关于L\'{e}vy模型的下降幅度、渐近性和持续时间

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英文标题：
《On magnitude, asymptotics and duration of drawdowns for L\\\'{e}vy models》
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作者：
David Landriault, Bin Li, Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper considers magnitude, asymptotics and duration of drawdowns for some L\\\'{e}vy processes. First, we revisit some existing results on the magnitude of drawdowns for spectrally negative L\\\'{e}vy processes using an approximation approach. For any spectrally negative L\\\'{e}vy process whose scale functions are well-behaved at $0+$, we then study the asymptotics of drawdown quantities when the threshold of drawdown magnitude approaches zero. We also show that such asymptotics is robust to perturbations of additional positive compound Poisson jumps. Finally, thanks to the asymptotic results and some recent works on the running maximum of L\\\'{e}vy processes, we derive the law of duration of drawdowns for a large class of L\\\'{e}vy processes (with a general spectrally negative part plus a positive compound Poisson structure). The duration of drawdowns is also known as the \"Time to Recover\" (TTR) the historical maximum, which is a widely used performance measure in the fund management industry. We find that the law of duration of drawdowns qualitatively depends on the path type of the spectrally negative component of the underlying L\\\'{e}vy process.
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中文摘要：
本文研究了一些L\\\'{e}vy过程的下降幅度、渐近性和持续时间。首先，我们使用近似方法重新讨论了关于光谱负L\\{e}vy过程下降幅度的一些现有结果。对于任何标度函数在$0+$下表现良好的谱负L\\\'{e}vy过程，我们研究了下降量阈值接近零时下降量的渐近性。我们还证明了这种渐近性对额外的正复合泊松跳的扰动是鲁棒的。最后，由于L\\\'{e}vy过程的渐近结果和最近关于运行极大值的一些工作，我们导出了一大类L\\\'{e}vy过程（具有一般的谱负部分加上正的复合泊松结构）的下降持续时间定律。提取期限也称为“恢复时间”（TTR），即历史最大值，这是基金管理行业广泛使用的绩效指标。我们发现，下降持续时间的规律定性地取决于潜在L\\\'{e}vy过程的光谱负分量的路径类型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_magnitude,_asymptotics_and_duration_of_drawdowns_for_Lévy_models.pdf (354.01 KB)

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关键词：持续时间 Mathematical Perturbation Quantitative Applications

Bernoulli 23（1），2017，432–458DOI:10.3150/15-BEJ748关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间David LANDRIAULT1，*，BIN LI1，**和张洪忠加拿大滑铁卢大学统计和精算学系，滑铁卢，安大略省N2L3G1。电子邮件：*dlandria@uwaterloo.ca;**箱子li@uwaterloo.caDepartment美国纽约州纽约哥伦比亚大学统计局，邮编10027。电子邮件：hzhang@stat.columbia.eduThis本文考虑了一些L’evy过程的下降幅度、渐近性和持续时间。首先，我们使用近似方法重新讨论了关于谱负L’evy过程下降幅度的一些现有结果。对于任何标度函数在0+时表现良好的谱负L′evyprocess，我们研究了当下降幅度阈值接近0时下降量的渐近性。我们还证明了这种渐近性对附加正复合泊松跳的扰动是鲁棒的。最后，由于渐近结果和最近一些关于L’ev过程运行最大值的工作，我们导出了一大类L’evy过程（具有一般的谱负部分加上正的复合泊松结构）的下降持续时间定律。提取期限也称为“恢复时间”（TTR），即历史最大值，是基金管理行业广泛使用的业绩指标。我们发现，提款持续时间的规律在性质上取决于潜在L’evy过程的光谱负成分的路径类型。关键词：渐近性；缩编；期间列维过程；巨大巴黎停车时间1。简介提款与投资者在市场高峰期的持续亏损有关。它是基金管理行业最常被引用的下行风险指数之一。

提款量出现在业绩指标中，如卡尔玛比率、英镑比率、伯克比率等；例如，请参见Schuhmacher和Eling[34]，以获取此类基于缩减的性能度量的集合。此外，提款问题在各种研究领域引起了相当大的理论和实践兴趣，包括概率、财务、风险管理和统计学；请参阅第1.1节，了解简要的文献综述。这是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2017年，第23卷，第1432-458号。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2017 ISI/BS2 D.Landriault，B.Li和H.Zhang在本文中，我们考虑了一维L’evy过程X={Xt，t≥0}定义于(Ohm, F、 F={Ft，t≥0}，P），满足通常条件的过滤概率空间。X的提取过程定义为asYt=Mt-Xt，t≥ 0，其中Mt=sup0≤U≤TxU是时间t时X的运行最大值（历史峰值）。设τa=inf{t≥0:Yt>a}，这是水位下降幅度首次超过预先规定的阈值a>0。考虑到（max0≤s≤tYs>a）=（τa<t）P-a.s.，最大水位下降幅度的分布研究相当于停止时间τa的研究。然而，从风险管理的角度来看，水位下降幅度本身不足以提供极端水位下降风险的综合风险评估。例如，对于龙卷风和洪水等极端风险，自然也要调查水位下降的频率和持续时间。Landriault等人[22]最近研究了布朗运动过程的下降频率，根据历史运行最大值是否重置，确定了两种类型的下降时间序列。

在本文中，我们将考虑提款的持续时间，也被称为“恢复时间”（TTR），这是基金管理行业的历史最高运行时间。从数学上讲，随机过程的下降持续时间可以被认为是从其运行最大值开始的偏移长度。对于t≥0，设Gt:=sup{0≤s≤t:Ys=0}是在t之前或t时，过程Y最后一次处于0级（或相当于X=M）。因此，t时的下降持续时间为t-Gt。然后我们定义一个停止时间ηb=inf{t≥ b:t-燃气轮机≥b} ，（1.1）这是首次提款持续时间超过预先规定的时间阈值b>0。等效地，事件（ηb>t）意味着时间t之前的最大下降持续时间比b短。停止时间ηbis与所谓的巴黎时间有关，这是第一次从固定的空间水平（而不是其运行最大值）偏移的长度超过预先规定的时间阈值；例如，参见Chesney等人[9]和Czarna and Palmowski[11]。此外，Loe ffen等人[26]提供了一个统一的证据，以推导出在有限时间范围内（在精算学中称为Parisianruin概率）巴黎时间发生在光谱负L’evy过程中的概率。请注意，与巴黎时间相比，停止时间ηbis几乎肯定是有限的（例如，Bertoin[4]第105页），这促使我们在本文中研究ηbin的拉普拉斯变换（LT）。另一个相关概念是所谓的保险盈余过程的红色周期；参见Kyprianou和Palmowski[21]。红色周期对应于保险盈余过程在破产时恢复其损失所需的时间长度。但它不同于ηb的分布研究，尤其是当X没有负跳跃（例如布朗运动）时。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间31.1。

泰勒[36]首先导出了布朗运动过程中τa和Mτa的联合拉普拉斯变换。后来，Lehoczky[24]将其推广到时间均匀扩散过程。Douady等人[13]和Magdon等人[28]分别推导了标准布朗运动和漂移布朗运动的τa分布的有限级数展开式。对于谱负L’evy过程，Mijatovi’c和Pistorius[29]获得了τa的联合拉普拉斯变换和从Mτaprior到τa的最后通过时间的一般六元组公式，以及运行最大值、运行最小值和Y在τa的超调量的联合分布。此外，关于下降、上升、，从运行的最小值开始测量底层流程的价值增加；例如，参见Pistorius[30]、Hadjiliadis和Veˇceˇr[16]、Pospisil等人[32]以及Zhang和Hadjiliadis[38,39]。在财务和风险管理方面，研究人员在评估、管理和降低提款风险方面投入了大量精力。例如，格罗斯曼和周[15]研究了一个受提取约束的投资组合选择问题。Cvitanic和Karatzas[10]将讨论扩展到了多个资产。Chekhlov等人[8]提出了一系列新的风险度量，并研究了新度量下的参数选择和组合优化问题。Pospisil和Veˇceˇr[31]发明了一种新的灰色分类，用于检查投资组合对提款的敏感性。Carr等人[5]设计了一些欧洲风格的数字提款保险合同，并提出了使用障碍期权和普通期权的半静态对冲策略。最近关于提款保险的其他工作还有Zhang等人。

[37,40]等。此外，金融和保险领域的一些先验无关问题也与提款问题密切相关。例如，俄罗斯期权的定价（例如Shepp和Shiryaev[35]、Asmussen等人[1]和Avram等人[2]）以及带有“反射障碍”的最优股息模型（例如Avram等人[3]、Kyprianou和Palmowski[21]以及Loe ff en[27]）是两个常见的例子。1.2. 目标和结构在本文中，我们首先本着莱霍茨基[24]的精神开发了一种近似技术，以通过基本函数恒等式重新审视关于光谱负L’evy过程下降幅度的几个已知LT结果。第二，作为下降幅度a的阈值↓ 0时，我们检查了这些LTs的渐近行为，对于任何标度函数在0+时表现良好的谱负L′evy过程（见下面的假设4.1）。我们还证明了这种渐近性对于任意正复合泊松跳的扰动是鲁棒的，从而得到了一类具有双边跳的L'evy模型的下降估计的渐近性。最后，我们通过ηb的LT来研究水位下降的持续时间。首先，我们开发了ηb的LT的近似方案。为了获得一个明确的极限，我们将问题转化为运行中的最大过程M的密度的行为，以及水位下降过程Y的一些潜在度量的收敛性D.Landriault，B.Li和H.Zhang。由于获得的渐近结果和最近关于L’evy过程的运行极大值分布的一些工作（例如，Chaumont[6]，Chaumont和Ma lecki[7]，以及Kwa’snicki等人）。

[19] 对于一类具有双边跳跃的L’evy过程（一般的谱负部分加上正的复合泊松结构），我们得到了升梯时间过程右尾的ηbin项定律。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们回顾了谱负L’evy过程的标度函数和一般L’evy过程的升梯过程。在第3节中，我们基于近似方法重新讨论了一些已知的关于光谱负L’evy过程下降幅度的LT结果。第4节研究了这些LTs在小阈值下的渐近行为，我们还研究了存在正复合泊松跳时的渐近行为。在第5节中，我们推导了一大类具有双边泵的L’evy过程的ηbis的LT。第6节给出了一些明确的例子。为了完备性，附录中给出了关于扩展连续性定理的一些结果。2.初步介绍在本节中，我们简要介绍了L’evy工艺的一些初步结果。读者可以参考Bertoin[4]和Kyprianou[20]了解更详细的背景。为了便于记法，在本文中，我们让R=(-∞, ∞), R+=[0，∞) andH+={s∈ C:Re（s）≥ 0}. 我们用X=X表示L’evy过程的定律∈ R.为简洁起见，我们写P=P。实数u，v的最小值用u表示∧ v=min{u，v}。对于（0）上的函数f（·），∞) 还有x∈ [0, ∞], 我们写f（x）=o（g（x））asx→ 对于正函数g（·）如果limx→xf（x）/g（x）=0.2.1。谱负L’evy过程和尺度函数考虑谱负L’evy过程X={Xt，t≥ 0}. 在整篇论文中，我们假设| X |不是从属项，因此0是（0）的正则项，∞) （参见Kyprianou[20]的定义6.4和定理6.5，了解正则性的定义和等效特征）。

X的拉普拉斯指数由ψ（s）：=tlog E[esXt]=-us+σs+Z(-∞,0）（esx-1.-sx1{x>-1} /（dx），（2.1）每s∈ H+。给，先生≥0，并且在(-∞, 0）带Z(-∞,0）（1∧x） π（dx）<∞.关于L’evy模型5的下降幅度、渐近性和持续时间，已知X具有有界变化路径当且仅当ifR(-1,0）|x |∏（dx）<∞σ=0。在这种情况下，我们可以将（2.1）改写为ψ（s）=sd+Z(-∞,0）（esx-1） π（dx），s≥ 0，（2.2）其中漂移d=-u+R(-1,0）|x |∏（dx）>0，因为|x |不是从属关系。不管怎样≥ 方程ψ（s）=q至少有一个正解，我们用Φ（q）表示最大的一个。众所周知{ecXt-ψ（c）t，t≥ 0}是任意c的鞅≥ 0.这导致测量的PCDP发生变化Ft=ecXt-ψ（c）t，t≥ 0.（2.3）在新的测度Pc下，X仍然是一个谱负的L′evy过程，其拉普拉斯指数由ψc（s）=ψ（s+c）给出-ψ（c）对所有s∈这样s+C∈ H+。任何问题≥ 0，q-标度函数W（q）：r7→[0, ∞) 是唯一支持的函数（0，∞) 用拉普拉斯变换Z（0，∞)E-sxW（q）（x）dx=ψ（s）-q、 s>Φ（q）。已知W（q）是连续的，并且在（0）上增加，∞). 此后，我们假设跃迁测度∏（dx）没有原子，那么W（q）∈ C（0，∞) （例如，库兹涅佐夫等人[18]的引理2.4）。此外，如果高斯系数σ>0，那么w（q）∈ C（0，∞) 尽管如此，q≥ 0（例如库兹涅佐夫等人[18]的定理3.10）。q-标度函数W（q）与频谱负L′evy过程X关于formT第一次通过时间的出口问题密切相关+(-)x=inf{t≥ 0:Xt≥(≤)x} ，x∈R.给出了谱负L’evy过程的两个众所周知的函数恒等式（例如，Kyprianou[20]，定理8.1）。

问≥0和0≤十、≤ a、 我们有-qT+a{T+a<T-}] =W（q）（x）W（q）（a）（2.4）安第斯山脉[e]-qT-{T-<T+a}]=Z（q）（x）-Z（q）（a）W（q）（x）W（q）（a），（2.5），其中Z（q）（x）=1+qRxW（q）（y）dy。下面的引理给出了0+和∞; 例如，参见库兹涅佐夫等人[18]的引理3.1和3.2。关系式（2.6）来自Egamiet al.[14]的（3.13）。6 D.Landriault，B.Li和H.ZhangLemma 2.1。任何问题≥ 0，W（q）（0+）=如果σ>0或(-1,0）|x |∏（dx）=∞ （无界变化），d，否则（有界变化），W（q）′（0+）=σ、 如果σ>0，∞, 如果σ=0且∏(-∞, 0) = ∞,q+π(-∞, 0）d，如果σ=0且∏(-∞, 0) < ∞,安德利姆→∞W（q）′（x）W（q）（x）=Φ（q）。(2.6)2.2. 一般L’evy过程的升梯过程在这一小节中，我们考虑一般L’evy过程X={Xt，t≥ 0}以其特征指数ψ（s）为特征：-tlog E[eisXt]=ius+σs+ZR\\{0}（1-eisx+isx1{| x |<1}）π（dx），（2.7）适用于所有s∈R.如果X有界变差，我们可以将（2.7）改写为ψ（s）=-isd+ZR\\{0}（1-eisx）π（dx），（2.8），其中漂移d:=-u -R0<| x |<1x∏（dx）。X在其运行最大值时的本地时间，用L={Lt，t表示≥ 0}，是一个连续的、非递减的、R+值的过程。

逆本地时间过程，也称为上升阶梯时间过程，定义为L-1={L-1t，t≥ 0}其中-1t:=inf{s>0:Ls>t}，如果t<L∞,∞, 否则阶梯高度过程H={Ht，t≥0}定义为：=特大号-1t，如果t<L∞,∞, 否则当地时间倒数-1对应于达到新最大值的实际时间，上升梯高度过程H对应于新最大值的集合。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间-1，H）={（L）-1t，Ht），t≥ 0}被称为X的上升阶梯过程，是一个具有联合拉普拉斯变换[e]的二维（可能是死的）从属过程-αL-1t-βHt{t<L∞}] = E-κ（α，β）t，α，β≥联合拉普拉斯指数由κ（α，β）=κ（0，0）+αdL+βdH+Z（0，∞)(1 -E-αx-βy）∧（dx，dy），α，β≥0，（2.9）其中（dL，dH）∈ R+和∧是（0，∞)令人满意的Z（0，∞)(1 ∧px+y）∧（dx，dy）<∞.当我-1和H是独立的，∧的形式为∧（dx，dy）=∧L（dx）δ（dy）+x，y的∧H（dy）δ（dx）≥ 0.特别是，如果X是一个光谱负的L’evy过程，可以选择Lt=Mt，这意味着L-1t=T+T，Ht=XT+T=T在{T<L∞}, 进一步的κ（α，β）=Φ（α）+β。通过在（2.9）中取β=0，我们得到了上升阶梯时间过程的拉普拉斯指数，-t日志E[E]-αL-1t{t<L∞}] = κ（α，0）=κ（0，0）+αdL+Z（0，∞)(1 -E-αx）νL（dx），α≥ 式中，νL（dx）=∧（dx，（0，∞)) 是L的跳跃度量-1.通过部分积分得出κ（α，0）-κ(0, 0) = αdL+Z（0，∞)E-αx′νL（x）dx, α ≥ 0，（2.10）式中|L（x）：=νL（x，∞).与阶梯高度过程h相关的更新函数h为定义灰（x）：=Z（0，∞)P{Ht≤x} dt，x≥ 0.（2.11）当X是光谱负的L′evy过程时，很容易看出h（X）=R（0，X）e-x的Φ（0）Tdtf≥ 0