方差动力学——经验之旅

我们在数值模拟中遵循了这个选择。方程2和3定义了一个一般的随机模型。当θα=0时，该模型简化为一个简单的BlackScholes（BS）模型，其确定性、点独立性、扩散方差由U≥ t、 ξuu=ξut。在这种情况下，Black-Scholes波动率也是方差互换波动率σvs（t，t）=pVt→Tt，波动性微笑显然是明显的。在实践中，少量驱动因素有助于准确捕捉方差动态。Cont和daFonseca表明，3种主要模式代表每日曲线变形的98%方差[12]。首先，GARCH模型的使用不适合我们的情况，因为它们不具备任何波动性因素。他们忽略了波动性的独立性，这正是我们的目标。因此，对于我们的目的来说，它们将过于严格。值得注意的是，通过将随机波动率因子指定为即期因子的确定性函数，一些GARCH模型可以解释为更一般的随机波动率模型的简化版本——见第3.3.1节，总计80%的模式可以解释为水平效应，而第二和第三模式分别对应于斜率和凸度。我们的数据集没有捕捉到方差曲线的长端，因为每次观察仅限于前七个到期日，即半年以上。因此，使用大量因素可能会导致过度拟合和参数不稳定。因此，我们遵循Bergomi在[3]和Gatheralin[16]中介绍的方法，只选择了两个因素（注意，我们也调查了三因素模型的使用，但没有观察到显著的改善——见第3.1节的讨论）。从公式1和3中，我们可以推导出未来振动VTt的时间-t值，以及其变化dVTt。

特别是，波动未来总是低于相应的正向启动方差KTT=KT→Tt=qVT→Tt=sTZTTξutdu凸性调整来自平方根函数的凹性，并与vol参数的vol成正比Ohmα,β.引入符号KT，αt=qTRTTξutωα（t，u，ξt）du，我们最终得到了我们将在本文中使用的方程组（推导步骤见附录6.1）：定价方程（5）VTt=KTt×（1）- 凸性校正）c.c.=Xα，βOhmα、 βe（kα+kβ）（T-（t）- 1kα+kβ（KT，αt）（KT，βt）（KT）模型动力学（6）dVTtVTt=Xαθα（KT，αtVTt）dWα在本节的剩余部分，我们描述了挥发性模型的校准和挥发性因子的提取。对技术细节不感兴趣的读者可以安全地跳到第3.2.3.2节拟合波动率模型。随机模型由一组参数Ξ指定，其中包括驱动核函数ωα（由参数kα定义）形状瞬时方差（本工作中设置为2）的维纳过程Wα的数量，以及相应的协方差结构Ohmα,β.我们的波动率模型旨在捕捉波动率指数期货δvtit的短期变化，但它并不完美，无法完美匹配整个期限结构的变化。这部分是由于我们的模型的不足和简单，但不仅如此。由于波动率动力学的复杂性，任何波动率模型都会在一定程度上失败，并且总会出现一些匹配错误。someVIX期货的流动性不足和报价不准确也会加剧（有时还会导致）这种情况。必须考虑这些匹配错误。为此，我们采用标准方法，并为每个变化引入δvitvtita测量误差项ηit。

测量项被建模为波动率σL的高斯噪声，它与相应VIX期货的当前流动性成正比。通过这样做，我们迫使流动性最强的期货（即交易量最大的期货）比流动性较低（如长期）的期货更好地由我们的波动性模型建模。因此，未来的变化是一个模型项和一个误差项之和：δVTitVTit=Xαθα（KT，αtVTt）δWαt |{z}模型项+σL，it×ηit |{z}误差项。（7） 我们引入了额外的符号：-Dt是一个对角矩阵Dt（i，i）=σL，它-Mt是由Mt（i，α）=（KTi，αtVTit）-δwt定义的矩阵，它是高斯列向量，其分量δWαt-uti是归一化的高斯Ut=√dtTrI-1δwttri是一个下三角矩阵，使得TrI×TrI>=C（即Cholesky分解）。与UtorδW的工作是等价的，但Uthas的特性是具有未相关的标准化为统一组件。尽管波动率指数期货的报价应始终低于其相应的远期方差水平，但实际情况并非总是如此。脱臼时有发生。然而，这些都非常难以捕捉，因为出价者使得套利变得不可能。这些错位并不常见，也不会改变我们的分析结果。请注意，我们的数据集还包括不具备任何流动性的波动率指数水平，因为波动率指数是不可交易的。此外，我们发现VIX指数更容易出现不可接受的变化（通过构造）。为了缓解这些问题，我们不使用VIX indexvariations来校准我们的模型参数（在等式6中）。然而，我们确实使用它的值来更准确地从等式中提取方差ξt的项结构。

5.这允许我们以矩阵形式重新计算上述方程：δVtVt=Mt×Θ×TrI×Ut×√dt |{z}Θ×δWt+dt×ηt（8）此时，我们准备将我们的校准程序重新表述为贝叶斯框架。我们可以用p（…，Vt，…ΞΞ）来表示观测的概率，并用最大似然法提取模型参数：Ξ？=argmaxΞp（…，Vt，…|Ξ）尽管最大似然法存在臭名昭著的收敛问题（通常是由于存在大量局部极小值），但我们在两个因素中没有遇到这种问题——然而，在三个因素中，必须从随机选择的随机点进行大量优化。联合概率可以分解为独立概率的乘积：p（…，Vt，…，|Ξ）=Ytp（δVtVt|ξt，Ξ）=YtZδWtp（δVtVt，δWt |ξt，Ξ）（9）传统上，最后一个积分不能直接积分，由于传统的Jensen参数，通常采用迭代期望最大化算法。幸运的是，积分公式9并不困难，因为联合密度p（δVtVt，δWt|ξt，Ξ）可以表示为高斯多变量的简单乘积（δVtVt|δWt，ξt，Ξ）|{z}误差×p（δWt）{z}，或者使用已知的nZ维多元变量x积分恒等式∞-∞经验(-x> Ax+JTx）dx=（2π）n | A | exp[J>A-1J]我们发现积分器δWtp（δVtVt，δWt|ξt，Ξ）的对数按比例（忽略无用常数项）为：- 对数| Dt |- 日志| Id+√Ohm>M> tD-1tMt√Ohmdt |+（u）+√Ohm>M> tD-1tδvt√dt）>。×（Id）+√Ohm>M> tD-1tMt√Ohmdt）-1.× (u +√Ohm>M> tD-1tδvt√dt）- （δvt）>D-1tδvt- u>u，其中u=ERt[Ut]=ER[U]。虽然因子Wα的风险中性预期为零（因为瞬时方差是风险中性测度下的鞅），但没有任何东西保证该性质在真实但未知的测度下也成立。

众所周知，隐含方差实现了负衰减，即ERt[δWt]≤ 0，即产生众所周知的期限结构波动性风险溢价。求解模型参数现在很简单。因为矩阵mt依赖于估计曲线ξt，而估计曲线ξt本身依赖于参数集Ξ，所以我们必须以伪期望最大化的方式进行迭代：1。建模步骤首先，给定一个完全指定的模型（即一整套参数），可以从公式5中提取每个时间t的瞬时方差项结构ξut。如果没有对曲线ξt的任何假设，我们的问题将无法解决。我们假设方差项结构是平滑的，每个方差曲线都由少量的基函数参数化，这些基函数覆盖了曲线的大部分可变性。图2显示了一些估算曲线的示例。2.期望步长一旦估计了曲线，就可以计算公式6中的积分KTi，αt（或等价于公式7中的矩阵mt）。3.最大化步骤我们可以通过简单的最大似然法确定未知参数。在实践中，为了避免收敛问题，在规划网格上迭代选择核参数kα，保持不变，而剩余参数则通过最大似然估计。更现实的方差期限结构建模只会假设分段平滑函数，重要财务日期（如美联储委员会会议、关键指标发布）会出现不连续性。这可能对股市至关重要，但对全球股市来说就不那么重要了。请注意，我们不需要将曲线ξTon分解为一组小的基函数，而是可以将5a Tychono ff正则化项添加到定价方程中。

我们对这两种方法进行了实验，没有发现任何显著差异。我们重复上述步骤，直到收敛完成。在我们的数据集上，下表提供了一组最佳参数。kFkSuFuSθFθSρ10.25 1.05-7.5% -0.4%180%92%51%Bergomi的双因素模型具有相似的参数。然而，在我们的校准中，慢因子Ks显著较高（约为1，与[3]中的0.35相比），这主要是因为我们的模型侧重于中短期到期日（无需对方差曲线的长期趋势进行建模）。一旦优化完成，我们通过最大化后验：p（δWt |δVtVt，ξt，Ξ）来提取隐藏状态δWt∝ p（Δvt |ΔWt，ξt，Ξ）×p（ΔWt |Ξ）在我们的一般随机波动性框架中，状态δWt是隐含波动性的驱动因素。它们是隐含波动率期限结构变化的简化表示。图3：优化我们将优化的估计参数绘制为所选快速因子kF的函数。对于快速因子kF，达到了对数可能性的最小值（红色虚线）≈ 10.25. 对于不同的kF值，其他参数没有显著变化。例如，估计的相关性ρα、β和第一方差参数θF分别在0.5和1.8左右相当稳定。随着参数kFis的增加，慢因子kS和第二方差参数θ缓慢增加。2.3.3收敛性和稳定性收敛性在两次迭代中实现。在每次操作中，预期步骤可能会产生一些错误（例如，由于模型参数不正确）。这些不太可能在积分KT，αt的估计中造成任何重大误差——主要是因为凸度校正量非常小，几乎可以忽略——见第2.3.4节。

图2显示了一些估计的即时方差曲线以及相应的凸度校正。核函数的准确识别更加困难。很明显，存在两种不同的模式，即一种快速kF>5，另一种慢速kS<1.5，但不同且表面上可接受的解决方案的对数可能性并不总是显著不同。对于范围广泛的可接受解决方案，包括范围6<kF<14和0.3<kS<1.4，其余参数θF、θS、ρ相当稳定。图3说明了这一点。2.3.4数量级我们提供了一些关于凸度修正数量级的大致数字。为此，我们对相对宽松的期限结构进行了共同假设。例如，关注区间[T，T]，这一假设意味着瞬时方差ξutu之间的差异∈ [T，T]和年化方差VT→与方差本身相比，TTI可以忽略不计→Tt。从数学上讲，这通常被表述为U∈ [T，T]，（ξut- 及物动词→Tt）=o（VT→Tt）。在这项工作中，我们将多次使用这个假设。积分KT，αt可以用一阶BykTe近似-kα（T-t） pg（kα）T）与g（x）=xRxe-udu=1-E-xxandT=T- T=。由此，等式5的凸度调整也可以近似为：c.c。≈Xα，βOhmα、 βg（kα）T）{z}gα(T）g（kβ）T）{z}gβ(T）1- E-（kα+kβ）（T-t） kα+kβ,收敛到Pα，βOhmα、 βgα(T）gβ(T）kα+kβ长期到期。然而，请注意，不应相信大额到期的限额。我们的模型已经在短期至中期到期时进行了校准，我们模型的简单性不适合评估曲线的长期性（超过6个月）。通过分析模型参数，我们发现，对于短期到期，凸度调整非常小。

对于前两个期货，凸度小于5%，几乎可以忽略；长期到期的限制凸度调整小于10%。由于凸度调整在初始阶段可以忽略，我们可以将VIX期货的价值与其相应的前向方差走向（即VTt）进行同化≈ KTt。我们可以直接推导出波动率指数期货的波动率可以近似为：sXα，βOhmα、 βgα(T）gβ(T）e-（kα+kβ）（T-t） ，（10）略低于等式4.3分析和讨论中定义的方差的波动率的一半。在这一阶段，我们对波动率模型进行了校准，对模型因子δzt和δWαt以及每日方差曲线ξt进行了估计。在继续之前，我们检查我们的模型是否可信，以便更好地理解波动性。我们验证了它能够准确捕捉方差曲线变形的主要模式（第3.1节）。这项检查验证了hiddenstates在一个简单的低维环境中分析波动性属性的使用。波动性因素构成了期限结构变化的简化表示。然后，我们就可以探索现货和波动性的联合动态。我们一步一步地进行。我们研究了模型因子的个体密度特征，讨论了高斯假设的有效性以及对波动风险溢价幅度的影响（第3.2节）。然后，我们将重点放在联合变化上，并对即期汇率和波动率之间的非线性关系进行建模（第3.3节）。我们强调了与GARCH模型的联系，并研究了对隐含杠杆效应和波动的异质性的影响。最后，我们深入研究了波动性本身的波动性（第3.4节）。

VVIX指数的均值回复性质表明了一些可能的改进。3.1模型AdequacyTo为了评估随机方差模型的充分性，我们进行了两个初步实验。首先，我们将VIX波动率的理论期限结构（由公式10中的校准模型给出）与历史实现水平进行比较。如图4所示，匹配结果与工厂相符。短期到期的限制，如美国- T→ 0，可计算为90%左右，该值略低于VIX指数的观察波动率（自2007年以来约为110%）。图4还显示，短期波动性比长期波动性更具波动性，并显示出比曲线长端更多的偏度和峰度（见第3.2节）。图4：瞬时波动率指数波动率每个交叉点对应于波动率指数期货的已实现每日波动率，该波动率是到期时间的函数。对于每个给定的到期日，圆圈代表所有相应日波动率的二次平均值。该曲线代表方程式10中计算的模型挥发度。在第二个实验中，我们从一组校准曲线ξt计算曲线变化的主要正交模式Δξtξt（即Karhunen-Lo`eve分解）。前三个主本征模捕获了99%以上的总方差。图5显示了相应的模式。第一种模式覆盖了几乎95%的总方差，对应于一种水平效应，即整个曲线因隐含波动性冲击而变形。这种变形并不均匀，但对曲线的短期部分影响更大，反映出短期期货的更高波动性。

如Cont和da Fonseca在[12]中所述，第二和第三种模式可以识别为坡度和凸度效应。在该数据集上，第三代模式提供的凸性影响可以忽略，因为其对总方差的贡献小于1%。前7个波动率指数期货提供的短时间跨度解释了这一点。两种主要模式足以捕获99%的变形模式。这解释了为什么在我们的模型校准中使用两个以上的因素可能会导致难以优化和过度拟合。为了用数据集说明我们的简单模型的充分性，我们计算了随机模型隐含的两个正交模式。图5显示了数据（即来自估计方差CUVE）和模型所隐含的模式。模型和数据之间的匹配令人惊讶地好，除了可能是非常短期的到期日（不到2周），在这种情况下，校准的方差曲线比指数模型模式更“平滑”。这可能是因为我们为方差的术语结构引入了平滑约束。CBOE于2014年推出的短期VixFuture的出现将逐步缓解这一问题。图5：市场和模型模式数据和模型隐含的模式分别以实线和虚线显示。在这两种情况下，第一种模式占总方差的95%。第二种模式对应于坡度计，而第三种模式则捕捉到了凸度。两种模式足以准确捕获99%的方差。3.2高斯不是“正常”我们现在将注意力转向随机因子δzt和δWαt的统计特性，以及内在方差δξttξtt的变化。