关于L\'{e}vy模型的下降幅度、渐近性和持续时间

我们回顾了以下关于更新函数和收缩性质之间关系的结果（见Bertoin[4]第三章定理5和第六章定理19）。这里我们说，如果X进入（X，∞) 连续不断地。引理2.2。以下断言是等价的。（i） 对于某些X>0的情况，P{X在X}>0上爬行。（ii）漂移系数dH>0.8d.Landriault，B.Li和H.Zhang（iii）更新函数H是绝对连续的，H′是有界的。此外，当这些断言成立时，有一个版本h′是连续的，并且在（0，∞). 最后，limx↓0h′（x）=dH>0，对于所有x>0.3的情况，P{x在x}=dHh′（x）上爬行。下降幅度在本节中，我们通过波动恒等式和Lehoczky[24]提出的近似方法，重新讨论了光谱负L’evy过程下降幅度的一些已知结果。这种方法符合一般It^o的短途旅行理论的精神。引理3.1。问≥ 0和x>0，我们有-qT+x{Mτa≥x} ]=exp-W（q）′（a）W（q）（a）x. （3.1）证据。对于固定x>0和n∈ N、 设{sn，i，i=0，…，N}是区间[0，x]的递增划分序列，其中0=sn，0<sn，1<···<sn，N=xn=max1≤我≤n（sn，i）-嗯，我-1） 随着n的增加减少到0→∞. 利用X的强Markov性质，我们提出了近似事件（Mτa）≥x） byTnm=1（T+sn，i<T-嗯，我-1.-a | X=sn，i-1） ，因此使用en:=nYi=1E[e-qT+sn，i{T+sn，i<T-嗯，我-1.-a} |X=sn，i-1] ，作为E[E]的近似值-qT+x{Mτa≥x} ]。通过（2.4），我们haven=nYi=1W（q）（a）W（q）（a+sn，i-嗯，我-1） =exp（nXi=1ln）1.-W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1)).自W（q）∈C（0，∞) 并且在（0，∞), 我们有W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1)≤W（q）（a+n）-W（q）（a）W（q）（a）≤K(n） ，共1人≤ 我≤ n和一些常数K>0。

事实上-ln（1）- ε） =ε+o（ε）对于小ε>0，则e[e]-qT+x{Mτa≥x} ]=limn→∞exp（nXi=1ln）1.-W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1))关于L’evy模型9=limn的下降幅度、渐近性和持续时间→∞经验(-nXi=1W（q）（a+sn，i-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1） ）=exp-W（q）′（a）W（q）（a）x,这就完成了证据。通过在（3.1）中设q=0，很容易看出Mτa服从平均值为W（a）/W′（a）的指数分布。然后从（3.1）中得出，对于q≥ 0和x≥ 0，E[E]-qT+x | Mτa=x]=exp-W（q）′（a）W（q）（a）-W′（a）W（a）十、. （3.2）接下来，我们考虑以下与向下退出有关的引理。引理3.2。对于q，s≥ 我们有-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a]=W（a）W′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a），（3.3），其中p=q-ψ（s），W（p）和Z（p）是Ps证明下的p-s标度函数。我们首先考虑的是≤ Φ（q），或等效的q≥ ψ（s）。为了0≤ 十、≤ y、 辛塞特-∧T+yis a.s.定义，按测量值（2.3）和（2.5）的变化，例如[e]-qT--s（x）-XT-){T-<T+y}]=Esx[e-pT-{T-<T+y}]（3.4）=Z（p）s（x）-Z（p）s（y）W（p）s（x）W（p）s（y）。由（2.4）和（3.4）可知：-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a]=limε↓0Ea[e-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a+ε]（3.5）=limε↓0Z（p）s（a）-Z（p）s（a+ε）W（p）s（a）W（p）s（a+ε）W（a+ε）W（a+ε）-W（a）=W（a）W′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a）。10 D.兰德里奥，B.李和H.张是近似limε的另一侧↓0Ea-ε[e-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a]也会导致（3.5）。然后通过（3.3）到s的分析扩展完成证明≥ 0为了获得本节的主要结果，我们注意到，X的样本路径直到τacan可以分为两部分：上升部分和随后的碰撞部分。由于（0）的0的规律性，∞), 我们知道最后通过时间（Gτa | Mτa=x）=（T+x | Mτa=x），P-a.s.（另见Kyprianou[20]第158页的讨论）。

我们的分析基本上遵循了这个观点：关系（3.2）和（3.3）分别对应于上升和下降部分。通过在转折点Gτa处粘贴这两部分，可获得以下四重LT。定理3.1。对于q，r，s，δ≥我们有-qτa-rGτa-sYτa-δMτa]=W（q+r）（a）δW（q+r）（a）+W（q+r）′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a），（3.6），其中p=q-ψ（s）。证据通过对x>0的事件（Mτa=x）进行条件化，我们得到了τa=Gτa+T-十、-A.oθGτa和T-十、-A.o θGτa<T+xo θGτa，P-a.s.其中θ是定义为asXt的马尔可夫移位算子oθs=Xt+s。因此，通过（3.2）和（3.3），我们得到[e]-qτa-rGτa-sYτa | Mτa=x]=E[E-（q+r）Gτa-q（τa）-Gτa）-sYτa | Mτa=x]=E[E-（q+r）GτaE[e-qT-十、-A.oθGτa-s（x）-XT-十、-a） |T-十、-A.oθGτa<T+xoθGτa]|Mτa=x]（3.7）=E[E-（q+r）Gτa | Mτa=x]Ex[e-qT-十、-A.-s（x）-XT-十、-a） |T-十、-a<T+x]=exp-W（q+r）′（a）W（q+r）（a）-W′（a）W（a）十、W（a）W′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a）。将（3.7）乘以Mτa的密度，然后对x积分，得到（3.6）。关系式（3.6）通过结合Gτa和Mτa的结合，推广了Avram等人[1]的定理1。此外，通过类似的近似参数，可以求解方程（3.6）的联合分布，但可以利用Yτa定律，从而恢复Mijatovi\'c和Pistorius[29]的定理1中的结构定律（τacan处的最小值也可以很容易地结合）。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间114。水位下降幅度的渐近在本节中，我们研究水位下降幅度的LT（3.6）的渐近性，作为↓ 0表示光谱负L’evy过程。此外，我们还证明了这种符号对于正复合泊松跳跃的扰动是鲁棒的。4.1.

光谱负L’evy过程第四，我们对0+时标度函数的行为做出以下假设。假设4.1。利克斯↓0xW′（x）=0。事实上，自从xW′（x）≥ 0表示所有x>0，只要W′在sensethatlimx中在0+处表现良好↓0xW′（x）=对于某些c∈[0, ∞],从W′在0+处的可积性可以推断c=0。备注4.1。来自外稃2。如果高斯分量σ>0或∏，则假设4.1显然成立(-∞, 0) < ∞. 此外，光谱负的α稳定过程具有指数α∈ （1，2），其拉普拉斯指数ψ（s）=sα和标度函数w（x）=1{x≥0}xα-1Γ（α），也满足假设4。1.由于标度函数只在少数情况下已知，我们在假设4时检查拉普拉斯指数的有效条件，以确定情况。1保持。备注4.2。对于具有拉普拉斯指数ψ的一般谱负L′evy过程，通过引理2。1，可以选择任意的s>Φ（0）并定义函数g（x）：={x>0}e-sxxW′（x），在R\\{0}上是非负连续的。通过库兹涅佐夫[18]和（2.6）的引理3.3，我们进一步知道g（x）∈ L（R）。通过部分积分和分析延拓，我们可以得到thatZReisxg（x）dx=洎（s-是的∈ R、 12 D.Landriault，B.Li和H.Zhang，其中φ（s）：=sψ′（s）-ψ（s）ψ（s）表示Re（s）≥ 0.通过傅立叶反演和支配收敛定理，我们知道了假设的一个充分条件。1.将其固定-i·）∈ L（R），因为它意味着g（·）在R.引理4.1上是连续的。根据假设4。我们有limx↓0xW（q）′（x）=每q为0≥ 0.证明。由于（0）上支持比例函数W，∞), 对于任何k≥1.我们有DDXW*（k+1）（x）=Z（0，x）W′（x-y） W*k（y）dy+W（0+W）*k（x）≤xk-1（k）-1)!Wk（x）Z（0，x）W′（x）-y） dy+W（0+）（4.1）=xk-1（k）-1)!Wk+1（x），其中上述不等式是由Kyprianou[20]的等式（8.23）和W的单调性引起的。

通过（4.1）并将导数逐项取为已知的恒等式y（q）（x）=P∞k=0qkW*（k+1）（x），其中W*kis是W与自身的第k次卷积，得到xW（q）′（x）=xW′（x）+x∞Xk=1qkddxW*（k+1）（x）≤ xW′（x）+qxW（x）∞Xk=1（qxW（x））k-1（k）-1)!= xW′（x）+qxW（x）eqxW（x）。当最后一个等式的右边接近0为x时，证明就结束了↓ 0根据假设4。1.外稃4。1对于导出以下渐近结果至关重要。定理4.1。考虑一个满足假设4的谱负L'evy过程X。1.对于任何q，s≥ 0，我们有limε↓0W（q）′（ε）W（q）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=（s，如果X有无界变化，s+q-ψ（s）d，如果X有界变差。证据利用（3.6），我们可以推导出W（q）′（ε）W（q）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]），关于L’evy模型13=s的下降幅度、渐近性和持续时间-（q）- ψ（s））W（q）′（ε）W（q）（ε）Z（0，ε）e-sxW（q）（x）dx（4.2）+s（q）-ψ（s））Z（0，ε）e-sxW（q）（x）dx+（q-ψ（s））e-sεW（q）（ε）。根据W（q）（·）的单调性，我们得到了0≤W（q）′（ε）W（q）（ε）Z（0，ε）e-sxW（q）（x）dx≤W（q）′（ε）W（q）（ε）εW（q）（ε）=εW（q）′（ε）。它由（4.2）和引理4.1得出↓0W（q）′（ε）W（q）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=s+（q- ψ（s））W（q）（0+，用引理2结束证明。1.4.2. 一类具有双边跳跃的L’evy模型下，我们考虑一类具有双边跳跃的L’evy过程，其形式为Xt=~Xt+S+t，（4.3），其中X是满足假设4的谱负L’evy过程。1，S+是一个复合泊松过程，到达率λ+=π（0，∞) ∈ (0, ∞) 以及i.i.d.正泵大小和分布函数F+。假设两个过程X和S+是独立的。因为我们假设| | X |不是一个从属项，并且是（0）的正则项，∞),很明显，X也是如此。X的特征指数由ψ（s）=ψ（s）+λ+Z给出∞(1 -eisx）F+（dx），s∈ R、 （4.4）式中，ψ（·）是X的特征指数。

从今以后，我们将符号e添加到所有数量中，当它们仅与光谱负的L’evy分量X有关时。通过调节第一个正跳跃到达时间和跳跃大小，我们得到了（τε，Yτε）的联合拉普拉斯变换的以下表示。引理4.2。对于q，s≥ ε>0，我们有-qτε-sYτε]=E[E-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}]1.-（λ+/（q+λ+）（1-E[E]-（q+λ+）～τε]+E[E-qξ+{τε>ξ+，J+<Yξ+-}],（4.5）式中，ξ+和J+分别是X的第一次向上跳跃的时间和大小。14 D.兰德里奥、B.李和H.张。回想一下，ξ+与平均值1/λ+呈指数分布。根据X的强马尔可夫性和（τε<ξ+=（？）τε<ξ+）a.s.，E[E]-qτε-sYτε]=E[E-qτε-sYτε{τε<ξ+}]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+}]=E[E-q~τε-s~Y~τε{τε<ξ+}]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+≥Yξ+-}]+ E[E]-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}]= E[E]-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]+E[E-qξ+{τε>ξ+，J+≥~Yξ+-}]E[E]-qτε-sYτε]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}].求解E[E]-qτε-sYτε），得到[e]-qτε-sYτε]=E[E-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}]1.-E[E]-qξ+{τε>ξ+，J+≥~Yξ+-}]. （4.6）对于（4.6）右边的分母，我们注意到-qξ+{τε>ξ+，J+≥~Yξ+-}]= E[E]-qξ+]-E[E]-qξ+{τε<ξ+}]-E[E]-qξ+{τε>ξ+，J+<Yξ+-}] （4.7）=λ+q+λ+（1）-E[E]-（q+λ+τε]）-E[E]-qξ+{τε>ξ+，J+<Yξ+-}].将（4.7）替换为（4.6），以完成（4.5）的证明。我们提出了一个理论4的类似物。1用于L’evy工艺（4.3），带有两个侧泵。注意，在（4.4）中，~X和X的特征指数d的漂移在~X有界变化时是相同的。定理4.2。以勒维模型（4.3）为例。对于q，s≥0，我们有limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]）=s、 如果X有无界变化，s+q-■ψ（s）d，如果≈X有界变化。证据

由于X和S+是独立的，并且（τε<ξ+）=（ττε<ξ+）a.S.，我们有p{τε>ξ+，J+<Yξ+-} = P{τε>ξ+，J+<Yξ+-}关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间15≤ P{τε>ξ+，J+<ε}（4.8）=（1）-E[E]-λ+～τε]）P{J+<ε}≤ (1 -E[E]-（q+λ+）～τε]）F+（ε）。它来源于定理4。1.W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）P{τε>ξ+，J+<Yξ+-}(4.9)≤W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-（q+λ+）～τε]）F+（ε）=o（1），对于小ε>0。通过（4.5）、（4.8）和（4.9），我们可以得到W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]（4.10）=W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]-λ+q+λ+（1）-E[E]-（q+λ+τε]）+o（1）1-λ+q+λ+（1）-E[E]-（q+λ+）～τε]+o（1）。我们首先考虑X有无限的变化。来自外稃2。1，我们推导出W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）→∞ asε↓ 根据理论。这进一步意味着-E[E]-（q+λ+）～τε]=o（1）。（4.11）从（4.8）和（4.11）中可以得出结论，（4.10）右侧的分母接近1，即ε↓ 此外，根据定理4.1，limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-（q+λ+）～τε-当X有界变化，但L’evy测度∏时(-∞, 0) = ∞, 注意（4.11）仍然由引理2保持。1.因此，从（4.8）可以看出，（4.10）右侧的分母也接近1，即ε↓ 此外，通过定理4.1，我们得到了limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=s+q+λ+-ψ（s）d-λ+q+λ+q+λ+d=s+q-■ψ（s）d.最后，当≈X有界变差且∏(-∞, 0) < ∞, 通过外稃2。1和理论4。1，limε↓0(1 -E[E]-q~τε-s~Y~τε]=q+sd-§ψ（s）q+π(-∞, 0). （4.12）16 D.Landriault，B.Li和H.Zhang然后，通过（4.10），（4.8）和定理4.1，可以直接验证limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=s+q-■ψ（s）d，这就完成了证明。5.

下降持续时间在本节中，我们通过（1.1）中定义的停止时间ηbde的LT来检查具有双边跳跃的L’evy模型（4.3）的下降持续时间。为此，我们使用了许多研究人员在类似背景下开发的微扰方法（例如Dassios和Wu[12]、Landriault等人[23]、Li和Zhou[25]、Loeffen等人[26]和Zhang[37]）。为了展示主要思想，让ε>0，并定义以下停止时间顺序：τε=τε，θ=τε+T+Mτεoθτε, . . ., τiε=θi+τεoθθi，θi=τiε+T+Mτiεoθτiε，对于i∈ N，其中θ代表马尔可夫移位算子。ηεb=inf{t给出的ηbis的近似值∈ （τiε，θi]：t-τiε≥b有些我∈ N} ，只考虑高度超过ε的Y偏移。通过构造，可以看出ηεbis随ε单调递减↓0，ηb=limε↓0ηεb，P-a.s.对于固定的q>0，我们考虑一个平均值为1/q的独立指数rv eq。通过X的强马尔可夫性质，P{eq>ηεb}=P{eq>ηεb，θ>τε+b}+P{eq>ηεb，θ<τεb}=P{eq>∧θ>τε+b}+P{θ<eq∧（τε+b）}P{eq>ηεb}，这意味着sp{eq>ηεb}=P{eq∧θ>τε+b}1-P{θ<eq∧（τε+b）}。（5.1）通过调节Yτε，然后利用X在τε时的强马尔可夫性质，我们发现{θ<eq∧（τε+b）}=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y<eq∧b} （5.2）=E[E-qτε]-Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>eq∧b} 关于L’evy模型17和P{eq的下降幅度、渐近性和持续时间∧θ>τε+b}=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{eq∧T+y>b}（5.3）=e-qbZ[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>b}。将（5.2）和（5.3）代入（5.1），我们得到[e]-qηεb]=P{eq>ηεb}=e-qbR[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>b}1-E[E]-qτε]+R[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>eq∧b} 。（5.4）从表述（5.4）来看，似乎与定义x>0和p相关≥ 0，有界辅助函数f（p）ε（t）：=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>ep∧t} （5.5）=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{Mep∧T≤y} ，其中（5.5）对q的依赖性是静默假设的。

因此，我们重写了（5.4）asE[e]-qηεb]=e-qbf（0）ε（b）1-E[E]-qτε]+f（q）ε（b）。（5.6）获得f（p）ε（b）asε的精确渐近性↓ 0，关键是研究测度E[E]的收敛性-qτε{Yτε∈dy}]asε↓ 0，这与第4节的交感反应结果密切相关。正如我们将在下文中看到的，根据L’evy过程是否具有有界或无界变化，度量函数的收敛性。5.1. 有界变差情况我们首先表明，X的运行最大值的分布函数是良好的。提议5.1。设X是一个有界变化的L′evy过程，漂移d>0，初始特征指数表示（2.8）。那么，对于任何固定的p≥0和t>0，函数P{Mep∧T≤y} /y以y为界∈ (0, ∞). 此外，如果我们进一步假设∏(-∞, 0) = ∞ π上没有原子(-∞, 0），功能P{Mep∧T≤ y} /y对于每个y也是连续的∈ (0, ∞).18 D.兰德里奥、B.李和H.张。对于任何固定的p≥ 当t>0时，我们表示byF（p）t（y）：=p{Mep∧T≤y} /y.我们首先考虑p=0的情况。利用Chaumontand Ma lecki[7]方程（4.16）中的上界（适用于一般的L’evy过程），我们知道f（0）t（y）≤ee-1κt、 0h（y）y，（5.7）我们回忆起h（·）是（2.11）中定义的更新函数。由于X有界变差且d>0，我们根据Kyprianou[20]的定理7.11推导出X向上爬行。从引理2.2我们知道h（y）/y收敛到一个有限极限，即y↓ 因此，我们从（5.7）中得出结论，F（0）t（y）是有界的∈ (0, ∞).接下来，我们考虑p>0的情况。通过Wiener–Hopf分解，众所周知)mepf服从平均值为1/)Φ（p）>0的指数分布。此外，由于≥~Mta。s

无论如何≥ 0，得到f（p）t（y）=Z（0，t）pe-psP{Ms≤y} yds+e-ptP{Mt≤y} y≤Z（0，∞)体育课-psP{Ms≤y} yds+e-ptF（0）t（y）=1-E-■Φ（p）yy+e-ptF（0）t（y）。通过F（0）t（·）的有界性，我们推导出F（p）t（y）对y也是有界的∈(0, ∞).最后，假设我们还有∏(-∞, 0) = ∞ π上没有原子(-∞, 0).对于任何固定的t>0，根据Sato[33]的定理27.7，我们知道关于Lebesgue测度，~Xt的定律是绝对连续的，卷积的性质也是如此。此外，根据Kyprianou[20]的定理6.5，我们知道X对于（0）是正则的，∞) 当X有界变化且d>0时。因此，从Chaumont[6]的定理1中，我们得出关于Lebesgue测度的Mt定律是绝对连续的。因此，P{Mep∧T≤y} /y对于每个y都是连续的∈ (0, ∞). 备注5.1。对于L′evy模型（4.3），X有界变化且∏(-∞, 0) =∞, 因此P{Mep∧T≤ y} /y对于y是有界且连续的∈ (0, ∞) 由于我们假设| | X |不是从属函数，| X是（0）的正则函数，∞), 而∏没有原子(-∞, 0).我们现在准备介绍本小节的主要结果。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间，定理5.1。以勒维模型（4.3）为例。如果X具有有界变化和满足假设4。1.对于任何q>0的情况，我们都有-qηb]=e-qbR（0，∞)P{Mb≤y} π(-dy）q+R（0，∞)P{Meq∧B≤y} π(-dy）。证据我们首先考虑∏的情况(-∞, 0) = ∞. 从（5.5）到p≥ 0，我们有W（q+λ+）\'（ε）W（q+λ+）（ε）f（p）ε（b）=W（q+λ+）\'（ε）W（q+λ+）（ε）Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{Mep∧B≤y} （5.8）=Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-y·W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）{y≥ε}(1 -E-y） E[E]-qτε{Yτε∈dy}]=Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-yμε（dy），其中με（dy）是（0，∞) 定义为με（dy）=W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）{y≥ε}(1 -E-y） E[E]-qτε{Yτε∈dy}]。