去趋势波动分析可灵活检测波动范围

结果时间序列的长度为1048576，其值属于区间（0.01100）。为了准备顶部面板。8（a）（b），我们修改这两个时间序列的方式是，如果原始值不超过x=1.25的阈值，我们保留原始值，并将高于该阈值的值随机化。然后，我们创建经过修改的时间序列的副本，如果它们的值低于x=0.15，则再次对其进行随机分组。通过这样做，我们得到了两对信号：（i）一对没有最大函数的信号，（ii）一对没有最大最小函数的信号。现在我们比较为这些对计算的系数ρq（s）。首先，我们来看ρ（s）（黑色实线）。在两个顶部面板中，我们发现ρ（s）与s<10的标度的一致性存在显著差异，这表明在整个波动幅度中，互相关并不一致。然而，仅仅基于q=2，我们无法决定性地说明哪些函数对应于这种降低的相关性。关于面板（a）和（b）之间的比较，中标度（10）的ρ（s）存在一些明显差异≤ s≤ 10） ，但我们同样无法确定这种差异的根源是什么。现在让我们包括q6=2。对于q=4，两个面板中的ρq（s）值甚至比q=2的对应值更小，对于最小的标度s<10，这一点尤其明显。相反的关系见q=0.25，其中ρ0.25（s）比ρ（s）大得多。这意味着，通过增加q，我们可以得到ρq（s）的减少，这可以正确地解释为两对信号中最大波动的不相关行为的表现。如果我们比较q=0.25和q=-1.我们意识到，在（a）中，它们比在（b）中系统地大。偶数forq=-2.ρ的不稳定性-2（s）表明缺乏相互关联。

所有这一切都意味着（b）中的小函数比（a）中的小函数具有较弱的互相关，这正是两种情况下信号构造的预期结果。接下来，我们再次使用由二进制MSM模型生成的时间序列。我们将振幅中间范围内的波动随机化：0.25<x<0.75，这是两种情况下最常见的波动-0.50.5q=4q=2q=0.25q=-1q=-2秒-1.-0.50.5q=4q=2q=-1q=-4soriginal 0.15≤ 十、≤ 1.25x<0.15，x>1.25x≥ 0.75x<0.75x≤ 1.25X>1.25X≤ 0.25，x≥ 0.75随机0.25<x<0.75（a）（c）（b）（d）图8：（彩色在线）根据k=20和Mj（i）=[1.25,0.75]（第1级）或Mj（i）=[1.2,0.8]（第2级）的二元马尔科夫开关多重分形（MSM）模型计算的一对时间序列的qDCCA系数ρq（s）。q的不同值用不同的线表示。q=2的情况对应于标准DCCA系数ρDCCA。（顶部）ρq（s）（a）具有大振幅x>1.25随机波动的一对时间序列，以及（b）具有大振幅x>1.25随机波动和小振幅x<0.15随机波动的一对时间序列。（底部）ρq（s）（c）中振幅为0.25<x<0.75的随机波动的一对时间序列，以及（d）中振幅为x<0.75的随机波动的一对时间序列。为了清晰起见，不区分ρq（s）的输入值。时间序列，因此只有小的和大的波动保持相互关联。这对信号的结果如图8（c）所示。每次创建序列的副本，现在小的变化是额外随机化的主题。因此，我们得到了第二对时间序列，其中只有仍然互相关的大波动（图8（d））。

这些对之间的差异在于（c）和（d）小振幅波动之间的互相关。一方面，对于q=2和q=4，我们没有观察到（c）和（d）之间的ρq（s）有任何差异，因为它们在两个面板中接近统一。另一方面，q的ρq（s）值=-1和q=-对于（d）中的小s，4明显小于（c）。综上所述，我们可以正确地得出结论，两个信号对在大函数中是互相关的，在小函数中是不相关的。必须强调的是，如果我们将分析局限于ρDCCA的q=2病例，就不可能得出这个结论。（其他比较分析可以揭示中振幅波动的不相关特征，但在本例中，这种振幅范围超出了我们的兴趣。）四、 经验数据金融数据在不同的时间尺度[12,45,64]之间相互关联，因此它可以作为一个合适的主题来展示QDCCA系数的实际应用。我们从两个大型金融市场中选择数据：以纽约证券交易所（NYSE）或纳斯达克交易的股票为代表的美国股票市场和作为全球市场的外汇交易市场（Forex）。在前一个案例中，我们的数据集包括1998-99年间美国100家最大公司的股票价格的高频记录。对于每个考虑的股票i，相应的时间序列表示对数价格增量（收益）ri（t，t） =对数Pi（t+（t）- 以固定时间间隔采样的对数Pi（t）t=5分钟。该时间序列的长度为t=40638个数据点。两对股票的样本结果：（a）微软-英特尔和微软-图中显示了3M。

9，并根据交叉相关性是随机的零假设（100个独立替代物实现的标准偏差）进行测试。问≤ -2与小波动相对应，任何一对股票之间没有统计上的显著相关性。然而，从q=-1up至高正qs。我们可以在这里看到，即使是ifa，绝大多数ρq（s）值最初也大于1（参见代表q=-1） ，只要函数ρq（s）在某些尺度范围内近似稳定（即没有强的波动），就可以认为互相关是真实的。有趣的是，如果一个人从小的正qs到更大的qs，就会注意到互相关的减弱。这可能被解释为一个事实的表现，即最相互关联的波动是中等振幅的波动，而最大的波动在股票之间的相关性较小。有人推断，在这两个例子中，系数ρq（s）在小尺度下更大，在大尺度下更小。然而，不同股票（未显示）的选择可能正好相反，因此这里没有规律性。通过查看图9的两个部分，我们可以看到它们之间有一个重要的区别：代表相互关联的工业部门（微软）的股票的相关性更强（ρq（s）值更大）-英特尔，图9（a）），而它们对来自无关行业（微软）的股票表现疲软-3图。9（b））。这是一种可以从FIG中学到的系统性影响。

10，其中考虑了三组股票对，代表公司之间不同水平的行业相似性：（i）对应于不同行业部门的股票，（ii）代表相同行业但不同子部门的股票，以及（iii）对应于相同子部门的股票（根据[63]）。显然，这里的相似性水平增加了-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3.-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。9：（彩色在线）为代表股票价格对数收益率的两对时间序列计算的qDCCA系数ρq（s）用t=5分钟频率。（上图）来自同一行业的两支股票：微软和英特尔。（底部）来自不同行业的两支股票：微软和3M。两对的每个面板都显示了为不同的q值（重黑线）计算的ρq（s），以及从100个独立的shu-Frienge替代数据实现中获得的平均hρq（s）i和标准偏差σρ（q，s）（带误差条的蓝色/灰色细线）。q<0时ρq（s）的转换值用圆圈表示。-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。10：（彩色在线）我计算的股票对的平均qDCCA系数ρq（s）分为三组：代表不同工业部门的股票（纯黑）、代表相同部门但不同子部门的股票（红色虚线/灰色虚线）和代表相同子部门的股票（绿色虚线/灰色虚线）。点线表示零相关水平。逐渐从（i）到（iii）。我们计算每个股票的ρq（s）（总共4950对：第（i）部分4218对，第（ii）部分548对，第（iii）部分184对），然后对每组股票上获得的函数进行平均。无花果

10.确认如果两对由行业相似性增加的股票组成，则hρq（s）i的值系统地增加。值得一提的是，导致ρq（s）非零值的相关性是非线性的。我们从无效假设的失败测试中推断出这一点，即具有相同皮尔逊自相关函数的模拟信号可以重现ρq（s）函数。图11记录了该测试的结果，表明平均而言，傅里叶相位压缩导致ρqis敏感的相关性完全破坏（与图9（a）相比）。这对于正qs尤其明显，对于正qs，从100个独立的替代物实现中获得的标准偏差σρ（q，s）相对较小，尤其是对于中小尺度s。对于大尺度，MFDFA和MFCCA程序在去趋势方面的效率较低（在这种情况下，相关的多项式次数m=2太低），这会产生图11中观察到的hρq（s）i的非零偏差。-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。11：（在线彩色）为微软计算的平均qDCCA系数ρq（s）i及其标准偏差σρ（q，s）-将原始信号的傅里叶相位随机化后的英特尔对（与图9（上图）相同），这破坏了除皮尔逊自相关函数外的所有统计相关性。使用了100种独立实现的此类干扰数据（带误差条的蓝色/灰色细线）。第二个实证例子来自外汇。我们考虑高频(t=1分钟）2004-2008年间记录的一组主要货币之间汇率的对数回报。图12显示了对应于美元/欧元和英镑/美元汇率的两个时间序列的ρq（s）。

由于欧元和英镑正相关（均为欧盟国家使用的货币），且美元出现在汇率的分子和二级汇率的分母中，因此这些时间序列揭示了其去趋势波动的负相关。对于q=-1和q=1，而如果我们在两个方向上偏离这些值，它们的强度会降低。在图12最上面的面板中可以看到，对于Q<-2在统计学上有显著的迹象表明，大样本的真实交叉相关性（如果与标准偏差的替代品相比较）。我们从这些结果推断，外汇数据最强烈的互相关函数是中值。大振幅的波动相对较弱，但仍然存在实质性的相互关联，即使是小振幅的波动也表明了这一点-0.50.5-0.50.5-0.50.5s-1.-0.50.5sq=-4q=-2q=1q=3Q=4q=2q=-1q=-3图。12：（彩色在线）为一对时间序列计算的qDCCA系数ρq（s），代表美元/欧元和英镑/美元汇率的收益率，用t=1分钟频率。每个面板显示为不同值（重黑线）计算的ρq（s），以及平均hρq（s）和标准偏差σρ（q，s），从100个独立的替代数据实现中获得（带误差条的淡蓝色/灰色线）。q<0时ρq（s）的倒数值用圆圈表示。弱互相关（不同于图9中股市的不相关对应项）。V.Summary我们提出了一种新的时间序列对之间多尺度去趋势互相关的测量方法，称为qDCCA系数。这个系数实际上形成了一系列函数ρq（s），它们依赖于指数q和时间尺度s。

与多重分形、q相关的函数一样，通过改变q值，我们可以放大具有特定振幅的函数：例如，q的小函数<< 0或q的大值>> 0，并研究这些函数之间的互相关结构。ρqfor q=2的特殊情况对应于文献[45]中已知的dca系数ρdca，因此从这个角度来看，可以将ρqc系数视为其推广。问≥ 0，ρqis的解释很简单，因为其值限定在以下范围内：-1.≤ ρq≤ 1：ρq=1的最大值意味着研究中两个信号的相应去趋势函数显示出完全相同的相关结构，ρq=-1表示这些函数完全相关，ρq=0表示它们相互独立。另一方面，对于q<0，系数ρq可假设任意大的值，这可能会导致解释问题，但如果两个信号的去趋势波动不相关，则可能会发生这种情况。知道了这一点，我们可能会关心在这种情况下ρqin的精确值。出于实际原因，我们通过将原始值|ρq |>1替换为它们的反转来克服这个问题，从而迫使它们进入正常区间h-1，1i。在没有相关性的情况下，函数ρq（s）的过程变得非常不稳定，其值也会发生剧烈的变化。因此，这种效应可以作为信号独立性的光学指示。相比之下，如果信号函数是互相关的，即使q<0，即使|ρq（s）|的原始值略微超过1，我们也可以获得基本稳定的ρq（s）行为。因此，在这种情况下，缺少ρq（s）及其非零值的波动可以表明存在互相关。

所有这些都意味着系数ρqi家族是多尺度去趋势互相关分析的一个良好工具。显然，由于对q<0的结果的解释要求更高，人们可能会限制对q的分析≥ 0的情况下，但这相当于忽略了小函数的交叉相关结构，所以我们不建议这样做。为了说明这一新度量的性能，我们将其应用于几个代表长记忆过程的选定数据集：ARFIMA和Markovswitching多重分形。我们表明，ρQI能够正确识别标准DCCA互相关系数ρDCCAA检测到的特定互相关，并且能够区分在不同振幅范围内去趋势的过程- ρDCCA不可行的任务。我们还根据金融市场的样本经验数据进行了ρQ分析，发现这些数据之间的去趋势交叉相关性也取决于扭曲振幅。对于更全面的相关分析来说，直接且可能富有成效的方法是，为更大的多变量数据集形成传统相关矩阵的q依赖对应项，并研究其光谱特性，因为这在标准相关矩阵分析中很常见。通过进一步朝这个方向前进，我们还可以考虑构造q相关图。另一方面，一种平行的方法是定义DMCA系数ρDMCA[50]的广义版本，与我们的方法完全类似。[1] T.Mikosch，C.Starica，Rev。经济部。《统计》第86378页（2004年）。[2] K.E.Bassler，J.L.McCauley，G.H.Gunaratne，Proc。纳特尔。阿卡德。Sci。美国10417287（2007）。[3] A.R.Pagan，J.计量经济学45267（2002）。[4] T.A.施密特，D.切塔洛娃，R.Sch–afer，T。

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