基于变分分析的内在存储价值评估

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英文标题：
《Intrinsic Storage Valuation by Variational Analysis》
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作者：
Dmitry Lesnik
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The mathematical problem concerning intrinsic storage optimisation is formulated and solved by means of variational analysis. The solution, though obtained in implicit form, still sheds light on many important features of the optimal exercise strategy. It is shown how the solution depends on different constraint types including carry cost and cycle constraint. Additionally, the relationship between intrinsic and stochastic solutions is investigated. In particular, we show that the optimal stochastic exercise decision is always close to the intrinsic one.
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中文摘要：
利用变分分析的方法，建立并求解了关于内在存储优化的数学问题。该解决方案虽然以隐式形式获得，但仍然揭示了最佳锻炼策略的许多重要特征。它显示了解决方案如何依赖于不同的约束类型，包括运输成本和周期约束。此外，还研究了内禀解和随机解之间的关系。特别地，我们证明了最优随机运动决策总是接近于内在决策。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Intrinsic_Storage_Valuation_by_Variational_Analysis.pdf (277.35 KB)

2022-5-8 10:17:21 上传

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关键词：价值评估 Mathematical Quantitative Optimization Optimisation

通过变分分析确定内在存储价值Dmitry Lesnik 2018年8月15日摘要通过变分分析，制定并解决了有关内在存储优化的数学问题。该解决方案虽然以隐式形式获得，但仍然揭示了最佳锻炼策略的许多重要特征。它显示了解决方案如何依赖于不同的约束类型，包括结转成本和周期约束。此外，还研究了内禀解和随机解之间的关系。特别是，我们证明了最优随机运动决策总是接近于内在决策。1简介存储优化问题的驱动力是存储所有者必须将其费用降至最低，并最大限度地提高通过操作存储所能获得的潜在收益。在现实世界中，储存的例子很多：天然气储存、石油储存、水力发电厂、煤炭储备等。天然气和电力市场上另一种流行的产品是摇摆合同，它在数学上相当于储存问题。通过遵循一个聪明的策略——以低廉的价格购买基础商品，并将其储存起来，然后随着价格的上涨而出售——仓库所有者可以获得利润。知道购买或出售的数量和数量决定了仓库的使用规则。因此，有必要对锻炼策略进行优化——找到一个锻炼规则，最大限度地提高收益，最小化风险。准确的存储期权定价方法还必须考虑价格的随机性。这通常是通过使用随机过程对价格进行建模来实现的，该随机过程尽可能捕捉真实世界价格运动产生价值的统计特性。该价格模型通常在用于实际定价之前，根据可用的市场数据进行校准。

我们将相应的期权价值称为随机价值。另一种选择是，如果价格固定（与估值日提供的远期价格相比），则任何人都可以考虑存储期权。相应的选项值被命名为“内在”。存储选项的内在价值必然小于随机价值，因为它不考虑时间价值。最流行的存储优化方法之一是“动态编程”算法。它可以用来优化固有问题和随机问题。随机方法通过在树上建模或通过蒙特卡罗模拟来近似随机价格。Longsta off和Schwartz[4]提出了一种利用蒙特卡罗定价进行估值的高效数值算法。Alex ander Boogertand Cyriel de Jong[1]在论文中对应用于存储选项的最小二乘算法（LSMC）进行了全面描述。动态编程提供了最通用的方法，因为它可以处理几乎任何类型的约束。如果约束条件非常简单，那么本质问题可以重新表述为“线性规划”问题，它有更有效的数值算法，尽管通常情况下，数值效率不是本质问题的问题。存储选项的数值解为两个最重要的问题提供了答案：考虑到当前状态（存储的价格和容量水平），在每个时刻的最佳执行决策是什么，以及如果我们遵循最佳执行策略，预期收益是什么。另一项重要任务是找到一种最佳的对冲策略——一种衍生品（期货、期权或任何其他金融工具）组合，以最大限度地降低金融风险。

当然，市场风险只是随机问题的一个特征，因为内在问题的解是确定性的。非市场风险，例如物理存储的操作风险，不被考虑，因为它们代表系统性风险，因此在实践中是事后确定的。在本文中，我们发展了一种分析方法来解决内在存储优化问题，并考虑内在解和随机解之间的联系。该解是隐式的，因此不能直接用于期权价值的计算。然而，它突出了问题的许多有趣的特征，并涵盖了大量的应用。最显著的结果之一与最佳运动决策有关。我们证明，内在和随机的行权决策都是基于所谓的触发价格，最重要的是，内在和随机的触发价格以领先顺序共同作用。这意味着正确的随机行权决策可以基于内部触发价格。虽然交易者经常使用“滚动内部”策略，但通常认为它是次优的。这项工作表明，内在运动实际上是最优的，我们也用数值模拟来证明这一点。我们的分析还显示了如何以有效的方式对不同的约束进行建模。最有趣的例子之一是循环约束，它有时被施加在存储合同上。以数值方式处理循环约束在计算上非常昂贵，因为它需要在状态空间中增加一个维度。

我们表明，周期约束可以通过虚拟的注入/提取成本来模拟，这使得数值解的实现更加简单，并且速度更快几个数量级。在“讨论和数值分析”一节中给出了更详细的结果概述“本文的组织结构如下。在第2节中，我们根据变分分析给出了问题的形式数学公式。在第3节中，我们给出了内在问题的解决方案，并在第4节中考虑了约束的不同特殊情况。在Se c.5中，我们简要地考虑了随机问题的某些方面，并证明了最优随机练习是bang-bang，并且可以通过内在运动来近似。如果读者想略过详细的数学推导，可以直接在第二节中讨论这些结果。6.2问题表述存储问题可以表述如下：存储选项有权在（虚拟）存储设施中存储一定数量的基础资产（在当前讨论中，可能是天然气）。在任何时候，期权持有人都可以“不做任何事情”，向储油罐中注入气体，或从储油罐中释放气体。每次将天然气注入储存库时，必须以当前现货价格在市场上购买。同样，每次从仓库中释放气体时，都会在市场上出售。由于天然气的市场价格随时间而变化，这可能会导致不小的现金流。天然气的注入和释放可能必须满足一些操作合理的约束条件（对于最大注入和释放速率、最大存储容量等），作为边界条件。

每个运动计划（在时间-体积空间中的轨迹）都有不同的计划。从这个意义上说，计划成为运动轨迹上的一个函数，将每个可能的注射和释放计划映射到相应的计划。储存计划持有者的目标是通过选择最佳运动策略来最大化计划。这个问题可以用变分分析的方式来描述——最优轨迹就是传递函数最大值的轨迹。如果市场价格是静态的，也就是说，所有交货日的价格都是预先知道的，并且永远不会改变，那么问题是确定的。可能的利润从上到下是有界的，因此存在一个轨迹，使得没有其他轨迹产生更高的利润。确定性问题的最大利润称为“内在价值”。我们现在将用变分分析的方法来研究决策问题。我们在连续时间近似下考虑存储问题。让t等于存储合同的总时间，这样t∈ [0，Te]。设F（t）为t时交付的天然气的市场价格。曲线F（t）被称为远期价格曲线，因为它在t=0时在市场上观察到，并包含关于未来交付y的天然气价格的信息。根据静态问题的定义，正向曲线永远不会改变，因此观测和交付时间之间没有差异。设q（t）为在时间t时储存的气体量。我们将单位时间内注入（或从中释放）储存的体积称为“运动”。曲线˙q（t）=dq/dt确定了运动轨迹。初始和终端条件为q（0）=Qstartq（Te）=Qend（2.1）。我们考虑自由终端条件的情况，其中q（Te）不固定，以秒为单位。

4.2.根据行使策略˙q（t）在时间间隔dt内交易天然气产生的现金流如下所示：- ˙q（t）F（t）dt（2.2）注入或释放天然气的成本（运营成本）可能会产生额外的现金流。让我们将γ（˙q）指定为单位时间内的运行成本（我们在这里假设运行成本只是exerc ise˙q的函数）。终端利润或损失由存储寿命内的累积现金流给出。因此，我们引入了目标t泛函[q（t）]=-ZTeh˙q（t）F（t）+γ（˙q（t））idt（2.3）q（0）=Qstart，q（Te）=Qend（2.4）轨迹q（t）上该函数的值给出了该轨迹发生时的存储值条件。在这里，我们使用下标0表示未修改的积分。在下一节中，我们将介绍一个修正的积分S[q（t）]，其中包括执行操作构造的附加条款。展望未来，我们注意到，在约束允许的任何轨迹Q（t）a上，修改和未修改泛函的值是一致的。使用“物理学”术语，我们介绍了（未经修改的）拉格朗日Lcorres，其作用函数SasL=-˙q（t）F（t）- γ（˙q（t））（2.5）如上所述，目标泛函上下都有界，因此不存在泛函达到其最大值和最小值的轨迹。我们现在利用变分分析来搜索极值轨迹，即目标函数的第一个变化消失的轨迹。根据不同的存储选项，运行约束的类型可能会有所不同。下面，我们考虑一些在实践中发现的典型约束，这些约束可以归类为局部约束。

局部性质意味着时间t的约束可以用状态变量及其导数q（t），˙q（t），F（t），˙F（t）。。。在每个时间t，我们考虑以下两个操作约束：实际上，远期曲线在交易过程中发生变化，因此它是观察时间和交付时间t:F（t，t）的函数。我们没有对变分问题解的存在性和唯一性进行彻底的分析。然而，我们指出，定义目标函数并达到最大值的函数类q（t）相当广泛。特别地，这个类包括所有连续的局部可积函数。在某些情况下，解空间甚至可以扩展到不连续或奇异函数。我们假设所有表示问题参数的函数——正向曲线、边界条件等——都表现良好，因此所有数学表达式都定义良好。如果情况并非如此，那么我们可以采用监管程序。我们还利用了函数收敛的概念，我们将始终理解为弱收敛，即ψk→ ψ如果S[ψk]→ S[ψ].1。音量q（t）必须保持在间隔q（t）内∈ [Qmin（t），Qmax（t）]（2.6）其中边界Qmin（t），Qmax（t）可以是时间依赖的。2.注射/释放速率˙q（t）以˙q（t）为界∈ [rmin，rmax]（2.7）通常，最大注射/释放速率可能取决于时间和体积：r=r（t，q（t））。在以下分析中，我们将只考虑恒定的注射/释放速率。与体积相关的费率将在第二节中考虑。4.4.非局部约束的一个典型例子是称为循环约束的SO。

其公式如下：引入一个进气循环变量asc（t）=Zt˙q（τ）θ（˙q（τ））dτ，其中θ（x）=1倍≥ 00 x<0（2.8），对应于时间t之前的总注入体积。循环约束要求终值c（Te）不超过某个阈值c（Te）≤ cmax（2.9）同样可以引入释放周期约束，限定总释放量。我们将考虑第4.3.2.1节惩罚函数中的循环约束。为了限制q（t）超出范围[Qmin，Qmax]，我们可以引入参数化惩罚函数-φ[q（t），Nφ]并将其添加到拉格朗日函数中。罚函数可以是任意光滑凸函数，其极限为Nφ→ ∞ [Qmin，Qmax]内接近零，否则为正。这个函数的一个特殊例子是φ=ha（q（t）- b） i2Nφ，其中a=2- εNQmax- Qminb=Qmax+QminεN=Nφ参数化表示具有正则化的目的，因为变分问题满足经典变分分析对有限Nφ的严格要求。极限Nφ的跃迁→ ∞ 只有在找到最终Nφ溶液后才能正式进行。一个类似的正则化罚函数-ψ[˙q（t），Nψ]可以用来限制˙q（t）退出区间[rmin，rmax]。在极限Nψ内→ ∞ 它在[rmin，rmax]内接近零，在其他方面为正。修正的拉格朗日函数becomesL=L- φ（q）- ψ（˙q）=-h˙qF+φ（q）+ψ（˙q）+γ（˙q）i（2.10）在下一节中，我们找到了变分问题的一个错误解，并证明了修正约束问题和未修正约束问题的解是一致的。3确定性问题的解决方案3。1欧拉-拉格朗日方程我们从变分分析中知道，积分的极值轨迹满足欧拉-拉格朗日方程（参见。

[3])L（q，˙q）q=滴滴涕L（q，˙q） ˙q（3.1），适用于自由和固定终端条件。对于修正的拉格朗日方程，我们得到以下欧拉-拉格朗日方程φ′（q）=ddthF+ψ′（˙q）+γ′（˙q）i（3.2）。后一个方程有两种类型的解。一个是在轨迹严格保持在边界q（t）内的区间上获得的∈ （Qmin，Qmax）第二种解决方案类型是轨迹位于边界q（t）上的位置≡ Qmin（t）或q（t）≡ Qmax（t）通用电气解决方案由两种解决方案组成。让我们分别考虑一下这些问题。3.2边界之间的解首先，我们考虑轨道不接触边界的区间内的解。在极限Nφ内→ ∞ 等式（3.2）的l.h.s.消失。因此，我们有f（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）=C（3.3），其中C在整个时间段内是常数，其中解不触及边界y。让我们考虑一个操作成本函数的特定例子。典型的agas储存设施的运行成本与释放或注入储罐的气体量成正比。同样，我们可以用Nγ参数化它，这样对于有限的Nγ，函数γ（˙q）是光滑的，并且在极限Nγ内→ ∞ 它是分段线性γ（˙q）=γinj˙q为˙q>0；-γrel˙q表示˙q<0；（3.4）其中γinj>0和γrel>0。等式（3.3）的解现在可以直观地以图形方式找到（见图1）。当casermin<0，rmax>0时，我们得到：˙q（t）=rmin（t）F（t）>C+γrel0 C- γinj<F（t）<C+γrelrmax（t）F（t）<C- γinj（3.5）我们看到这个解有三个区域，并且C值可以被解释为触发价格。如果价格F（t）在“死区”内[C]- γinj，C+γrel]，最佳练习是“什么都不做”：˙q=0。如果pric e低于死区，则以最大速率注入气体：˙q（t）=rmax（t）。