线上鞅最优运输的完全对偶性

然后Suk，νk（f）<∞ 尽管如此，k≥ 根据定理6.2，存在（φk，ψk，hk）∈ Dc，pwuk，νk（f）使得su，ν（f）=Xk≥0Suk，νk（f）=Xk≥0{uk（ψk）+νk（ψk）}。有诱导的（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）如引理7.2中所述，它遵循su，ν（f）=u（ν）+ν（ψ）≥ Iu，ν（f）≥ Su，ν（f），它既显示了所声称的不等式，也显示了（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）等时Iu，ν（f）。关于主要结果的一些评论是合理的。备注7.5。定理7.4中f的下限可以很容易地放宽。的确，让f:R→ R为Borel，假设存在Borel函数（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R，使得∈ L（u），ψ∈ L（ν）和f（X，Y）≥ ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） M（u，ν）-q.s.那么，我们可以将定理7.4应用于‘f:=[f（X，Y）- ~n（X）- ψ（Y）- h（X）（Y）- 十） ]+下面是f的结论，除了现在Su，ν（f）=Iu，ν（f）有值sin(-∞, ∞]. 然而，下限不能完全消除；参考例8.6我们记得，一般来说，对偶定理只能适用于可积性的放松概念；参见示例8.4和8.5。对于经典意义下的可积性，我们有以下充分条件。备注7.6。假设每k≥ 1，Ikoruνk的紧挨子集上支持的任一uk- uδmk≤ Ck（uνk）- uuk）对于某些常数Ck，其中mk是uk的重心。然后，Dcuk，νk（f）=Duk，νk（f），k≥ 1尤其是定理7.4中的优化器∈ L（u）和ψ∈ L（ν）。事实上，备注4.3表明，在这种情况下，所有凹型调节剂都可以被视为χ=0。备注7.7。在定理7.4、命题2.3和引理7.2的表述中，下列关系成立。（i） 我们有Su，ν（f）=Pk≥0Suk，νk（f）和Iu，ν（f）=Pk≥0Iuk，νk（f）。（ii）如果Pk∈ M（uk，νk）对于Suk是最优的，而对于所有k≥ 0，然后是P∈M（u，ν）最适合于Su，ν（f）。

如果Su，ν（f）<∞, 反之亦然：如果P∈ M（u，ν）最适合于Su，ν（f），然后是Pk∈ Suk的M（uk，νk）等时，所有k的νk（f）≥ 0.（iii）如果（ψk，ψk，hk）∈ Dcuk，νk（f）对于Iuk是最优的，对于所有k≥ 0，那么（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）最适合Iu，ν（f）。如果Iu，ν（f）<∞, 对话大厅也是如此。7.2单调性原则对偶性的重要结果是描述最优运输支持的后续单调性原则；它的第二部分可以看作是对经典输运理论中周期单调性的替代。虽然在[7，引理1.11]和[43，定理3.6]中也得到了类似的结果，但目前的版本在几个方面更强。首先，它是由一个普遍的集合描述的；i、 e.独立于测量欠考虑；其次，我们去掉了f上的增长和可积条件；第三，奖励函数是可测量的，而不是连续的。推论7.8（单调性原理）。让f:R→ [0, ∞] 做波雷尔，让我来≤cν是概率测度，假设Su，ν（f）<∞. 存在一个Borel集Γ r具有以下属性。（i） 度量P∈ M（u，ν）集中在Γ上，当且仅当它对Su，ν（f）是最优的。（ii）让≤R上的c′νbe概率∈ M（‘u，’ν）集中在Γ上，那么‘P’对S‘u，’ν（f）是最佳的。If（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）是定理7.4中优化器的一个合适版本，那么我们可以取以下集合作为Γ，（x，y）∈ R： ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y- x） =f（x，y）∩ ∪[k]≥1Ik×Jk.在引理7.2（ii）证明中选择。当Iu，ν（f）=Su，ν（f）<∞, 定理7.4产生一个对偶优化器（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f），我们可以如上定义Γ。注4.10，P（f）≤ P[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]对于所有P∈ M（u，ν），而对于P∈ M（u，ν）与P（Γ）=1，相等。这表明P（f）=Su，ν（f）。

对于逆式（i），我们观察到（7.2）中的不等式是严格的，如果P（Γ）<1，那么su，ν（f）=u（Γ）+ν（ψ）表明Pc不是最大化子。为了证明（ii），我们选择（ψ，ψ，h）的一个版本∈ Dcu，ν（f）如EMMA 7.2（ii）所示；此外，我们可以假设`P（f）<∞. 我们将展示（ψ，ψ，h）∈ Dc′u，′ν（f）；一旦确定了这一点，最优性的证明同上。（a） 一方面，我们需要证明φ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ f（X，Y）M（\'u，\'ν）-q.s.（7.3）为此，必须证明不可约组分的畴≤c′ν是u的子集≤cν；i、 例如，对于任何x，uu（x）=uν（x）意味着uu（x）=uν（x）∈ R.实际上，让uu（x）=uν（x）。因为“P”集中在Γ上  ∪Sk≥1Ik×Jk，我们知道≥ x'P-集合{x上的a.s≥ x} 。为“P”下的期望写E[·]，它遵循E[|X- x | 1X≥x] =E[（x）- x） 1X≥x] =E[（Y）- x） 1X≥x] =E[|Y- x | 1X≥x] 在这里，我们使用了E[Y | x]=x\'P-a.s.作为{x的一个类似的恒等式≤ x} ，和thusuu（x）=E[|x- x |]=E[| Y- x |]=u′ν（x）根据需要。（b） 另一方面，我们需要证明（ψ，ψ）∈ Lc（\'u，\'ν）。通过减少到分量，我们可以在不损失一般性的情况下假设（？，ν）与域（I，J）不可约。As（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f）和‘P（Γ）=1，我们有‘P[Γ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]P（f）<∞, 现在注释5.4意味着（ψ，ψ）∈ Lc（\'u，\'ν）根据需要。我们注意到，对偶优化器（ψ，ψ，h）不必是唯一的，不同的选择可能会导致不同的集合Γ。此外，我们观察到异常的P∈ M（u，ν）不必存在。然而，根据[9]的精神，以下给出了一个相当普遍的有效标准。备注7.9。让f:R→ [0, ∞] 做波雷尔，让我来≤cν是概率测度，假设Su，ν（f）<∞.

假设R上存在一个Polishtopologyτ和一个函数f:R→ [0, ∞] 使得¨f对于τ是半连续的 τ和¨f=fm（u，ν）-q.s.然后，存在一个非最优P∈ M（u，ν）表示Su，ν（f）。实际上，M（u，ν）上的诱导弱拓扑并不取决于τ的选择；参考[9，引理2.3]。因此，在规定的条件下，映射P7→ P（f）在紧集M（u，ν）上是上半连续的，结果如下。我们注意到，如果在R上考虑非乘积拓扑，则紧性不必成立，因此使用τ τ.选择τ的灵活性使我们能够包含广泛的函数类。例如，考虑乘积形式f（x，y）=f（x）f（y），其中fand-fare-Borel是可测量的，或者更一般地考虑任意连续函数off（x）和f（y）。然后，我们可以选择τ，使f连续（参见[9，定理1]的证明），并且上述方法适用。备注7.10。推论7.8是经典的“最优输运基本定理”的一个版本，参见[2，定理2.13]，其中Γ是c-凹函数的c-超微分图，即所谓的Kantorovichpotential（此处c=-f是成本函数）。在我们的上下文中，ψ和ψ的作用是不对称的，正是ψ构成了Kantorovich势的类似物。实际上，通过分别取一个凹包络及其导数，可以很容易地从ψ中获得ψ和h；参见第5.2.8条提案反例的结尾。在本节中，我们给出五个反例。例8.1和8.2表明对偶理论在逐点公式中失败；i、 e.，ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ f（x，y）代表所有（x，y）∈ R、 从而证明我们的准肯定方法是正确的。

接下来的两个例子表明，对于对偶元素，一个宽松的可积性概念是必要的，最后的例子表明，如果f没有任何下界，对偶就失败了。我们的第一个例子表明，对偶问题的逐点表述可能会出现对偶缺口。例8.1（逐点公式中的对偶间隙）。我们展示了这样一种情况：（i）奖励函数f是有界的；（ii）存在原始优化器；（iii）如果对偶问题是在逐点意义上表述的，则对偶优化器存在，但存在对偶间隙。实际上，让u成为勒贝格测度λ对[0，1]的限制。设置ν=u，则集合M（u，ν）有一个唯一的元素，即定律Pof x 7→ （x，x）在u下，这只是单位平方[0，1]对角线上的均匀分布。考虑有界奖励函数f（x，y）：=1x6=y，它的下限（而非上限）是半连续的。由于Pis专注于对角线，问题的原始值是PP∈M（u，ν）EP[f]=EP[f]=0。现在，设φ，ψ，h为Borel函数，使得φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ f（x，y）表示所有x，y∈ [0, 1];然后特别是φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ 1表示所有x 6=y∈ [0, 1];设ε>0。根据Lusin定理，存在一个Borel集a [0,1]λ（A）>1- ε使得约束ψ| Ais是连续的。使用测量理论中的另一个事实[12，练习1.12.63，第85页]，可以选择集合A是完美的；i、 A中的每个点都是A的极限点。现在让x∈ A和letxn∈ A是一系列不同的点，这样xn→ x、 然后通过φ（x）+ψ（xn）+h（x）（xn）中的极限- 十）≥ 1产生φ（x）+ψ（x）≥ 1代表所有x∈ A.由于ε>0是任意的，因此λ{x∈ [0,1]：ψ（x）+ψ（x）≥ 1} = 1.特别是u（ν）+ν（ψ）≥ 1.

例如，通过三元组ψ=1，ψ=0，h=0来达到该界限，因此点态公式中的对偶问题允许一个优化器，且其值为1；特别是，在逐点公式中存在成人差距。下一个例子显示，一般来说，逐点公式无法接受双重优化器。[5]中已经给出了这样一个例子，使用了具有许多不可约成分的边缘词。子序列示例表明，即使有很多（两）个组成部分，并且在合理的通用设置下，存在也可能失败。例8.2（逐点公式中无双重成就）。我们描述了一个环境，其中（i）奖励函数是连续的，边缘被紧密支持（但不是不可约的）；（ii）双重问题的两种表述都不存在双重差距；（iii）对偶问题的逐点公式没有优化器。我们有两个衡量标准≤cν(-1，1）使得有两个不可约分量，其域I×J=(-1,0）和I×J=（0,1）。此外，我们假设原点在u和ν的（拓扑）支撑中；例如，u和ν可能都相当于勒贝格测量值(-1，1），或者它们可以是离散的，原子在原点聚集。奖励函数f是线性增长的任何连续函数，使得f=0(-1, 0)∪ （0，1）和f不是（u×ν）-a.s.由上而下的线性函数限定(-1, 0) × (0, 1).例如f（x，y）=p | xy | 1(-1,0)×(0,1).假设（ψ，ψ，h）是逐点公式的对偶极小化子；然后φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ 0，（x，y）∈ (-1, 0)∪ (0, 1).我们有Su，ν（f）=0，因为f是连续线性增长的，所以存在节点间隙（即使对于逐点公式）；参考[5，推论1.1]。

由此得出P[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]=0表示所有P∈ M（u，ν）和tus~n（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） =0 M（u，ν）-q.s.设Nu和Nν为定理3.2中相应的零集，每当I为区间时，为I\\Nu写入u。然后φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）-x） =0，（x，y）∈ [(-1, 0)u×(-1, 0)ν] ∪ [（0,1）u×（0,1）ν]特别是任意x∈ （0,1）u产量ψ（y）=-~n（x）- h（x）（y）- x） ，y∈ （0，1）ν，所以ψ必须是一个函数ψ（y）=a+y+d+on（0，1）ν。因此，h=-在（0,1）u和а（x）上的a+=-a+x- d+在（0,1）u上，类似的参数会产生常数a-, D-因为(-1, 0). 现在，写出条件ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ f（x，y）收益率（a）-- a+y+（d）-- d+）≥ f（x，y），（x，y）∈ (0, 1)u× (-1,0）ν（a）+- A.-)y+（d+- D-) ≥ f（x，y），（x，y）∈ (-1，0）u×（0，1）ν。因为f（0，0）=0，0是出现在右手边的间隔的累积点，所以它遵循d-= d+，但由此得出，f是（u×ν）-a.s.由上的一个线性函数限定(-1,0）u×（0,1）ν，对于（0,1）u×，所有这些都是一样的(-1, 0)ν. 这是我们想要的矛盾。备注8.3。在例8.2中，如果在间隔Ik的边界处有一个或多个原子，则没有本质的变化。事实上，这个例子表明，我们可以预期点态公式不存在，因为至少有两个相邻的不可约成分，它们接触的报酬函数不是Lipschitz函数，边缘部分表现出一定的丰富性（尤其是具有有限的支持）。接下来的两个例子涉及对偶问题的准肯定版本；i、 本文主要部分的背景，尤其是第4节介绍的积分概念。第一个结果表明，为了对偶问题Iu，ν的存在，有必要放松可积性的概念。示例8.4（优化器的可集成性失败）。

我们展示了这样一种情况：（i）奖励函数f是有界的；（ii）存在原优化器和对偶优化器，不存在对偶缺口；（iii）无论何时（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）是一个对偶优化器，ν不是u-可积的，ψ不是ν-可积的。的确，让我≥1满足Pici=1的严格正数序列，使得概率度量u：=Xi≥1ciδi为有限的第一时刻，但为有限的第二时刻。此外，setν：=Xi≥1ci（δi）-1+δi+δi+1），并注意到ν的矩具有相同的性质。最后，我们的奖励函数由f（x，y）=1x6=y给出≥1ciδi（δi）-1+δi+δi+1）∈ M（u，ν）；特别是≤cν。此外，设φ（x）=-x、 ψ（y）=yand h（x）=-2x；那么我们就有ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） =-x+y- 2x（y）- x） =（x）- y）≥ f（x，y）代表所有（x，y）∈ N×N，在集合Γ上保持相等：=（x，y）∈ N×N:y∈ {x- 1，x，x+1}.因为P集中在Γ上，所以在推论7.8中，P∈ M（u，ν）是一个原始优化器，而（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）是一个双优化器。我们可以观察到一个凹形慢化剂是由χ（y）=-y、 现在让（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）是任意优化器；那么我们必须有φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） =f（x，y）P-a.s.因此，根据P的定义，这个等式适用于所有（x，y）∈ Γ. 接下来就是所有x∈ Nψ（x）+ψ（x）- 1) - h（x）=1，ψ（x）+ψ（x+1）+h（x）=1，ψ（x）+ψ（x）=0。尤其是，ν=-N上的ψ和2ψ（x）- ~n（x）- 1) - ν（x+1）=2，x∈ N.该差分方程的所有解均满足а（x）=-x+bx+c，x∈ N、 对于某些常数b，c∈ R.尤其是-不可u-可积且ψ+不可ν-可积，因此，Du，ν（f）类中不存在Iu，ν（f）的优化器 Dcu，ν（f）。下一个例子表明，如果没有一个宽松的可积性概念，对偶问题可能是有限的，即使原始问题Su，ν是有限的。例8.5（可集成性要求导致二元性差距）。

我们展示了这样一种情况：（i）奖励函数f是连续的；（ii）原始和双重问题是确定的；（iii）集合Du，ν（f）为空；特别是，在定义对偶问题Iu，ν时，如果将Dcu，ν（f）替换为Du，ν（f），则存在对偶间隙。让我们≤cνbe如例8.4所示；我们现在做出具体的选择ci=i-3C，我∈ N、 其中C是标准化常数。这确保了u和ν有一个初始时刻，但没有第二时刻。此外，i7的严格凹性→ 我-3意味着u（{i}）>ν（{i}），i∈ N.相关的势函数满足uu=uνon(-∞, 0]. 如果uu（x）=uν（x）的值大于0，那么由于u是uu/2的第二个（分配）导数，我们将得到ν（{x}）>u（{x}），这是一个矛盾。因此，我们≤cν与由I=（0）给出的域（I，J）不可约，∞), J=[0，∞).对于奖励函数，我们现在考虑f（x，y）=（x- y） 。如例8.4中所示，设置φ（x）=-x、 ψ（y）=yand h（x）=-2x收益率（ψ，ψ，h）∈ 带凹面慢化剂χ（y）的Dcu，ν（f）=-Y实际上，u（ν）+ν（ψ）=P（1x6=y）≤ 1在实施例8.4的符号中，以及thusSu，ν（f）≤ 1.假设存在（ψ，ψ，h）∈ Du，ν（f）。自从≤cν是不可约的，推论3.4表明，N×Nis中的每一点都由M（u，ν）的某个元素充电，从而由η（x）+ψ（y）+h（x）（y）充电-十）≥ f（x，y）=x+y-2xy适用于所有人（x，y）∈ N×N。我们看到ψ在y中至少有二次增长，因此ψ/∈ L（ν）和ν/∈ L（ν）。因此，Du，ν（f）= 相应的对偶问题具有有限值，而原始问题满足0≤ Su，ν（f）≤ 1.我们的最后一个例子表明，如果f没有任何下界，可能会出现对偶间隙（即使在拟序公式中）。这应该与[5，定理1]相比较，定理1表明，如果f是上半连续的，则不存在对偶间隙[-∞, ∞).例8.6（无下限的对偶间隙）。

我们展示了一种情况，其中（i）奖励函数f取[-∞, 0];（ii）存在原始和双重优化器；（三）存在二元鸿沟。实际上，设u=λ|[0,1]为勒贝格测度对[0,1]的限制，乘以一个常数 > 0和ν=λ|[-,1.-]+ λ|[,1+].然后呢≤cν与I=J=(-, 1 + ).实际上，M（u，ν）的一个特定元素由P=u给出 κ、 其中κ（x）=δx-+ δx+.对于奖励函数，我们选择F（x，y）=0如果| x- y|<,-1如果| x- y |=,-∞ 如果| x- y |>.我们首先分析原始问题。让P∈ M（u，ν），设P=uκ可能是一种分裂。我们观察到z（x）- y） κ（x，dy）u（dx）=Var（ν）- Var（u）=.如果P（f）>-∞, 然后κ（x）{|x- y |>} = 0表示u-a.e.x，上述表示| x- Y |= 对于u-a.e.x，因此P=P。因此，P（f）=-∞ 对于所有P6=P∈ M（u，ν）和supp∈M（u，ν）EP[f]=EP[f]=-1.我们现在转向双重问题；自从≤cν是不可约的，拟序公式等价于点态公式。设ψ，ψ，h为三重函数，使得ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ f（x，y）代表所有（x，y）∈ I×J；尤其是φ（x）+ψ（x+δ）+h（x）δ≥ 0代表所有x∈ (0, 1), δ ∈ [0, ),ψ（x）+ψ（x）- δ) - h（x）δ≥ 0代表所有x∈ (0, 1), δ ∈ [0, ).把这两个不等式相加，就得到了ψ（x）+ψ（x）- δ） +ψ（x+δ）≥ 0代表所有x∈ (0, 1), δ ∈ [0, ).设ε>0。如例8.1所示，卢辛定理可用于确定集合 λ（A）>1的（0,1）- ε使得对于所有x∈ A存在一个带ψ（x±δn）的序列δn=δn（x）→ ψ（x±). 因此，通过上述不等式中的极限，可以看出φ（x）+ψ（x- ) + ψ（x+)≥ 0代表所有x∈ A、 当ε>0是任意的时，不等式保持u-A.e.但随后u（ν）+ν（ψ）=P[ν（X）+ψ（Y）]=Z（X）+ψ（X- ) + ψ（x+)u（dx）≥ 0.因此，对偶值为零，并且为instanceby~n=ψ=h=0给出了一个对偶优化器。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W。