关于L\'{e}vy模型的下降幅度、渐近性和持续时间

（5.9）根据定理4。2，我们有limε↓0Z（0，∞)E-syμε（dy）=limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（E[E]-qτε-sYτε]-E[E]-qτε-（s+1）Yτε]=1+~ψ（s）-■ψ（s+1）d，适用于所有s≥另一方面，我们从（2.2）中注意到，∞)E-sy1-E-yd∏(-dy）=dZ(-∞,0）（esy-1） π（dy）-dZ(-∞,0）（e（s+1）y-1） π（dy）=1+/ψ（s）-因此，由命题a。1，我们得出结论，作为ε↓ 0，με（dy）弱收敛于测度d-1(1-E-y） π(-dy），这是对（0，∞) 因为X有边界变化。20 D.兰德里奥、B.李和H.张来自命题5。注5.1，我们知道函数P{Mep∧B≤y} /（1）-E-y） y的有界连续∈ (0, ∞). 通过弱收敛性的定义，它遵循（5.8）thatlimε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（p）ε（b）=limε↓0Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-yμε（dy）=Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-yd（1-E-y） π(-dy）（5.10）=dZ（0，∞)P{Mep∧B≤y} π(-dy）。因此，通过（5.6），（5.10）和定理4.2，我们得到了[e]-qηb]=e-qblimε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（0）ε（b）limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε]+limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（q）ε（b）=e-qbR（0，∞)P{Mb≤y} π(-dy）q+R（0，∞)P{Meq∧B≤y} π(-dy）。最后，我们考虑∏的情况(-∞, 0) < ∞. 在（4.12）之前，对于任何≥ 0，我们有limε↓0Z（0，∞)E-syE[e]-qτε{Yτε∈dy}]=ψ（s）-sd+π(-∞, 0）q+π(-∞, 0）=Z（0，∞)E-sy∏(-dy）q+π(-∞, 0).根据命题A。1，我们看到测度E[E]-qτε{Yτε∈dy}]弱收敛于测度∏(-dy）/（q+π）(-∞, 0）asε↓ 0.自{Mep∧B≤ y} 在y上是有界且上半连续的∈(0, ∞), 它由弱收敛的波特曼多定理得出lim supε↓0f（p）ε（b）=limsupε↓0Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} E[E]-qτε{Yτε∈（5.11）≤q+π(-∞, 0）Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} π(-dy）。另一方面，自从{Mep∧b<y}在y中是下半连续的∈(0, ∞).

再次利用波特曼托定理，我们得到了lim infε↓0f（p）ε（b）≥ lim-infε↓0Z（0，∞)P{Mep∧b<y}E[E-qτε{Yτε∈[dy}]≥q+π(-∞, 0）Z（0，∞)P{Mep∧b<y}∏(-dy）（5.12）关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间21=q+π(-∞, 0）Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} π(-dy），其中最后一个等式成立，因为∏上没有原子(-∞, 0）和P{Mep∧b<y}=P{Mep∧B≤y} 对于几乎所有的y>0。通过让ε↓ 在（5.6）的每一项中取0，并使用（5.11），（5.12）和（4.12），这就完成了定理5.1的证明。5.2. 无界变差情况我们现在考虑无界变差情况，对于这种情况，我们对Xt的密度做了如下假设。假设5.1。如果X有无界变化，我们假设Xt的密度，即pXt（X），对于所有t>0都有界。备注5.2。我们指出这个假设。1与inChaumont和Ma lecki[7]的假设（H1）相同，这相当于假设特征函数-tψ（·）∈ L（R）表示所有t>0。同样清楚的是，如果X是一个具有无界变化的谱负的L'evy过程，Y是一个独立于X的任意L'evy过程，那么X+Y之和满足假设5。1和X一样长。因此，满足假设5.1的Levy过程的例子包括σ>0或σ=0的过程，以及α为负的α-稳定跳跃分布的过程∈ (1, 2).下面的命题表明，对于变量无界的L’evy过程，满足假设5。1，在0+时运行的最大密度表现良好。提议5.2。设X是一个具有无限变化的L’evy过程，它向上爬行并满足假设5。1.那么，对于每t>0和fur ther，limx，运行最大Mt有一个连续的密度Mt（·）↓0pMt（x）=νL（t）+κ（0，0）dH>0，其中∠L（·）是上升阶梯时间过程跳跃测量的尾部（见（2.10））。证据

来自外稃2。2.我们知道更新密度h′可以选择为一个连续函数，其极限h′（0）=dH>0。由于X具有无界变量，Chaumont和Ma lecki[7]的假设（H2）也成立。通过Chaumont和Ma lecki[7]的命题2和定理1，我们知道，对于每t>0，mt有一个连续的密度mt（x），并且，limx↓0pMt（x）h′（x）=dHlimx↓0pMt（x）=n（ζ>t），22 D.Landriault，B.Li和H.Zhang，其中n（ζ>t）是长度超过t>0的偏移的偏移度量。从Kyprianou[20]的（6.11）和（6.14）（另请参见Bertoin[4]的第IV.4节），我们知道n（ζ>t）=νL（t）+κ（0，0）>0，这就完成了证明。推论5.1。在命题5的条件下。2.对于任何固定的p≥ t>0，函数P{Mep∧T≤ y} /y对于y是有界且连续的∈ [0, ∞), 其中y=0时的价值定义为权利限制↓0P{Mep∧T≤y} y=dHZ（0，t）pe-ps′νL（s）ds+e-pt′νL（t）+κ（0,0）.证据来自命题5。2.只剩下证明P{Mep的极限了∧T≤ y} /y asy↓ 0.再次利用支配收敛定理和命题5.2，我们得到↓0P{Mep∧T≤y} y=Ztpe-精神病↓0P{Ms≤y} yds+e-突然↓0P{Mt≤y} y=Ztpe-精神病↓0pMs（y）ds+e-突然↓0pMt（y）=dHZ（0，t）pe-ps′νL（s）ds+e-pt′νL（t）+κ（0,0）,这就结束了证明。现在我们准备好介绍本小节的主要结果。定理5.2。以勒维模型（4.3）为例。如果X有u边界变化，并且满足4.1和5.1，对于任何q>0，我们有[e]-qηb]=e-qb′νL（b）+κ（0,0）R（0,b）qe-qt′νL（t）dt+e-qb′νL（b）+κ（0,0）。证据很明显，L’evy模型（4.3）向上爬行，因为它的光谱负分量X向上爬行，其向上跳跃遵循复合泊松结构。

此外，由于X满足假设5。1.通过注释5.2，我们可以看出，第5.2点的所有条件都是满足的。对于（5.9）中定义的有限测度με（dy），可以直接从定理4.2中验证，对于任何≥ 0，limε↓0ZR+e-syμε（dy）=limε↓0W（q+λ′）（ε）W（q+λ+）（ε）（E[E]-qτε-sYτε]-E[E]-qτε-（s+1）Yτε]）关于L’evy模型23=1=ZR+e的水位下降幅度、渐近性和持续时间-syδ（dy）。它源于命题A。1.με（dy）弱收敛于狄拉克测度δ（dy）为ε↓0.此外，根据推论5。我们知道函数P{Mep∧T≤y} /（1）-E-y） 对于y也是有界且连续的∈[0, ∞), 其中，y=0时的值定义为y↓从（5.8）和推论5.1中，我们得到了limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（p）ε（b）=limε↓0ZR+P{Mep∧B≤y} 一,-E-yμε（dy）=limy↓0P{Mep∧B≤y} 一,-E-y（5.13）=dHZ（0，b）pe-pt′νL（t）dt+e-pb′νL（b）+κ（0,0）.根据（5.6），（5.13）和定理4.2得出：-qηb]=e-qblimε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（0）ε（b）limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε]+f（q）ε（b））=e-qb′νL（b）+κ（0,0）R（0,b）qe-qt′νL（t）dt+e-qb′νL（b）+κ（0,0），这结束了证明。一般来说，函数¨νLandκ（0，0）仅通过（2.10）和维纳-霍普夫分解隐式已知。当X没有正跳跃时，我们可以表示E[E]-qηb]是pXt的显式中介。推论5.2。设X是一个具有无界变量和满足假设的谱负L’evy过程4。1和5.1。对于任何q>0，我们都有-qηb]=e-qbR（b，∞)spXs（0）dsR（0，b）qe-qtR（t，∞)spXs（0）ds dt+e-qbR（b，∞)SPX（0）ds。证据根据肯德尔的身份，对于任何固定的t，y>0，我们有yp{Mt≤y} =yZ（t，∞)P{T+y∈ ds}=Z（t，∞)spXs（y）ds。根据傅里叶逆变换，对于任何y∈R和s>0,0≤SPX（y）≤2πsZR|e-sψ（u）|du。24 D.兰德里奥、B.李和H。

根据Chaumont和Ma lecki[7]命题5的证明，我们知道对于任何固定的t>0,2πZ（t，∞)sZR|e-sψ（u）| du ds<∞.由支配收敛定理和推论5。1，我们有¨νL（t）+κ（0，0）dH=limy↓0P{Mt≤y} y=Z（t，∞)spXs（0）ds，它使用定理5完成证明。2.6.示例示例6.1。考虑布朗运动，即Xt=ut+σwt，σ>0。对于任何固定的t>0，我们有pxt（x）=σ√2πtexp-（十）-ut）2σt.根据注释4。1，5.2和推论5.2，我们有-qηb]=e-qbg（b）R（0，b）qe-qtg（t）dt+e-qbg（b），其中g（t）：=R（t，∞)spXs（0）ds=σ√2πte-ut/（2σ）-2.N(-u√tσ）和N（·）是标准正态rv的累积分布函数。例6.2。考虑拉普拉斯指数ψ（s）=sα与α的谱负α稳定过程∈ (1, 2). 对于固定t>0，众所周知（如Sato[33]第87-88页），pxt（x）=πt-1/α∞Xn=1(-1） n-1Γ（1+n/α）n！罪nπα（t）-1/αx）n-1，其中Γ（·）是伽马函数。下面是z（t，∞)spXs（0）ds=απΓα罪παT-1/α.根据注释4。1，5.2和推论5.2，我们有-qηb]=eqbb1/αR（0，b）qe-qtt-1/αdt+1。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间25例6.3。考虑一个拉普拉斯指数ψ（s）=sd+Z的谱负伽马过程(-∞,0）（esx-1） β| x|-1eαxdx=sd-βlog（1+s/α），s∈ H+，其中α、β>0为常数。来自Remark4。2.我们定义了ψ（s）：=sψ′（s）-ψ（s）ψ（s）=βlog（1+s/α）- βs/（s+α）（sd）-βlog（1+s/α）。我们可以很容易地验证，对于任何固定的s>Φ（0），我们都有φ（s+i·）∈ L（R）是黑猩猩的假设。1保持。

使用肯德尔恒等式和pxt（x）=αβsΓ（βt）（sd）-y） βs-1e-α（sd）-y） {y<sd}，x∈ R、 t>0，我们有p{t+y>t}=yZ（t，∞)sαβsΓ（βs）{y<sd}（sd-y） βs-1e-α（sd）-y） ds，y>0，t>0。因此，通过Fubini定理和一些计算，我们可以证明z（0，∞)P{Mt≤y} π(-dy）=Z（0，∞)P{T+y>T}∏(-dy）=Z（0，∞)yZ（t，∞)sαβsΓ（βs）{y<sd}（sd-y） βs-1e-α（sd）-y） dsβe-αyydy=（dα）βsZ（t，∞)Γ（βs）sβs-2e-αSDD。使用定理5。1，一个结论-qηb]=e-qb（dα）βsR（b，∞)sβs-2e-αsdΓ（βs）dsq+（dα）βsR（0，b）qe-qtdtR（t，∞)sβs-2e-αsdΓ（βs）ds+e-qb（dα）βsR（b，∞)sβs-2e-αsdΓ（βs）ds。例6.4。考虑由xt=ut+σWt+N+tXi=1J+i给出的Kou跳跃扩散模型-N-tXj=1J-j、 26 D.兰德里奥、B.李和H.张∈ R、 σ>0，N±是两个独立的泊松过程，到达率λ±>0，J±是一系列i.i.d.指数分布的随机变量，平均值为1/η±>0。其拉普拉斯指数由ψ（s）=σs+us+λ给出-η-η-+ s-1.+ λ+η+η+-s-1., s∈ (-η-, η+).根据Asmussen等人[1]的推论1和Kyprianou[20]的第6.5.4节，已知上升梯高度的拉普拉斯指数由κ（α，β）=（β+ρ1，α）（β+ρ2，α）（β+η+，α，β）给出≥其中ρ1，α和ρ2，α（ρ1，α<η+<ρ2，α）是ψ（s）=α的两个不同的非负解。根据注释4。1，5.2和定理5.2，得到[e]-qηb]=e-qb′νL（b）+ρ1,0ρ2,0η+R（0，b）qe-qt′νL（t）dt+e-qb′νL（b）+ρ1,0ρ2,0η+。附录以下结果来自Kallenberg[17]的定理5.22。定理A.1（扩展连续性定理）。让我们，让我们。具有特征函数μn（t）的关系数据库的概率测度→ 对于每一个t，都要有针对性地∈ Rd，其中极限φ在0处连续。然后，对于RDN中的某个概率度量，un弱地收敛到u，且^u=u。相应的语句适用于Rd+上测量的拉普拉斯变换。提议A.1。

设{un}n∈Nbe对[0，∞) 用拉普拉斯变换^un（s）=ZR+e-syun（dy），代表n∈ N和s≥ 0.假设limn→∞^un（s）=对于所有s≥ 其中φ（·）是[0]上的正连续函数，∞). 然后un弱收敛到uas n→ ∞,对于[0]上的某些有限测量值u，∞), ^u=^。证据自从limn→∞^un（0）=^（0）>0，我们可以考虑一系列概率度量νn（dy）：=un（dy）^un（0）-1.根据我们的假设，很容易看出→∞^νn（s）=^（s）^（0）-1，它是0处的连续函数。根据理论。1，我们得出结论{νn}n∈nweaklyconverge到[0]上的某个概率测度v，∞) 带^v（·）=^（·）^（0）-1.因此，通过设置u（·）：=v（·）~n（0），我们可以看到un弱收敛到uas n→∞ ^u=^。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间，27参考文献[1]阿斯穆森，S.，阿夫拉姆，F.和皮斯托留斯，M.R.（2004）。指数阶段型L’evy模型下的俄罗斯和美国期权。随机过程。阿普尔。109 79–111.MR2024845[2]Avram，F.，Kyprianou，A.E.和Pistorius，M.R.（2004）。光谱负L’evy过程的退出问题以及（加拿大化）俄罗斯选项的应用。安。阿普尔。Probab。14 215–238.MR2023021[3]Avram，F.，Palmowski，Z.and Pistorius，M.R.（2007）。关于谱负L′evy过程的最优红利问题。安。阿普尔。Probab。17 156–180.MR2292583[4]Bertoin，J.（1996）。列维进程。剑桥数学教程121。剑桥：剑桥大学出版社。MR1406564[5]卡尔，P.，张，H.和Hadjiliadis，O.（2011）。最高支取保险。Int.J.理论。阿普尔。财务部14195–1230。MR2881003[6]Chaumont，L.（2013）。关于L’evy过程的上确界定律。安。Probab。411191–1217.MR3098676[7]Chaumont，L.和Ma lecki，J.（2013）。L′evy过程上半群密度的渐近行为。预印本。[8] Chekhlov，A.，Uryasev，S.和Zabarankin，M。

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