非参数无套利调用曲面的构造

对于Kn，它对应于写入不对称条件，其中一个调用具有有限的罢工，因此值为零。如前所述，（矢量化的）恢复的调用表面C是writenc=Qx。然后，黄油的流动状态变为Bfqx≥ R、 哪里=男朋友，1男朋友，2。。。0 Bf，MT, （2） 有了BF，我：=-KK-KKK-K1-K-KK-KK-KK-K0···00 1-K-KK-KK-KK-K0··01-K-KK-KK-KK-K0。。。。。。。。。0 · · · 0 -1 1.维思里呢=(-SD（T）F（T）如果我≡ 1模MK0，否则。2.3.2没有日历利差套利关于没有日历利差套利，条件如下。用D（t）和F（t）表示截至时间t的折扣系数，以及截至时间t的远期价格，我们要求，对于所有Ki，C（KTj+1i，Tj+1）-D（Tj+1）F（Tj+1）D（Tj）F（Tj）C（KTji，Tj）≥ 0.考虑矩阵G∈ R（MK×MT）-1） ×（MK×MT）。指数i∈ {1，···，MK}，j∈{1，···，MT- 1} 我呢∈ {1，···，MK}，G（（j）- 1） ×MK+i，l）=D（Tj+1）F（Tj+1）D（Tj）F（Tj）δ{（j）-1） ×MK+i=l}- δ{j×MK+i=l}。然后，无套利条件变成了gqx≤ 0.2.3.3不存在垂直利差套利约束-D（T）≤CK≤ 0，这些可以重写为两个矩阵等式。

写H∈ R（MK×MT），其中h（i，j）=1{i=j}- 1{i- 1=j}，andUb（i）=D（Tj）F（Tj）S1{（i）-1.≡0 mod MK）}。然后，垂直排列的缺失重写了asHQx≤ 乌布。2.3.4对边界的限制可以检查（Fengler[10]），如果所有其他套利条件（黄油期货、垂直价差和日历价差）已经实施，并且在假设1下，则存在限制（F（Ti）- KTij）+≤ C（KTij，Ti）≤ F（Ti）可以简单地通过在曲面的最低点施加尺寸1约束来实现：C（KTMK，T）≥ （F（T）- KTMK）+。因此，在调用面上工作时，所有无套利条件都是线性的，并且都可以合并为一个无套利矩阵不等式lx≤ J、 （3）与L∈ R（MK×（4MT）-1） +1）×（NK×NT）和J∈ RMK×（4MT）-1)+1.我们现在有了说明l-恢复问题的元素。2.4加权l1回收问题和LP等价我们用原始市场中间价报价的向量表示。唯一需要讨论的是最小化问题的目标函数中出现的加权形式。对目标函数进行加权的目的是使优化人员更倾向于解决方案回想一下，通过多项式的阶数，我们指的是它的阶数加1。一个张量多项式应该根据它的度/阶来惩罚：度/阶越高，惩罚就越大，所以惩罚就越高。例如，恒常多项式的走向和成熟度为一阶，因此其相应的权重为2。多项式KT的走向为三阶，成熟度为二阶，因此其相应的权重为5。写x∈ 对于信号向量，我们的目标是恢复并考虑一个元素，i=（y- 1） ·NK+z，y∈ {1，···，NT}和z∈ {1，···，NK}。

然后，与xiwill bevi=y+z相关的权重。根据前面的部分，我们正在解决的问题可以改写为：（W- 五十） :=貂皮∈RNK×NTNPi=1wi·xi，这样| Ax- 钴|≤ ,九、≤ J.（WL1）有一种简单的方法可以解决这个问题：注意，通过改变变量x=u，可以将其重新编写为线性程序- v、 和你，v≥ 0.在标准格式中，这将成为（LP）：=分钟，v∈RNK×NTNPi=1wi（ui+vi），这样| A（u- v）- 钴|≤ ,L（u）- v）≤ J、 u，v≥ 0，这意味着可以使用经典线性规划优化程序解决恢复问题。我们参考Luenberg Ye[16]了解线性规划以及相关数值算法的背景知识。3适用于标普500看涨期权美国将上述程序应用于10月30日定价的标普500中价看涨期权的小样本。2015年，如图2所示。在应用我们的方法之前，图2：原始数据，包括2015年10月30日9次罢工和3次到期的标普500买入价格。从CBOE网站获得的数据。我们将在下一小节中说明三次样条插值可能产生的注意事项。3.1拟合样条在继续我们的方法之前，我们将尝试三次样条插值。三次样条可能是插值波动率曲面最直接的方法，但它们以振荡和引入套利而闻名。虽然图3似乎产生了相当好的复苏，但相关的州价格密度振荡，并呈现负价值，表现出黄油泡沫套利。图3：左上角：从隐含波动率的样条插值中恢复的调用曲面。右上：从样条插值中恢复的隐含波动率曲面。底部：关联州价格密度。密度取负值，表示存在黄油套利。

插值曲面的每个切片都有MK=104个打击，总共有MT=11个切片。3.2调用曲面恢复使用相同的数据集，我们现在继续使用l-恢复过程。代码是用MATLAB编写的，我们使用了古罗比[14]优化程序。我们指出，正交多项式在感兴趣区间的边界上表现不佳。我们处理这一问题的方法是扩大到期日和罢工的范围，以便进行恢复，从而控制可能发生的爆炸超出我们原来的范围。无套利约束也适用于扩展域，以便在原始域附近进行外推；然而，最后一点很容易放松。为了在最终网格（Ki，Tj）i=1，···，MK，j=1，···，MT上恢复买入价格，应用该算法返回以下买入曲面，以及相关的隐含波动曲面（图4）。我们回收了11个成熟期的切片，每个由104次敲打组成。该基已被截断，以允许张量多项式在时间上具有高达13阶（对应于走向NK=14的多项式阶）和6阶（对应于走向NT=7的多项式阶）。图4：左：从加权lrecovery恢复的调用曲面。右图：对应的隐含波动率面。相对公差 ≡ 5 × 10-4，MK=104，NK=14，MT=11，NT=7。特别是，我们检查我们是否确实处于预先规定的界限内：图5：市场到期时的固定买入价格（左图）和相应的隐含波动率（右图）的曲线图。绿色和红色标记非常接近，分别表示市场点的下限和上限公差。我们还研究了潜在信号的稀疏性。

为此，我们在图6中以NK×NTM矩阵的形式绘制信号x。图6：从S&P500数据的l-恢复程序中获得的系数x的曲线图。右边：从上面看信号的绝对值。可以看出，信号保留了一些稀疏性特征，其中最高系数集中在K和T阶数较小的多项式指数周围。最后，我们看一看国家价格密度和局部波动表面。在我们的上下文中，这些数量的目的是通过检查其形状来评估过度安装。在既没有利率也没有股息的情况下，局部波动面由σloc（K，T）=Kr给出CKCT、 如图7所示。图7显示了数量C/TC/k相应的局部波动率σloc。过度安装通常会导致局部表面产生噪音。正如文献（如[11]）中记录的那样，我们获得了州价格密度的钟形曲线，这表明该系数是合理的。图7：左上：州价格密度的表面图，或等效图C/K.右上角：第一次导数的曲面图C/T底部：对应的局部波动表面。备注4。基函数的个数在地表恢复中起着重要作用。当然，如果基础截断太多，我们可能无法恢复解决方案。如果没有足够的截断，理论上应该是确定的，因为添加函数至少会产生同样好的解决方案。然而，我们已经注意到，过多地扩展空间可能会导致古罗比找到次优解决方案，即。

目标函数值实际上高于可用基函数较少时得到的解。4外汇应用：如Clark[5]所述的钉住汇率，隐含波动率市场报价通常针对跨盘和黄油期货给出，并以三角洲报价，而不是普通看涨期权和看跌期权，并以罢工报价。转换可通过彭博社直接获取；因此，我们的出发点应该是普通看涨期权的买入/卖出隐含波动率，作为到期日和行权的函数（而不是Delta）。我们感兴趣的货币对将是港元/美元，即港元的美元价值。香港元具有与美元挂钩的特殊性，这意味着它只能在与美元挂钩的固定范围内变动。在撰写本文时，香港元的价值必须至少为7.75港元，最多为7.85港元。我们将在本节剩余部分考虑的数据集是2016年1月19日的一组买卖隐含波动率，期限从一周到两年不等，以及从彭博社获得的每到期五次罢工。从同一来源，我们还获得了香港和美国的利率，因此我们可以将隐含波动率转换为期权价格。在本节中，我们将使用文献中的参数方法和前一节中描述的非参数方法校准该数据集。对于参数基准，表面随机波动激励参数化（SSVI）模型提供了一个有吸引力的框架，据报道在标准普尔500指数（S&P500）上表现良好；见Gatheral Jacquier[12]。作为一个基准，我们应用了他们的RSSVI平方根参数化，这保证了一个无套利的表面，直到verylong，不切实际的到期日。

虽然我们可以看到，整体而言，SVI运作良好，但我们可以观察到，在较高的到期日，SVI位于25 Delta Put报价的买卖价差之外。图8：使用Gathereal的R-script（数据来源：彭博社）将平方根SSVI模型与港元/美元中期隐含收益率进行拟合，适用于一周至两年的到期日。在每一张照片上，蓝色曲线都是完美的SVI微笑。红色钻石表示竞价市场数据，蓝色钻石表示询价标记的数据。对于最后两个到期日和25德尔塔看跌期权，经过校准的SVI微笑位于买卖价差的南侧。关于这些观察结果，如果需要找到一个保证在任何市场报价的买卖价差内的解决方案，可能需要应用上一章介绍的非参数方法。对于超过八个成熟度，我们以前的算法无法收敛。即使只有八个到期日，当检查州价格密度（图9）时，也非常嘈杂。这意味着，优化人员必须使用高次多项式来约束最终解的形状，从而产生非常嘈杂的状态密度曲面。特别是，它给出了位于外围的打击的概率质量。从本质上讲，该解决方案可以被视为模拟分段线性拟合。另一种说法是，我们未能恢复稀疏解决方案。图9：左边是使用张量多项式的基础恢复的状态价格密度。右边是同一张图片，从上面看：相应的密度非常嘈杂，整个表面都有尖峰。这有两种解释。最主要的一点是，即使到期日数量有限，但事实证明，在这个特定的数据集上，多项式可能不是看涨期权曲面稀疏的基础。

通过目视检查密度图，可以看到表面相当陡峭：从货币中的线性部分，当罢工增加到货币外时，它很快就会变成几乎弯曲的部分：需要大量多项式来拟合数据。第二种可能是因为乐观主义者在进行罢工和成熟度同时优化时可能会遇到困难。由于在外汇市场上，跨越履约水平的时间插值几乎没有意义，因此关注履约优化可能是明智的。在这些观察之后，我们将通过允许所有切片具有不同的投影，并找到满足我们稀疏要求的基础，从两个方面缓解问题。4.1问题重新表述虽然多项式允许拟合任何连续函数（根据Weierstrass定理，参见例[21，定理7.26]），为了提供一个良好的近似值，可能需要大量的近似值。然而，在我们的问题公式中，与买入价格的最小二乘法不同，我们可以事先自由选择投影基础。特别是，我们可以构造自然接近原始BID和ask数据点的函数，同时满足形状约束，如凸性。其作案手法如下。对于每个片段，我们按照以下方式构造一组特殊的函数。首先，我们将投标价格的线性插值（以及可能的外推）带到一个等距的罢工网格，其中边界是我们希望在最后恢复买入价格的网格的最小值和最大值。先验地，如果不存在套利，这个函数是凸的。如果存在套利，该函数至少在局部凸，并且可以调整。我们希望能够尽可能地保持凸性，同时拥有光滑的基函数。

为此，我们将介绍以下内容。定义1。n上的一个molli fierφ≥ 1是一个从RN到R完全不同的函数，因此1。φ具有紧凑的支撑，2。ZRnφ（x）dx=1,3。在分布意义上，limα→0φα（x）：=limα→0α-nφ（xα）=δ（x），其中δ表示零处的狄拉克函数：δ（x）=(+∞ 如果x=0，则为0。例4.1。从R到R的标准摩尔数为：φs（x）=（K exp|x|-1.如果x<1,0如果x≥ 1.式中，K是一个常数，使得φs等于R的1。图10：一维标准摩尔数，φs:x 7→ exp（1/（x）- 1） ）1 | x |<1然后，在下文中，我们将提到函数的软化，如下所示。定义2（函数的软化）。让f:R→ R是一个连续函数。Wecallefα是f与参数α的拟合函数fα（x）=ZRf（y）φαs（x- y） dy.（4）自∈ C∞（R；R），很容易看出efα是C∞（R；R）（有关molli fiers的标准属性，请参见例如美国好施[15]）。我们还参考了Ghomi[13]中关于凸函数平滑的应用。定义3（结构保持功能）。通过结构保持函数，我们指的是以原始市场数据为参数的任何C（R；R）-函数。例如，中间价的缓和就是这样一种功能。图11显示了不同α值的中间价格线性插值的拟合。我们确实可以看到，对于足够小的α，当α→ 0).本质上，缓和是一种加权移动平均法。特别是，在这个特定的例子中可以看出，对于足够小的α，软化位于买卖价差的边界上。

例如，从中间价格线性插值而不是投标开始，人们会得出相同的结论。图11：三周到期的软化中间价和各种α值的曲线图。随着α的增加，缓和的中间价格曲线增加。最低曲线（黑色）代表未缓和的原始市场中间曲线。绿色和红色的十字架分别表示市场买入价和卖出价。我们现在有了重申上一章对这个问题的修正案的所有要素；我们“解开”曲面，让每个切片都有自己的基本组成（而不是对整个曲面进行张量基分解）。所以，问题改写如下。Lettingtz表示向量z的转置，我们的目标是找到x:=t（xT，xT，···，xTNK | xT，···，xTNK············，xTMTNK）∈ RNK×MT，解决（L1FX）：=貂皮∈RNK×MTNK×MTPi=1xi，这样| Ax- 钴|≤ ,九、≤ P、 A、L和P将在下面定义。首先，我们介绍了基矩阵Q，由块定义：Q=QQ。。。0 QMT∈ R（MT×MK）×（MT×NK），带所有气∈ RMK×NK。Qi的每一列都对应于我们网格中呈现的各种走向和成熟度对一个函数的评估。