线上鞅最优运输的完全对偶性

然后，存在一个凹形慢化剂χ：J→ R表示（ψ，ψ），使得χ≤ 在我身上，-χ ≤ ψ在J上，尤其是u（χ）+ν(-χ) ≤ u(φ) + ν(ψ).证据函数χ（y）：=infx∈I[~n（x）+h（x）（y）- x） 】，y∈ Jis凹面作为一个函数的内确界，和（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）意味着∞ 在非空集上，所以∞ 此外，我们显然有χ≤ 关于I.我们的假设是：ψ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- 十）≥ 0，（x，y）∈ I×J（5.2）表明≥ -ψ对J.自（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν），集合{ψ<∞} 是densein supp（ν），通过凹度可以得出χ>-∞ 在supp（ν）的凸面外壳内部；也就是说，在区间I上，{ψ<∞} 必须包含任何ν原子，尤其是J\\I，因此χ>-∞ 关于J.设置：=- χ ≥ 0和ψ：=ψ+χ≥ 0，我们可以把（5.2）写为（x）+ψ（y）+[χ（x）- χ（y）]+h（x）（y- 十）≥ 0，（x，y）∈ I×J.设P=u κ是一些P的分解∈ M（u，ν）。对于固定x∈ 一、 以上四项均由线性增长函数从下限定。对于u-a.e.x，它遵循这一点∈ 一、 左手边与κ（x，dy）的积分可以逐项计算，从而得到（x）+Zψ（y）κ（x，dy）+Z[χ（x）- χ（y）]κ（x，dy）。这三个项都是非负的，因此关于u的积分可以再次逐项计算。根据Fubini定理和引理4.1，可以得出P[？（X）+ψ（Y）+[χ（X）- χ（Y）]+h（X）（Y- 十） ]=u（°ψ）+ν（°ψ）+（u）-ν)(χ).（5.3）当然，左手边也等于P[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）-十） ]因此，请参见备注4.10。因此，右侧也是固定的。因此，（°ψ，°ψ）∈ Lc（\'u，\'ν）与凹型慢化剂χ和u（ν）+ν（ψ）=u（\'ν）+ν（\'ψ）+（u）- ν)(χ) ≥ (u - ν)(χ) = u(χ) + ν(-χ） 如你所愿。让我们记录前面构造的一个变体，以便以后使用。备注5.4。

设（ψ，ψ，h）：R→ (-∞, ∞]×(-∞, ∞]×R为Borel函数，表示φ（x）+ψ（y）+h（x）（y- 十）≥ 0，（x，y）∈ I×J.那么，（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）当且仅当P[ν（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]∞对于一些（然后全部）P∈ M（u，ν）。证据“仅当”声明直接从备注4.10开始。反之，设P[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]∞ 为了一些P∈ M（u，ν）；然后，ψ是有限的u-a.s.，ψ是有限的ν-a.s。然后我们可以按照莱玛5.3到（5.3）的证明来定义凹函数χ：J→ R使得：=- χ ≥ 0和ψ：=ψ+χ≥ 0和p[ψ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]=u（°ψ）+ν（°ψ）+（u）- ν)(χ).由于左侧是有限的，因此右侧的三个（非负）项也是有限的；也就是说，（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）与凹面慢化剂χ。主要结果的第二个工具是凹函数的紧性原理。不可约性对于它的证明至关重要，所以让我们重申这一立场。符号χn表示左导数（例如）。提议5.5。让我们≤cν与域（I，J）不可约，设a∈ Ibe是u和ν的公共重心。让χn:J→ R是凹函数，即χn（a）=χn（a）=0和supn≥1(u - ν） （χn）<∞.存在一个子序列χnk，它在J上逐点收敛到一个凹函数χ：J→ R、 和（u）- ν)(χ) ≤ lim infk（u- ν） （χnk）。证据根据我们的假设- ν） （χn）在n中一致有界。从（4.2）来看，这意味着存在一个常数C>0，使得0≤ZI（uu）- uν）dχn≤ C和0≤ |χn|≤ C、 我们使用的是，J\\I由（最多两个）ν和|χn |=0在I上。根据同样的事实，我们因此有limk|χnk |=lim infn|对于合适的子序列χnk，χn |（5.4）；我们可以假设nk=k。

此外，第一个不等式表明，由（uu）定义的有限测度序列- 对于由I上紧支撑的连续函数所产生的弱拓扑，uν）dχ是有界的，因此是相对紧的- uu是连续的，并且严格地对I为正，因此(-χn）也是相对弱紧的。鉴于χn（a）=0，这意味着在I的任何给定紧子集上，χ的Lipschitz常数都有一个统一的界。同样使用χn（a）=0，Arzela–Ascoli定理便产生了一个函数χ：I→ R使得χn→ χ在传递到一个序列后局部一致。显然χ是凹的，通过部分积分可以看出-χn弱收敛于二阶导数测度-χ与χ相关。近似uu- 从上面的uν和I上的紧支撑连续函数，我们可以看到（u-ν） （χ）=ZI（uu-uν）dχ≤ 林恩芬→∞ZI（uu）-uν）dχn=lim infn→∞(u-ν） （χn）。与（5.4）一起，我们可以定义关于J的χ，结果通过（4.2）得出。现在我们可以得出本节的主要结果。命题5.2的证明。因为（ψn，ψn，hn）∈ Dc（fn）和fn≥ 0，我们可以在引理5.3中引入相关的凹函数χnas。用合适的常数对（5.1）中的（ψn，ψn，hn）进行归一化，我们可以假设χn（a）=χn（a）=0；注意关系χn≤ ~nnand-χn≤ ψnare被保存。在传递到子序列之后，命题5.5会产生一个逐点极限χ：J→ R表示χn，因为≥ χn→ χ、 Komlos引理（以[19，引理A1.1]及其后续注释的形式）表明有∈ conv{~nn，~nn+1，…}其收敛u-a.s.，对于ψn也是如此。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设n=n，对于ψn也是如此。

因此，将φ：=lim sup~nnon I，ψ：=lim supψnon jj设置为Borel函数φ，ψ，使得φn→ ~nu-a.s.，~n- χ ≥ 0与ψn→ ψν-a.s.，ψ+χ≥ 0.Fatou引理和命题5.5表明u（ψ）-χ) + ν(ψ + χ) + (u - ν)(χ)≤ lim infu（k n）- χn）+lim-infν（ψn+χn）+lim-inf（u- ν） （χn）≤ lim inf[u（un）- χn）+ν（ψn+χn）+（u- ν） （χn）]=lim-inf[u（νn）+ν（ψn）]∞.特别是，这表明（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和凹面慢化剂χ，然后可以更简洁地表示为u（ν）+ν（ψ）≤ lim-infu（νn）+ν（ψn）。对于任何函数g:J，都需要找到h→ R、 让gconc:J→ R表示凹面信封。给定一系列这样的函数gn，我们有lim-inf（gconcn）≥ （lim-inf-gn）concas-gconcn≥ gnand lim inf gconcnis凹面。此外，（ψn，ψn，hn）∈ Dc（fn）指的是φn（x）+hn（x）（y）- 十）≥ fn（x，y）- ψn（y），这意味着φn（x）+hn（x）（y- 十）≥ [fn（x，·）- ψn]conc（y），（x，y）∈ I×J·Fix∈ 我然后，这两个事实是yieldlim inf[~nn（x）+hn（x）（y- x） ]≥ lim-inf[fn（x，·）- ψn]conc（y）≥ [lim-inf（fn（x，·）- ψn）]conc（y）≥ [f（x，·）- ψ] conc（y）=：对于所有y∈ J、 对于特定的选择y=x，我们得到了φ（x）≥ lim infаn（x）≥ ^~n（x，x）。Asν{ψ=∞} = 0和f>-∞, 我们有^~n（x，y）>-∞ 尽管如此∈ J.如果x/∈ N:={~n=∞}, 上述不等式还表明^^（x，x）<∞因此，凹函数^k（x，·）在J上是有限的，并且允许左导数eh（y）：=d-^а（x，·）（y）∈ R、 y∈ I.通过凹度，可以得出以下结论：ψ（x）+h（x）（y）- 十）≥ ^~n（x，x）+h（x）（y）- 十）≥ ^~n（x，y）≥ f（x，y）- ψ（y）表示所有y∈ J.在N上设置h:=0，我们就有了φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）-十）≥f（x，y）代表所有（x，y）∈ I×J，因为左边是x的定义∈ N.因此，（ψ，ψ，h）∈ Dc（f），证明是完整的。6不可约分量的对偶性≤cν与域（I，J）不可约。我们将原始值和双重值定义如下。定义6.1。让f:R→ [0, ∞].

原始问题是u，ν（f）：=supP∈M（u，ν）P（f）∈ [0, ∞],其中P（f）指的是外部积分，如果f是不可测的。对偶问题isIpwu，ν（f）：=inf（ψ，ψ，h）∈Dc，pwu，ν（f）{u（ν）+ν（ψ）}∈ [0, ∞].本节的目标是以下二元结果；它对应于我们在不可约边值问题上的主要结果。我们记得函数f:R→ [0, ∞] 如果集合{f≥ c} 都是分析性的∈ R、 其中Ris的一个子集称为解析，如果它是Borel映射下波兰空间的Borel子集的（正向）图像。AnyBorel函数是上半解析函数，任何上半解析函数都是可测的；有关背景信息，请参见[10，第7章]。定理6.2。让我们≤cν不可约且设f:R→ [0, ∞].（i） 如果f是上半解析的，那么Su，ν（f）=Ipwu，ν（f）∈ [0, ∞].（ii）如果Ipwu，ν（f）<∞, 存在一个对偶优化器（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f）。定理6.2的证明基于命题5.2，Choquet的定理和一个分离论证，所以让我们介绍相关术语。让[0，∞]Rbe所有函数的集合f:R→ [0, ∞], 设USA+为上半解析函数的子格，U为有界上半连续函数的子格；注意，U相对于可数单位是稳定的。A映射C:[0，∞]R→ [0, ∞] 如果它是单调的，在[0]上连续的，则称为U-容量，∞]R、 在U上依次连续向下。在本节的其余部分，我们写S（f）：=Su，ν（f）和I（f）：=Ipwu，ν（f）；这两种映射结果都是容量。引理6.3。映射S:[0，∞]R→ [0, ∞] 是U型容量。证据由于M（u，ν）是弱紧的，因此接下来是[33，命题1.21，1.26]中给出的标准参数。接下来，我们证明了上半连续函数不存在对偶间隙。

这个结果已经从[5，推论1.1]中得知，它使用了经典输运的aminimax参数和Keller对偶定理[33]。我们将根据命题5.2给出一个直接而完整的证明。引理6.4。让f∈ U然后S（f）=I（f）。证据让f:R→ [0, ∞] 有界且上半连续；然后是他们的品质（f）≤ I（f）（6.1）摘自备注4.10。下面，我们展示了逆不等式。（i） 我们首先证明了一类连续报酬函数的结果。这将是一个Hahn–Banach论点，它要求我们引入可测量空间。回想一下，u有一个确定的第一刻。因此，根据德拉瓦莱-普桑瑟雷姆定律，存在一个递增函数ζu：R+→ 超线性生长的R+，使得x 7→ ζu（|x |）是u-可积的。这同样适用于ν和wesetζ（x，y）=1+ζu（|x |）+ζν（|y |），（x，y）∈ R.设Cζ=Cζ（R）为所有连续函数f:R的向量空间→ r使得f/ζ在单位内消失；这包括线性增长的所有连续函数。我们为Cζ配备了范数|f |ζ：=|f/ζ|∞, 在哪里|·|∞这是统一的标准。让f∈ Cζ。然后，设置φ（x）=ζu（|x |）和ψ（y）=ζu（|y |），我们得到-c（1+ψ+ψ）≤ F≤ c（1+ψ+ψ）对于某些常数c，特别表明S（f）是有限的。因此，我们可以假设S（f）=0。考虑setK={g∈ Cζ：I（g）≤ 0}.这是Cζ中的凸锥，命题5.2暗示K是闭合的；这里，我们使用Cζ中的收敛序列从下到下一致有一个函数的形式-c（1+ψ+ψ）。假设I（f）>0；也就是f/∈ 然后，哈恩-班纳赫定理和锥性质产生了一个线性泛函`∈ C*ζ使得`（K） R-和`（f）>0。我们将在下面讨论“可以用有限的有符号测度π表示”。

注意，`（K） R-事实上，K包含形式为φ（X）的所有函数- u（u）带∈ Cb（R）意味着对于所有的φ∈ Cb（R）；i、 例如，u是π的第一个边缘，同样，ν是第二个边缘。因此，π∈ Π(u, ν). 此外，如果∈ Cb（R），然后是函数h（X）（Y）- 十） 是在Cζ中，因为它是线性增长的，一个标度参数显示`（h（X）（Y- 十） ）=0。这意味着π是鞅输运；i、 e.，π∈ M（u，ν）。但是现在π（f）=`（f）>0收缩S（f）=0，我们已经证明了I（f）≤ S（f）。还有待争论的是C*ζ可以用有限的符号度量来表示。的确，f 7→ f/ζ是从Cζ到通常空间C（R）的赋范空间的同构，连续函数在统一形式下消失。根据Riesz的表示定理，任何连续线性泛函C（R）都可以用有符号测度m表示，因此任何`∈ C*ζ可以表示为`（f）=m（f/ζ）。使用1/ζ∈ C（R） L（m）作为aRadon–Nikodym密度，因此用有限符号的测量值m=（1/ζ）dm表示。（ii）设f有界且上半连续，则存在fn∈Cb（R） Cζ减小到f，我们有S（fn）=I（fn）对于这个证明的第（I）部分的所有n。As S（fn）→ S（f）通过S的连续性递减，参见引理6.3，仍然可以证明I（fn）→ I（f）。自从f≤ fn，我们有i（f）≤ 另一方面，（6.1）表示lim I（fn）=lim S（fn）=S（f）≤ 这就完成了证明。我们为定理6.2的证明做的最后准备是证明I是容量；同样，这是命题5.2中封闭性结果的结果。引理6.5。映射I:[0，∞]R→ [0, ∞] 是U型容量。证据当引理6.4表示U上的I=S时，引理6.3已经表明Iis在U上连续向下∈ [0, ∞]Rbe使Fn增加到f；我们需要证明我（fn）→ I（f）。

很明显，我很单调；特别是，I（f）≥ lim sup I（fn）和I（fn）→ I（f）ifsupnI（fn）=∞.因此，我们只需要显示I（f）≤ 在supni（fn）<∞. 事实上，根据I（fn）的定义，存在（ψn，ψn，hn）∈Dc，pwu，ν（fn）与u（νn）+ν（ψn）≤ I（fn）+1/n.命题5.2则产生（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwu，ν（f）与u（ν）+ν（ψ）≤ lim-inf[I（fn）+1/n]，表明I（f）≤ lim inf I（fn）根据需要。现在我们可以推断出这一部分的主要结果。定理6.2的证明。（i） 根据引理6.3，Choquet的电容能力Theorem表明s（f）=sup{s（g）：g∈ U、 g≤ f} ，f∈ 美国+。根据引理6.5，相同的近似公式适用于I，而根据引理6.4，S=离子U，则S=I适用于USA+。（ii）为了确保在有限时达到最大值，必须应用命题5.2，其恒定序列fn=f.7主要结果7。1双三甲苯u≤cν为凸序概率测度，设f:R→ [0, ∞]是一个Borel函数。我们继续用su，ν（f）：=supP来表示原始问题∈M（u，ν）P（f），如在不可约情况下。需要为对偶问题引入更多的符号。让我们首先回顾命题2.3中的分解u=Xk≥0uk，ν=Xk≥0νk，其中uk≤cνkis与k的域（Ik，Jk）不可约≥ 1和u=ν。此外，Pdenotes是M（u，ν）的唯一元素。设（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R是波雷尔。因为法律与正义党专注于对角线, 我们有φ（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） =ψ（X）+ψ（X）P-a.s。；也就是说，函数h不起作用，而φ，ψ只通过它们的和进入。事实上，与（u，ν）相关的对偶问题可以通过如下方式轻松解决：例如，通过设置ψ（x）=f（x，x）和ψ=0。不需要使用可积模凹函数，但为了简化下面的表示法，我们设置lc（u，ν）：={（ψ，ψ）：ψ+ψ∈ L（u）}和u（ψ）+ν（ψ）：=u（ψ+ψ）表示（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）。

此外，Dc，pwu，ν（f）是所有（ψ，ψ，h）与（ψ，ψ）的集合∈ Lc（u，ν）和ν（x）+ψ（x）≥ f（x，x），x∈ I.最后，可以方便地定义Su，ν（f）：=P（f）≡ u（f（X，X））。现在我们可以在整个实线上介绍对偶问题的域。定义7.1。设Lc（u，ν）是所有Borel函数的集合→ r如（ψ，ψ）∈ Lc（uk，νk）适用于所有k≥ 0和xk≥0|uk（ψ）+νk（ψ）|<∞.对于（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν），我们定义u（ν）+ν（ψ）：=Xk≥0{uk（ψ）+νk（ψ）}<∞,Dcu，ν（f）是所有Borel函数的集合（ψ，ψ，h）：R→ R×R×R（ψ，ψ）∈ Lc（u，ν）和ν（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十）≥ f（X，Y）M（u，ν）-q.s.最后，Iu，ν（f）：=inf（ψ，ψ，h）∈Dcu，ν（f）{u（ν）+ν（ψ）}∈ [0, ∞].我们强调双畴Dcu，ν（f）现在是在准理想意义下定义的。在与单个组件精确对应之前，让我们回顾一下，间隔可能在其端点重叠，因此我们必须避免对某些事物进行两次计数。的确，让（ψk，ψk，hk）∈Dc，pwuk，νk（f）。如果Jk包含其一个端点，则它是一个ν原子，因此是Jk\\Ik上的ψkis fine。将ψkb转换为一个有效函数，并相应地移动ψk，参见（5.1），我们可以对（ψk，ψk，hk）进行归一化，使得在Jk\\Ik上ψk=0。（7.1）根据我们对M（u，ν）-极性集的分析，双域可以分解如下。引理7.2。让f:R→ [0, ∞] 做波雷尔，让我来≤设uk，νkbe为命题2.3。（i） Let（ψk，ψk，hk）∈ Dc，pwuk，对于k≥ 1，标准化如（7.1）中所述，并设φ（x）=f（x，x）和ψ=0。IfPk≥0{u（ψk）+ν（ψk）}<∞, 那么φ：=Xk≥0~nkIk，ψ：=Xk≥1ψkJk，h:=Xk≥1HKiksaties（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）和u（ν）+ν（ψ）=Pk≥0uk（ψk）+νk（ψk）。（ii）相反，let（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）。在一个u-nullset和一个ν-nullset上的ψ发生变化之后，我们得到了（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwuk，对于k≥ 0和xk≥0{uk（ψ）+νk（ψ）}=u（ν）+ν（ψ）<∞.证据

本质上，这是命题2.3和定理3.2的直接结果。对于（i），我们注意到u（νk）+ν（ψk）≥ 0表示所有k，因此sum总是定义得很好。关于（ii），设B是所有（x，y）的极集合，使得φ（x）+ψ（y）+h（x）（y）- x） <f（x，y）；注意，B是Borel，因为所有这些函数都是Borel。然后每k≥ 1、B组∩ （Ik×Jk）包含在一个联合体中（Nku×R）∪ （R×Nkν），其中Nku为u-null，Nkν为ν-null。然后，我们将φ=∞ 在…上∪K≥1Nkν以及u-nullset B上的∩ .与ψ类似，我们得到了期望的性质。备注7.3。（i） 假设≤cν是不可约的。然后，引理7.2指出，对偶问题的逐点和准确定公式是一致的：Ipwu，ν（f）=Iu，如果f=0在域（I，J）之外，则ν（f），否则，由于我们的定义，差异为P（f）。如果没有不可约性条件，公式可能会发生根本性的变化；参见示例8.1。（ii）作为对我们定义的合理性检查，我们注意到u（ν）+ν（ψ）=P[ν（X）+ψ（Y）+h（X）（Y）- 十） ]第页∈ M（u，ν）每当（ψ，ψ，h）∈ 对于某些f，Dcu，ν（f）≥ 0，作为引理7.2和备注4.10的结果。现在我们可以陈述我们的主要对偶结果。定理7.4。让f:R→ [0, ∞] 做博雷尔，让我来≤cν。然后su，ν（f）=Iu，ν（f）∈ [0, ∞].如果Iu，ν（f）<∞, 存在一个优化器（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）表示Iu，ν（f）。证据我们首先证明Su，ν（f）≤ Iu，ν（f）。为此，我们可以假设Iu，ν（f）<∞, 因此存在一些（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）。ByLemma 7.2，这导致（ψ，ψ，h）∈ Dc，pwuk，νk（f），所以REM 6.2的对偶结果得到su，ν（f）≤Xk≥0Suk，νk（f）≤Xk≥0{uk（ψ）+νk（ψ）}=u（ν）+ν（ψ）<∞.权利要求如下（ψ，ψ，h）∈ Dcu，ν（f）是任意的。接下来，我们证明了Su，ν（f）≥ Iu，ν（f），我们可以假设su，ν（f）<∞.