非参数无套利调用曲面的构造

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英文标题：
《Nonparametric and arbitrage-free construction of call surfaces using
  l1-recovery》
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作者：
Pierre M. Blacque-Florentin and Badr Missaoui
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper is devoted to the application of an $l_1$ -minimisation technique to construct an arbitrage-free call-option surface. We propose a nononparametric approach to obtaining model-free call option surfaces that are perfectly consistent with market quotes and free of static arbitrage. The approach is inspired from the compressed-sensing framework that is used in signal processing to deal with under-sampled signals. We address the problem of fitting the call-option surface to sparse option data. To illustrate the methodology, we proceed to the construction of the whole call-price surface of the S\\&P500 options, taking into account the arbitrage possibilities in the time direction. The resulting object is a surface free of both butterfly and calendar-spread arbitrage that matches the original market points. We then move on to an FX application, namely the HKD/USD call-option surface.
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中文摘要：
本文致力于应用$l_1$最小化技术构造无套利看涨期权曲面。我们提出了一种非参数方法来获得与市场报价完全一致且无静态套利的无模型看涨期权曲面。该方法受信号处理中用于处理欠采样信号的压缩传感框架的启发。我们解决了将看涨期权曲面拟合到稀疏期权数据的问题。为了说明该方法，我们继续构建S\\&P500期权的整个看涨期权价格面，同时考虑到时间方向上的套利可能性。由此产生的对象是一个既没有蝴蝶套利也没有日历套利的表面，与原始市场点相匹配。然后我们继续讨论外汇应用，即港元/美元看涨期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Nonparametric_and_arbitrage-free_construction_of_call_surfaces_using_l1-recovery.pdf (1.24 MB)

2022-5-8 10:21:30 上传

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关键词：非参数 无套利 Construction Quantitative Applications

使用l-recoveryP构造调用曲面的非参数和无套利构造。布拉克·弗洛伦廷先生*, B.Missaoui+摘要本文致力于应用l-最小化技术构造无套利看涨期权曲面。我们提出了一种非参数方法来获得与市场报价完全一致且无静态套利的无模型看涨期权曲面。该方法受信号处理中用于处理欠采样信号的压缩传感框架的启发。我们解决了将看涨期权曲面拟合以解析期权数据的问题。为了说明该方法，我们考虑到时间方向上的套利可能性，继续构建标准普尔500期权的整个看涨期权价格面。由此产生的对象是一个表面，没有与原始市场点匹配的交易日差价套利和日历差价套利。我们接着讨论外汇应用，即港元/美元看涨期权。关键词：期权面，隐含波动率，无套利，非参数，l-最小化。1简介数学金融中的一个基本程序是构造隐含的调用面（这相当于通过反演布莱克-斯科尔斯公式对隐含的波动率面进行建模）。在实践中，只有在成熟度和打击的有限二维网格上才能观察到这种表面，即在市场报价可用的点上。然而，为了对涉及网格外价值的衍生工具进行定价，必须能够重新定义曲面的分辨率。作为第一个近似值，通常使用点之间的样条插值来恢复整个平滑曲面。

然而，允许解决方案的空间有一些限制：看涨期权表面必须受到一些无套利约束，如交叉到期和敲定（Carr Madan[3]，Davis Hobson[7]）。在这方面，看涨面的样条插值引入了套利——这是一个不受欢迎的特征。*伦敦国际学院数学系SW7 2AZ，pb910@ic.ac.uk+巴德尔，伦敦SW7 2AZ IMPERIAL学院数学系。missaoui@imperial.ac.ukRather与关注看涨期权表面相比，文献倾向于直接对隐含波动率表面进行建模。由于这个问题是一个非常重要的问题，所以文献中提出了许多方法来解决波动率表面的建模，这并不奇怪。在Fengler[10]中，提出了一种基于最小二乘最小化和平滑度惩罚的无套利球曲面平滑方法。另请参见Orosi[18]对这种方法的实证评估。Fengler Hin[11]中引入了另一种基于惩罚Lp规范的方法。在最近的一篇文章中，Gathereal和Jacquier[12]提出了波动率曲面的参数化，并给出了参数化曲面不存在日历价差和黄油价差套利的条件。所有这些方法都允许获得一个无套利的表面，同时目标距离原始市场报价不太远。这些方法固有的困难在于，隐含波动率曲面上的无套利条件是高度非线性的，而使用调用曲面只会产生线性无套利约束（我们将在后面回忆）。在这篇文章中，我们提出了一种基于线性规划的方法，该方法可以恢复与市场报价完全匹配的所有曲面，达到用户指定的容差，并且是无套利的。

这种方法受到信号处理理论的启发；固定时间的选项callsurface可以被视为在初始网格（marke points）上采样的二维信号，我们的目标是在更细的网格上恢复它，同时仍然与原始观测值完美匹配，并保持无套利。采样理论的经典结果——奈奎斯特-香农定理——表明，要准确地覆盖信号，必须以信号中包含的最高频率的两倍进行采样。然而，在某些情况下，这样的利率对个人来说太高了。在信号处理领域，过去几年中，压缩传感在几个应用领域获得了大量关注，尤其是MRI。一个好的介绍可以在[6]中找到。压缩感知背后的想法是，如果信号在给定的观测基础上是稀疏的，则不需要有那么多样本。在本文中，我们将看涨期权曲面问题写成一个约束l-最小化问题，从而从压缩感知框架中得到启发。第2节讨论了问题的实现。特别是，第2.3小节重新描述了解决方案必须满足的无套利条件，讨论了采取何种基础以及观察矩阵的构造。第2.1小节在非参数回归上下文中重新描述了问题，第2.2小节讨论了稀疏性、信号中的振荡和程序的目标函数。

最后，第2.4小节给出了优化问题的最终形式，并将其改写为一个简单的线性规划。第3节提供了一个应用示例，其中，我们从标准普尔500指数周围有限数量的看涨期权报价开始，通过反转布莱克-斯科尔斯公式，恢复一个内部看涨期权网格和相应的隐含波动率面。将该方法应用于联系汇率（HKD/USD）的外汇期权，我们发现该方法可能无法恢复稀疏的代表性。在观测矩阵中引入结构保持函数可以避免这个问题。这是第4.2节问题设置和l-恢复的目的，考虑一组到期日T。给定基础股价S，无风险评级者：T 7→ r和一个分红函数q:t7→ qT，我们分别表示正向和贴现因子asF（T）=Se（rT-qT）T，D（T）=e-rTT。在本章的其余部分，为了简化符号，我们做出以下假设。假设1。我们在下面假设，对于每一个成熟期∈ T，KTij=KTjF（Ti）F（T）。这也意味着每个时间片上要恢复的打击次数相同。因此，jthstrike在到期时被写成了KTij。当从上下文中明确了到期日时，我们将只写kjforktij。2.1将地表恢复称为（约束的）非参数回归问题从实际角度来看，完全匹配市场中间价可能要求太高，或者根本不可行。让我们考虑几个案例。首先，如果在一个或多个报价中存在初始套利，有时会发生这种情况（例如，非凸性指数），不仅问题没有解决方案，因为凸性也会出现在较小的网格上，而且人们不希望完全匹配中间价。如果允许点周围有一定的公差，则可能需要适当的解决方案。

第二，从实用的角度来看，可能更倾向于容纳一个允许用户指定公差的框架。它可以是市场买卖价差（如在流动市场中），也可以是特定交易者的需求/偏好。我们现在要解决的问题更为精确。以（向量化的）调用曲面C为例，我们想要找到一个函数f，使得C（K，T）=f（K，T）+,其中f是未知函数，且在一个错误术语中，我们试图控制和约束它。现在，虽然f实际上可以是任何（连续）函数，但我们将其分解为abasis（或碱基的串联）（fi）∞i=1，f=∞Xi=1xifi（T，K）。备注1。族（fi）Ni=1有时也称为字典，或字典的集合，如多项式、三角函数、小波等的基。出于明显的数值原因，有必要截断和：~f=NXi=1xifi（T，K）+,对于一些N，以及评估网格上的FIN。如果我们在这样一个网格上为FIA的评估矩阵写Q——我们将在下面详细介绍它的构造——初始关系变成c（Ki，Tj）=Qx++ .我们写作 := + 一般误差项，我们希望保持在预先规定的范围内。现在也是选择分解基础的时候了。要考虑的一个自然族是T和K中的多项式，更准确地说，是T和K中的张量正交多项式。正交基对于其数值稳定性来说是一个特权选择。我们分别定义了两个（截断的）多项式族（PiK）NKi=1inK和T。1.在所有到期日（Ti）MTi=1的集合上，PiT是正交的：<PiT，PjT>=ZTMTTPiT（t）PjT（t）ut（dT）=δij，ut（·）=MTXi=1Ti（·）。类似地，皮卡尔正态分布在所有考虑过的跨越到期日的罢工的网格上。

用K表示罢工K（Ti，j）j=1，···，MKi=1，··，mt的子集，其中没有罢工出现一次以上，我们定义：<PiK，PjK>=zkmkpik（K）PjK（K）uK（dk）=δij，uK（·）=Xκi∈Kκi（·）。现在让我们定义以下RMK×NK:Qmn矩阵=PnT（Tm）PK（K（Tm，1））·PnT（Tm）PNKK（K（Tm，1））。。。。。。PnT（Tm）PK（K（Tm，MK））·PnT（Tm）PNKK（K（Tm，MK））.然后是张量多项式的矩阵Q∈ R（MT×MK）×（NT×NK）仅由asQ块定义=Q·Q1 NT。。。。。。QMT··QMTNT.2.2稀疏性、l-和加权LRecoveries既然我们已经确定了基础和观测矩阵应该是什么，我们将重点放在x应该保证的特征上，即稀疏性。我们希望通过尽可能少的参数来解释调用曲面。因此，我们正在寻求一个节俭的解决方案∈ RN，即具有最小可能“l半形式”的向量：kxk:=NXi=1xi6=0。要求对解决方案进行精简是非常可取的，因为它本质上要求解决方案不会过度拟合数据。我们的目标是在（fi）Ni=1的基础上获得f的“有意义”分解。但仍然存在一个问题：在lsense中找到最稀疏解的问题通常是NP难问题。例如，Natarajan[17]证明了具有二次约束的l-恢复的NP硬度。有关最小化问题的简要说明，请参见Elad[9，第13-14页]。本质上，如果一个问题是NP难的，那么这意味着目前没有有效的算法（即具有多项式时间复杂性的算法）来解决它。由于这种NP难度，解决它的一种方法是考虑问题的凸松弛，并尝试最小化lnorm：kxk:=NXi=1 | xi |，即最小化信号的总能量。这被称为l-恢复。备注2。我们指出，保证土地解决方案等效的条件是被称为压缩传感的研究领域存在的理由。

大量文献表明，在随机基满足所谓的限制性几何性质的情况下，有可能找到这两个解的等价性。严格的描述超出了我们的范围；我们请感兴趣的读者参考Davenport等人[6]的介绍，以及（非常不详尽的）感兴趣的文章列表：Candès-Donoho-Sanders[4]、Candès[1]、Candès-Tao[2]、Donoho Elad[8]。备注3。选择一个l-范数意味着我们更愿意恢复一个解决方案，该解决方案不允许像l-范数那样多的振幅较小的非零分量。然而，请注意，在那个阶段，这并不妨碍我们获得一个涉及高次多项式的解——因此是高度振荡的多项式。这种高次多项式的出现可以看作是过度拟合；考虑到财务后果，这需要在查看标的资产的状态价格分布或计算局部波动率表面时获得噪声表面。事实证明，加权lnorm可以提高稀疏性，减少振荡，如Rauhut Ward[19]所述；i、 e.将l-范数替换为形式为KxkW l=NXi=1wi·xi的范数，其中wi是预先确定的权重。Rauhut Ward考虑了各种权重，并设置wi=i，即惩罚高阶多项式，提供了减少数据集中振荡的实质性改进；在l-恢复的情况下，这可以被视为解决方案中的平滑惩罚。根据他们的结果，我们还应考虑加权客观规范的形式KxKobj=NXi=1wi·xi。2.3解决方案的无套利约束我们在此回顾看涨期权曲面无套利的条件，并了解这些约束如何在我们的问题中实现。

出于定价和对冲目的，获得无套利隐含波动率面（或相当于看涨期权面）是一个具有实际重要性的问题。虽然隐含波动率表面上的无套利条件是高度非线性的（Roper[20]），但看涨期权表面上的无套利是由以下一组条件保证的（参见Fengler[10]）：我们用byF（T）表示时间T时标的债券的远期价值，用D（T）表示到期T时到期的单位零息票债券的价值。1。凸性：对于所有T，映射k7→ C（K，T）是凸的。原因如下：考虑三个看涨期权C（K）、C（K）和C（K），使K<K<K3。然后，我们可以构造黄油的导数工具bf（K，K，K）：=（K- K） C（K）- （K）- K） C（K）+（K2）- K） C（K），（1）的支付如图1所示。图1:K=100、K=120和K=150的不对称黄油的价格。正如人们所看到的，这种回报是非负的。凸性的破坏意味着一个人可以找到三个打击，并以非正价格创建这样一个黄油期货头寸，从而进行套利。2.不存在日历利差套利：对于两个到期日T<T和任何一个终止日，表示其在到期日T的远期价值，即KT=KT·F（T）F（T）。然后我们需要映射t7→ C（KT，T）是非递减的。为了了解这一点，采取两次打击C（KT，T）和C（KT，T），T<TandKT=KTF（T）/F（T）。然后，如果一个人购买一个看涨期权C（KT，T），然后卖出一个看涨期权C（K，T）的数量D（T）F（T）/（D（T）F（T））。在时间T时，如果基础价值S（T）小于KT，那么最终收益仅为C（KT，T）>0；否则，在TisC的位置（KT，T）-D（T）F（T）D（T）F（T）（S（T）-F（T）F（T）KT），这相当于一个具有到期日和逐次看跌期权平价的看跌期权。具有非负收益的看跌期权，该头寸也必须是非负的。所以无论哪种情况，我们都需要这个位置是非负的。3.

单调性：我们需要-1/（D（T）F（T））≤CK（K，T）≤ 0.左侧的不平等性意味着，罢工的微小增加——导致最终支付的微小减少——最多只能导致当前通话价格的（折扣）下降。右手边的不平等意味着，在所有其他条件相同的情况下，一个罢工较高的电话总是比罢工较低的电话有较低的回报。4.支付界限：对于S，标的物的当前价格，对于所有K，T，我们需要（D（T）F（T）S- KD（T））+≤ C（K，T）≤ SD（T）F（T）。第一个不平等性意味着今天的通话价值必须是非负的（因为其支付将始终是非负的），并且高于具有相同罢工的远期合同的价值。第二个不等式表明，通过股息调整后，持有股票的收益率总是低于持有股票的收益率。事实上，目前有5个。最终值：C（K，0）=（S- K） +，即“的价值是其支付的价值”。2.3.1没有黄油差价套利我们首先考虑将保证满足假设1的约束，即恢复的内表面是凸的。特别是，在调用曲面和KMK的极值点，无黄油流动性/凸性要求如下，其中S表示标的股票的价格：SD（T）F（T）-KK- KC（K，T）+KK- KC（K，T）≥ 0C（KMK）-1.T）- C（国民党）≥ 0.对于K，这对应于写下不对称的黄油价格条件，其中onecall取零（因此其价值只是基础股票，由股息调整；相当于贴现远期）。