线上鞅最优运输的完全对偶性

集合I=R\\∪K≥1Ikanduk=u| ik表示k≥ 0，所以u=Pk≥0uk。然后，存在唯一的分解ν=Pk≥0νk表示u=ν和uk≤cνk代表所有k≥ 1，这个分解满足所有k的Ik={uuk<uνk}≥ 1.此外，任何P∈ M（u，ν）允许唯一的分解P=Pk≥0PK这样的PK∈ M（uk，νk）表示所有k≥ 0.指数0在上面是特殊的：度量是从u到自身的唯一鞅传输，由x7定律给出→ （x，x）在u以下。这对应于一个常数鞅或相同的Mongetransport。特别是，PDO不依赖于P∈ M（u，ν）。我们观察到，法律与正义党专注于:=  ∩ 一、 对角线部分 = {（x，x）∈ R:x∈ R} 它不包含在任何squaresIk×jkk中≥ 1.因此，将在k=0时扮演类似于Ik×JK的角色。第二句话是两个家族（uk）k≥0和（Pk）k≥0是相互单数，而（νk）k≥你不必这样。事实上，一个ν原子可能会分裂成两个相邻的组分νk。我们在本节结束时给出一条技术注释，以供以后使用。备注2.4。我们从定义中观察到，连续凸函数uu在u支撑的左侧和右侧，绝对斜率等于u的质量。此外，第一导数的不连续性对应于μ原子。让我们≤cν与域（I，J）不可约，且写I=（l，r）。当u（I）=u（R）时，度量u不能在I的边界点上有原子∞; 那么导数duu（r）就存在并且等于u（r）。

然而，度量值ν可能在r处有一个原子，虽然右导数d+uν（r）总是等于duu（r），但左导数满足duu（r）- D-uν（r）=2ν（{r}）。同样，如果l>-∞, 我们已经成功了-uν（l）=duu（l）=-u（R）和D+uν（l）- duu（l）=2ν（{l}）。3 M（u，ν）-极性集的结构本节的目标是刻画不能由任何鞅输运充电的集。给出了某个空间上的一组测度(Ohm, F） a组B组 Ohm 如果每个P都是P-null，则称为P-polar∈ P.对于经典质量输运，可通过将Keller对偶定理[33]应用于指示函数f=1B获得以下结果；参考[4，命题2.1]。提议3.1。设u，ν为相同总质量和letB的有限度量 Rbe是一套Borel套装。那么B是∏（u，ν）-极的当且仅当存在一个u-nullset Nu和一个ν-nullset Nν使得B （Nu×R）∪ （R×Nν）。上述结果更普遍地适用于任意抛光面，表明只有∏（u，ν）-极性集是明显的：边缘不可见的集。这就是为什么在经典的双输运问题中，准确定公式和点态公式之间没有区别。也就是说，如果φ（X）+ψ（Y）≥ f保持∏（u，ν）-q.s.，设B为例外集，设Nu，Nν如上。然后，设置φ=∞ 关于Nu和ψ=∞ 关于Nν产生ψ（X）+ψ（Y）≥ f点在R上，不改变成本u（ν）+ν（ψ）。对于鞅输运来说，情况基本上是不同的。除非≤cν是不可约的，所有鞅传输都有障碍，更准确地说，一个“不在分量上”的集合是极性的，即使它被边缘人看到。下面的结果完全描述了M（u，ν）-极性集的结构。图1：在定理3.2的图示中，条纹区域对应于两个不可约分量的域。

虚线区域是极性的，尽管它们对于边缘来说是不可忽略的。定理3.2。让我们≤cν，让B Rbe是一套Borel套装。然后B isM（u，ν）-极性当且仅当存在u-nullset Nu和ν-nullset Nν，使得B （Nu×R）∪ （R×Nν）∪ ∪[k]≥1Ik×Jkc、 在哪里 = {（x，x）∈ R:x∈ R} 是对角线。证明的主要步骤是以下构造。引理3.3。让我们≤cν是不可约的，设π为边π，π满足π的rw上的有限测度≤ μ和π≤ ν. 然后，就有了SP∈ M（u，ν），使得P在绝对连续性意义上支配π。证据设（I，J）为（u，ν）的域。我们可以假设u，ν是概率测度；特别是，I 6=.（i） 我们首先展示了在另一个假设下的结果，即π在紧致矩形K×L上得到支持 I×J.写I=（l，r），（I，J）的定义意味着，ν将正质量分配给l的任何邻域。由于K是紧的，它与l有正距离，我们可以找到一个紧集B- 带ν（B）的J-) > K左边0；i、 e.所有y的l<y<x∈ B-还有x∈ K.同样，我们可以找到一个契约b+ K右边质量为正的J，设π=π κ是π的解体；我们可以选择核κ（x，dy）的一个版本，它集中在所有x的L上∈ K.我们现在将改变κ（x）的平均值，使其成为鞅核。实际上，让我们引入一个核κ，其形式为κ（x，dy）=κ（x，dy）+s-（x） ν（dy）|B-+ s+（x）ν（dy）|B+c（x），x∈ K.这里是c（x）≥ 1是标准化常数，因此κ（x，dy）是一个随机变量。此外，对于κ（x）的平均值小于或等于x的x，我们设置s-（x） ：=0，定义s+（x）为唯一的非负标量，使得κ（x）的平均值等于x，在相反的情况下类似。注：π≤ u我们的意思是π（A）≤ u（A）对于每个Borel集合A R.s±的定义很好，因为B±与x的左侧（分别为右侧）的距离为正∈ K

那么，π：=ν（B-) ∧ ν（B+）π κ是带π的鞅测度 π及其边值u，ν满足u≤π≤ u和ν≤ ν; 后者是由于π（R）≤ u（R）=1和κ（x）≤ ν（B）-)-1ν| B-+ ν（B+）-1νB++κ（x）和π ν| B-+ π ν| B++π κ ≤ 3ν.我们还注意到π集中在紧致平方K×L（3.1）上，其中 J是由B生成的凸集-B+。还有待发现∈ M（u，ν）使得 π.（a） 我们首先考虑I=J的情况，因为uν- uu在I上是连续且严格正的，这个差在紧致集L上一致有界远离零 I.另一方面，连续函数uν- uu在L上一致有界。因此，有0<ε<1使得uu- εuu≤ uν- εuν在L上，但是这个不等式扩展到了R的整体，因为uu=uν超出L，因为（3.1）。还注意到- εuu=uu-εu，因此我们有u- εu≤cν- εν，由于μ，这些是非负度量≤ u和ν≤ ν. 因此，M（u- εu, ν - εν）是非空的；参见提案2.1。设πε为该集合的任意元素，且定义为εu（R）-1π+ πε.通过构造，P是M（u，ν）和P的一个元素 π π.（b） 接下来，我们讨论了一种情况，其中ν在I的一个或两个端点上有一个原子。假设ν（{r}）>0；然后，我可以触及J的右边界，我们需要给出一个不同的论点，证明ε>0的存在，如上所述，因为uν- uu不再需要以零为界。然而，左导数满足d-uν（r）<d-注释2.4中的uu（r），如果ν（{l}）>0，则类似地在l处。回顾任何势函数的导数，尤其是uu和uν-的导数，都是由相应量度的总质量一致限定的，我们发现我们仍然可以找到ε>0，使得uu- εuu≤ uν- εuν。其余部分如上所述。（ii）最后，我们处理一般情况。Asπ≤ μ和π≤ ν、 π的测量必然集中在I×J上。

我们可以用序列（Qn）n覆盖I×J≥1个紧凑矩形Qn I×J和定义度量Qnsuch支持的πnsu，即π=Pπn。对于每个n，我们在（I）中的构造产生一个鞅传输计划πn Pn∈ M（u，ν），然后P=P-nPnsatis满足引理的要求。推论3.4。这一对≤cν是不可约的当且仅当∏（u，ν）-极集和M（u，ν）-极集重合。证据如果u≤cν是不可约的，这个结论是前面引理的直接结果。相反，假设≤cν不是不可约的；也就是说，存在x∈ R使得uu（x）=uν（x）和u(-∞, x） >0和u（x，∞) > 0.然后是布景(-∞, x） ×（x，∞) 是M（u，ν）-极性（命题2.3），但不是∏（u，ν）-极性（命题3.1）。定理3.2的证明。根据命题2.3和推论3.4，一个Borel集Bis M（u，ν）-极当且仅当B∩ （Ik×Jk）对于所有k都是∏（uk，νk）-极性的≥ 1和B∩  是P-null。现在应用命题3.1 foreach k得出结果≥ 1.4广义积分4。凹函数的1积分≤cν与域（I，J）不可约，设χ：J→ R是一个凹函数。我们假设I6=. 我们的首要目标是确定差异u（χ）- ν(χ). 事实上，u（χ）和ν（χ）在[-∞, ∞) 正如χ+具有线性增长，但我们需要详细说明差异。有（至少）三种自然定义，我们将看到它们都产生相同的价值。为此，请注意，χ在I上的凹度是连续的，但在边界J\\I处可能有向下的跳跃。我们用|χ（y）|。（1） 近似值。假设一个开放的、有界的区间序列严格地增加到I（即，对于所有n，I有两个分量），事实上，除了例4.5和备注4.6之外，我们不需要本节结果的不可约性。

此外，我们可以允许χ取值-∞ 关于J\\I.考虑凹的线性增长函数χn:J→ 由以下条件定义：χn=In和J\\I上的χ，而I\\In的每个分量上的χnisa，在In的端点处具有连续的一阶导数。那么，u（χn）和ν（χn）都是有限的，我们设置i（χ，u）- ν） ：=林→∞[u（χn）- ν（χn）]。（4.1）我们将看到[0]中存在极限，∞].（2） 部分集成。允许-χ是凸函数的（局部有限）二阶导数测度-关于I和setI的χ（χ，u）- ν） ：=ZI（uu）- uν）dχ+ZJ\\I|χ| dν。（4.2）作为uu≤ uν和χ<∞, 这个数量在[0]中有很好的定义，∞].（3） 瓦解。修复任意P∈ M（u，ν）并考虑崩解P=u κ; 然后我们有χ（y）κ（x，dy）≤ χ（x）表示u-a.e.x∈ 我相信詹森的不平等。因此，I（χ，u）- ν） ：=ZIχ（x）-ZJχ（y）κ（x，dy）u（dx）在[0，∞], 下面我们将看到，这个值与P的选择无关∈ M（u，ν）。这一定义在[7]中已有阐述。为了将来的参考，让我们回顾一下关于二阶导数测度χ的以下事实：在对χ及其左导数χ进行归一化之后，对于某些a，χ（a）=χ（a）=0∈ I（通过添加合适的函数），χ（y）=Z（l，a）（y）- （t）-χ（dt）+Z[a，r）（y- t） +χ（dt），y∈ 一、 l，r在哪里∈ [-∞, ∞] 是这样的，I=（l，r）。如果χ在I的边界是连续的，这个恒等式就延伸到y∈ J通过单调收敛。引理4.1。值Ii（χ，u- ν） 在[0]中有很好的定义，∞], 仅依赖于χ和u- ν、 当i=1，2，3时重合。证据通过凹度，χ在I上是连续的，在边界处可能向下跳跃。设置“χ：=在I上的χ，并通过连续性将“χ”扩展到J，wehaveχ=”χ- |χ| 1J\\i其中χ是凹的和连续的。通过对ν-积分的线性化，可以证明对χ的要求；换句话说，我们可以假设χ是连续的。首先假设∈ L（u）∩ L（ν）。

那么，很明显Ii（χ，u- ν） 对于i=1,2,3和i（χ，u- ν） =I（χ，u）- ν). 用I（χ，u）检验质量- ν） ，让我们∈ 我不能武断。再次写I=（l，r），我们有zjχ（s）（u）- ν） （ds）=Z[l，a）Z（l，a）（t）- s） +χ（dt）（u）- ν） （ds）+Z[a，r]Z[a，r）（s）- t） +χ（dt）（u）- ν） （ds）。将Fubini定理应用于这两个积分，并注意到被积函数在某些集合上是非对称的，这可以重写为z（l，a）ZJ（t）- s） +（u）- ν） （ds）χ（dt）+Z[a，r）ZJ（s）- t） +（u）- ν） （ds）χ（dt）。替换（t）- s） +=（s）- t） ++t- 在第一个积分中，使用u和ν具有相同的质量和平均值，这等于Zizj（s- t） +（u）- ν） （ds）χ（dt）。另一方面，使用| s- t |=2（s）- （t）+- （s）- t） 产生（uu- uν（t）=ZJ|s- t |（u）- ν） （ds）=2ZJ（s）- t） +（u）- ν） （ds）。由此得出I（χ，u- ν） =I（χ，u）- ν） 这个值只取决于χ和u- ν.对于一般χ，定义χn∈ L（u）∩ L（ν）与之前一样（4.1）；以上确定Ii（χn，u）的值- ν） 每个n的值一致。注意χn平稳地增加到χ，并且χn+1- χnis凹，单调收敛需要Ii（χn，u- ν) → Ii（χ，u）- ν） 对于i=2，3，尤其是这些极限重合。现在，极限定义I（χ，u- ν） 必须存在并具有相同的值。定义4.2。我们写（μ）- ν） （χ）表示Ii的公共值（χ，u- ν） ，i=1,2,3。正如符号所示，我们有（u）- ν)(χ) = u(χ) - ν（χ）由于后一个积分中至少有一个是有限的，这可以从表示式（4.1）中得出。然而，可能会发生（u）- ν） （χ）是有限的，但u（χ）=ν（χ）=-∞. 下面的评论对此进行了详细阐述。备注4.3。假设（μ）- ν） （χ）是有限的；那么u（χ）和ν（χ）要么都是有限的，要么都是有限的。因此，它们的完整性的一个充分条件是u的支持是I的一个紧凑子集。

一个更一般的条件是常数C的存在≥ 1.这样你就- uδm≤ C（uν）- uu），（4.3），其中m∈ 我是地球的重心。实际上，通过（4.2），这意味着（δm- ν)(χ) ≤ C（u）- ν)(χ);因此，ν（χ）>-∞ 如果右侧是固定的。人们可以通过用任何“满足”的度量值替换δM来表示类似的条件≤cν和¨u（χ）>-∞.例4.4。设u，ν为高斯分布，具有相同的均值和方差σu<σν。然后，直接计算表明：≤cν是不可约的，条件（4.3）是满足的。事实证明，在积分方面，I端点的原子是有用的。例4.5。假设≤cν与域（I，J）不可约。如果I的两个端点上都有原子，则满足（4.3）。实际上，I上的uν>uu，并且斜率在端点处分开（参见备注2.4），因此（uν-uδ）/（uν-uu）在边界处具有正极限。利用这两个事实，（4.3）如下。本着同样的精神，我们有以下与前一个例子相关的估计。备注4.6。让我们≤cν与域（I，J）不可约，设I有一个确定的右端点r，设χ：J→ R是凹函数，使得χ（a）=χ（a）=0，其中a∈ I是u和ν的公共重心。特别是，χ≤ 0和χ1[a，∞)它是凹的。如果ν在r处有一个原子，那么χ（r）≥ -Cν（{r}）Z[a，∞)χd（u）- ν） ，（4.4）带有常数C≥ 0仅取决于u，ν。事实上，如例4.5所示，备注2.4暗示存在（4.3）适用于[a，∞). 因此，-χ（r）ν（{r}）≤ -Z[a，∞)χdν=Z[a，∞)χd（δa）- ν) ≤ CZ[a，∞)χd（u）- ν） ，我们将引理4.1应用于χ1[a，∞).4.2可积性模凹函数下一个目标是在单个积分不一定是有限的情况下定义形式为u（ν）+ν（ψ）的表达式。我们继续假设≤cν与域（I，J）不可约。定义4.7。

让我来告诉你：我→ R和ψ：J→ R是Borel函数。如果存在凹函数χ：J→ R以至于- χ ∈ L（u）和ψ+χ∈ L（ν），我们说χ是（ν，ψ）的凹慢化剂，并设置u（ν）+ν（ψ）：=u（ψ）- χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν)(χ) ∈ (-∞, ∞],其中（u）- ν） 定义4.2中引入了（χ）。备注4.8。上述定义与相关调节因子χ的选择无关。事实上，假设还有另一个凹函数- χ ∈ L（u）和ψ+’χ∈ L（ν），那么接下来是χ- χ ∈L（u）∩ L（ν）。例如，使用表示法（4.1），我们可以看到（u- ν)(χ) - (u - ν)(χ - χ) = (u - ν） （？χ）现在它是u- χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν)(χ) = u(φ - χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν） （¨χ）根据需要。定义4.9。我们用Lc（u，ν）表示所有Borel函数对的空间→ R和ψ：J→ R中含有凹面慢化剂χsuchthat（u- ν)(χ) < ∞.特别是，u（ν）+ν（ψ）对（ψ，ψ）有很好的定义和定义∈ Lc（u，ν），并具有通常的值，如果（ψ，ψ）∈ L（u）×L（ν） Lc（u，ν）。以下健全性检查证实了u（ν）+ν（ψ）在鞅输运中具有良好的价值。备注4.10。Let（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）并设h:I→ 我是博雷尔。如果φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） 在I×J上由下而有界，则u（ν）+ν（ψ）=P[ν（x）+ψ（Y）+h（x）（Y）- 十） ]任何P∈ M（u，ν）。证据设χ为（ψ，ψ）的凹慢化剂。我们可以假设0是一个下限，所以- χ） （X）+（ψ+χ）（Y）+χ（X）- χ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ 0.由于前两项是P-可积的，剩余表达式的负部分是P-可积的，且P[~n（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]等于u（ν）- χ） +ν（ψ+χ）+P[χ（X）- χ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]。设P=u κ是P的解体；然后通过χ+的线性增长，下列积分定义良好且相等，Z[χ（x）- χ（y）+h（x）（y）- x） ]κ（x，dy）=Z[χ（x）- χ（y）]κ（x，dy）表示u-a.e.x∈ 我

作为χ（X）的负部分- χ（Y）+h（X）（Y）- 十） isP-可积，Fubini定理（核）yieldsP[χ（X）- χ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]=ZZ[χ（X）- χ（y）]κ（x，dy）u（dx），右侧等于（u）- ν） （χ）通过引理4.1.5关于不可约分量的闭性，在这一节中，我们分析了单分量上的对偶问题；也就是说，我们继续假设：≤cν与域（I，J）不可约。定义5.1。让f:I×J→ [0, ∞]. 我们用Dc，pwu，ν（f）表示所有Borel函数的集合（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R使得（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和ν（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ f（x，y），（x，y）∈ I×J。此外，我们用D1，pwu，ν（f）表示所有（ψ，ψ，h）的子集∈ 直流，pwu，ν（f）带∈ L（u）和ψ∈ L（ν）。我们强调，在这个定义中，不平等是以点的方式（“pw”）表述的。为了以后的参考，我们还注意到在选择（ψ，ψ，h）时有两个自由度。也就是说，给定常数c，c∈ R、 三重态（ψ，ψ，h）属于Dc，pwu，ν（f）当且仅当三重态（x）=（x）+c+cx，ψ（y）=ψ（y）- C- cy，~h（x）=h（x）+c（5.1）不存在，然后是u（ν）+ν（ψ）=u（~ν）+ν（~ψ）。本节的目标是获得以下贴近度结果forDc，pwu，ν（f）；它是我们的二元性和存在论的核心。提议5.2。假设≤cν与域（I，J）不可约，设f，fn:I×J→ [0, ∞] 是这样的fn→ f逐点与let（ψn，ψn，hn）∈Dc，pwu，ν（fn）满足supn{u（νn）+ν（ψn）}∞. 然后，存在（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f），使得u（ν）+ν（ψ）≤ 林恩芬→∞{u（ψn）+ν（ψn）}。不可约对≤cν在本节的其余部分是固定的，所以让我们简化符号toDc（f）：=Dc，pwu，ν（f）。作为命题5.2证明的第一步，我们引入了凹函数，它将在单侧边界的意义上同时控制φ和ψn。引理5.3。Let（ψ，ψ，h）∈ Dc（0）。