线上鞅最优运输的完全对偶性

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英文标题：
《Complete Duality for Martingale Optimal Transport on the Line》
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作者：
Mathias Beiglb\\\"ock, Marcel Nutz, Nizar Touzi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study the optimal transport between two probability measures on the real line, where the transport plans are laws of one-step martingales. A quasi-sure formulation of the dual problem is introduced and shown to yield a complete duality theory for general marginals and measurable reward (cost) functions: absence of a duality gap and existence of dual optimizers. Both properties are shown to fail in the classical formulation. As a consequence of the duality result, we obtain a general principle of cyclical monotonicity describing the geometry of optimal transports.
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中文摘要：
我们研究了实线路上两个概率测度之间的最优运输，其中运输计划是一步鞅定律。本文介绍了对偶问题的一个拟确定公式，并证明了它对一般边际和可测报酬（代价）函数给出了一个完整的对偶理论：不存在对偶缺口和对偶优化器。这两个性质在经典公式中都被证明是失败的。作为对偶结果的结果，我们得到了描述最优传输几何的循环单调性的一般原理。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Complete_Duality_for_Martingale_Optimal_Transport_on_the_Line.pdf (797.96 KB)

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关键词：Mathematical Applications Differential Optimization Quantitative

LineMathias-Beiglb"ock上的完全对偶鞅最优输运*Marcel Nutz+Nizar Touzi2016年6月14日摘要我们研究实线路上两个概率测度之间的最优运输，其中运输计划是一步鞅定律。本文介绍了对偶问题的一个拟确定公式，并证明了它对一般边际和可测报酬（成本）函数给出了一个完整的对偶理论：不存在对偶缺口和对偶优化器。这两种性质在经典公式中都被证明是失败的。作为对偶结果的结果，我们得到了描述最优输运几何的循环单调性的一般原理。鞅；最优运输；Kantorovich DualityAMS 2010学科分类60G42；49N051简介设u，ν为实线R上的概率测度。从u到ν的Monge–Kantorovicht传输是RW上的概率P，边缘分别为u和ν；也就是说，如果（X，Y）是R上的身份映射，那么u=Po 十、-1是X在P下的分布，类似地，ν=Po Y-1.所有人的集合*维也纳大学数学系，马蒂亚斯。beiglboeck@univie.ac.at.Financial感谢FWF赠款P26736和Y782-N25的支持。+哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.感谢NSF对DMS-1512900和DMS1208985的资助巴黎理工学院，CMAP，尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.这项工作得益于ERC高级赠款321111、ANR赠款ISOTACE以及金融风险和金融与可持续发展主席的财政支持。作者感谢Florian Stebegg和一位匿名推荐人的有益评论。这些转运用∏（u，ν）表示。让P∈ π（u，ν）并考虑积分P=u κ.

如果随机核κ（x，dy）≡ P[·| X=X]由图T:R的狄拉克质量δT（X）给出→ R、 然后T被称为相应的Monge传输。一般来说，Monge-Kantorovich转运可以解释为随机Monge转运。设f是R上的（可测）实函数；然后根据P isP（f）将u传输到ν的累积报酬≡ EP[f（X，Y）]≡ZRf（x，y）P（dx，dy）和Monge-Kantorovich最优运输问题由Supp给出∈π（u，ν）P（f）。（1.1）在另一种解释中，f的负值被视为一种成本，而上述是累计成本的最小化。Monge–Kantorovich公式的一个优点是优化器P∈ π（u，ν）的存在是因为f是上半连续的且可积的（当然，当f仅可测时，存在可能失败）。在过去几十年里，优化交通一直是一个非常活跃的领域；我们参考维拉尼的专著[41,42]或安布罗西奥和吉利的讲稿[2]作为背景。在所谓的鞅最优运输问题中，我们只考虑符合鞅定律的运输；那么u可以看作是时间t=0时鞅的分布，而ν可以看作是过程att=1的分布。这个问题是由贝格洛克、亨利·劳埃德和彭克纳[5]在离散时间的情况下提出的，由加利孔、亨利·劳埃德和图齐[23]在连续时间的情况下提出的。在本文中，我们主要关注最基本的情况，即传输发生在一个时间步长内。也就是说，从u到ν的鞅输运是一个P定律∈ 其中（X，Y）是鞅；当然，这需要u和ν有有限的第一时刻。We-letM（u，ν）=P∈ π（u，ν）：EP[Y | X]=xp-a.s。表示鞅传输的集合。

或者，考虑分解P=u P的κ∈ Π(u, ν); 那么P是鞅输运当且仅当x是μ-a.e.x的κ（x）的重心（平均值）∈ R也就是说，Ryκ（x，dy）=x。在这里，我们还可以观察到，在这种情况下，Monge传输是没有意义的，只有常数鞅是确定的。鞅性质导致u和ν之间的不对称性——随着时间的推移，边缘只能变得更加分散。更准确地说，集M（u，ν）是非空的，当且仅当u，ν是凸序，表示为u≤cν，表示u（φ）≤ 当φ是凸函数时（参见Proposition 2.1）。在此条件下，鞅最优运输问题由Supp给出∈M（u，ν）P（f）。（1.2）本文针对这个问题发展了一个完整的对偶理论，即广义奖励函数和边际。特别地，我们得到了对偶问题的存在性，这是本文的主要目的。问题（1.2）是在[7,30]中首次研究的。与经典运输的霍夫丁-弗雷切特耦合类似，[7]建立了一个度量P，即所谓的左幕耦合，对于特定形式的奖励函数，它在（1.2）中是最优的。在[26]中，这种形式被推广到斯宾塞-米尔莱斯条件的一个版本，其中耦合也被更明确地描述，而[31]显示了相对于边缘的稳定性。另一方面，[29,30]找到f（x，y）=±| x的最佳传输- y |。文献[43]研究了鞅输运问题的一般化，其中对∏（u，ν）施加任意线性约束。鞅最优运输的动机是考虑金融数学中的模型不确定性。从[27]开始，一系列文献通过Skorokhod嵌入问题研究期权价格的鲁棒边界，这可以解释为连续时间内的最优运输；参考[28,37]了解调查。

参考文献[3]中的相反方向，从最佳运输角度研究了Skorokhodembeddings。最近，arich的文献围绕模型稳健性和传输的主题出现；例如，离散时间模型见[1,8,13,14,15,16,22,35]，连续时间模型见[6,11,18,17,20,21,24,25,32,34,36,38,40]。1.1经典传输的对偶让我们首先回顾经典情况（1.1）的对偶结果。事实上，双问题由inf~n，ψ{u（ψ）+ν（ψ）}给出，受制于ψ（x）+ψ（y）≥ f（x，y），（x，y）∈ R.（1.3）此处∈ L（u）和ψ∈ L（ν）是实函数，可以看作（1.1）中边际约束的拉格朗日乘数。Keller[33]在一般情况下得出了关于这种对偶性的两个基本结果。首先，不存在二元鸿沟；i、 例如，（1.1）和（1.3）的值重合。其次，存在一个优化器（ψ，ψ）∈ 对于对偶问题，只要其值（1.3）是有限的。虽然额外的正则性假设允许更容易的证明，但[33]的结果适用于任何Borel函数F:R→ [0, ∞]. 一个重要的应用是“最优运输的基本理论”[2,42]或“单调性原理”，它描述了最优运输所使用的轨迹：存在一个集合Γ rsuch表示给定的传输∈ 当且仅当P集中在Γ上时，∏（u，ν）对于（1.1）是最佳的。通过设置Γ={（x，y），可以直接从对偶优化器（ψ，ψ）获得该集合∈ R:ψ（x）+ψ（y）=f（x，y）}。（1.4）事实上，给定ψ，我们可以通过f-凹共轭找到Γ，反之亦然，因此这两个函数中的任何一个都可以称为问题的Kantorovich势，然后Γ是其f-次微分的图形。

集合Γ有一个称为f-循环单调性的重要性质，可以用来分析最优传输的几何结构；我们参考[2,42]了解更多背景信息。1.2鞅的对偶性现在让我们在感兴趣的情况下继续讨论对偶问题，其中鞅约束产生一个额外的拉格朗日乘子。形式上，EP[Y | X]=X相当于EP[h（X）（Y）- 十） ]=0表示所有函数h，因此（1.3）的模拟域由实函数的三元组（ψ，ψ，h）组成，使得ψ（X）+ψ（y）+h（X）（y- 十）≥ f（x，y），（x，y）∈ R、 （1.5）在对偶代价函数不变的情况下，inf~n，ψ，h{u（ν）+ν（ψ）}。在[5]中，当奖励函数f为上半连续且满足线性增长条件时，证明不存在对偶间隙，类似结果在[43]中成立。另一方面，文献[5]中的一个CounterExample表明，即使f是有界连续的，且边值是紧支持的，对偶问题也可能不允许存在最优解。[5,43]中正结果的证明，不存在对偶缺口，通过将鞅约束对偶化，并使用极大极小参数，简化为经典输运理论。只有后一步需要上半连续性，很容易相信这是证明技术所必需的技术条件。

这被证明是错误的：我们提供了一个反例（例8.1），表明对偶问题（1.5）可以在一个相当平淡的环境中产生一个对偶间隙，具有紧支撑的边和一个有界且下半连续的奖励函数。关于缺少优化器的问题，我们提供了一个反例（例8.2），从某种意义上说，这个反例比[5]中的反例更简单，并表明只要边缘不满足称为不可约性（见下文和第2节）的条件，且fis不光滑，存在的失败就是普遍的。现在让我们介绍对偶问题的一个公式，它将允许我们克服这两个问题，并发展一个完整的对偶理论，即一般奖励函数的对偶存在性和无对偶缺口。最重要的新奇之处在于，我们将以准确定的方式重新构造（1.5）的逐点不等式。事实上，我们说，如果一个属性在一个M（u，ν）极集合之外保持不变，那么它就保持M（u，ν）-准静态（简称q.s.）；也就是说，一个集合对于所有的P都是P-null∈ M（u，ν）。然后，我们将（1.5）替换为ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ f（X，Y）M（u，ν）-q.s。；（1.6）也就是说，这个不等式对所有的P都适用∈ M（u，ν）。对于经典输运，我们知道所有的极集都是一个平凡的类型，它们对于其中一个边缘是可忽略的。这在鞅情形中是不同的。事实上，正如在[7]中观察到的，存在着任何鞅输运都无法跨越的障碍。这些屏障将实线划分为（几乎）不相互作用的区间，因此被称为不可约分量。我们的第一个重要结果（定理3.2）提供了它们（u，ν）-极性集的完整特征：Ris极性的子集当且仅当其包含轨迹a）穿过障碍或b）可忽略的一个边缘。

基于这个结果，我们对（1.6）有了相当精确的理解；也就是说，它代表了每个不可约分量上的一个逐点不等式，即边缘不可见的模集。因此，我们首先研究不可约成分；分析分为两部分。一方面，分离（Hahn–Banach）和延伸（Choquet理论）的软论点与经典输运理论相似。另一方面，有一个基于新论点的重要封闭结果（命题5.2）：给定奖励函数fn→ f和相应的几乎最优对偶元素（ψn，ψn，hn），我们为f构造了一个极限（ψ，ψ，h）。这个结果的证明与边缘的凸阶有着密切的联系。事实上，我们引入了凹函数χn，它在单边界的意义上控制（ψn，ψn）。基于形式0的丰富性，为序列（χn）建立了Arzela–Ascoli型的紧性结果≤Zχnd（u）- ν) ≤ C.（1.7）在为χn找到一个极限χ之后，我们可以通过Komlos型参数为（ψn，ψn）生成极限（ψ，ψ），并且相应的函数h可以后验方式找到。紧致性结果让我们对全局问题的逐点公式（1.5）的失败有了一些了解：界（1.7）不能控制χnat势垒的凹度，因为u和ν之间的内在质量在这些点的凸顺序上并不“严格”。第二次放松是获得对偶结果所必需的；也就是说，需要从广义上定义成本u（ν）+ν（ψ）。我们提供了大量的例子，表明如果一个人坚持认为μ和ψ分别可积于u和ν，则对偶优化器（例8.4）的存在以及在某些情况下不存在对偶间隙（例8.5）就会崩溃。

我们认为u（ν）+ν（ψ）的几个自然定义会导致相同的值。有了这些概念，我们的主要结果（定理7.4）是任意Borel奖励函数f:R的对偶→ [0, ∞]; 在这里，下半身可以轻松放松（备注7.5），但不能完全消除（示例8.6）。此外，只要对偶问题是确定的，它就存在。因此，我们推导出了一个单调性原理（推论7.8），其集合类似于（1.4），具有相当明确的形式，推广和简化了[7,43]的结果。虽然之前没有关于不规则奖励函数的对偶性的结果，但我们提到[7]中单调性原理的证明包含了连续f情况下对偶优化器的理论元素，尽管[7]中没有形式化对偶问题。我们期望本文中提出的准肯定公式将被证明不仅适用于目前的情况，而且适用于一大类运输问题；特别是，在一般条件下获得双重成就。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们重新讨论了凸阶和势函数。第3节描述了m（u，ν）-极集的结构，第4节讨论了u（ν）+ν（ψ）的扩展定义。对偶问题的关键封闭性结果在第5节中得到，这允许我们在第6节中建立关于不可约分量的对偶。第7节结合前面的结果得到了整体对偶定理和单调性原理。反例收集在第8.2节“凸序的预备知识”的结论部分。考虑有限测度是有用的，不一定要标准化为概率。

第一节中介绍的概念以一种明显的方式延伸。设u，ν为R上具有有限第一时刻的有限测度。我们说u和ν是凸序的，表示为u≤cν，如果u（φ）≤ ν（φ）对于任何凸函数φ：R→ R.然后得出u和ν具有相同的总质量和相同的重心。这个顺序的另一个特征是所谓的势函数，由uu：R定义→ R、 uu（x）：=Z|t- x |u（dt）。这是一个非负凸函数，最小值在u的中值处，可以通过二阶导数从uu中恢复u。以下结果是已知的；重要的部分是[39，定理8]。提议2.1。假设u（R）=ν（R）。以下是等效的：（i）度量u和ν是凸的：u≤cν。（ii）u和ν的势函数顺序为：uu≤ uν。（iii）存在从u到ν的鞅输运：M（u，ν）6=.区分uu<uν的区间与势函数接触的点是很重要的，因为这些点是鞅传输的障碍。在下文中，声明如下：≤cν隐含地意味着u，ν是R上具有有限第一时刻的有限度量。定义2.2。这一对≤如果集合I={uu<uν}是连通的且u（I）=u（R），则cν是不可约的。在这种情况下，让J是I和I的任意端点的并集，它们是ν的原子；那么（I，J）是（u，ν）的域。由于I之外的uu=uν，以及u（I）=u（R）和u，ν具有相同的质量和平均值，因此度量ν集中在J上。更精确地说，开放区间I是ν的支撑的凸包的内部，J是I支撑的ν的最小超集。边缘地带≤cν可分解为不可约组分，如下所示：；参见[7，定理8.4]。提议2.3。让我们≤cν和let（Ik）1≤K≤Nbe{uu<uν}的（开放）分量，其中N∈ {0, 1, . . . , ∞}.