定价泛函的非参数估计

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英文标题：
《Nonparametric estimates of pricing functionals》
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作者：
Carlo Marinelli, Stefano d\'Addona
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We analyze the empirical performance of several non-parametric estimators of the pricing functional for European options, using historical put and call prices on the S&P500 during the year 2012. Two main families of estimators are considered, obtained by estimating the pricing functional directly, and by estimating the (Black-Scholes) implied volatility surface, respectively. In each case simple estimators based on linear interpolation are constructed, as well as more sophisticated ones based on smoothing kernels, \\`a la Nadaraya-Watson. The results based on the analysis of the empirical pricing errors in an extensive out-of-sample study indicate that a simple approach based on the Black-Scholes formula coupled with linear interpolation of the volatility surface outperforms, both in accuracy and computational speed, all other methods.
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中文摘要：
我们利用2012年标普500指数的历史看跌和看涨价格，分析了欧洲期权定价函数的几种非参数估计的实证表现。考虑了两类主要的估计量，分别通过直接估计定价函数和估计（Black-Scholes）隐含波动率面获得。在每种情况下，都会构造基于线性插值的简单估值器，以及基于平滑核的更复杂估值器，\\`a la Nadaraya Watson。基于大量样本外研究中经验定价误差分析的结果表明，基于Black-Scholes公式的简单方法加上波动率曲面的线性插值，在精度和计算速度上都优于所有其他方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Nonparametric_estimates_of_pricing_functionals.pdf (539.43 KB)

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关键词：非参数估计 参数估计 非参数 Quantitative respectively

定价函数的非参数估计Carlo Marinelli*Stefano d\'Addona+2017年6月8日摘要我们利用2012年标普500指数的历史看跌和看涨价格，分析了欧洲期权定价函数的几个非参数估计量的经验表现。本文考虑了两类主要的估计量，分别通过直接估计定价函数和估计（BlackScholes）隐含波动率面得到。在每种情况下，都会构造基于线性插值的简单e刺激器，以及基于平滑核的更复杂的e刺激器，`a la Nadaraya Watson。基于大量样本外研究中的经验定价误差分析的结果表明，基于Black-Scholes公式和波动率曲面线性插值的简单方法在精度和计算速度上都优于其他方法。关键词：非参数估计；期权定价；隐含波动率。JEL代码：G13、C14、C52。1引言本工作的目的是分析定价函数的一些非参数和半参数估计量的经验性能，特别强调最简单的未定权益，即欧式看跌期权和看涨期权。著名的非参数估计思想如下：假设某种类型的未定权益的价格可以写成π（y，…，ym），其中π：Rm→ R是一个要估计的函数，y，是可观察的参数。给出一个样本（yk）1≤K≤N=yk，ymk1.≤K≤N、 （πk）1≤K≤N=π（yk，…，ymk）1.≤K≤Nand y∈ 例如，我们可以通过函数∧π：Rm的线性插值来估计π（y）→ 定义为π（y）：=NXk=1πk{yk}（y）。*伦敦大学学院数学系，伦敦高尔街，WC1E 6BT，英国。+通讯作者。

罗马大学政治学系3，Via G.Chiaberra，199，意大利罗马I-00145。电话+39-06-5733-5331；电子邮件daddona@uniroma3.itThis如果y延伸到（yi）1的凸包，那么过程e是很好理解的≤我≤N（详见§3.1）。当然，还有许多基于非线性插值而非线性插值的其他方法，在某些情况下可能更可取，例如获得比连续更规则的估计量。同样的问题也从统计学的角度进行了研究，导致了大量关于回归函数非参数估计的文献（例如，参见[3]和参考文献）。本文中最流行的估计量之一是所谓的Nadaraya Watsonestimator（见[12,18]），即^πε（y）=mXk=1ρε（y）- yk）πkmXk=1ρε（y）- yk），其中ρ：Rm→ R是一个积分为1且ρε：=ε的严格正连续径向函数-mρ（·ε）-1） ，或对其稍加概括。参数（y，…，ym）的其他函数可以在samemanner中清楚地估计出来。特别是，如果参数是Black-Scholes定价公式（波动率除外）中的常用输入，则可以估计隐含波动率，然后可以将其反馈到Black-Scholes公式，以产生定价函数的更高估计值。在定价问题中应用n-on参数回归“a la Nadaraya Watson”的最早工作之一是[1]，其中，作者报告了在标准普尔500指数欧洲看涨期权定价中应用的半参数估计精度方面令人印象深刻的实证结果。

迄今为止，有大量文献涉及这种定价方法——参见[7]和其中的参考文献，以及[6,14]中的相关观点。我们的目的是了解不同（但相关）的非参数方法在定价精度方面是如何形成的，以及与非平凡的全参数替代方案相比。Nadaraya Watson核估计是否比基本线性插值产生更好的估计，这是一个与实际目的有明显相关性的自然问题。为了避免标的指数价格过程中出现较大的马尔可夫性和平稳性假设，我们使用阿吉文日观察到的期权价格进行估计（未观察到！）当天的期权价格。事实证明，从经验的角度来看，Nadaraya Watson核估计器似乎没有任何优势，与简单的线性插值估计器相比，Nadaraya Watson核估计器的性能相当差。后者也始终优于基于（倾斜）方差伽马过程的abenchmark参数估计（见[11]）。这项工作的重点与[1]有所不同，后者的主要目的是估计所谓的国家价格密度。然而，这种估计是通过对定价函数的执行价格（估计）的二阶导数得到的。关于非参数密度估计的更大文献处理的是一个不太一般但非常相关的问题。对于欧洲看涨期权，其主要（实际）应用似乎是pricinganyway。

另一方面，[1]中使用的主要比较术语是基于神经网络和隐式二叉树的比较方法，经验测试以非常不同的方式进行：将九个月内观察到的期权价格进行聚合，以构建隐式波动率面的Nadaraya Watson估值器，该估值器被视为标的资产的期货价格、履约时间和价格的函数，成熟的时间。然后，该估计器被用于预测未来五天（即未来一到二十天）的欧洲看涨期权价格（具有一定范围内的类似价格）。在文献中，我们既没有发现没有汇总不同日期观察到的期权价格的实证研究，也没有发现关于定价函数非参数估计的实际方面的讨论，以便为普通欧式期权定价。我们的目标是在广泛的样本外分析的基础上，尝试回答这方面的一些基本问题。本文的其余部分组织如下：在第2节中，在回顾了与股息支付资产相关的收益率过程的一些事实之后，我们证明了在涉及资产、股息率和无风险利率过程的条件不相关假设下，股息支付资产上的欧式期权的看跌期权平价恒等式。这些基本的理论结果是必要的，因为标准普尔500指数带来了红利。第3节详细介绍了经验分析中使用的各种估计量。第4节对2012年全年标普500期权价格数据集进行了初步分析。

最后，第5节详细研究了第3.2节中介绍的估计器的经验性能，设定了一个概率空间(Ohm, F、 P）被赋予（右连续、完整）过滤F=（英尺）0≤T≤T、 让adap处理β和S：Ohm ×[0，T]→ R描述两种交易资产的价格：前者只是无风险现金账户，即βt=expZtrsdsT∈ [0，T]，其中r表示适应的、P-a.s.正的、短速率过程；后者是一个风险集合，有一个相关的适应的、P-a.s.正的、分割的d r ate过程q，例如ZTqudu∈ L∞(Ohm, 英国《金融时报》，第页）。相应的产量过程Y定义为asYt=St+ZTqSSDsT∈ [0，T]。然而，我们可以找到使用非参数方法来研究相关问题的文章，而不需要对不同日期的期权价格进行汇总。例如，[8]估计风险中性密度，[2]测试定价核心的单调性。我们假设存在一个概率测度Q，相当于P，这样，设置ˇSt:=β-1ST，贴现收益率过程ˇY，定义为ˇYt:=ˇSt+ZtquˇSudu≡ β-1tSt+Ztquβ-1苏都T∈ [0，T]是一个平方可积的Q-鞅。设置A:=eR·qudu，通过partsformula的积分得到ˋStAt=S+ZtˋSu-道+ZtAu-dˇSu+[ˇS，A]t，其中ztˇSu-dAu=ZtˇSu-Auqudu=ZtˇSuAuqudu，通过A的连续性，ZtAu-dˇSu=ZtAudˇSu[ˇS，A]t=0。尤其是StexpZt（曲）-（如）杜=ˇStAt=S+ZtAudˇyu是一个（平方可积）Q鞅，因为a是有界且可预测的。众所周知，等价概率测度Q的存在，使得贴现收益率过程ˇY是一个Q-鞅，这意味着由β和定义的市场没有套利。一般来说，Q不是唯一的，除非市场是完整的，我们假设Q只是一个固定的定价指标。

更准确地说，我们假设我们得到了一个定价函数π：L∞(Ohm, 英国《金融时报》，第页）→ RX 7→ 情商β-1TX，或者，等价地，π（X）：=EZTX，ZT:=βTdQdP，其中随机变量ZT通常位于随机贴现因子的名称下。为了表示法的简洁性，我们将写出A（t，t）：=expZTtqudu, \'q（t，t）：=t- tlog EQ[A（t，t）| Ft]，B（t，t）：=exp-ZTtrudu, \'r（t，t）：=-T- t log E[B（t，t）| Ft]，其中0≤ T≤ T我们将多次使用以下关于r、q和S的假设。假设（H）。对于任何0<t的≤ T，CovQA（t，t），B（t，t）英尺= 0，CovQA（t，t），B（t，t）街英尺= 这里，对于任意两个随机变量X，Y∈ L(Ohm, 英国《金融时报》（FT，Q），CovQ十、 Y英尺:= 情商十、- 等式[X |英尺]Y- 等式[Y | Ft]英尺.假设（H）相当于q[A（t，t）B（t，t）| Ft]=EQ[A（t，t）| Ft]EQ[B（t，t）| Ft]，EQ[A（t，t）B（t，t）ST | Ft]=EQ[A（t，t）| Ft]EQ[B（t，t）ST | Ft]对于所有0<t≤ T.2.1带股息的看跌期权平价及其应用为了实现定价函数的一些估计，而且为了对原始期权价格进行初步分析，我们需要欧洲看跌期权和看跌期权的看跌期权平价版本。这也将产生股息率过程q（函数）的自然估计量。命题2.1。假设假设（H）成立。那么，对于任何0≤ T≤ T，Ste-\'q（t，t）（t-（t）- 柯-\'r（t，t）（t-t） =Ct-Pt，（1）其中Ct和Pt分别表示欧洲看涨期权和看跌期权在t时的价格，到期日为t，履约价格为K，基础价格过程为S。

乘以标识系统- K=（ST）- （K）+- （K）- （圣）-按β-1T=B（0，T）=e-Rtruduan接受条件期望yieldsEQβ-1st英尺- 凯克β-1T英尺= 情商β-1吨（圣- （K）+英尺- 情商β-1T（K）- （圣）-英尺= B（0，t）计算机断层扫描- Pt.利用假设（H）和与S和q有关的d计数产量过程的鞅性质，得到一个H asEQβ-1st英尺情商A（0，T）英尺= 情商β-1塔（0，T）街英尺= A（0，t）B（0，t）St，式中A（0，T）英尺= A（0，t）等式A（t，t）英尺, 亨切克β-1st英尺= 机顶盒（0，t）均衡器A（t，t）英尺= StB（0，t）e-\'q（t，t）（t-t） 。类似地，EQβ-1T英尺= B（0，t）等式B（t，t）英尺= B（0，t）e-\'r（t，t）（t-t） 。收集术语和简化产量-\'q（t，t）（t-（t）- 柯-\'r（t，t）（t-t） =Ct-Pt。回想一下，t时刻的远期价格≤ 或有权X的T∈ L(Ohm, FT，Q）定义为fxt:=EQ[Xβ-1T | Ft]EQ[β-1T | Ft]（参见，例如[10，§2.4]）。使用完全类似于上述命题证明中的论点，我们可以得到下面的“点前平价”。提议2.2。如果假设（H）成立，则Fstt=Ste（`r（t，t）-\'q（t，t））（t-t） 。特别是，（1）也可以写为fstte-\'r（t，t）（t-（t）- 柯-\'r（t，t）（t-t） =Ct- Pt。命题2.1的看跌期权平价恒等式意味着一个估计“q（t，t）”的过程：假设“r（t，t）的估计量可用，并用相同的符号表示，并且具有相同到期日和执行价格的看跌期权的价格是可观测的，恒等式（1）产生“q（t，t）=-T- tlogC（t，t，K）- P（t，t，K）+Ke-\'r（t，t）（t-t） St，（2）其中C（t，t，K）和P（t，t，K）分别表示到期日为t、履约价为K的欧式看涨期权和看跌期权在t时的价格。

在应用中，通常更倾向于对q（t，t）进行估计，而不是选择对q的其他替代物，如h史前动物。3定价函数的估计器从现在起，我们将假设（a）过滤F是由（S，r，q）生成的（正确的、连续的、完成的）过滤；（b） 过程（S，r，q）是马尔可夫的，即对于任何有界随机变量ξ，其σ是可测的（Ss、rs、qs）t≤s≤T, 一相[ξ| Ft]=E[ξ|t，St，rt，qt]。这些假设立即暗示存在一个函数πp:R→ 例如πp（t，St，rt，qt，K，t）=βtEQβ-1T（K）- （圣）+英尺= EQhe-RTtrudu（K- （圣）+尽管如此∈ [0，T]。特别是，在没有任何进一步假设的情况下，定价函数将是时间依赖的，因此，一般来说，使用时间t的价格函数估计时间t+1的期权价格是错误的，或者类似地，使用不同日期的定价函数加总数据来估计定价函数是错误的。如果我们进一步假设过程（S，r，q）是一个时间齐次马尔可夫过程，那么这个过程就变得有意义了：在这种情况下，πpdepend S对t和t的作用只是通过它们的差异-t、 然而，目前尚不清楚对数据生成过程的时间同质性假设是否合适，因此，第5节的实证分析是以固定时间进行的。在§4.1中，我们还提供了似乎不支持时间同质性假设合理性的实证数据。我们现在开始详细描述将在第5节中测试的看跌期权定价函数的各种估计器。

类似的考虑因素（没有详细说明）包含f或看涨期权，事实上，对于任意的欧洲衍生品：只有当支付函数是u边界时，才需要注意，在这种情况下，必须假设可积条件。3.1线性插值集（Yk）1≤K≤Nand（pk）1≤K≤n Rnand R和f:Rn的集合→ R一个函数，使得f（Yk）=pk表示所有1≤ K≤ N.表示（Yk）1的凸包≤K≤Nby C，线性插值函数^f:C→ R是通过函数huN，1i的线性插值获得的函数，其中uNis是标记的经验度量uN:=NXk=1pkδYk，δ代表狄拉克度量，huN，1i:=PNk=1pk{Yk}。这里的线性插值意味着计算（Yk）的Delaunay三角剖分，对于任何y∈ C、 ^f（y）通过huN，1i在包含y的简单顶点上的插值得到。我们记得点集（Yk）1的三角剖分≤K≤Nis将凸包C划分为顶点为点（Yk）1的simp块≤K≤特别是，这样一个分区的任何两个单纯形要么不相交，要么共享一个公共面。（Yk）1的Delaunay三角剖分≤K≤n证明了以下额外性质：如果B是一个球，使得单纯形的所有部分都属于它的边界，那么B的内部不包含（Yk）1的任何元素≤K≤N.一次delaunay三角剖分（Yk）1≤K≤已获得NHA，^f（y），y∈ C、 定义如下：让v，vd唯一单纯形V的顶点，使得y∈ V，writey=dXj=1αjvj，αj≥ 0，Xαj=1。然后我们设置^f（y）：=Pjαjf（vj）。有关这些主题的详细介绍，请参见[13]。对于相关的讨论，也从经济角度来看，参见[14]。设t>0为固定值。