d elle Pandette 9，50127，Firenze，Italy）电子邮件：米歇尔。gori@unifi.ittel:+39 055 2759707 2018年6月19日摘要许多经典的社会选择对应关系只有在两个选择和奇数个个体的情况下才是坚决的。因此，在大多数情况下，他们承认几个决定性的因素，每个因素都自然地被解释为打破平局的规则，满足不同的性质。在这篇论文中，我们寻找社会选择对应的类别，这些类别支持匿名性和中立性的合适版本。特别是，假设个体和备选方案已被外生地划分为子委员会和子类，我们对su B委员会和子类的规模给出了算术条件，这些条件对于做出任何社会选择都是必要的，并且对于子委员会来说是有效的、匿名的，对于子类中立，并且可能不受反转偏差的影响，定义一个共享相同属性的坚决对手。关键词：社会选择对应；坚定；匿名中立；反转偏倚；群论。JEL分类：D71。1引言考虑一个委员会有h≥ 2个必须在一组n中选择一个或多个元素的成员≥ 2种选择。进一步假设，用于做出选择的程序仅取决于委员会成员对备选方案的偏好，且此类偏好以线性误差表示。

将偏好文件称为任何h偏好列表，其中每个都与委员会中的一个个人相关，选择程序可以用社会选择协调（scc）表示，即从偏好文件集到备选方案集非空子集集的函数。*Daniela Bubboloni得到了INdAM的GNSAGA的支持。文献中提出并研究了许多SCC。其中大多数都满足三个要求，即效率、匿名性和中立性，社会选择理论家认为这三个要求非常可取。回想一下，如果scc没有为每个偏好文件选择一个被另一个替代方案一致击败的替代方案，则称其为有效；匿名如果个体的身份与决定社会结果无关，也就是说，它为任何一对偏好文件选择相同的社会结果，这样我们就可以通过排列个体名称从另一个中得到一个；中性如果备选方案被平等对待，也就是说，对于每一对首选方案，我们通过排列备选名称从另一个中得到一个，那么与它们相关的社会结果将共同包含到所考虑的排列中。由于在许多情况下，集体决策过程需要选择一个独特的替代方案，因此果断的SCC在社会选择理论中扮演着重要的角色，即那些将个体与任何参考文件相关联的SCC。不幸的是，传统的SCC很少能满足坚定的态度。例如，如第3节所述，Borda、Co peland、Minimax和Kemenysccs都是有效的、匿名的和中立的，但当且仅当替代者的数量为两个且个体的数量为奇数时，它们才是合理的。

因此，如果一个委员会的成员想要使用一个经典的scc来做出他们的集体选择，并且需要一个独特的结果，那么他们还需要一个打破平局的规则来适用于chosenscc选出的替代方案。搭售规则的概念可以根据scc的要求自然地形式化。LetC和C′是两个SCC。如果对于每个偏好文件，C\'选择的一组备选方案是C\'选择的一组备选方案的子集，那么我们说C\'是C的一个补充。因此，C\'的补充可以被认为是减少C所做选择的模糊性的一种方法。特别是，C的坚决补充消除了导致唯一赢家的任何模糊性，这样他们就可以遵守打破平局的规则。当然，如果C不是坚决的，那么它承认比一个单独的问题更重要。因此，一个有趣的问题是了解是否有可能找到C的分解元素，使其满足合适的性质，使其更具吸引力。在本文中，我们重点讨论了先前描述的高效性、匿名性和中立性，以及对反转偏差的免疫力。回想一下，如果一个scc从未将同一个单子同时与一个偏好文件和一个通过假设每个委员会成员对他/她自己的备选方案排名的想法完全改变而获得的结果相关联（即，最佳备选方案得最差，次优备选方案得第二差，依此类推），则scc被认为不受普遍偏见的影响。

Saari（1994）首次提出的对反转偏差的免疫力尚未得到广泛探讨，实际上只有两篇论文完成了对它的研究，即Saari和Barney（2003）以及Bubboloni和Gori（2016），我们希望对这种属性的重要性进行广泛讨论。需要立即了解的是，高效scc的任何坚决要求都是有效的。然而，匿名[中立；不受逆转偏见影响]SCC的坚决反对通常不是匿名[中立；不受逆转偏见影响]。例如，对于使用两种标准方法来打破关系的坚决抵抗来说，这种情况就会发生。第一种方法由Moulin（1988）提出，基于打破平局的ag e nda，即对备选方案进行外源性的排名；第二种是基于被任命为平局打破者之一的偏好。当然，通过打破平局议程建立起来的坚定的利益不能是中立的，而通过打破平局议程建立起来的利益不能是匿名的。还请注意，Moulin（1983）的一个有趣结果表明，有效、匿名、中立和坚决scc的存在等同于强条件gcd（h，n！）=1（定理6）。因此，在大多数情况下，鉴于有效的scc，我们无法获得任何匿名和中立的坚决回应。因此，在这些情况下，我们只能寻找满足匿名性和中立性原则较弱版本的SCC。Bubboloni和Gori（2015）提出了一种削弱匿名原则的可能方法，假设个人被划分为小组委员会，并要求在每个小组委员会中，个人平等地影响最终的集体决策，而不同小组委员会中的人可能拥有不同的决策权。

他们还提出了中性原则的较弱版本，假设备选方案被划分为子类，并要求每个子类中的备选方案都得到同等对待，而不同子类中的备选方案可能会得到不同的对待。这些匿名性和中立性的版本当然是很自然的，并且在许多实际的集体决策过程中得到了实际应用。例如，当一个委员会担任主席，或者当一个委员会对性别歧视的求职者进行评估时，这种情况就会发生。在前一个例子中，委员会成员可以被认为分成两个小组委员会（第一个小组委员会的成员，第二个小组委员会的所有其他成员），每个小组委员会中都有匿名人士；在后一个例子中，可将备选方案分为两个亚类（第一类为女性，第二类为男性），因此，与同一亚类中的其他备选方案相比，没有任何备选方案具有外生优势。在本文中，我们找到了子委员会和子类的大小s的算术条件，这些条件对于存在有效的再溶质scc是必要的，对于子委员会来说是非对称的，对于子类来说是中性的[并且不受反转偏差的影响]（定理7）。然后，我们证明，相同的条件确保任何有效的scc，对于子委员会来说是匿名的，对于子类来说是中立的[并且不受普遍偏见的影响]，都允许一个具有相同性质的坚决对手（定理8）。除其他外，这些结果推广了Moulin之前提到的定理。虽然第一个结果的证明简单自然，但第二个结果的证明以及其他有趣的结果需要一定的工作量。

这些论点主要基于Bubboloni和Gori（2014年、2015年）提出的代数方法，在社会福利函数的框架内，群体在集合上的行为的概念被自然而有效地用于研究匿名性、中立性和较弱版本的问题，以及反转对称性。在这里，我们通过定义一个关于一个群体的scc一致性的一般和广泛的概念（第2.4节），将代数推理适应于scc的框架，其中包括关于小组委员会的匿名性、关于子类的中立性以及作为特殊情况的对逆转偏差的免疫力。一致性的不确定性提供了一个统一的框架，一方面可以使证明更简单、更直接，另一方面可以获得非常普遍的结果（定理15）。值得注意的是，本文中开发的代数方法还提供了潜在构建所有所需元素的方法。在第6.2节和第6.3.1节中，我们讨论了一些例子，解释了如何明确应用理论结果。2初步定义和事实本文给出了A、B和C集合，f:A→ B和g:B→ C函数，我们用gf表示f和g从右到左的组合，即从A到C定义的函数，用于everya∈ A、 当gf（A）=g（f（A））.2.1群和置换本文中使用的所有群论结果都可以在J acobson（1974年，第1章）中找到。在下文中，我们简要介绍了一些众所周知的概念，这些概念将有助于全面理解本文件，直到第4节结束。第4节阐述并评论了本文的主要定理。有限群G是一个具有满足结合性的二元运算的有限集，允许中性元素1G，并且每个元素都有逆。以g为例∈ G

我们设定g=1Gand，对于每一个s∈ N、 我们用gsg表示g自身的乘积s次。我们还用| g |表示顺序。值得一提的是，坎贝尔和凯利（2011、2013）也介绍了匿名和中立原则的一些弱版本。对于g，也就是最小s∈ N使得gs=1G。G的子集U称为G的子群，如果在G中的运算下U是闭合的，也就是说，如果对于每个U，U∈ U、 我们有uu∈ 如果U是G的a群，我们使用符号U≤ G.设X为非空有限集，则sym（X）表示从X到自身的双射函数组，其乘积定义为每个σ，σ∈ Sym（X），由σσ表示∈ Sym（X）。Sym（X）的中性元素由恒等式函数给出，用id表示。Sym（X）被称为X上的对称群，其元素被称为X上的置换∈ N、 groupSym（{1，…，k}）简单地用Sk表示。SKM中的元素通常是通过不相交的循环通过标准表示法编写的。例如，ψ=（134）（26）∈ 如果由ψ（1）=3，ψ（3）=4，ψ（4）=1，ψ（2）=6，ψ（6）=2，ψ（5）=5.2.2偏好关系定义的排列从现在开始，让n∈ N加N≥ 2是固定的，让N={1，…，N}是替代者的名字集。N上的偏好关系是N上的线性序，而不是完全的、传递的、反对称的二元关系。N上的偏好关系集用L（N）表示。给定q∈ L（N）和x，y∈ N，我们写xqy代替（x，y）∈ q、 还有xqy代替（x，y）∈ qand x 6=y，根据q如果x，我们说x比y优先qy。让q∈ L（N）固定。每ψ∈ Sn，我们将ψq定义为L（N）的元素，因此，对于每个yx，y∈ N、 （x，y）∈ ψq当且仅当（ψ）-1（x），ψ-1（y））∈ q、 考虑Sn中的顺序反转置换，即置换ρ∈ 已定义，用于eve ry r∈ {1, . . .

，n}，作为ρ（r）=n- r+1。显然，我们有|ρ|=2。注意，当n为奇数时，ρ实际上有一个固定点，当n为偶数时，ρ没有一个固定点。例如，如果n=3，我们有ρ=（13），2是唯一的固定点；如果n=4，我们有ρ=（14）（23）且没有固定点。定义Ohm = {id，ρ}，其中id∈ Sn。注意Ohm ≤ SNI是一个交换群，它允许作为唯一子群{id}和Ohm. 我们定义ρ∈ L（N）作为L（N）中的元素，对于每个x，y∈ N、 （x，y）∈ qρ当且仅当（y，x）∈ Qq id=q。请注意，根据定义，对于每个x，y∈ N和ψ∈ Sn，我们有xqyif且仅当ψ（x）ψqψ（y）；十、qy当且仅当yqρx.函数rankq:N→ {1，…，n}被定义为∈ N、 byrankq（x）={y∈ N:是的qx}|。这样的函数称为x的秩∈ N在q中是双射的。注意，对于每一个ψ∈ Sn，秩ψq（x）=rankq（ψ）-1（x））和rankqρ（x）=ρ（rankq（x））。现在考虑由v（n）={（xr）nr=1给出的n个不同分量的向量集∈ Nn:xr=xr=> r=r}，并认为每个向量（xr）nr=1∈ V（N）作为列向量到r，即，（xr）nr=1=十、xn= 函数f:V（N）→ L（N）与（xr）nr=1关联∈ V（N）偏好关系{（xr，xr）∈ N×N:r，r∈ {1，…，n}，r≤ r} ，以及函数f:Sn→ L（N）与σ有关∈ 偏好关系{（σ（r），σ（r））∈ N×N:r，r∈ {1，…，n}，r≤ r} 是双射的，因此，特别是，|Sn |=|V（N）|=|L（N）|=N！。注意-1（q）={（xr）nr=1∈ V（N）：R∈ {1，…，n}，rankq（xr）=r}，f-1（q）={σ∈ 序号：R∈ {1，…，n}，rankq（σ（r））=r}。还要注意，对于每一个ψ∈ Snandρ∈ Ohm, 如果f-1（q）=[x，…，xn]T，thenf-1（ψq）=[ψ（x），…，ψ（xn）]T和f-1（qρ）=[xρ（1）。

，xρ（n）]T；如果f-1（q）=σ，然后f-1（ψq）=ψσ和f-1（qρ）=σρ。因此，函数fand和fwe可以识别偏好关系q和向量f-1（q）和置换f-1（q），自然地解释V（N）和Sn中的乘积ψq和qρ。例如e，如果n=4和q={（4,2），（2,1），（1,3），（4,1），（4,3），（2,3），（4,4），（2,2），（1,1），（3,3）}∈ L（{1，2，3，4}），那么q和f都是相同的-1（q）=[4,2,1,3]T∈ V（{1,2,3,4}）和f-1（q）=（143）∈ S、 因此，4的秩为1，2的秩为2，1的秩为3，3的秩为4。因此，如果ψ=（342）∈ S、 然后我们可以写出ψq=（342）[4,2,1,3]T=[2,3,1,4]和qρ=[4,2,1,3]T（14）（23）=[3,1,2,4]T，以及ψq=（342）（143）=（123）和qρ=（143）（14）（23）=（132）。一方面，通过向量识别偏好关系使计算变得简单直观。另一方面，通过排列识别偏好关系，可以将SNN的群属性转移到偏好关系和排列之间的乘积。特别地，通过结合律和相消律，对于e veryψ，ψ∈ Snandρ，ρ∈ {id，ρ}，我们有ψq=ψq当且仅当ψ=ψ；qρ=qρ当且仅当ρ=ρ；（ψ）q=ψ（ψq）；q（ρ）＝（qρ）ρ；（ψq）ρ=ψ（qρ）。每ψ∈ Sn，ρ∈ Ohm 还有X L（N），我们定义ψXρ={ψqρ∈ L（N）：q∈ 十} 。注意，对于每一个ψ∈ Sn，ρ∈ Ohm 还有X Y L（N），ψXρ ψYρ，特别是ψL（N）ρ=L（N）。现在给出ψ∈ Snandρ∈ {id，ρ}，我们最后强调，上述讨论使得产品ψq和qρ有有趣的解释。事实上，如果q代表某个个体的偏好，那么ψq代表该个体的偏好∈ N，备选方案x称为ψ（x）；qρ表示如果每个r∈ {1, . . .