社会选择对应关系的坚决改进

显然是F C和每个坚决的SCC可以自然地定义为一个社会选择函数，即从P到N的函数f。我们将在本文的其余部分采用这种识别。让C∈ C.用C的一组元素表示，用F的一组元素表示∩ C的绝对条件。C的每个绝对条件都与社会选择函数f:P相一致→ 每一个p∈ P、 f（P）∈ C（p）。（7） 假设U是G的子群，我们说C是U-相容的，如果，对于每一个p∈ P和（ψ，ψ，ρ）∈ 如果ρ=id，则U，C（p（φ，ψ，ρ））=ψC（p），如果ρ=ρ和| C（p）|=1，则U，C（p（φ，ψ，ρ））6=ψC（p）。（9） 注意，如果ρ=ρ且|C（p）|=C（p）（p）（p（φ，ψ，ρ））等于1，则条件（9）相当于toC（p（φ，ψ，ρ））6=ψC（p）。（10） U-cons-sistent SCC的集合用CU表示；集合F∩ FU提出了一致性绝对SCC。FU中的每个scc都有一个社会选择函数f:P→ N因此，forevery p∈ P和（ψ，ψ，ρ）∈ U、 如果ρ=id，f（p（φ，ψ，id））=ψf（p），如果ρ=ρ，f（p（φ，ψ，ρ））6=ψf（p）。（11） 我们还设置了CUC=CC∩ CU和FUC=FC∩ 傅。Fuc中的每一个scc都将被称为C的U-一致坚决对应项，并用社会选择函数f:P识别→ N这样，对于每个人∈ P、 bo th（7）和（11）是正确的。scc与G的子群U的一致性概念能够通过子群U的适当选择捕捉scc的兴趣需求。特别地，对于H的每一部分，C是Y匿名的当且仅当C∈ CV（Y）×{id}×{id}；对于N的每个分区Z，C是中性的当且仅当C∈ C{id}×W（Z）×{id}；当且仅当ifC时，C不受反转偏差的影响∈ C{id}×{id}×Ohm.5.2 G对偏好集的作用如下命题，在Bubboloni和Gori（2015，命题2）中得到证明，表明G的任何子群U自然作用于偏好集P。

回想一下，这意味着存在从U到Sym的同态。提案9。让你≤ G.然后：（i）每p∈ P和（φ，ψ，ρ），（φ，ψ，ρ）∈ U，我们有p（ψ，ψ，ρ）=（p（ψ，ψ，ρ））（ψ，ψ，ρ）；（12） （ii）函数α：U→ Sym（P）定义为每（ψ，ψ，ρ）∈ U、 通过α（ψ，ψ，ρ）：P→ P、 第7页→ p（ψ，ψ，ρ）是一个很好的定义，它是U组在集合p上的一个动作。下面的命题10是支持命题9的一个有趣的结果。特别地，它说，给定一个scc C，一个H的分区Y和一个N的分区Z，我们得到C是Y-匿名的，Z-中立的当且仅当C∈ CV（Y）×W（Z）×id}；C是Y-匿名的，并且对白化病免疫，当且仅当C∈ CV（Y）×{id}Ohm; C是Z-中性的，当且仅当C∈ C{id}×W（Z）×Ohm; C是Y-匿名的，Z-中性的al，当且仅当ifC时对反转偏差免疫∈ CG。在陈述命题10之前，请记住，如果X是群G的子集，则由X生成的G的子群定义为包含X的G的所有子群的交集，它由hXi生成。众所周知，hXi由X中元素的所有有限乘积组成。如果X，X是G的子集，我们写hX，Xi而不是hX∪ xi有关更多详细信息，请参见Jacobson（1974年，第1.5节）。提议10。每一次我∈ {1,2}让我来≤ Sh×Sn，Ri≤ Ohm Ui=Zi×Ri。然后∩ CU=ChU，Ui。尤其是傅∩ FU=FhU，Ui。证据自从胡伊≤ G包含ua和U，我们立即得到ChU，Ui 铜∩ 铜。现在让我们来看看C∈ 铜∩ 并证明∈ 朱伊。定义，每k∈ N、 集合hU，Ui是hU，Ui中可以写成U的k个元素的乘积的元素∪ U

然后我们有hu，Ui=Sk∈NhU，Uikand要拿到C∈ 朱，这足以证明以下两个事实：（a）对于每一个k∈ N、 每p∈ P和g=（ψ，ψ，id）∈ 胡，Uik，（8）是正确的；（13） （b）每k∈ N、 p∈ P和g=（ψ，ψ，ρ）∈ 胡，Uik，（9）是正确的。首先，对于每个g=（ψ，ψ，ρ）∈ G、 defi neg=（ψ，ψ，id）∈ G.我们开始展示这一点，为everyk∈ N、 g∈ 胡，Uikimpliesg∈ 胡，乌伊克。（14） 如果ρ=id，则无需证明。假设ρ=ρ。因为，每一次我∈ {1，2}，我们有thatUi=Zi×rizi和Zi≤ Sh×Shand Ri≤ Ohm, 那么（14）对于k=1肯定成立。如果k≥ 2，pickg=g··gk=（ψ，ψ，ρ）∈ hU，Uik，其中g，gk∈ U∪ 由于ρ的阶数为二，因此j的个数∈ {1，…，k}使得gjisρ的第三分量是奇数。选择j∈ {1，…，k}使得gj=（ψj，ψj，ρ）。在k=1的情况下，我们得到了thatgj=（ψj，ψj，id）∈ U∪ U、 sothatg=g。gj-1gjgj+1。gk∈ hU，Ui，其第一和第二分量与g的分量相等。此外，g中作为第三分量ρ的因子数为偶数，这表示SG=（ψ，ψ，id）。我们现在通过对k的归纳来表示（a）。如果k=1，我们有g∈ 胡，Ui=U∪ Uand so（13）由C担保∈ 铜∩ 铜。假设（13）达到某个k∈ N，并表明它也支持fork+1。让p∈ P和g=（ψ，ψ，id）∈ 胡，Uik+1。然后就有了g*= (φ*, ψ*, ρ*) ∈ hU，Uikand g=（ψ，ψ，ρ）∈ U∪ 通常认为g=gg*= (φφ*, ψψ*, ρρ*). 我们想证明c（pg）=ψψ*C（p）。注意g=gg*由（14）可知*∈ 胡伊坎德g∈ U∪ U.然后，使用（12）并将（13）的归纳假设应用于togand和g*, 我们得到C（pg）=C（pgg*) = C（（pg*)g） =ψC（pg）*) = ψψ*C（p）。我们下一个节目（b）。让k∈ N、 p∈ P、 g=（ψ，ψ，ρ）∈ 胡，Uikand | C（p）|=1。我们需要证明C（pg）6=ψC（p）。首先要注意的是，由于hU，Ui包含一个元素w和第三个元素ρ，那么我们必须有R=Ohm 或R=Ohm, 所以（id，id，ρ）∈ U∪U

此外，我们可以将g表示为g=g（id，id，ρ），并用（14）表示g∈ 胡，乌伊克。因此，通过（12）and（a），我们得到C（pg）=C（（p（id，id，ρ））g）=ψC（p（id，id，ρ））。另一方面，因为（id，id，ρ）∈ U∪ UandC∈ 铜∩ 我们根据需要得到C（p（id，id，ρ））6=C（p）和so C（pg）=ψC（p（id，id，ρ））6=ψC（p）。最后，由于铜∩ CU=ChU，Ui，我们还有那个FU∩FU=CU∩铜∩F=ChU，Ui∩ F=FhU，Ui。作为命题1、2、3和10的直接结果，我们得到以下结果。提议11。（i） 每C∈ {par，Bor，Cop，min，Kem}，C∈ CSh×Sn×{id}P ar.（ii）对于每个C∈ {par，Bor，Cop，Kem}，C∈ CGP应收账款（三）百万元∈ CGP arif，且仅当下列条件之一成立时：（a）h≤ 3.（b） n≤ 3.（c） （h，n）∈ { (4, 4), (5, 4), (7, 4), (5, 5)}.命题9还允许使用关于一组在集合上的动作的符号和结果。我们回忆起我们将要使用的基本事实。修理你≤ G.每p∈ P、 集合pU={pg∈ P:g∈ U} 被称为p的U轨道和由StabU（p）={g定义的U的s子群∈ U:pg=p}在U中被称为p的稳定器。众所周知，集PU={PU:p}∈ P} U轨道的一部分是P的一部分。我们使用PUas索引集，并用j.A向量（pj）j注释其元素∈聚氨酯∈ ×j∈PUPis可以表示一个U轨道代表s的系统，如果，对于每个j∈ 普，pj∈ j、 U轨道的代表系统集用S（U）表示。If（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ 那么，对于每一个p∈ P、 存在j∈ PUand（ψ，ψ，ρ）∈ 使得p=pj（φ，ψ，ρ）。注意，对于某些j，j，ifpj（φ，ψ，ρ）=pj（φ，ψ，ρ）∈ pu和一些（φ，ψ，ρ），（φ，ψ，ρ）∈ U，thenj=jand，by（12），-1φ, ψ-1ψ, ρ-1ρ) ∈ 斯塔布（pj）。p-in-U的稳定剂通过作用以自然方式进化。

也就是每p∈ 潘德g∈ U、 我们有StabU（pg）=g StabU（p）g-1.这意味着如果V是U和p的正规子群∈ P、 然后是斯塔布（P）≤ V如果且仅如果Stabu（pg）≤ V代表所有g∈ 现在，由于G中的Sh×Sn×{id}正规，通过一个初等群论结果，我们得到了U∩ （Sh×Sn×{id}）在U中是正常的。因此，上述论点保证，对于每一个j∈ PU，下面两个条件中正好有一个是正确的：-对于每一个p∈ j、 斯塔布（p）≤ Sh×Sn×{id}；-每p∈ j、 斯塔布（p）6≤ Sh×Sn×{id}。然后我们定义nePU=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、 斯塔布（p）≤ Sh×Sn×{id}, （15） 浦=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、 斯塔布（p）6≤ Sh×Sn×{id}. （16） 当然，普∪ PU=PU和PU∩ PU=. 特别是，Pu和PUcannot都是空的。显然，如果你≤ Sh×Sn×{id}，那么PU= PU=PU6=.Pu和Pup在检查两个给定的U一致SCC是否相等方面起着重要作用，如下结果所示。提议12。让你≤ Sh×Sn×{id}和C，C′∈ 铜。假设存在（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈S（U）使得所有j的C（pj）=C′（pj）∈ 聚氨基甲酸酯。那么C=C′。证据让p∈ 并证明C（P）=C′（P）。我们知道存在j∈ PUand（ψ，ψ，id）∈ 通常p=pj（φ，ψ，id）。然后，C（p）=C（pj（φ，ψ，id））=ψC（pj）=ψC′（pj）=C′（pj（φ，ψ，id））=C′（p）。（17） 提议13。让你≤ G使得u6≤ Sh×Sn×{id}和C，C′∈ 铜。假设存在（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和（ψ）*, ψ*, ρ) ∈ U使得C（pj）=C′（pj）对于所有j∈ PUandC（pj（~n）*,ψ*,ρ） ）=C′（pj（）*,ψ*,ρ） ）尽管如此∈ 聚氨基甲酸酯。那么C=C′。证据让p∈ 并证明C（P）=C′（P）。L和j∈ 阴毛独特的轨道，使p∈ j、 如果存在（ψ，ψ，id）∈ 这样，p=pj（ψ，ψ，id），那么我们得到C（p）=C′（p）的表达式，如（17）所示。假设，对于每一个（φ，ψ，ρ）∈ 使得p=pj（ψ，ψ，ρ），我们有ρ=ρ。（18） 我们证明（18）意味着StabU（pj）≤ Sh×Sn×{id}。事实上，通过矛盾来支持存在的（ψ，ψ，ρ）∈ 斯塔布（pj）。

Pick（ψ，ψ，ρ）∈ U使得p=pj（φ，ψ，ρ），注意，通过（12），p=pj（φ，ψ，ρ）=（pj（φ，ψ，ρ））（φ，ψ，ρ）=pj（φ，ψ，ψ，id），这与（18）相矛盾。因此，j∈ Pu和pj*,ψ*,ρ） ）=C′（pj（）*,ψ*,ρ)). （ψ，ψ，ρ）∈ U使得p=pj（φ，ψ，ρ），并注意到，通过（12），p=pj（φ，ψ，ρ）=（pj（φ*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,因此，由于C和C′是U-一致的，我们最终得到C（p）=C（pj（~n）*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,（身份证）= ψψ-1.*C（pj（φ）*,ψ*,ρ))= ψψ-1.*C′（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）=C′（pj（~n）*,ψ*,ρ))(φφ-1.*,ψψ-1.*,（身份证）= C′（p）。命题12和命题13表明，scc的一致性水平是识别它的工具。的确，让C，C′∈ 假设我们有兴趣知道C=C′。一旦证明C和C′都在CU中，就可以得到一个合适的U≤ G、 它需要检查等式C（p）=C′（p）在p的一个小子集上是否成立，这基本上与U轨道表示系统一致。因为最大的是U，U轨道的数量是最小的，所以处理最大的U轨道可以减少要进行的检查的数量。5.3正则子群Bubboloni和Gori（2015）引入正则子群的概念，以处理对称的社会福利函数。G的子群U是正则的，如果，对于每一个p∈ P、 存在ψ*∈ sn与ρ共轭，使之稳定（p） （Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψ）*} × {ρ}) .（19） 注意，在我们的符号中，有两个置换σ，σ∈ 如果存在u，则陷阱共轭∈ sn使得σ=uσu-1.在Bubboloni和Gori（2015，定理14和引理17）中证明的以下结果，确定了G.定理14的一类有趣且相当大的正则子群。设Y={Yj}sj=1b是H的一个划分，Z={Zk}tk=1b是N与|Zk的一个划分*| = max{Zk}tk=1和R≤ Ohm. 那么V（Y）×W（Z）×R是正则的当且仅当ifgcdgcd（| Yj |）sj=1，lcm（| Zk）*|!, |R |）= 1.

（20） 特别地，G是正则的当且仅当gcd（h，n！）=1.下面的定理15是定理18和20的推论，在接下来的章节中得到证明，它清楚地表明了正则子群概念在sccs中的重要性。定理15。让你≤ G要有规律。然后，每个U一致的scc都承认一个坚决的U一致性。现在让我们收集一些关于我们将在续集中使用的正则子群的事实。回想一下，PUF和PUF的子集分别在（15）和（16）中定义。引理16。让你≤ G要有规律。（i） 浦=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、 斯塔布（p）≤ Sh×{id}×{id},浦=J∈ 聚氨基甲酸酯：P∈ j、 斯塔布（p）6≤ Sh×{id}×{id}.（ii）如果p∈ P等于StabU（P）6≤ Sh×{id}×{id}，然后是置换ψ*∈ 斯宁（19岁）是独一无二的。（iii）如果W≤ U、 而W也是正常的。特别地，G是正则的当且仅当G的每个子群是正则的。证据（i） 这是Pu和Pu以及正规子群定义的直接结果。（ii）假设StabU（p） （Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψ）*} ×{ρ}）以及StabU（p）（Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψ）**} ×{ρ}），适用于合适的ψ*, ψ**∈ Snand pick（ψ，ψ，ρ）∈ 斯塔布（p）。那么，我们有ψ=ψ*以及ψ=ψ**, 所以ψ*= ψ**.（iii）简单地观察，对于每一个p∈ P、 StabW（P）=W∩ 斯塔布（p）。在附录中，假设U是G的正则子群，我们将讨论当NPU6= 或PU6=.5.4 U的存在——U的一致坚决要求≤ Sh×Sn×{id}在本节中，我们重点讨论集合FUC，其中U是包含在Sh×Sn×{id}中的G的正则子群，C是U一致的scc。17号提案。让你≤ Sh×Sn×{id}是正则的，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和C∈ 铜。为了每个人∈ 浦，让xj∈ C（pj）。然后存在一个唯一的f∈ 所以，对于每一个j∈ PU，f（pj）=xj。证据让我们考虑f∈ F定义，每p∈ P、 如下。

给定p∈ P、 以独特的j为例∈ PUsuch tha t p∈ j和非空设置={（ψ，ψ，id）∈ U:p=pj（ψ，ψ，id）}。拾取（ψ，ψ，id）∈ 让f（p）=ψ（xj）。我们需要证明f（p）的值不依赖于Up中选择的特定元素。的确，let（ψ，ψ，id），（ψ，ψ，id）∈ 向上并重新调用（ν）-1φ, ψ-1ψ，id）∈ 斯塔布（pj）。因为U是正则的，所以ψ=ψ，特别是ψ（xj）=ψ（xj）。我们证明f s满足所有期望的性质。首先，自从你≤ G、 我们有（身份证，身份证，身份证）∈因此，f的定义直接意味着f（pj）=xj。现在让我们证明f∈ 傅。然后考虑p∈ P和（ψ，ψ，id）∈ 并表明f（p（φ，ψ，id））=ψf（p）。设p=pj（ψ，ψ，id）表示合适的j∈ PUand（ψ，ψ，id）∈ U因此，f（p）=ψ（xj），通过（12），f（p（φ，ψ，id））=f（pj（φ，ψ，ψ，id））=ψ（xj）=ψ（xj）=ψf（p）。接下来让我们证明f∈ FC。然后考虑p∈ P并显示出f（P）∈ C（p）。对于合适的j，Letp=pj（ψ，ψ，id）∈ PUand（ψ，ψ，id）∈ 因此，f（p）=ψ（xj），因为C是一致的，ψ（xj）∈ ψC（pj）=C（pj（ψ，ψ，id））=C（p）。最后，为了证明唯一性，让f′∈ 操 对于all j，f′（pj）=xj∈ 聚氨基甲酸酯。然后f′和f在（pj）j上重合∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和命题12适用于给定f′=f≤ Sh×Sn×{id}是正则的，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和C∈ 铜。设Φ：×j∈普C（pj）→ FUCbe是与eve ry（xj）j关联的函数∈聚氨酯∈ ×j∈PUC（pj）独特的f∈ 该死的提议17。当然，Φ取决于U，（pj）j∈PU和C，但我们不强调符号中的依赖性。还要注意Φ是内射的。定理18。让你≤ Sh×Sn×{id}是正则的，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和C∈ 铜。ThenFUC=Φ×j∈临市局（pj）.此外，我们还有| FUC |=Yj∈聚氨酯C（pj）尤其是FUC6=.证据以f为例∈ 注意，对于每个j∈ 浦，f（pj）∈ C（pj）和Φ（f（pj））j∈聚氨酯= F那么Φ是双射的，所以| FUC |=×j∈普C（pj）=Qj∈聚氨酯C（pj）.

因为，对于每一个j∈ PU，C（pj）6=, 最终得出的结论是FUC6=.5.5 U的存在——U 6的一致坚决要求≤ Sh×Sn×{id}在本节中，我们重点讨论集合FUC，其中U是G的正则子群，不包含在Sh×Sn×{id}中，C是U一致的scc。我们从一些关键的定义开始。让你≤ G要有规律，以便U 6≤ Sh×Sn×{id}，C∈ CU，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U）和（ψ）*, ψ*, ρ) ∈U.定义，对于每一个j∈ PU，setAC（pj）={（y，z）∈ C（pj）×C（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）：z 6=ψ*（y） （21）并且，对于每一个j∈ 普，美国国家经贸委（pj）=十、∈ C（pj）：ψj（x）6=x, （22）式中，ψjis是sn中唯一的元素，即stabu（pj） （Sh×{id}×{id}）∪ （Sh×{ψj}×{ρ}）。（23）注意，由L e mma 16（ii）保证的ψjis的唯一性。如果PU6=, 然后defineac=×j∈PUAC（pj），如果PU6=, 然后defineac=×j∈PUAC（pj）。当然，上面定义的所有集合都取决于U，（pj）j∈PU，（~n）*, ψ*, ρ） 但我们不强调符号中的依赖性。提议19。让你≤ G要有规律，以便U 6≤ Sh×Sn×{id}，（pj）j∈聚氨基甲酸酯∈ S（U），*, ψ*, ρ) ∈ U和C∈ 铜。每一个j∈ PU，let（yj，zj）∈ AC（pj）和，对于每个j∈ PU，letxj∈ AC（pj）。然后存在一个唯一的f∈ f（pj）=yjand f（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）=zjforall j∈ PU和f（pj）=xj代表所有j∈ 聚氨基甲酸酯。证据给定j∈ PU，考虑一下set KU（pj）=σ ∈ Sn：ψj=σρσ-1., 其中ψjis在（23）中定义。因为U是正则的，KU（pj）是非空的，所以我们可以选择元素σjin-KU（pj）。注意，对于每个j∈ PUand（ψ，ψ，ρ）∈ StabU（pj），我们有ψ=σjρσ-1j。让我们考虑一下f∈ F定义，每p∈ P、 如下。给定p∈ P、 以独特的j为例∈ PUsuch那p∈ j和非空设置={（ψ，ψ，ρ）∈ U:p=pj（ψ，ψ，ρ）}。

Pick（ψ，ψ，ρ）∈ UPF和letf（p）=ψ（yj）如果j∈ pu和ρ=idψ-1.*（zj）如果j∈ pu和ρ=ρψσjρσ-1j（xj）如果j∈ PU（24）我们需要证明f（p）的值不依赖于Up中选择的特殊元素。实际上，let（ψ，ψ，ρ），（ψ，ψ，ρ）∈ Up并回忆一下（-1φ, ψ-1ψ, ρ-1ρ) ∈ 斯塔布（pj）。-如果j∈ PU，那么-1φ, ψ-1ψ, ρ-1ρ) ∈ StabU（pj）表示ρ=ρ，ψ=ψ。作为一个序列，如果ρ=ρ=id，那么ψ（yj）=ψ（yj），而如果ρ=ρ=ρ，那么（ψψ）-1.*)（zj）=（ψψ）-1.*)（zj）。-如果j∈ PU，那么-1φ, ψ-1ψ, ρ-1ρ) ∈ StabU（pj）隐含ψ-1ψ=σjρ-1ρσ-1j，也就是ψσjρσ-1j=ψσjρσ-1j，作为ρ=ρ-1对于所有ρ∈ Ohm. 然后我们得到ψσjρσ-1j（xj）=ψσjρσ-1j（xj）。我们证明f s满足所有期望的性质。首先，自从你≤ G、 我们有（身份证，身份证，身份证）∈因此，f的定义直接意味着f（pj）=yjand f（pj（φ）*,ψ*,ρ） ）=zj代表所有j∈ PU和f（pj）=xj代表所有j∈ 聚氨基甲酸酯。现在让我们证明f∈ 傅。然后考虑p∈ P和（ψ，ψ，ρ）∈ U并表明如果ρ=id，则f（p（φ，ψ，ρ））=ψf（p），而如果ρ=ρ，则f（p（φ，ψ，ρ））6=ψf（p）。设p=pj（ψ，ψ，ρ）适用于适当的j∈ PUand（ψ，ψ，ρ）∈ U.-如果j∈ 然后f（p）=ψ（yj）。根据（12），如果ρ=id，那么f（p（φ，ψ，ρ））=f（pj（φ，ψ，ψ，id））=ψ（yj）=ψf（p），而如果ρ=ρ，那么f（p（φ，ψ，ψ））=f（pj（φ，ψ，ψ，ψ））=ψ-1.*（zj）6=ψψ（yj）=ψf（p），因为zj6=ψ*（yj）因为（yj，zj）∈ AC（pj）。-如果j∈ 然后f（p）=ψ-1.*（zj）。通过（12），如果ρ=id，那么f（p（φ，ψ，ρ））=f（pj（φ，ψ，ψ），ρ））=ψ-1.*（zj）=ψf（p），而如果ρ=ρ，则f（p（φ，ψ，ρ））=f（pj（φ，ψ，ψ，id））=ψψ（yj）6=ψ-1.*（zj）=ψf（p），因为zj6=ψ*（yj）因为（yj，zj）∈ AC（pj）。-如果j∈ PU，那么f（p）=ψσjρσ-1j（xj）和，通过（12），f（p（φ，ψ，ρ））=f（pj（φ，ψ，ψ，ρ））=ψψσρσ-1j（xj）。因此，如果ρ=id，我们得到f（p（ψ，ψ，ρ））=ψf（p）。相反，如果ρ=ρ，则f（p（ψ，ψ，ρ））6=ψf（p）当且仅当ψψσjρσ-1j（xj）6=ψψσjρσ-1j（xj）当且仅当σjρσ-1j（xj）6=xj。