去趋势波动分析可灵活检测波动范围

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英文标题：
《Detrended fluctuation analysis made flexible to detect range of
  cross-correlated fluctuations》
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作者：
Jaroslaw Kwapien, Pawel Oswiecimka, Stanislaw Drozdz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The detrended cross-correlation coefficient $\\rho_{\\rm DCCA}$ has recently been proposed to quantify the strength of cross-correlations on different temporal scales in bivariate, non-stationary time series. It is based on the detrended cross-correlation and detrended fluctuation analyses (DCCA and DFA, respectively) and can be viewed as an analogue of the Pearson coefficient in the case of the fluctuation analysis. The coefficient $\\rho_{\\rm DCCA}$ works well in many practical situations but by construction its applicability is limited to detection of whether two signals are generally cross-correlated, without possibility to obtain information on the amplitude of fluctuations that are responsible for those cross-correlations. In order to introduce some related flexibility, here we propose an extension of $\\rho_{\\rm DCCA}$ that exploits the multifractal versions of DFA and DCCA: MFDFA and MFCCA, respectively. The resulting new coefficient $\\rho_q$ not only is able to quantify the strength of correlations, but also it allows one to identify the range of detrended fluctuation amplitudes that are correlated in two signals under study. We show how the coefficient $\\rho_q$ works in practical situations by applying it to stochastic time series representing processes with long memory: autoregressive and multiplicative ones. Such processes are often used to model signals recorded from complex systems and complex physical phenomena like turbulence, so we are convinced that this new measure can successfully be applied in time series analysis. In particular, we present an example of such application to highly complex empirical data from financial markets. The present formulation can straightforwardly be extended to multivariate data in terms of the $q$-dependent counterpart of the correlation matrices and then to the network representation.
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中文摘要：
最近提出了去趋势互相关系数$\\rho_{\\rm DCCA}$来量化二元非平稳时间序列中不同时间尺度上的互相关强度。它基于去趋势互相关分析和去趋势波动分析（分别为DCCA和DFA），在波动分析中可被视为皮尔逊系数的类似物。系数$\\rho_{\\rm DCCA}$在许多实际情况下运行良好，但通过构造，其适用性仅限于检测两个信号是否通常互相关，而不可能获得有关导致这些互相关的波动幅度的信息。为了引入一些相关的灵活性，这里我们提出了$\\rho_{\\rm DCCA}$的扩展，它分别利用了DFA和DCCA的多重分形版本：MFDFA和MFCCA。由此产生的新系数$\\rho_q$不仅能够量化相关性的强度，而且还可以识别研究中两个信号中相关的去趋势波动幅度范围。通过将系数$\\rho_q$应用于表示长记忆过程的随机时间序列，我们展示了它在实际情况下是如何工作的：自回归和乘法过程。这类过程通常用于模拟复杂系统和复杂物理现象（如湍流）记录的信号，因此我们相信这种新方法可以成功地应用于时间序列分析。特别是，我们给出了一个应用于金融市场高度复杂的经验数据的例子。目前的公式可以直接扩展到多元数据，即相关矩阵的$q$依赖对应项，然后扩展到网络表示。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Detrended_fluctuation_analysis_made_flexible_to_detect_range_of_cross-correlated.pdf (777.92 KB)

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关键词：去趋势 correlations respectively Fluctuations Construction

Detrended fluction analysis可灵活地检测交叉相关fluction的范围Jaros law Kwapie\'n、Pawe l O\'swi,ecimka和Stanis law Dro˙zd˙z1，波兰克拉科夫科学院核物理研究所，克拉科夫克拉科夫理工大学波兰物理、数学和计算机科学学院，波兰（日期：2018年10月13日）最近提出了去趋势互相关系数ρdcca，以量化二元非平稳时间序列中不同时间尺度上的互相关强度。它基于去趋势互相关分析和去趋势波动分析（分别为DCCA和DFA），在波动分析中可被视为皮尔逊系数的类似物。系数ρdcca在许多实际情况下都能很好地发挥作用，但通过构造，其适用性仅限于检测两个信号是否通常是互相关的，而不可能获得有关导致这些互相关的波动幅度的信息。为了介绍一些相关的灵活性，我们提出了ρDCCAthat的一个扩展，分别利用DFA和DCCA的多重分形版本：MFDFA和MFCCA。由此产生的新系数ρq不仅能够量化相关性的强度，还可以识别研究中两个信号中相关的去趋势振幅范围。我们通过将系数ρqq应用于表示长记忆过程的随机时间序列（自回归和乘法），展示了它在实际情况下的工作原理。这类过程通常用于模拟复杂系统和复杂物理现象（如湍流）记录的信号，因此我们相信这种新方法可以成功地应用于时间序列分析。

特别是，我们给出了一个应用于金融市场高度复杂的经验数据的例子。目前的公式可以直接扩展到多元数据，即相关矩阵的q相关对应项，然后扩展到网络表示。PACS编号：89.75-k、 89.75。达，89.65。Gh，02.70。瑞丽。引言皮尔逊相关系数和互相关函数等标准相关测量需要平稳数据才能提供可靠的结果，这是一项在许多实际情况下很难满足的要求（财务和生理数据是这里的负面例子[1-10]）。（平稳性是指数据的概率分布函数随时间的稳定性；从这个角度来看，非平稳性既可以由长程自相关产生，也可以由pdf的重尾产生，后者使任何信号长度都有效不足。）这个问题在一定程度上可以通过用相应的去趋势函数替换原始信号来解决，也就是说，通过考虑多项式去趋势行走之间的幂律相关性，这些行走比原始数据更稳定。这种方法是在[11]中的自相关背景下引入的，因为扭曲函数分析（DFA）在许多学科的经验数据研究人员中迅速流行。

面向幂律互相关检测的DFA修正称为去趋势互相关分析（DCCA）[12]，可用于分析二元和多元经验数据[13–16]。DFA流行的原因之一是其检测信号分形特征的能力，随后扩展到多重分形情况（theMFDFA方法[17]），这也被证明在应用于经验数据[18–36]时非常有用，尤其是因为与其他方法相比，它具有更高的可靠性[37]。为了适用于具有多重分形互相关的信号，还对DCCA进行了推广，由此产生的MFDCCA/MFDXA算法[38]也引起了一些注意[39–42]。然而，这种推广引起了争议，因为在某些阶段，需要忽略去趋势协方差符号，以避免获得复杂的值，这会导致有关分析信号的信息不可避免地丢失，从而导致错误的结果[43]。最近，一种新的符号敏感的多重分形去趋势互相关分析方法消除了这一缺陷，其首字母缩略词MFCCA[43,44]比MFDCCAA更一致，是DCCA的多重分形推广（更多细节见第二节）。虽然DFA和DCCA方法被设计用于处理非平稳信号，但它们之间的关联方式与平稳数据情况下方差和协方差分析之间的关联方式完全相同。因此，通过利用这两种方法，引入了皮尔逊系数的类似物。它被称为去趋势互相关系数ρDCCA[45]，是一种工具，用于量化给定时间尺度下去趋势信号的相关性强度[45–48]。

ρdca相对于皮尔逊系数的主要优势在于能够量化非平稳信号中的相关性[49]。重要的是，所研究的信号可以是分形的，也可以是非分形的，因为ρdccai定义为单个尺度。还值得一提的是，为去趋势移动平均互相关分析（DMCA）[50]构建了一个ρdcca的对应项，但考虑到它超出了本工作的目标。通过定义，除简单协方差外，去趋势互相关系数对高阶波动统计不敏感。这意味着ρdccac的值不能表明检测到的两个信号之间的互相关是否源自所有振幅的波动，或者某个特定振幅范围是否同样可能起主导作用，而其余的波动可能相关性小得多，甚至完全不相关。人们可能很容易想象，在这种情况下，这种不敏感可以被认为是该方法的一个严重缺点。例如，假设一对信号中的每个非平稳信号都是两个过程的混合，其中一个过程在两个信号中都相关且振幅相对较小，而另一个过程对于每个信号都是唯一的且振幅相对较高。

系数ρdccad可能表明信号以某种方式相互关联，但它不会带来任何信息，使人们能够识别相互关联分量的振幅。为了避免这种不敏感，我们建议对去趋势互相关系数进行推广，使其对选定振幅范围内的相关性敏感。实现这一点的最简单方法是引入一个依赖于q的正交互相关系数ρq（q∈ R） 基于MFDFA和MFCCA[17,43]中所谓的q依赖函数FQ。这一想法基于这样一个事实：从构成一个总和的许多不同的值中，可以通过将总和中的所有值提升到某个幂（分别为高正、小正或负）来选择特定的值（例如，大值、中值或小值）。与ρDCCA一样，有效的ρqi与信号的分形特性无关，因此可以用来量化任何信号之间的互相关。由于其定义ρq旨在成为分析非平稳信号的工具，我们期望它能在自然复杂系统的经验数据研究中找到广泛的应用：物理、生物、社会、金融等。在本文的剩余部分，我们给出ρq的正式定义（第二节），举例说明如果将其应用于代表不同随机过程的计算机生成信号（第三节）和金融市场的经验数据（第四节），其工作原理，并最终给出主要结论（第五节）。二、依赖于q的去趋势交叉相关系数是去趋势函数分析及其任何类型的导数方法的基本量，是去趋势信号X，Y（Z代表X或Y）的方差（协方差）fZZ（fXY）。

让我们考虑一对时间序列x（i）i=1，。。。，Tand y（i）i=1，。。。，t将长度为s的盒子分开（即从两端开始的盒子）。去趋势程序包括在每个框中计算ν（ν=0，…，2Ms）- 1） 剩余信号X，Y等于集成信号与这些信号的第m阶多项式P（m）之间的差值：Xν（s，i）=iXj=1x（νs+j）- P（m）X，s，ν（j），（1）Yν（s，i）=iXj=1y（νs+j）- P（m）Y，s，ν（j）。（2） 在目前的工作中，我们使用m=2。框ν中X和Y的协方差和方差定义为：fXY（s，ν）=ssXi=1Xν（s，i）Yν（s，i），（3）fZZ（s，ν）=ssXi=1Zν（s，i），（4），其中Z再次表示X或Y。这些数量可用于定义q[17,43]：FqXY（s）=2Ms2Ms阶的所谓函数族-1Xν=0符号fXY（s，ν）|fXY（s，ν）|q/2，（5）FqZZ（s）=2Ms2Ms-1Xν=0fZZ（s，ν）q/2。（6） 上述对FqXY的定义保证：（i）FqXY中不会出现奇异部分（只有绝对值被提升到实数幂q/2）和（ii）通过保存协方差fXY（s，ν）的信号，在获取绝对值时不会丢失任何信息。对于q=2，上述定义简化为更简单的形式：FXY（s）=2Ms2Ms-1Xν=0fXY（s，ν），（7）FZZ（s）=2Ms2Ms-1Xν=0fZZ（s，ν）（8），可解释为大小为s的盒子的平均协方差和平均方差。在MFDFA和MFCCA中的函数的标准应用中，观察FqXY和FQZZ对量表s的依赖性，并寻找令人信服的缩放行为：[FqXY（s）]1/q~ sγ（q）和/或[FqZZ（s）]1/q~ sδ（q），表示信号的分形结构（常数函数为单分形：γ（q）=c和δ（q）=c，否则为多重分形）。等式的结构。

（3） 和（4）分别类似于理论协方差和方差，建议引入去趋势互相关系数[45]：ρDCCA（s）=FXY（s）pFXX（s）FY（s）。（9） 由于其标准化的数值范围[51]：-1.≤ρDCCA≤ 在不相关信号的情况下，ρDCCA=0，在完美互相关的情况下，ρDCCA=1，ρDCCA=-1在完全反相关的情况下，系数ρDCCA（s）可用于量化不同尺度s上扭曲信号X、Y之间的互相关强度，并比较不同信号对之间的这种强度[45]。等式的结构。（7） 和（8）表示所有框都有助于具有相同权重的函数和相关系数，无论特定框ν中的fXY（s，ν）和fzz（s，ν）有多大（或多小）。这意味着，通过单独使用系数ρDCCA，不可能观察到以特定振幅范围的波动为特征的盒子如何影响整体互相关。以下对新的依赖于q的去趋势互相关（qDCCA）系数ρq（s）的定义允许我们克服这个限制：ρq（s）=FqXY（s）pFqXX（s）FqY Y（s）（10），因为实数指数q起着各自滤波器的作用。对于q=2，我们恢复了ρDCCA的定义（9），对于q>2，fXY（s，ν）和fzz（s，ν）值较高的盒子对ρq（s）的贡献最大，而对于q<2，值相对较小的盒子对ρq（s）的贡献最大。指数q与值q=2的偏差越大，对应框中的函数对系数ρq（s）的贡献越极端。请注意，等式中没有s-依赖的形式。（5） （6）是假设的，所以研究中的信号根本不需要是分形的。问≥ 0，ρqcoe系数的值与ρDCCA的范围相同，即。，- 1.≤ ρq≤ 1.

（11） 为了证明这一点，我们对标度s进行了放大，并证明了以下Cauchy-Schwarz-like不等式：[FqXY（s）]≤ FqXX（s）FqY Y（s），q≥ 0.（12）首先，从关系式中观察：a2α+b2α≥ 2aαbα（a，b≥ 0，α>0）对于任意两个框，如下所示：fXX（s，ν）fY（s，ν）fXX（s，u）fY（s，u）α≤≤fXX（s，ν）fY（s，u）2α+fXX（s，u）fY（s，ν）2α（13）自fZZ（s，ν）≥ 现在，为了简化符号，我们暂时忽略等式（5）中的符号函数，并假设所有协方差fXY（s，ν）都是正的。然后我们从等式（12）的l.h.s.开始：[FqXY（s）]=4Ms{2Ms-1Xν=0fXY（s，ν）q/2}==4Ms2Ms-1Xν=0fXY（s，ν）q++4Ms2Ms-1Xν=02Ms-1Xu=ν+1fXY（s，ν）fXY（s，u）q/2≤≤4Ms2Ms-1Xν=0fXX（s，ν）fY（s，ν）q/2++4Ms2Ms-1Xν=02Ms-1Xu=ν+1{fXX（s，ν）fY（s，u）q/2++fXX（s，u）fY（s，ν）q/2}==4Ms2Ms-1Xν=02Ms-1Xu=0fXX（s，ν）fY（s，u）q/2==FqXX（s）FqY（s），我们利用了柯西-施瓦兹不等式：fXY（s，ν）≤ fXX（s，ν）fY（s，ν），蕴涵：|a |≤ |b|=> |a | q≤ |b | qforq≥ 0和等式（13）。一般来说，协方差fXY（s，ν）可以是负的，我们必须考虑这一事实。幸运的是，以下关系始终成立：-qFqXX(s)FqY(s)≤ -2Ms2Ms-1Xν=0 | fXY（s，ν）| q/2≤≤2Ms2Ms-1Xν=0符号fXY（s，ν）|fXY（s，ν）|q/2≤≤2Ms2Ms-1Xν=0 | fXY（s，ν）| q/2≤qFqXX（s）FqY（s），它结束了不等式（12）和（11）的证明。对于q<0的情况，情况看起来有所不同，因为隐含的| a |≤ |b|=> |a | q≤ |在这种情况下，b | QI为假。这意味着等式（10）中的分母可能比分子模小得多，ρq（s）则可以假设大的正值或大的负值：|ρq（s）|>> 1对于某些标度s，这在不相关或部分相关的信号中很明显，但与完全相关的信号不同。因此，对于q<0的ρq（s）值的解释是一个复杂的问题，将在第III.III节中进行更详细的讨论。

计算机生成信号在本节中，我们给出了新系数ρqt应用于表示不同随机过程的计算机生成时间序列的示例，其中互相关可以完全控制，然后我们讨论了这些情况下系数的性能。由于ρQI面向非平稳数据的分析，我们更喜欢使用随机模型，产生具有长记忆和/或重尾概率分布函数的信号。产生强度的长记忆和能够产生明显趋势的函数p.d.f.s的重尾是自然复杂系统数据不稳定的主要来源，因此它们在模型信号中的存在是非常理想的。我们关注两个模型：自回归分数积分移动平均（ARFIMA）和马尔科夫切换多重分形（MSM）。前者产生具有长记忆的分形信号，尽管它起源于金融经济学[52]，但它被广泛用于建模各种科学领域的异常扩散，如大气物理学和地球物理学[53,54]、天体物理学[55]、生物学和生理学[56,57]以及其他许多领域。后者可以被视为随机时间内随机行走的一个版本[58]。它基于随机乘法级联，产生具有长记忆、重尾p.d.f.和任意长度的信号（不同于更典型的级联过程，其长度仅限于分支数的连续幂）[59]。MSM可用于模拟各种级联现象，例如湍流[60]和金融波动[59,61]，并预测相应观测值的未来演变。A.完全互相关信号首先，我们研究了一对最大相关信号的ρq（s）的行为。