定价泛函的非参数估计

然后，如上所示，我们可以写-RTtrudu（K- （圣）+Fti=πp（K，T）-t） 。假设St>0，S的适应性和马氏性意味着πp（K，T）-t） =EQE-RTtrudu（K- （圣）+英尺= 斯特克E-特鲁杜s-1tK- s-1st+英尺= Stφ（K，T）-t） 。用φ的线性插值器表示φ，我们定义了归一化线性插值器φπpofπpbyπp:=St^φ。这是第5节实证分析中使用的估计量。请注意，线性插值器仅定义在偶（Kk，Tk）的凸包C上- t） 一,≤K≤换句话说，这个估计器无法估计参数为（K，T）的期权的价格-t） 不属于C。从纯数值的角度来看，估计量^πP可以扩展到C之外，例如通过外推。然而，用这种方法得到的估计很少可靠。将估计器扩展到C之外的另一种可能性是添加实际夫妇（Kj，Tj）- t） j到已知函数πpis值的样本，例如对于Tj- t=0，或Kj“非常大”。这种想法显然比单纯的数值推断更有意义，在某些情况下，可能会导致相对令人满意的结果。详情见下文第5节。3.2 Nadaraya Watson估值器（Yk，pk）1≤K≤与上一小节相同。设ρ：R→ R+是一个积分等于1的可积函数，对于任何ε>0，ρε（x）=ε-1ρ（xε）-1).对任何ε=（ε，…，εn）都有轻微的符号滥用∈ (0, ∞)n、 我们定义了函数ρε：Rn→ R为ρε=ρε ···  ρεn，即ρε（x）≡ ρε（x，…，xn）=ρε（x）·ρεn（xn）。f:Rn的Nadaraya-Watson（NW）估计量^fε→ R、 使用平滑参数ε=（ε。

，εn），根据观察值（Yk，pk）k，定义为^fε（x）=NXk=1pkρε（x）- Yk）NXk=1ρε（x- Yk）。因此，函数^fε在x处的值是^fε（x）=NXk=1pkwk类型的观测值（pk）的加权平均值十、（Yk）, 工作十、（Yk）:=ρε（x）- Yk）Pkρε（x）- Yk）。通常ρ等于go |·| （也就是说，它是对称的），随着g的减小，新估计器有效地计算出观测值的加权平均值，将更多的权重分配给更接近x的观测值。如果ρ具有紧支撑，则平均值是在一定数量的点上，这些点与x的距离不超过某个阈值（取决于ε）。新估计量也可以解释为观测值（pk）的局部常数最小二乘近似，因为（为简单起见，假设n=1）^fε（x）=arg minθ∈RNXk=1（峰值- θ)ρ(ε-1（x）- （参见，例如[17，第34页]）。这里，“局部”简单地指通过ρ的加权，与之前一样，它将m个更大的权重分配给更接近x的观测值。πpwe的Nadaraya Watson估值器的显式形式应为^πε（K，T）=NXk=1pkρε（K）- Kk）ρε（T）- Tk）NXk=1ρε（K- Kk）ρε（T）- Tk），其中ρ是R上标准高斯测度的密度。众所周知（参见[17]），平滑p参数ε的选择对非参数回归技术的实现至关重要：Asε→ 0估计值为“欠光滑”，为ε→ ∞ 这是“过度炒作”。我们将通过交叉验证（省略一项）选择ε（参见[17，§1.4，第27页-ff]）如下：设^fε，-基于s样本（Yk，pk）k的jbe-theNadaraya-Watson估计∈I\\{j}，I:={1，…，N}，和cv（ε）：=Xj∈我fj-^fε，-j（Xj）.然后我们设置εCV:=arg minε>0CV（ε）。在定价函数的NW估计中，我们将上述CV（ε）替换为CV（ε）：=Xj∈我1.-^fε，-j（Xj）/fj,即

选择平滑参数是为了使相对误差最小，而不是绝对误差。粗略地说，如ε→ 0估计器^fε（x）复制数据，即对于x=yk，它等于pk，其他地方为零，并且它收敛到一个等于pkasε平均值的常数→ ∞.由于交叉验证过程在计算上非常密集，因此采用ratherslow，因此我们还应考虑选择更简单的平滑参数作为比较的依据。特别是，根据[16，§3.4.2]，我们将使用εj:=0.9 minDj，Qj/1.34N-1/5，j=1，2，其中，d是（样本）标准偏差和kk的四分位范围，k=1，N、 和D，Qa的定义与Tk相同- t代替Kk。重新标记3.1。（a） 在某些应用中（例如，估计函数及其导数），允许ρ取负值是有用的。这时πε不能保证为正。通常的惯例是将710πε重新定义为其正部分。（b） 如果在整个空间上支持ρ，则Nadaraya Watson估计量定义为不在（Yk）的凸壳C中的alsofor点。然而，由于该估值器只不过是一个局部平均值，因此，对于C之外的点的估值，如果不明确放弃的话，也应该非常谨慎。3.3隐含波动率估值器Let-BS（S，r，q，K，x，σ）表示在标的物上以当前价格S书写的具有时间成熟度x和行使K的看跌期权的黑市价格，恒常利率q和波动率σ，其中无风险利率r也是常数。

众所周知，σ7→ BS是严格单调的，因此，对于任何S，x>0，K，r，q≥ 0和0<p<K时，存在唯一的σ>0，称为隐含波动率，因此p=BS（S，r，q，x，K，σ）。我们也将以相同的名称调用函数（p，S，r，q，x，K）7→ σ，由刚才描述的程序唯一定义。如果（pk，Kk，xk），k=1，N、 是一个观察到的期权价格和相应的重击价格的样本，以及固定日期内的到期时间（因此也是固定的），那么对于每个HK，都存在一个唯一的正数^σksuch thatpk=BS（S，r，q，Kk，xk，xk，σk），因此（σk）kc可以解释为点集（Yk）k上隐含波动函数的（估计）值，即对于某些函数σ：r→ R+，σk=σ（Yk）f或所有k=1，N.这个yieldspk=BSKk，xk，^σ（Kk，xk）k=1，N、 这就立即提出了另一种方法来估计函数πp:lety的定价∈ C、 C在哪里 （Kk，xk）1的凸壳≤K≤N、 通过σ的线性插值（在§3.1的意义上）定义σ（y），因此设置^πp（y）：=BSy、 σ（y）.在下面的实证研究中，我们将使用隐含效用函数σ：C的归一化估计→ R、 完全类似于§3.1中规范化线性插值器的构造。也就是说，给定y=（K，x）∈ C、 我们通过函数的（K/S，x）处的线性插值定义^σ（y），该函数在（Kk/S，xk）处的值为^σK，K=1，N.或者，可以使用Nadaraya Watsonestimator^σε代替线性插值器^σ，获得定价函数的另一个估值器。当然，前一小节关于平滑参数选择的所有考虑，以及y6估计值缺乏合理性∈ C、 在这种情况下也适用。注意，与线性插值器和Nadaraya Watson估值器相比，估计σK需要估计r和q。

虽然无风险利率的历史数据很容易获得，但我们使用第2节末尾讨论的隐含估计量，以及下文第4节更详细地讨论的隐含估计量，作为q的代理。此外，BlackScholes结构允许s获得关于参数q的隐含效用灵敏度的显式表达式。这样的结果，wh ich本身可能有一些兴趣，可以在附录中找到（其中的推导涉及看涨期权，但看跌期权的相应结果很容易得出）。3.4 R+的Borelσ-代数上方差Gamma classA测度u的参数估计称为参数为c>0的Gamma测度，如果u（B）=αcΓ（c）ZBxc，则α>0-1e-对于任何Borel集B，如果随机变量G的定律是具有相同参数的Gamma测度，则称其为参数c和α的Gamma分布。元素微积分（以及伽马函数的定义）表明，对于任何w<α，ZR+ewxu（dx）=（1- w/α）-c、 （3）andZR+eiuxu（dx）=（1）- iu/α）-c、 由此，伽马定律是完全可除的。设u为Agama，c=1。然后，存在一个从零开始的正增长L’evy过程（即，一个从属函数），使得Γ的定律为u，且eIuΓt=（1）- iu/α）-t、 因此，具有参数t和α的Γtis伽马定律。我们参考，例如[15]了解详细信息。设W为依赖于Γ的标准维纳过程，并考虑由xt=θΓt+σWΓt定义的p过程xd，其中θ和σ>0是常数。

从t 7开始→ θt+wt是一个L′evy过程，X是由前一个过程的从属关系得到的，X本身就是一个L′evy过程，它被称为（不对称）方差伽马过程，并在[11]中介绍。为了构造一个定价函数，我们假设θ+σ<α。这个条件保证存在一个常数η，使得过程exp（Xt+ηt）是一个Q-鞅。事实上，由于WΓ在定律上等于Γ1/2tW，我们回顾了高斯定律s的矩母函数表达式EQexpXt= EQexpθΓt+σΓ1/2tW= EQEQ经验θΓt+σWΓtΓt= EQexpθΓt+σ/2Γt= EQexp（θ+σ/2）Γt.因此，如果θ+σ/2<α，（3）意味着eqexpXt=1.-θ + σ/2α-t、 因此，EQexp（Xt+ηt）=1选择η=log1.-θ + σ/2α.由于X是一个L′evy过程，现在很容易得出结论，过程exp（Xt+ηt）是aQ鞅。我们假设无风险利率r和股息率q是恒定的，p-rice过程S可以写成asSt=Sexp（r）- q） t+Xt+ηt,使市场满足无套利条件。重新标记3.2。刚才关于S的假设并不等同于假定st=S+Zt（r- q） Ssds+ZtSs-dXs。事实上，设置St:=e-（r）-q） tSt，t≥ 0时，按部件积分公式得出St=S+ZtSs-因此，dXs是由X的Dol’eans随机指数（参见[9，定理26.8]）给出的S/Sis，在这种情况下，回顾X是一个具有有限差分的纯跳跃过程，将其简化为St=SYs∈]0，t]1 + Xs,i、 e.St=Se（r）-q） tQs∈]0，t]1+ Xs.

由于方差伽马过程X有有限的变化路径，同样的结论当然可以通过基本的路径考虑得到，而不必求助于随机演算。在时间T到期的欧式看涨期权在时间零点的价格为πT:=e-rTEQ性爱（r）- q） T+ηT+XT- K+= E-rTEQ性爱（r）- q） T+ηT+θΓT+σΓ1/2TW- K+= E-rTEQEQh性爱（r）- q） T+ηT+θΓT+σΓ1/2TW- K+ΓTi。设置q≡ ~q（ΓT）：=-（r）- q+η）T-θ + σ/2ΓT，Γσ≡ ■σ（ΓT）：=σΓ1/2T，可以立即看到πT=e-rTEQEQh性爱-~q+~σW- ~σ/2- K+ΓTi=e-rTEQBSS、 K，0，~q，~σ，1= E-rTEQ性爱-~qΦ（~d+）- KΦ（~d）-)= E-rTEQ性爱（r）- q+η）T+（θ+σ/2）ΓTΦ（~d+）- KΦ（~d）-)= Se(-q+η）TEQe（θ+σ/2）ΓTΦ（~d+）- 柯-rTEQΦ（d）-),式中，d+=对数S/K+（r- q+η）T+（θ+σ）ΓTσΓ1/2T，~d-=日志S/K+（r）- q+η）T+θΓTσΓ1/2T。一个完全相似的论点表明，具有相同特征的看跌期权的价格可以写成-rTEQΦ(-~d-) - Se(-q+η）TEQe（θ+σ/2）ΓTΦ(-~d+）.因此，期权价格问题被归结为对阿加玛测度积分的评估。这可以通过数值积分（Gammameasure具有显式密度，被积函数作为ΓT的函数是“几乎”显式的）或通过模拟方法来实现。特别是，表示ΓTby（Gk）的独立副本序列，大数定律的str on g yieldsnnXk=1F（Gk）→ EQF（ΓT）Q——几乎可以肯定地用于任何（可测）函数F:R→ 例如，等式F（T）|∞.此外，如果F（ΓT）∈ L（Q），中心极限定理暗示√nnXk=1F（Gn）- EQF（ΓT）D-→ N（0，），其中：=Var F（ΓT）。写出πT=F（ΓT），对于一个适当选择的F，可以立即看出πT∈ L（Q）由于参数（θ，σ，α）和πT的假设∈L（Q）如果2θ+σ<α。

由于θ<0（负偏斜）和σ通常很少超过1/2，因此条件α>1/4没有限制性（我们的数据集中α的估计值总是大于1）。对于几个有代表性的参数选择，平均overn=10000（伪）随机变量产生的πt估计值与通过数值积分获得的值非常一致。一旦有了欧式期权的定价公式，参数的校准就更简单了。也就是说，通过πvg（K，T-Tθ、 σ，α）上述VG模型中看跌期权的（理论）价格（带固定值），假设（Kk，Tk- t） pk，k=1，N、 观察到的参数是否对应于固定日期的期权价格，一组（θ，σ，α）：=arg min（θ，σ，α）∈DNXk=1πvg（Kk，Tk）- Tθ, σ, α) - pkpk,其中D：=(θ, σ, α) ∈ R×（0，∞): θ + σ/2 < α. 这一过程可能是绝对误差而不是相对误差的总和，被从业者以及学术出版物广泛使用（分别参见[5]和[4]）。重新标记3.3。然而，应该指出的是，映射（θ，σ，α）7→ πV Gis不是内射的，因此刚才概述的校准程序不是适定的，即（每日）估计值^θ、^σ、^α不是唯一的。在实践中，它们将取决于最小化算法的初始化（我们分别选择了θ=0、σ=0.3和α=2）。4数据我们使用2012年1月3日至2012年12月31日期间的指数期权数据e S&P500。该样本包含77 408个欧洲看涨期权和看跌期权的观察结果。价格是出价和要价的平均值。到期时间小于一天或交易量小于100的数据点将被删除。

这将s-Sample的规模缩减至75 022：61%和39%的期权分别为看跌期权和看涨期权。2012年，标准普尔500指数日收益率的年化平均值和标准差分别为11.09%和12.64%。在同一时期，1年期国库券利率非常接近于零，变化极小：特别是，其平均值等于0.16%，标准偏差等于0.023%。原始数据来自历史期权数据，请参见www.historicalpoptiondata。通用域名格式。表1:S&P500指数期权数据汇总统计表该表收集了一些关于S&P500指数欧洲看涨期权和看跌期权价格的简单统计数据。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。平均波动率以年为单位，到期时间以天为单位，履约和期货价格以指数点为单位。百分位数可变平均标准最小5%10%50%90%95%MaxCall价格34.398.0.0.1 0.29.2 75.2 115.5 1270.0卖出价格21.3 46.5 0.0.0 0.1 0.1 5.9 58.2 93.7 1197.0隐含容量0.2 0.1 0.0.1 0.2 0.4 2.6隐含ATM容量。

0.2 0.1 0.0 0.1 0.1 0.2 0.4 0.4 2.0到期时间96.7 157.0 1.0 2.0 4.0 38.0 269.0 404.0 1088.0履约价格1301.0 208.4 100.0 950.0 1075.0 1345.0 1480.0 1525.0 3000.0期货p大米1374.4 48.4 1207.2 1289.5 1309.1 1377.1 1435.9 1450.7 1466.8众所周知，标准普尔500指数期权的日交易量非常活跃：平均为4908614908点，自然期从1天到近3年不等。表1收集了数据的描述性统计数据。人们普遍认为，由于货币内（ITM）期权的交易量较小，其价格不可靠，因此，应尽可能用通过看跌期权平价计算的价格来替代它们：“新”价格由货币外（OTM）期权的价格决定，这些期权通常交易量较大，因此被认为是准确定价的（参见，例如[1，第517页-ff.][5]）。因此，我们需要检查您的数据集是否受到这种现象的影响。换句话说，我们需要检查ITM选项的记录价格是否满足与相应OTM选项的看涨期权平价关系。我们将证明，在我们的数据集中，ITM期权的价格可以被认为是完全可靠的，因此不需要修正。