基于变分分析的内在存储价值评估

如果价格高于死区z，则气体以最大速率释放：˙q（t）=rmin（t）。这个结果是著名的庞特里亚金最大原理的推广。特别是，在没有运营成本的情况下，该解决方案只有两种模式——注入和释放（这一功能通常在文献“bang-bang”中有描述）。每次正向曲线穿过触发水平C时，区域之间的过渡都会发生。常数C的选择方式必须确保解q（t）满足初始和终端条件SQ（0）=Qstartq（Te）=Qend=Qstart+ZTe˙q dt（3.6），因此在一般情况下无法解析表示。rminrmax-γrelγinjC- F（t）˙qψ′（˙q）+γ′（˙q）图1：等式（3.3）的图解。3.3边界上的解关于这部分解，我们不需要说太多。在边界上，我们明显地在上边界上有q（t）=Qmax（t）在下边界上有q（t）=Qmin（t）在边界上有两个不同的视角。我们可以把我们的问题看作是一个具有空间边界条件的一般变分问题。使函数最大化的解决方案可以由沿边界和极值的部分组成——位于边界之间并满足极值条件的轨迹片段（即具有消失的第一变化）。欧拉-拉格朗日方程在边界上是没有意义的，因为那里的轨迹不能改变。另一方面，如果我们考虑一个正则化问题，欧拉-拉格朗日方程在边界上是有意义的。我们可以在边界上导出方程的特例。如果边界Qmax（t）（或Qmin（t））是一个非常慢的时间函数，那么函数ψ′（˙q）消失，函数φ′（q）取有限值（如果q=Qmax，则为正值；如果q=Qmin，则为负值）。情商。

（3.2）在边界上变成φ′（q）=ddthF（t）+γ′（˙q）i（3.7），从下面的ddthF（t）+γ′（˙Qmax）i≥ 上边界为0；（3.8）ddthF（t）+γ′（Qmin）i≤ 下限为0；（3.9）特别是对于Qmax=const和Qmin=const，我们得到˙F（t）≥ 上边界为0；（3.10）˙F（t）≤ 下限为0；（3.11）3.4接近边界可以通过极值和边界之间的连接点做出重要的陈述。让我们首先考虑一个简化的问题（推广很简单），我们假设该问题的边界条件为常数，运行成本为零：Qmax=const Qmin=constγ（˙q）≡ 0设q（t）为最优轨迹，t*是轨迹接触边界的时间，例如，对于t<t*轨迹满足Euler-Lagrange方程，对于t>t*边界之后是边界，例如上边界：q（t>t*) = Qmax。现在让我们考虑一个关于时间范围t的补充问题∈ [0，t*] 有一个终端条件q（t*) = Qmax。我们指定了补充目标函数的值。显然，补充y问题的最优轨迹在[0，t]上重合*] 原始最优转移系数qsup（t）=q（t）t∈ [0，t*]现在考虑边界接触点t的一个小变化*= T*+ δt*对于补充问题，我们将得到一个新的最优解qsup（t）。

如第3.6.2节所示，补充目标函数值的变化可从t=t点的边界问题的时间导数中获得*, 这是由Ssupt=˙qsup（C- F（t）*)) （3.12）δSsup=Ssuptδt*（3.13）式中˙qsup=˙qsup（t*-0）=rmaxis是在触碰边界之前的轨迹部分的最佳运动。关于最初的问题，我们现在可以问目标函数的值是如何在新的轨迹上发生变化的，该轨迹由t<~t的q（t）组成*并且是未经修改的rt>max（t*,~t*)q（t）=~qsup（t），t<~t*q（t）t>max（t*,~t*)Qmax~t*< t<t*如果没有*< T*对于原变分问题，t点*是一个内点，因此新轨迹是最优轨迹的一个小变化。因此，原始目标函数仍被修改：δS=0原始目标函数值的变化仅是由于t<t的轨迹的极值部分的变化*, 因为bo-undary上的轨迹部分对功能价值没有贡献。因此，我们得出结论，与等式相比，补充目标函数的变化应消失δSsup=0。（3.12）和（3.13）我们可以得出结论，在边界接触时，F（t*) = C（3.14）在一般情况下（包括与时间相关的边界条件和运营成本），我们得到边界接触点1的以下条件。从左边到下边界的轨迹（图2.a）：F（t）*) = C+γrel，˙F（t*) ≤ 0 (3.15)2. 从左边到上边界的轨迹（图2.b）：F（t）*) = C- γinj，˙F（t*) ≥ 0 (3.16)3. 从右边到下边界的轨迹（图2.c）：F（t）*) = C- γinj，˙F（t*) ≤ 0 (3.17)4. 从右边开始的上界轨迹（图。

2.d）：F（t）*) = C+γrel，˙F（t*) ≥ 0（3.18）q（t）QmaxQminabcdFigure 2：边界接触情况：a）左下边界；b） 左上边界；c） 右起第二个字母；d） 右上方边界。对于时间间隔t，必须满足这些条件∈ （0，Te）。t=0和t=t时的外部轨迹不必满足这些条件，因为它们不是轨迹的内部点。3.5结论eq。（3.5）以及边界条件（3.15-3.18）和起始体积和终止体积条件（3.6）为问题提供了隐式解决方案。我们总结了解决方案的一些性质：1。边界之间的最佳执行策略是bang-bang，即每个时刻只有3种可能的最佳操作：最大注入、最大释放或“不做任何事情”。一般来说，最优轨迹由若干段组成，这些段遵循满足欧拉-拉格朗日方程的边界段和内部段。3.对于通过边界接触与其他轨迹分离的每条轨迹，都有一个触发器C和一个“死区”[C]-γinj，C+γrel]。如果价格低于区域，则仓库的容量以最大速率增加；如果价格高于区域，则仓库的容量以最大速率减少；如果价格在区域内，则仓库的容量保持不变。该区域的宽度由运营成本决定。被边界接触隔开的轨迹部分可能有不同的触发级别。4.如果轨道在时间间隔t内触及边界∈ （0，Te），它必须满足其中一个边界条件（3.15-3.18）。通常，满足所有先前条件的轨迹不是唯一的。

任何解都必须满足所有这些条件，但并不是所有函数都满足所有条件才是最优解。上一节中的解决方案最大化了修改后的目标函数S[q（t）]。设q（t）为得到的解。最佳路径“q（t）”可以替换为未修改的函数S[“q（t）]，我们希望在其上获得期权的价值。我们需要解决两个问题：1）最优轨迹q（t）是否尊重约束条件，2）对于修改后的功能来说是最优的轨迹q（t）对于未修改的功能来说也是最优的。对于这两个问题，答案都是肯定的。在附录A中，我们将说明原因。从这一点开始，我们删除动作积分的下标“0”，除非我们想强调修改和未修改目标函数之间的差异。我们还将最佳轨迹“q（t）”的“条”放在不会导致歧义的任何地方。3.6对初始和最终边界条件的依赖性计算固定终点{t=Te，q=Qend}的最佳路径q（t）和目标函数S[q（t）]。如果这一点在时间或体积两个方向上都有轻微的偏移，那么最佳路径就会不同，目标函数也会不同。从这个意义上讲，目标函数可以看作是终点S=S（q，t）的函数。在本节中，我们将找到该函数的派生。根据标准变分分析，我们得出：sq=L ˙q（3.19）st=L- ˙qL ˙q（3.20）我们将这些方程应用于修改后的目标函数S[q（t）]。所获得的公式也适用于未经修改的目标函数S[q（t）]。3.6.1体积导数使用修改后的拉格朗日定义（2.10）和我们发现的等式（3.19）sq=-hF+ψ′（˙q）+γ′（˙q）的太平洋导数只有在边界内才有意义。利用等式。

（3.3）最终获得sqend=-C（3.21），其中C是轨迹最后一部分的触发水平。关于初始条件qstart的导数是通过反转符号给出的，sqstart=C（3.22），其中C是轨迹初始部分的触发水平。3.6.2等式的时间导数。（2.10）和（3.20）我们发现st=˙qhψ′（˙q）+γ′（˙q）i- φ（q）- ψ（˙q）- γ（˙q）==˙qhψ′（˙q）+γ′（˙q）i- γ（˙q）（3.23）在边界内，我们利用关系式（3.3）。用Swe替换Ss倾向=˙qhC- F（照料）我- γ（˙q）（3.24），其中˙q=˙q（趋势- 0）是针对固定终端条件获得的轨迹最后部分的最佳轨迹。特别是，我们可以看到这一点S/倾向≥ 0（前提是Rmin<0，rmax>0）。在特殊情况˙Qmax=˙Qmin=0的边界上，我们得到˙q=0，γ（˙q）=0和stend=0（3.25）值得注意的是，对终端（或初始）边界条件的导数是通用的：它与最优轨迹是否接触边界无关。要计算导数，只需要知道解析式q（t）和交易结束（或开始）时的触发价格C。这同样适用于施加的循环约束（第4.3节）。4其他约束类型到目前为止，我们仅用最简单的配置来解决优化问题。通常，现实的存储和周转合同会受到运营或财务原因的影响而受到额外的限制。在本节中，我们将考虑存储和swing合同的一些典型附加约束，并讨论它们对解决方案的影响。4.1运输成本一些储存合同可能包括“运输成本”，即储存未溶解商品的成本。

例如，油库需要支付加热费用（astorage中的燃油必须在约60℃的温度下保温）。结转成本规定为单位时间、单位体积的价格γc（t）。因此，（未经修改的）目标功能beco mesS=-ZTeh˙q F（t）+γ（˙q）+γc（t）q（t）idt（4.1）将新的拉格朗日方程代入我们在边界之间得到的拉格朗日-欧拉方程中，F（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）=c（t）（4.2），其中dc（t）dt t=γc（t）（4.3）因此，有携带成本的问题的解与没有携带成本的问题的解类似，但有一个区别：触发价格不是常数，而是时间的增长函数，令人满意。(4.3).可以很容易地证明，通过额外的贴现系数可以复制套利成本。实际上，当正向曲线与触发电平F（t）=C（t）相交时，触发时间发生。使用式（4.3）的解C（t）=C+RγC（u）du，我们找到触发时间（t）的条件-Ztγc（u）du=CThus带有结转成本的问题的解决方案相当于带有修正的前向曲线F（t）=D（t）F（t）的解决方案，其中贴现系数D（t）由D（t）=1给出-F（t）Ztγc（u）du≈ 经验-F（t）Ztγc（u）du（4.4）4.2自由端条件下的解决方案通常，存储问题可以用自由端条件来定义。例如，一个人可能被允许在仓库中留下任意数量的底层，对于任何剩余的数量，他都会得到最终的报酬，相当于以有效价格出售该数量，即剩余单价。我们将（未经修改的）目标功能定义为：-ZTeh˙q（t）F（t）+γ（˙q）idt+qendFe，q（0）=Qstart（4.5），其中qend=q（Te）。现在的优化问题是找到一个满足操作约束的最佳目标函数q（t），该函数将最大化目标函数（4.5）。

很容易看出（4.5）的任何地震轨迹都是（2.3，2.4）的极值。事实上，如果轨迹q（t）为（4.5）的极值，目标函数的变化在允许的微小变化δq（t）上消失。由于没有终端边界条件，变化量δq（t）可能不会在端点处消失。但是，如果函数的变化在整个允许变化δ′q（t）类上消失，它也在保持终端水平（δ′q（Te）=0）的变化δ′q（t）类上消失。我们得出结论，为了找到泛函（4.5）的最大化轨迹，我们首先需要找到具有固定终端条件的泛函（2.3,2.4）的解。然后，将此解视为终端状态qend的函数，我们需要找到最大值（4.5），作为qend的普通函数，前提是qend不位于边界上。因此，如果轨迹终点不在基准上，目标函数必须满足以下条件~Sqend=0（4.6）这对任何目标函数都有效，无论是否应用剩余价格。如第。3.6，如果目标泛函（2.3）被视为终端状态qend的函数，则其在任何内点上对qend的导数如下所示：sqend=-CThus，目标函数（4.5），被认为是qend的函数，有一个导数~Sqend=Fe- C（4.7），其中C是轨迹最后部分的触发价格。我们得出结论，如果终点不在边界上，则具有自由终端状态的目标泛函具有最大isC=Fe（4.8）的条件是有效的。4.2.1终端状态情况下，假设c=0（假设没有剩余单价），则最优轨迹的终点只能位于边界E之间。

如果C>0，则轨迹y不可避免地终止于下边界。同样，如果C<0，终点位于上边界。以下关系必须保持qend=Qmin=> C≥ 0（4.9）Qmin<qend<Qmax=> C=0（4.10）qend=Qmax=> C≤ 0（4.11）如果小的修改C>0，则反过来也是正确的=> qend=Qmin（4.12）C=0=> 最小流量≤ 昆德≤ Qmax（4.13）C<0=> qend=Qmax（4.14）如果剩余单价已支付，在表达式（4.9-4.14）中，我们应替换C→ C-Fe。如果存储选项没有剩余单价，则最有可能以最低可能的容量级别终止。实际上，死区的上边界不能低于最小的远期价格：C+γrel≥ min（F（t））如果天然气价格为正，且运营成本非常小，则触发价格也为正。因此，期权价值相对于终端水平的导数为负，因此最优轨迹必须在最低可能水平终止。因此，存储选项可被视为固定终端状态的问题（尽管根据合同可能无法固定）。另一个相反的例子是swing选项。典型的摇摆期权是天然气供应商和贸易公司之间的合同。运输公司以预定的执行价格从供应商处购买天然气，并以当前市场价格在市场上销售。市场价格和执行价格之间的交易价格成为交易商的有效天然气价格。swing选项允许贸易商根据灵活的方案从供应商处获取天然气（即，在一定的约束条件下，何时获取，以及获取多少）。因此，摆动选项可以通过存储选项来表示。然而，与存储选项不同，摆动选项的有效价格（价差）既可以是正面的，也可以是负面的。

根据实际价格和合同条款，最终状态可能不在上下限。在这种情况下，我们用自由端条件来处理这个问题。对于这个问题，触发器级别必须等于z ero。4.3周期约束存储期权卖方有时会施加周期约束，以特别限制期权灵活性并降低期权价值。循环约束在（2.9）中定义。出于演示目的，我们考虑了进气循环限制。它限制了手术期间的最大注射量∈ [0，Te]。与其以不平等的形式来考虑它，我们可以如下进行。解决方案分为两步。在第一步中，我们在没有循环约束的情况下求解问题，并在最优轨迹上计算循环变量。如果周期变量低于阈值cmax，则获得的解满足周期约束。然而，如果解违反了循环约束，我们可以施加一个“咬”循环约束Tc（Te）=ZTe˙q（t）θ（˙q（t））dt=cmax（4.15）。这个条件允许我们用条件变分极值来描述我们的问题。通过拉格朗日乘子求解，即我们引入一个修正的拉格朗日函数=-h˙qF+φ（q）+ψ（˙q）+γ（˙q）+λ˙q（t）θ（˙q（t））i（4.16），其中λ是一个自变量（拉格朗日乘数）。后一个问题的解决方案将包含未定义的系数λ，可从附加方程（4.15）中找到。在边界内，约束拉格朗日的拉格朗日-欧拉方程变为（与等式。