基于变分分析的内在存储价值评估

（3.3）C=F（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）+λθ（˙q）+qδ（˙q）= F（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）+λθ（˙q）（4.17）我们说，当一个不等式≤” 成为一种平等。通过求解该方程，我们发现该解与无循环约束的解类似，但有一个“死区”，其宽度为λ。因此，周期约束等同于额外的运营成本。我们可以发现额外的释放和/或注射成本（整个轨迹不变），这样，如果添加到原始存储中，将产生一个符合循环约束的最佳轨迹。如果额外成本用于注射、释放或两者都是无关紧要的，因为它只是材料的死z的宽度。这个规则的唯一例外是，如果最佳轨迹没有注入或释放足够的容量。例如，如果轨迹从未释放气体，那么额外的释放生态成本将不会影响轨迹，因此将无助于响应进气循环约束。实际上，可以使用额外的注入成本来满足进气周期约束，并使用释放成本来满足释放周期约束。通常，边界接触之间的解包含两个待定参数——触发价格C和循环拉格朗日乘数λ。它们可以等价地用死区的上下限来表示。这些参数必须在获得的解满足边界接触条件（3.15-3.18）、初始和终端条件（3.6）以及循环约束（4.15）的情况下找到。请注意，无论轨迹是否触及边界，附加操作成本在整个时间范围内都是相同的。这一结果为带圈约束的存储问题的数值计算提供了一种有效的方法。

首先，应在不进行任何修改的情况下解决问题，并检查循环变量。如果原始解决方案违反了周期约束，则需要找到一个适当的虚拟运营成本，以满足周期约束。右虚拟运营成本的搜索可以通过“打靶”方法完成，原则上，应在几次迭代后收敛，因为周期变量显然是运营成本的单音递减函数。4.4与体积有关的注射/释放速率如果最大注射/释放速率与体积有关，则惩罚函数ψ变为体积的明确函数：ψ=ψ（q，˙q）。在这种情况下，边界内的欧拉-拉格朗日方程变为qψ（q，˙q）=ddthF+˙qψ（q，˙q）+γ′（˙q）i（4.18）该方程的l.h.s.是一个n可积的时间隐函数。指定C（t）=F+˙qψ（q，˙q）+γ′（˙q）我们得到dc（t）dt=qψ（q（τ），˙q（τ））；C（t）=C+Ztqψ（q（τ），˙q（τ））dτ因此，我们得到了与体积无关的速率的情况相同的解，其中C不是常数，而是时间的函数。我们的结论是，最佳运动策略仍然保持“砰砰”的特性。然而，它并不具有恒定的tr igger水平。函数C（t）可以从最佳轨迹q（t）反向工程，前提是已知的latteris。5.最优随机性在本文中，我们没有详细考虑随机问题。然而，我们确实希望在存储期权问题的随机公式中解决其一个特定方面，即最优随机行使。在随机公式中，价格被认为是在交易过程中随机变化的，而不是在内在问题公式中被执行。

正向曲线成为两个参数的函数——观察时间t和传递时间t:F（t，t）。对于每一个固定的交货时间T，远期曲线都是一个由观测时间T指数化的随机过程。价格过程的选择本身就是一个问题，并且在一定程度上取决于对解析解性质的了解。随机问题的一个特点是，无法在整个时间范围内预先找到最优执行文件。它必须不断调整以适应不断变化的市场价格。然而，对于当前观察时间t，始终存在一个最优随机运动决策˙qst（t），该决策在n个极小时间间隔dt内仍然有效。最佳行使取决于市场F（t，t）和存储q（t）的当前状态，或以概率语言表示，取决于过滤Ft。我们将时间t的最佳行使决策称为最佳即时行使（即时行使是离散时间系统中现货交易的连续时间模拟）。以类似的方式，我们可以引入内在的即时练习。对于每一次t，我们都可以建立一个新的内在问题，其中q（t）起初始条件的作用，f（t，t）是forward曲线（作为t的函数）。这个表m的解是一个n最优解，对于它，观测时间t起一个参数的作用，时间导数是关于t的。内在即时运动被定义为最佳运动量（t，t）的初始值。下面我们使用符号（t）：=˙qin（t，t）进行内在提示练习。在这一部分中，我们建立了最佳s-tochastic˙qst（t）和内在促动器（t）之间的联系，并说明了为什么内在运动是随机运动的良好近似。

为了便于注释，我们不考虑注射/释放成本。黑格尔化很简单。虽然本节的主要结果与价格过程的选择无关，但为了完整起见，我们讨论了一些最常见的建模随机价格演化的方法。5.1远期曲线演化模型通常，远期价格演化由一个零均值随机过程近似，该过程由形式为df（t，t）F（t，t）=dMt（t）（5.1）的随机微分方程控制，其中Mt（t）是时间t的鞅过程，由变量t参数化。对于最优随机过程的推导，价格过程的特殊选择是不必要的。关于价格过程唯一重要的假设是它的漂移较小，即价格增量的平均值（对于每个交付时间T）正在消失：hdF（T，T）i=0（5.2）。这个假设在没有摩擦的流动市场上是合理的。对于不同的交付时间T，过程Mt（T）可能不相关，也可能不相关。价格过程的一个特殊例子是单因素模型df（t，t）F（t，t）=σe-α（T）-t） dWt（5.3），其中W是标准的维纳过程。该模型首次在[5]中提出，其在能源市场上的应用可在[2]中找到。单因素模型因其简单而非常流行。注意，所有交付时间T的过程M（T）是完全相关的。5.2随机触发价格let F（t，t）是在时间t观察到的远期曲线。我们定义了现货价格过程s（t）ass（t）：=F（t，t）（5.4）由于远期价格曲线随时间变化，现货价格s（t）=F（t，t）g通常不会在任何地方都遵循原始远期曲线（s（t）6=F（0，t）。

即期过程s（t）由远期价格过程唯一定义。考虑一组可能的现货价格曲线si（t），每个曲线都有相应的概率pi。将特定现货价格曲线si（t）视为确定性函数，我们可以求解目标函数Lsi=-中兴通讯˙q（τ）si（τ）dτ定义为t=0的时刻。对于每个现货价格曲线si（t），我们可以找到相应的触发价格Ci、最优执行策略qi（t）和内在价值si。提示内在价格指数：=˙qi（0），因为T=0在第i个现货价格路径上是最优的。现在，我们正在为t=0时的随机问题寻求一个最佳的即时运动决策˙qst（0）。为了简化符号，我们省略了后面的参数0。具有相应概率的sp ot价格路径集包含制定最优随机执行决策所需的全部随机信息。因为我们一次只能做一个练习决定，所以这个练习决定对于某些现货价格路径来说不是最优的。如果在第i条现场pric e路径上，最佳练习为ri，则次优练习决策˙qst6=ri将导致该路径上的价值损失。我们需要在˙qstt中做出这样的选择，以使所有路径上的预期损失最小化，对于这些路径，决策不是最优的。在时间间隔dt期间，存储器中的体积增量由dq=˙qstdt给出。因此，在第i条现货价格路径上，存储量为（˙qst）-ri）dt大于如果exerc ise是该路径的最佳值时的值。

这导致第i条路径上的值变化δSi=词- F（0，0）˙qst- 里dt（5.5）事实上，oc值的变化有两个原因：购买额外容量的额外费用δSi1，以及实际存储容量的变化导致δSi2值的增加。附加容量的价格为δSi1=-F（0，0）˙qst- 里dt初始体积变化引起的数值变化如下公式S/qstart=C（见第3.6节）：δSi2=Ci˙qst- 里结合后两个方程，我们得到等式（5.5）。现在，平均所有路径上的δS，wehaveδSi=Xipi词- F（0，0）˙qst- 里dt（5.6）对目标函数表达式为何得到良好定义的讨论将使我们远离本文的范围。然而，我们应该指出，这个问题可以在离散时间内表述，在离散时间内，它成为一个定义良好的有限维问题。如果我们要求现货价格过程充分“良好”，就可以实现向连续时间的过渡。众所周知，Wiener过程几乎是连续的，并且Wiener过程的积分是明确的。其中Pi是第i条路径的概率。最优行使决策˙qsts应最大化期权价值hδSi的预期变化。关于˙qstwe导出hδSi hδSi ˙qst=Xipi词- F（0，0）dt=hCi- F（0，0）dt（5.7），其中hCi=Pipici是所有可能的现货价格过程中的平均触发价格。如果现货价格F（0，0）大于平均触发价格hCi，则导数为负，且最优随机误差是约束条件允许的最小值。同样，如果ifF（0，0）小于平均触发价格，则最优执行是约束允许的最大价格。

因此，最佳即时随机练习是˙qst=rminF（0，0）>hCirmaxF（0，0）<hCi（5.8）我们认为，最优的随机操作再次是bang-bang，内在触发价格hCi的期望值可以解释为随机触发价格Cst:Cst=hCi（5.9）。接下来，我们证明，在一些假设下，在泰勒展开的前导顺序中，随机触发价格等于内在触发价格。实际上，让我们将s（t）指定为现货价格路径，该路径与t=0:s（t）时的初始远期电流一致≡ F（0，t）触发价格Cis，然后是内在触发价格，在时间t=0时根据远期曲线F（0，t）计算。所有其他路径si（t）是不同的，我们设计δsi（t）=si（t）- s（t）这种差异在时间段开始时为零：δsi（0）=0，因为spotprice过程的所有路径都在同一点si（0）=F（0，0）开始。在未来的任何时间点，差异δsi（t）可能任意大，但大多数路径保持在标准偏差phhδs（t）iI内。如果δsi（t）保持较小，则触发电平的差异δCi=Ci- C可通过一阶泰勒展开式（见附录B）计算：δCi≈rKZTeδ[C]- s（t）]δsi（t）dt，其中我们指定r=rmax- rminK=rZTeδ[C]- s（t）]dt由于远期价格过程是一个鞅，我们得出结论：hδsi（t）i=0，因此一阶hδCii=0。

结果Lycst=hCi=C+hδCi≈ C（5.10），这意味着随机触发价格等于泰勒展开的第一阶固有价格。我们计算了初始时刻t=0的随机触发价格。对于以后的任何时间，我们都可以重复同样的计算，因此下面的陈述成立：对于任何时间t，最优随机运动是bang-bang，随机触发价格Cst（t）大约等于内在触发价格C（t），在时间t根据不确定的前向曲线F（t，t）和初始条件q（t）计算。精确的随机触发价格可以被发现为以F（t，t）为初始条件的整组spotprice路径的内在触发价格的平均值。注意，为了推导关系式（5.9），我们没有使用任何近似值，因此这个关系式是精确的。为了推导关系式（5.10），我们只使用了小变量phhδs（t）iis（t）的假设<< 1（5.11）对于标准的单因素价格过程（5.3），可以很容易地估计相关的现货价格变化，phhδs（t）iis（t）=sexpσ2 α1.- E-2αt- 1特别是对于αTe<< 1本征exercis e近似的条件为σpTe<< 1对于αTe>> 1我们得到了条件σ√2 α<< 15.2.1等效随机触发价格内在触发价格是一个明确的值，对整个内在执行策略（或至少对边界接触之间的整个轨迹部分）有影响。人们可以将触发价格解释为代表行使策略的另一种方式，因为可以从触发水平和价格中及时得出任何点的最优价格。相反，随机触发价格仅对有限时间间隔dt内的即时行使决策有影响。

每个观测时间的触发价格可能不同，因为由于价格的随机性，不存在可在整个存储合同时间范围内计算的最佳执行策略。因此，随机触发价格并不是唯一确定的。事实上，如果某个价格在时间t是一个更高的价格，那么它根据以下规则定义即时行使：如果现货价格s（t）低于C（t），则注入，如果现货价格高于C（t），则释放。在第一种情况下，高于spo t价格的任何价格C（t）都将导致相同的行权决策，从而发挥触发价格的作用。类似地，在第二种情况下，任何价格C（t）<s（t）都会导致相同的即时执行。所以我们可以说，每一时刻都存在一类等价的随机触发价格。如果C（t）a和C（t）a re两个等价于短期触发价格s，并且s（t）是现货价格，那么显然是（t）<C（t）<=> s（t）<C（t）（5.12）s（t）>C（t）<=> s（t）>C（t）（5.13）从这些陈述中，我们得出结论，有一种情况下，所有等价触发价格应与（t）=C（t）重合<=> s（t）=C（t）（5.14）5.2.2次优行使导致的价值损失接下来，我们证明，与内在情况类似，随机触发价格（来自等价价格范围的价格）与随机期权价值V asCst有关=五、q（5.15），其中q是音量水平。设V（q，t）为时间t的随机期权值，视为存储量q和时间t（对于给定的正向曲线F（t，t））的函数。让现货价格为s=F（t，t）。我们考虑由存储期权（在重新维持的时间范围内）、对冲交易和现货行使交易产生的累积现金流组成的投资组合。Portfolio值d∏在时间间隔dt内的增量由d∏=-s dq+五、qdq+。

（5.16）第一项是由于以现货价格s购买数量dq产生的现金流，第二项是由于作为数量q函数的期权价值的变化。我们省略了衍生工具中关于时间和远期价格的术语，因为它们对触发价格的推导没有影响。p Portfolio价值增量通过以下体积增量dq的选择最大化=dqmax=rmaxdt s<五/qdqmin=rmindt s>五/q（5.17）我们看到导数五/q可以解释为一个随机的价格。这相当于之前计算的触发价格。触发价格允许我们估计由于次优操作而导致的投资组合价值损失。考虑到投资组合增量d∏a是练习dq的函数，我们可以写 d∏ dq=Cst- s（5.18）假设dq是一个最优解，而dq是一个任意（次优）解，这导致投资组合增量d∏。指定δq=dq- dq为提示练习与最佳练习的偏差，Δ∏=d∏- d∏作为相应的值损失，我们得到Δ∏=（Cst（t）- s（t））δq（5.19）注意，在触发时间t时，投资组合的价值与次优收益是不相关的*由方程式Cst（t）确定*) = s（t）*).6.讨论与数值分析本文给出了一种求解固有存储优化问题的方法。它以隐式形式表示，因为该解决方案包含n个未定义的参数——触发价格——无法解析表示。