非对称耦合多重网络中的系统性风险

Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统风险1-l（n1-l/k1-l） ，这是层（1）中失败邻居的分数超过原始阈值的概率- l） 。为了计算方程n。（7） ，我们需要知道失效概率π*l层的邻域。为了实现这一点，我们迭代求解概率π的耦合定点方程组*l、 定义为π*l=Ll（π）*l） ：=zlXklpl（kl）kl-1Xnl=0B（nl，kl- 1, π*l） Psl=1 | kl，nl，ρ*s、 一,-L（10） 式中zl=Pklpl（kl）P（sl=1 | kl，nl，ρ*s、 一,-l） 由Eqn定义。（8） 我们再次注意到Eqn之间的相似性。（10） 它描述了一个邻域的失效概率。（5） （8）描述节点的失效概率，但也有两个区别：a）在等式中。（10） 相邻阳极的度分布遵循pl（kl）kl/ZL，而不是pl（kl）（纽曼，2010）。它与kl度成正比，因为邻居的每条链路都会增加邻居连接到所考虑节点的概率。b） 方程中的二项式分布。（10） 取决于吉隆坡- 1而不是KL，因为我们必须考虑所考虑节点的二阶邻域。我们以邻居的失效概率作为输入，计算节点欠考虑的失效概率，如等式所示。(5), (8). 因此，π*lis的条件是节点欠考虑在邻居之前没有失败。只有吉隆坡- 1度为KL的邻居的邻居可能以前失败过，因为考虑中的节点是该邻居的邻居。4结果4。1与计算机模拟的比较我们现在使用不相关的两层Erd"os-Rényi网络（Erd"osand Rényi，1959）的说明性案例，将定点方程（10）的数值解与计算机模拟进行比较。

对于计算机模拟，我们实现了第节中描述的时间相关模型。2，即我们模拟级联的演化，直到它们达到稳定状态。每个层的网络大小为N=10000。此外，我们还为每个初始条件采样了100多个网络实现。每层上的度分布pl（kl）近似为泊松分布pl（kl）=zkllkl！E-zl（11）7/18R。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈0.20.40.60.8 1r1000的多重网络中的系统风险。20.40.60.81ρ0*u1=0.6σ1=0.1u1=0.5σ1=0.5u1=0.2σ1=0.5图2：阈值反馈模型中的急剧制度变化：ρ*对于阈值分布的不同组合，随着耦合强度ris的变化。核心业务层上的阈值分布设置为N（0.3,0.1），而子业务层上的阈值分布设置为N（0.6,0.1）（黑色曲线）、N（0.5,0.5）（绿色曲线）和N（0.2,0.5）（蓝色曲线）。这两层是独立的Erd"os-Rényi网络，平均度数z=z=5。虚线是我们的分析预测的曲线，而开放符号则显示了Erd"os-Rényi网络上的模拟结果，该网络有10000个节点，其中每个点的平均值超过100个实现。误差条指示标准误差的大小。具有相同的平均度数z=z。阈值为正态分布，即θ~ N（u，σ）和θ~ N（u，σ）具有不同的参数ul，σl。在我们的例子中，我们将0层上的阈值分布乘以参数u=0.3和σ=0.1，这确保了非耦合网络中节点的故障概率非常小，即0.0045。

我们改变第1层的参数u和σ，以研究第0层上由于与强度r的耦合而出现的大型级联。图2表明，耦合强度r的微小变化可能会导致从几乎没有故障的状态（ρ*≈ 0）达到完全系统故障状态（ρ*≈ 1). 该区域偏移开始时的耦合强度rc取决于第1层阈值分布的参数（即u和σ）。也就是说，RCI以u为单位增加。在确定参数星座（例如u=0.6和σ=0.1）的情况下，我们还发现无故障级联，这将在图4中进一步讨论。最后，我们注意到数值和模拟结果之间的极好匹配。斜率的差异是因为我们模拟了有限网络，而有限网络的定点方程成立。8/18R。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统性风险4。2耦合强度的影响更广泛地了解两层之间的耦合如何导致从低风险状态快速过渡（即ρ*≈ 0）到灾难性的（即ρ*≈ 1） 我们计算了各种耦合强度的（u，σ）相图。结果如图3所示，其中暗区表示故障节点比例非常高的参数星座。左栏显示了系统性风险ρ的度量*, 这相当于层0中失败节点的分数，而中间一列显示了层1中失败节点的相应分数。作为一个参考案例，右栏显示了一个单层网络，我们构建该网络是为了将两层网络的结果放在透视图中。这种组合的单层网络中的节点有一个度kagg=k+和一个阈值θagg=θ+θ，即。

我们简单地将之前分布在两层上的每个节点的两个值相加。度分布可以用p（k）和p（k）的卷积来求，即pagg（kagg）=（p* p） （卡格）。后者可以显示为泊松分布，平均度zagg=z+z，这是有限Erd"os-Rényi网络的度分布。通过对θ和θ的概率密度函数进行卷积，可以找到组合层的阈值分布。这就产生了θagg~ N（uagg，σagg），其中uagg=u+u，σagg=pσ+σ。我们的参考案例出于两个考虑：（a）我们希望估计ifa多路复用网络近似为单层网络时产生的误差，即不同层的属性仅聚合在一层中。（b） 对于手头的应用场景，即企业将其核心和子公司业务部门合并为一个业务部门的管理决策，我们希望了解对由此产生的风险敞口的影响。为了计算相图，我们假设所有公司都做出相同的决定，例如，这可能是由放牧行为引起的。由于我们只改变（u，σ），我们绘制了关于这两个参数的所有相图。由于组合层网络不再包含耦合强度r，相应的相位图不会因r的变化而改变。它们只是为了与其他列进行比较而重复。我们假设，与两层网络相比，组合层网络中的节点具有较小的故障概率，因为它们的阈值要高得多。它们的程度也更大，这意味着风险在邻居之间更分散。另一方面，由于阶数较大，组合层网络的连通性较高。

与连接较少的独立层相比，这有可能放大小型级联。我们将通过定点方程的数值解来研究，在给定的参数区域内，哪些对抗效应可能占主导地位。通过比较图3中的第一列和第三列，我们可以看到小耦合强度和大耦合强度的不同风险。对于较小的Rth值，层1上的级联不能传播到9/18R。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统风险ρ*ρ*ρ*0.81 0.0 0 0.10 0 0.0 0 0.10 0 0.0 0 0.0 0 0.10 0.0 0 0.0 0.4 0.0 0.0 0.6 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.8 8 8 8 8 1 1 1 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0.0 0 0 0.0.0 0 0.0.0 0.0 0.0 0 0 0.8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 1 0 0 0 0.10.0 0.0.0 0.0.0.0.0 0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0.0.0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.8 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1σ10 0.20.40.60.81 00.51u10 0.2 0.40.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.8 8 8 1σ10 10 0.20.40.40.60.60.0.81.0.81.0.81 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.8 1 1 1 1.1 1 1 1 1.10 10 10 10 10 10 10 10.0 0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 1σ10 0.20.40.60.81 00.51u10 0.2 0.4 0.6 0.8 1σ100.20.40.60.81 00.51图3：阈值反馈模型中的急剧状态变化：ρ*和ρ*对于u=0.3，σ=0.1和（u，σ）∈ [0,1]随着ris的变化。这两层是独立的Erd"os-Rényi网络，平均度数z=z=5，每层上的阈值独立分布，即θ~ N（0.3,0.1）和θ~ N（u，σ），其中（u，σ）∈ [0, 1]. ρ*agg是聚合网络上的故障分数，即kagg=k+k和θagg=θ+θ的网络。因此，我们没有观察到任何系统性风险。

这与组合分层网络不同，在组合分层网络中，小范围的参数可能会产生大的级联。10/18R。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统风险ρ*ρ*ρ*aggu10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r100 0.20.40.60.81 00.51u10 0.2 0.6 0.8 1 r100 0.20.40.60.81 00.51u10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r100 0.20.40.81 00.51图4：阈值反馈模型中的急剧变化：ρ*和ρ*对于u=0.3，σ=0.1和σ=0.3，因为u和稀有的变化。这两层是独立的Erd"os-Rényi网络，平均度数z=z=5，每层上的阈值独立分布，即θ~ N（0.3,0.1）和θ~ N（u，0.3），其中u∈ [0, 1]. ρ*agg是聚合网络上故障的分数，即kagg=k+k和θagg=θ+θ的网络。对于较大的r值，情况正好相反。在这里，通过增加r，我们发现一个高系统风险的增加区域，由两层之间级联的相互放大驱动。这导致了一个非常剧烈的相变，即完全分解区域和未分解区域的清晰分离。我们注意到，这与对复合层网络的观察不同，在复合层网络中也可以观察到相变。然而，如灰色区域所示，系统性风险处于中等水平的区域也很广泛。我们还希望了解0层系统性风险的发生如何取决于耦合强度。因此，除了定义u和σ，我们还将σ设置为一个较小的值，并绘制关于（u，r）的相位图。对于与图3相同的列，图4显示存在独立于u的Indeda临界值Rc。在rc以下，我们在0层中未观察到任何系统性风险，而在组合层网络中，我们发现u的小值存在相当大的系统性风险。

在rc上方，我们在两层网络中看到完全和无系统风险之间的急剧相变，这取决于临界值uc。因此，我们在下面的小节中研究过渡r（u）。4.3标度行为在图3中，我们观察到，对于较大的耦合强度r，急剧的相变几乎呈线性标度，即σ=su+sforu≥ 0.4，r≥ rc（12）11/18R。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈单层ρ的多重网络中的系统风险*单斜率ρ*对于r=0.3r100。2 0.4 0.6 0.8 1s1-20246u0.2 0.4 0.6 0.8 1σ0.20.40.60.81 00.51u10 0.2 0.4 0.6 0.8 1σ10 0.20.40.60.81 00.51图5：（左）：红色圆圈：通过ρ的线性回归获得的线性相变斜率*我们通过数值求解定点方程（10）来计算r的不同值。蓝色曲线显示了等式n提供的斜率的近似值。19.（中间）：无阈值反馈的单层上最终级联尺寸的相图，泊松随机图的平均度数z=5，正态分布阈值SFθ~ Nu, σ. （右）：层0上的最终叶栅尺寸，即ρ*, 对于r=0.3。红线表示由标准ρ定义的相变*仅有一个的≥ ρcs，1。绿线对应于ρ*仅有一个的≥ 0.45.为了确定标度参数s，我们从图3的相位图中提取相变线，也计算了r=0.3、0.5、0.6、0.7、0.9。这些线通过线性回归进行近似，通过这种方式获得的斜率绘制在图5（左图，红点）中，与耦合强度r相对。我们观察到斜率的非单调依赖性，对于较大的r具有饱和效应。因此，我们想要确定r的r和s（r）≥ rc。为了更好地理解这种依赖性，我们对Lin方程进行了线性近似。

（10） asL（π）≈ a+bπ（13），对于小的失效概率π值有效。而不是求解完整的定点方程组Eqn。（10） 我们只对线性化系统进行求解，以推导出π在定点迭代中的增长行为准则。线性方程（13）的固定点超过1- B≥ 1（14）在这种情况下，两层的初始故障都会导致0.12/18R层出现较大的级联。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统风险eqn。（14） 得出了参数uc、σc和rcif的条件。如果我们知道a和b的表达式，则可从方程n的线性化中获得这些条件。（10） ：a=Ps=1 | k，n=0，ρ*s、 一,,b=∞Xk=1k（k- 1） zp（k）×（15）×Ps=1 | k，n=1，ρ*s、 一,- Ps=1 | k，n=0，ρ*s、 一,.这些参数取决于失效概率ρ*s、 1另一层中的节点，即第1层。为了进一步讨论，我们首先集中讨论最坏情况ρ*s、 1=1，即层1上的所有节点均失败。我们感兴趣的是确定哪种情况，即使在最坏的情况下，层1中的级联也不会传播到层0。换言之，我们想要近似于临界耦合R，我们可以在图4的左栏中观察到高系统风险区域。ρ*s、 1=1参数a和b简化了toa=F（0），b=∞Xk=1k（k- 1） zp（k）Fk（1）- r）- F（0）.（16） 我们注意到，它们与μ，σ无关。对于图4中使用的一组参数，我们借助等式n获得。（15） 还有Eqn。（14） 临界耦合rc的值=0.204。与数值计算r=0.18（考虑了全套定点方程）相比，这是一个很好的近似值。这意味着在临界耦合强度rc’0.2以上，大型级联可以从第1层传播到第0层。

这与μ和σ无关。接下来，我们解释图3所示的依赖关系s（r）。由此我们估计了相变线的斜率（其形式为σ∝ su）。再一次，我们从等式推导出这个关系。（14） ，（15），但这次我们不能使用ρ*s、 1=1。对于ρ*s、 16=1时，我们自动获得与第1层阈值参数u和σ的相关性。组合方程。（15） 还有Eqn。（14） ，我们可以定义一个临界值ρcs，1如等式n。（14） 满足ρ*s、 一,≥ ρcs，1:ρcs，1:=1+F（0）（z）- 1) - c（0）c（r）- c（0），（17），其中c（r）：=∞Xk=1k（k- 1） zp（k）Fk（1）- r）. （18） 18月13日。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统性风险这是Eqn的一种重新表述。（14） ，这给了我们一个估计，什么时候会出现0层的大规模级联。尽管如此，我们仍然不知道ρ*s、 1不求解完整的定点方程组（10）。下面我们测试了ρ的两个代理*s、 1这使我们得出u和σ之间的线性关系。（1） 初始值ρs，1（t=0）=F（0）=Φ(-u/σ）已经足以在定点迭代的早期阶段确定π的增长。尤其是对于较大的r值，层0中的一个较大级联可能仅仅由层1中的初始故障触发。因此，wesetρcs，1\'F（0），其结果为σ∝ -u/Φ-1.ρcs，1, （19） 即s=-1/Φ-1.ρcs，1（20） 哪里-1指定标准正态分布的累积分布函数。我们用图5（左）中的蓝线绘制了这个斜率，以证明我们的近似值与sfor的数值斜率很好地一致≥ 0.4。（2） 对于较小的耦合强度，rwe测试ρ的第二个代理*s、 一,。ρ的下界*s、 1由单层上的最终叶栅尺寸ρ给出*单一，不存在与另一层的反馈机制。这意味着，另一层不能进一步放大故障。

Burkholz等人（2015年）对单层中的级联进行了研究。我们使用他们的方法绘制了泊松随机图（平均度z=5）的最终级联大小的相位图，如图5中幅所示。当我们比较图3（左）和图5（中）的曲线图时，我们观察到在图3（左）的参数区域中，没有级联发生，在图5（中）中也没有级联发生。这只适用于强耦合r。因此，在这个极限下，我们的ρ的第二个代理*s、 1将相似的结果作为我们的第一个代理。然而，ρ的第二个代理*s、 1是更一般的，因为我们也可以正确地覆盖0.2值的转换线≤ u≤ 0.4. 在这个范围内，过渡线基本上与r值无关。它基本上与ρ的过渡线重合*single，单层网络中失败节点的比例。对于大于0.4的u值和弱耦合，例如r=0.3，我们在图5（右图，红线）中观察到过渡线不再准确描述。条件ρ*仅有一个的≥ρcs，1=0.55只给出了过渡线的上限，但没有给出下限。我们已经观察到ρ的级联大小*仅有一个的≥ 由于非线性效应，0.45导致0层上的大级联放大。即，图5（右）中的绿色虚线与数值计算的过渡线几乎完美匹配。14/18R。Burkholz，M.V.Leduc，A.Garas&F.Schweitzer：具有不对称耦合和阈值反馈的多重网络中的系统风险这意味着，我们甚至可以概括我们的陈述，即ρ的过渡线*单晶体决定相变。