定价泛函的非参数估计

人们自然会认为，放弃交易量低于100的期权的价格已经消除了可能不可靠的报价。表2收集了我们数据库中选项数量的基本汇总统计数据（具体定义见下文）。请注意，交易的ITM和OTM期权的总数相当接近。让我们详细描述通过相应OTM期权的价格获得ITM期权“更好”价格的程序：让t<t，Stand Ctbe给出，其中standct分别表示指数和ITM看涨期权在t时的观察价格，到期日为t，执行价为K。由于具有相同到期日和s trike的看跌期权必然是OTM，如果假设（H）满足（或简单地假设成立），看跌期权平价恒等式（1）为ITM看跌期权提供了一个“替代”价格，则该推理显然也适用于ITM看跌期权。表2：标准普尔500指数期权日交易量统计表收集了标准普尔500指数欧洲看涨期权和看跌期权日交易量的基本描述性统计数据。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。货币性定义为以罢工价格为中心的10%区间内的现货价格。百分位数单利是指在1688 3191 100 108 133 640 4037 6381 101718美元的货币中，2696 4793 100 110 150 825 7824 12475 62334美元的最低标准5%10%50%90%95%MaxAt最低标准，前提是（a）交易具有相同到期日和行使权的看跌期权；（b） 可获得r（t，t）和q（t，t）的估计值。虽然很容易获得对r（t，t）的良好估计，但对q（t，t）的估计通常并不简单。

特别是，由于我们将使用（2）中定义的估值器，该估值器依赖于看跌期权平价，因此e需要避免循环估值。这是通过使用两对到期日相同的ATM看跌期权和看涨期权来实现的，它们可以用来估计q（t，t）。然后，在ITM/OTM期权的看跌期权平价公式中使用后一种估计，因此不涉及循环性，因为在任何给定的一天，ATM、ITM和OTM期权集是不相交的。ATM选项通常都是非常灵活的，因此可以认为它们的观测价格是准确的。这意味着相应的“q”估计值也可以被认为是准确的。另一方面，可能发生的情况是，对于到期日为T的ITM期权，没有可用的“q（T，T）”估计，仅仅是因为没有两个到期日为T的ATM期权进行交易。在这种情况下，如果可能，我们使用线性插值，否则使用最近邻外推。为了实施刚才概述的程序，显然有必要定义货币性的衡量标准，以便能够（唯一地）将期权分类为货币、货币内或货币外。对于到期日为T和str-ike K的欧洲看涨期权或看跌期权，最简单的（对数即期）货币性定义是log K/St。密切相关的是对数远期简单货币性，定义为log K/fSTt，这显然更适合于到期日较长的期权。然而，回顾前向价格fstt取决于“q（t，t）”，再次出现陷入循环推理的风险。为了避免这个问题，我们简单地使用moneynessM（t，t，K）=log（K/ft），ft:=Ste（rt）-qt）（T-t） ，其中RTI是时间t的即期汇率，QT是时间t的分汇率的历史估计值。然后我们说，如果期权的货币性在区间[log 0.95，log 1.05]，即。

如果其在时间t的远期价格在以其履约价格为中心的10%区间内下跌。或许值得注意的是，根据[5]，对货币性的行业标准定义是所谓的s标准化远期货币性，定义为aslog（K/fSTt）σi√T- t、 其中σi是期权的（Black-Scholes）隐含波动率。无论如何，下面讨论的实证结果基本上与金钱的定义无关。在详细说明了实施看跌期权平价的所有步骤以从相应OTM期权的价格中推断ITM期权的价格后，我们现在可以证明我们的主张，即ITM价格已经被认为是可靠的，不需要纠正。事实上，d由p表示市场价格，p表示“平价”价格，p表示相对误差- p） /p |，平均相对误差为0.3%，标准偏差为0.4%。此外，97.5%的病例的相对误差小于1%，最大值等于4%。因此，似乎完全可以接受ITM选项的报价是可靠的。重新标记4.1。[1]中使用了上述“更正”ITM期权价格的程序（关于mon eyness定义的详细信息，此处未明确说明）。他们数据中的期权比我们的期权早20年左右，至少平均而言，交易量要小得多。这或许可以解释为什么他们确实需要通过上述修正程序将ITM期权的价格替换到他们的数据库中。4.1不同日期的期权价格我们在第3节中提出，在数据生成过程中施加（马尔可夫）时间同质性假设似乎不合理。

为了证实这一说法，Weidentifi在我们的数据集中确定了两个不同的日期（2012年2月2日和2012年6月21日），当时标准普尔500指数的价格几乎相同（分别为1325.54美元和1325.51美元），我们寻找在这两个日期交易的期权对，具有相同的执行价格和到期时间。由于风险收益率和股息率在一年中始终保持不变，如果上述两对具有诱人特征的期权的价格非常接近，则可以考虑时间同质性假设。不幸的是，情况显然并非如此：在图1中，到期时间均为8天的成对期权的价格被绘制为其共同履约价格的函数。从实践角度来看，标的价格差异可以通过两个交易日的不同波动水平来解释，至少在一定程度上是如此。

事实上，这两个日期的CBOE波动指数分别为17.98和20.08。就标准普尔500指数而言，这种qt估计值是现成的。在这个公式中，我们可以用上面定义的FTA来代替FSTT，然而，需要估计隐含波动率的进一步问题出现了。图1：价格过程的非平稳性该图显示了到期时间和履约价格相同的期权的价格差异，比较了两天（2012年2月2日和6月21日）基础价格重合时的价格。执行价1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 15006月21日2月25日实证分析在本节中，我们比较上述估值器的实证表现。方差伽马估计是一种简单但非平凡的参数方法，可以作为基准。该分析是在完整数据集和修剪数据集上进行的，其中价格低于1/8或隐含波动率高于0.7的期权被丢弃（后一种初步筛选遵循[1]的方法）。此外，我们同时考虑看跌期权和看涨期权，也就是说，在一种情况下，我们先放弃所有看涨期权价格，在另一种情况下，放弃所有看跌期权价格。因此，我们有四个不同的数据集来测试估计器的（每日）性能。我们将执行以下样本外测试：let（pk）k∈Jtbe观察固定交易日t内的看跌期权价格，Jt=Jt∪ Jt，Jt∩ Jt=. 指数集Jt用于构造期权价格的估计器，并随机选择其大小为Jt大小的90%（直到四舍五入到下一个整数）。根据第3节的假设，我们可以在不丧失普遍性的情况下，写出pk=πp（Kk，Tk）- t） 尽管如此，k∈ Jt。

用^π表示第3节的任何估计量，基于（pk，Kk，Tk）构造- t） k∈Jt，我们得到了^pk=^π（Kk，Tk）的估计-t） 尽管如此，k∈ Jt。这些估计值是明确的，或有意义的，仅适用于k∈ jt使（Kk，Tk- t） 属于（Kk，Tk）的凸壳- t） k∈JT无论何时使用linearestimator或Nadaraya Watson估计器。任何一个估计值的（相对）误差则简单地定义为ek=|1- ^pk/pk |所有k∈ j因此，^pkisFigure 2：到期时间和履约价格：看涨期权与看跌期权这张图显示了一天内交易的所有期权的到期时间和履约价格（2012年6月21日）。罢工价格200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800卖出期权通话期权已确定。在一年中的所有交易日重复此过程。我们计算了获得的全年相对误差样本的各种平均值和相关统计数据。重新标记5.1。放弃所有买入价来构造定价函数预测价的估计量（反之亦然），意味着大量潜在有用的信息正在被放弃。事实上，鉴于看跌期权平价，看涨期权的价格可以转化为具有相同到期日和执行价格的看跌期权的价格，这与第4节详细描述的程序完全相同。然而，鉴于标普500指数的看涨期权和看跌期权的通常特征，使用额外的信息并不能从根本上提高估计值的准确性。事实上，如图2所示，看涨期权和看跌期权的点集（K，x）几乎是不相交的，其中K和x分别代表执行价格和到期时间。

另一方面，很明显，考虑整套期权协议中包含的信息可能对定价（深度）ITM期权非常有用。在展示实证结果之前，让我们简要介绍一下下面和相应表格中使用的标签：§3.1中定义的定价函数的LI归一化线性插值函数。BS Black-Scholes价格，波动率通过波动率表面的标准化线性插值获得，如§3.3所述。NW Nadaraya Watson通过基于分位数的标准对具有平滑参数Schosen的定价函数进行估计，如§3.2所述。NWCVAs NW，b ut，通过交叉验证选择平滑参数。BS-NW Black-Scholes价格，波动率由Nadaraya Watson估计得出。BS NWCVAs BS-NW，但通过交叉验证选择平滑参数。VG在Hull统计中定义的方差伽马估值器，其基于在整个数据集上计算的经验定价误差，包括看跌期权和看涨期权的情况，见表3。如上所述，定价函数（LI）的线性插值函数以及隐含波动率函数（BS）的线性插值函数仅定义在这些对集（Kk，Tk）的凸包上- t） k∈Jt，对于所有t，经验误差集（ek）kis限制为k，因此线性插值器定义良好。5.他的限制在于。1%的看跌期权和7.4%的看涨期权（其指数k属于Jtforsome t）不能通过依赖线性插值的方法定价。不受此限制（至少在形式上）的估计器的行为将在后面讨论。事实证明，如果根据平均相对误差对所有非参数估值器进行评估，结果都不令人满意，其数值范围在9%到40%之间。

基于方差伽马过程（VG）的参数估计具有更高的平均误差。通过查阅经验误差的分布，可以更准确地评估估计器的性能，其中一些点也显示在表3中。特别是，我们观察到，就估计价格合理接近市场价格的期权数量而言，最佳表现是通过基于Black-Scholes公式和线性插值波动率（BS）的估值器实现的。同样明显的是，LI估计的性能比BSM估计差得多。同样，无论是通过基于分位数的标准选择平滑参数，还是通过交叉验证选择平滑参数，定价函数显示的Nadaraya Watson估值器的性能都比BS估值器差。尽管与基于分位数的简单方法相比，使用交叉验证时，基于NW的方法有了重大改进，但所有基于NW的方法都比基于简单线性插值的两种方法（即LI和BS）的效果显著。考虑到通过交叉验证选择平滑p参数在计算上比线性插值更密集（也更慢），这些实证结果表明，为了解决这里的定价问题，保持简单不仅更快，而且更准确。此时，我们应该注意到，本节报告的实证结果明显受到指数集JT在两个不相交集合JT和JT中（随机）分裂的影响。值得注意的是，VGestimator的样本内和样本外平均相对误差非常接近。

例如，trimmeddataset上看跌期权和看涨期权的平均样本内误差分别为39.6%和48.2%，而相应的平均样本外误差分别为38.5%和49.6%。可以合理地推测，VG过程只是数据生成过程的一个薄弱环节。然而，人们还应该记得，VGmod el的校准程序并不合适。表3：完整数据集的定价误差该表显示了基于完整数据集的各种估计器的经验定价误差（百分比）的描述性统计数据。还报告了定价误差的一些经验分布点。第19页定义了用于不同估算值的标签。样本期为2012年1月3日至2012年12月31日。定价误差是根据4460个看涨期权和2732个看涨期权计算的。卖出期权错误LI BS NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 11.9 10.7 289.1 39.8 29.5 32.2 46.9St。9.9.10 10.10.8 6.6.4 4.4 4.4.4.4.4.6.6.6.6.10.10.10.8 6.6.4.4.4 4.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.4.7.4.7.4.7.4.7.4.7.4.7.7.7.6.6.6.6.6.4.7.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.10 10 10 10 10.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90.925%90.093.048.059.675.777.023.930%92.294.652.663.580.279.9 29.350%96.0 97.2 65.3 75.4 89.3 87.0 56.6通话选择错误LI BS NW BS-NW NWCVBS NWCVVGMean 30.1 8.7 278.3 26.6 40.0 14.7 57.4St。德夫。

4.2.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.5.5.5.5.5.5.5.5.4.4.4.4.4.6.6.6.6.6.6.6.6.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 425%85.493.345.272.265.887.019.530%87.894.950.974.772.688.922.550%93.2 97.4 64.6 82.7 85.8 94.2 36.3每个日期t。然而，虽然更改随机数生成器的初始化（显然）会导致不同的图形，但所做的定性观察以及它们所暗示的结论并没有改变。整个分析也在一个较小的数据集上进行，通过剔除隐含波动率高于70%或价格低于1/8美元的期权获得。[1]中采用了该程序，此处仅用于与表3中总结的结果进行比较（然而，如上所述，[1]和我们的分析不具有直接可比性）。表4收集了相应的结果。尽管，正如人们自然预期的那样，所有估值器的平均定价误差都有所改善，但从对整个数据集的分析中得出的定性结果并没有改变。特别是，当通过交叉验证选择平滑参数时，唯一一种性能勉强可接受的基于NW的方法是Black-Scholes估计量与隐含波动率的估计。然而，重要的定性观察结果是，和以前一样，保持事情简单，尤其是使用BSestimator，在绝大多数情况下都更快、更准确。