基于变分分析的内在存储价值评估

然而，该解决方案让我们深入了解了存储问题的本质，并为存储选项有时非常反直觉的功能提供了证据。在这里，我们首先给出形式化解决方案的概述，然后讨论可以从分析结果中得出的最重要的结论内在问题的最优解可以用触发价格来表示。这是这样一个价格水平C，其最优行使决策可以表示为˙q（t）=rmax（t）F（t）<Crmin（t）F（t）>C（6.1）如果注入和释放受到操作成本的影响，那么在tr价格周围也有一个“死区”。这种情况下的最佳练习如式（3.5）所示。它包含一个额外的“不做任何事情”状态，当价格在死区内时触发。死区的宽度仅由op e评级成本确定。在更一般的情况下，最佳运动轨迹可能部分沿着上下边界。然后，整个轨迹由“主动”注入/释放的几个部分组成，由边界接触分隔。通过边界接触分离的不同“活动”零件的触发价格可能不同如果最佳运动轨迹q（t）达到存储边界（即达到存储最小或最大容量），则必须满足条件（3.15-3.18）。

在没有运营成本的情况下，这些条件简化为toF（t*) = C（6.2）式中t*是边界接触的时间如果期权价值V被视为终端水平qend的函数，那么is与以下公式给出的触发价格有简单关系：五、qend=Fe- C（6.3），其中FEI为剩余单价（合同结束后，为储存中剩余的天然气支付的价格）。现在，我们将讨论一些最重要的实际影响，这些影响来自我们的分析可以对存储的终端级别进行重要说明。首先考虑没有剩余单价的s存储选项。如果价格严格为正，且运营成本非常小，则触发价格为正，因此具有竞争力五/qendis阴性。因此，最优轨迹必须以尽可能低的存储水平qend=Qmin（6.4）终止，且具有良好的精度。sa me适用于随机存储选项与存储不同，对于swing选项，可以在全局卷限制之间终止。事实上，摇摆合约基础的有效价格是市场价格和执行价格之间的价差，可以是正的，也可以是负的。因此，触发价格的标志是不确定的。实际最终产量（换句话说，总采用量）取决于合同“金额”。如果摆动合约在货币深处（利差为正），则触发价格为正，行权轨迹将在下限终止。如果合同深度“缺钱”，则价差为负，触发价格也是负的。因此，运动轨迹将在上限结束。对于“按需付费”选项，总采出量可能介于全局约束之间。

在这种情况下，触发价格必须为C=0（6.5），如果为剩余容量支付了终端单价，同样适用于存储选项。根据资金情况，终端vo lume可能位于VolumeConstraint之间。请注意，一个消失的触发价格意味着一个简单的执行策略：只要市场价格高于罢工就释放。在这种情况下，swing合约变成了一条独立的普通看涨期权。如果内在行使轨迹的终点与全局约束相去甚远，则sa me适用于随机摇摆期权：它可以作为一条独立的普通看涨期权定价。这种独立性源于这样一个事实，即大多数随机运动轨迹也会在边界之间终止。因此，触发价格C=0被保留，所有到期日的行权规则保持不变。可表示为一系列独立期权的摇摆期权具有显著优势，因为它可以被市场观察到的情况复制（以及定价和对冲）（当然，只有在市场流动性允许的范围内）如果实施了结转成本，那么触发价格将成为时间满意度dc（t）dt=γc（t）（6.6）的一个增长函数，其中γc（t）是单位时间内单位体积的结转成本。正如正文所示，在执行策略方面，结转成本相当于额外折扣系数（t）=1-F（t）Ztγc（u）du≈ e xp-F（t）Ztγc（u）du请注意，折扣因素会导致正确的锻炼策略，但会导致错误的现金流。在找到最佳运动后，必须计算正确的cas流量周期约束相当于有效的额外注入/释放成本。实际上，这意味着为了满足循环约束，可以使用以下迭代方法。

首先解决固有问题，不做任何修改。如果周期约束被打破，人们应该增加运营成本（我们称之为虚拟运营成本），并解决新的修改问题。太低的虚拟o pex可能不足以满足循环约束，太高的虚拟op ex将使循环变量低于约束。经过几次迭代后，我们应该转化为虚拟操作的最佳选择，这将导致一个循环构造。这种迭代解决方案在计算上比蛮力方法更有效，因为后者需要在状态空间中增加一个维度。请注意，与套利成本的情况类似，虚拟o pex产生了正确的行使策略，但现金流是错误的。在找到最佳支出后，必须计算正确的现金流我们分析的一个最重要的结果与随机的现场练习有关。我们已经证明，最优随机运动是“砰砰”的，其方式与内在问题完全相同。因此，随机行使可以用随机触发价格Cst（t）来表示。但与内在问题不同，随机触发价格不能在整个时间范围内预先确定。对于每个时刻，它只能在短时间间隔内确定，在此期间，前进曲线不会随着观察时间发生显著变化。通常情况下，天然气储备和摇摆合同是以每天的粒度（提前一天提名）执行的，henceone day是触发价格有效性的自然时间间隔。

触发价格的一个更有趣的用途是周末和银行假期，在没有天然气市场活动的情况下，触发价格应该延长几天结果表明，随机触发价格与内在触发价格非常接近，或者说，随机触发价格与内在触发价格几乎相同。这一事实的重要性难以言过其实，因为它正好证明了所谓的内在（RI）策略。此策略是一项规则，用于在每个时间步上使用内在优化来执行存储选项。RI策略执行如下。在每个时间步t，给定当前市场价格F（t，t）和当前存储水平q（t），求解内在函数m，并找到剩余时间范围内的最佳内在运动函数q（t，t）。即时行权（行权交易）˙q（t，t）在现货市场上交易，其余（对冲交易）在远期市场上交易（当然，在进行行权和对冲交易时，必须考虑现有的对冲头寸）。此操作在每个交易日重复，直到存储合同结束。滚动内在策略是交易者最常用的策略之一。这个策略很有吸引力，有几个原因，其中一个原因是它很容易遵循。尤其是，它不需要对价格过程进行任何了解或校准。由于内在套期保值不受影响（因为它没有考虑随机价格动态），终端投资组合价值在一定程度上是随机的，并且在相同初始条件下，不同的价格演变情景下可能会有显著差异。一个重要的事实是，平均而言，投资组合的最终价值仅由即时行使决定。

因为我们所说的内在即时练习与正确的随机即时练习非常接近，所以我们得出结论，在平均水平上的RI策略生成正确的终端选择值（在风险中性概率度量中）正确的随机选项值只能通过遵循最优随机练习策略来实现。然而，在储存合同的有效期内，有时会出现与即时执行决策无关的情况。事实上，根据式（5.19），投资组合价值偏离其最佳值的偏差由Δ∏=（Cst（t）给出- s（t））δq（6.7），其中δq是与最佳行使的偏差，s（t）是现货价格。我们发现，每当现货价格超过触发水平时，即在较高时，投资组合价值损失Δ∏bec对错误的操作不敏感。这句话产生了一个重要的后果。由于随机价格和内在价格非常接近，它们可能只会导致在现货价格接近触发价格的时刻，即吸引时间，做出不同的行权决定。然而，如果不是一个正确的随机练习，而是一个内在的练习，它不会导致期权价值的变化，因为期权价值在触发时间对练习决策不敏感。这又一次证明了为什么内在运动是正确的随机运动的良好近似。另一个有趣的结果是，根据边界接触条件（3.153.18），每当轨迹接近边界y时，选项值对运动决策不敏感。为了证明内在运动对PnL的影响，我们进行了数值模拟。

我们模拟了由一年期储备期权、线性对冲和累积现金流组成的投资组合的PnL演变。在模拟中，我们生成了300种不同的远期曲线演化情景，由单因素价格过程（5.3）驱动，参数α=20，σ=0.9。对于每一个项目，我们运行了两个投资组合实例，其中一个使用正确的随机执行决策作为基准，另一个使用基于每个时间步的内在估值的执行决策。由于存储定价模型使用的假设与用于模拟前向曲线的假设相同，因此第一个投资组合是完全对冲的，因此其PnL遵循straig ht lineplus so me噪声，这是由于离散时间和蒙特卡罗估值误差造成的。第二个投资组合使用了正确的随机决策，但采用了内部即时操作。第二个投资组合的PNLO可能会略有不同，这只是因为当内在运动决策和随机运动决策不同时，发生了罕见的事件。我们的目的是证明两个投资组合的PnL基本相同。完整选项值305.8±0.5$时间值31.1±0.5$终端PnL（随机运动）306±0.2$终端PnL（内在运动）305.4±0.2$PnL损失（内在运动）0.6±0.1$（时间值的2%）表1：模拟结果：内在触发价格产生正确的运动决策。模拟结果如表1所示（我们使用了准确度区间的标准误差）。我们发现，内在行使导致系统性PnL损失约2%的期权时间价值。实际上，对冲交易由纯金融工具组成。由于价格过程是一个鞅，所有对冲合约的平均价值都会消失。

只有“身体上的”即时锻炼交易才会产生一个不平凡的平均现金流。在我们的例子中，我们特意选择了这样的参数（快速存储和fas t振荡前向曲线）来强制执行大量触发时间，以使本质锻炼的效果更加明显。更现实的存储选项示例的触发时间更少，因此PnL损失更小。因此，模拟结果证实，本质锻炼对PnL的影响可以忽略不计。感谢我的同事加里·鲍恩审阅了手稿并给出了宝贵的意见。附录A修改函数和未修改函数设q（t）为修改函数S[q（t）]的最优解。在这里，我们展示了为什么“q（t）”尊重原始表m的约束，以及为什么“q（t）”是具有约束的未定义函数S[“q（t）]的最佳解决方案。最优轨迹q属于一类广泛的局部可积函数L。让我们引入一类轨迹K 满足所有约束条件。根据定义，惩罚函数在K:φ（q）上消失≡ 0ψ（˙q）≡ 0 i ff q∈ K:S[q]=S[q]上修改和未修改泛函的值Q∈ KNext我们证明了最优轨迹q属于K类，因此满足约束条件。实际上，通常在极值轨迹的某些部分yψ′（q）6=0和φ′（q）6=0。根据等式。（3.3）和（3.7）它们取有限值。我们可以证明（不加限制）在极限Nφ，ψ→ ∞ 在φ′（或ψ′）取有限值的地方，函数φ（或ψ）消失。我们得出结论，在极值轨道φ（`q）上≡ 0ψ（q）≡ 0（A.1），因此“q”∈ K

表（A.1）表明，修改和未修改的目标泛函的值在最大轨迹上重合：S[\'q]=S[\'q]。最后一步是证明轨迹\'q为空间K上的未修改泛函提供了最大值。从以下考虑来看，这是明显的。轨迹“Q”最大化了空间陆地上的修改功能，因此它也将在较小的空间K上最大化该功能 L.由于两个泛函的值在K上重合，因此轨迹“q”也将使满足约束的所有轨迹空间中的未修改泛函最大化。B触发价格的变化这里我们计算内在触发价格是如何通过正向曲线的微小变化来确定的。在本节中，我们仅估计一阶泰勒展开式。设δF（t）为远期曲线的变化量，δC为相应的价格变化量。为了推导δF（t）a和δC之间的关系，我们从连接初始条件和终端条件的关系中得出：Qend=Qstart+ZTe˙q（t）dt（B.1），其中˙q（t）是最佳的内在运动策略。它可以表示为˙q（t）=rmin+rθ[C- F（t）]（B.2）其中r=rmax- rminθ[x]=1对于x>00对于x<0，我们通过排除边界接触事件简化了最佳运动的表达式。由于必须保留终端水平，等式（B.1）两侧的变化必须消失。将公式（B.2）代入公式（B.1），并找出其相对于CdF的第一个变化，我们得到了中兴通讯Rδ[C]- F（t）]δC- δ[C]- F（t）]δF（t）dt≈ 0（B.3），其中δ[x]=θ′[x]是狄拉克δ函数。下面是δC≈rKZTeδ[C]- F（t）]δF（t）dt，其中K=rZTeδ[C]- F（t）]dt（B.4）参考文献[1]亚历山大·布格特和西瑞尔·德琼。用蒙特卡罗方法对储气库进行估价。《衍生工具杂志》，第15卷，第1期。

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