方差动力学——经验之旅

我们计算了整个学习期间的一些基本统计数据。XuXσXζXκXν+Xν-XδZt+33%79.6%-0.57 1.59 5.23 3.76δWFt-117%100%+0.364.253.253.35δWSt-68%100%+0.432.622.923.92Δξttξtt-67%210%+0.63 3.60 3.17 3.12正如预期的那样，公平因子δzt表现出显著的负偏度和过度峰度，发现约为1.5，与之前的许多研究一致（见[7]）。然而，少量的样本应该会让我们对任何确定的结论产生怀疑。虽然有足够的数据证明存在明显的过度峰度和厚尾，但肯定没有足够的数据来校准相应的κ值。更重要的是，估计了3年内的尾流系数- 4范围明确提出了峰度的收敛性和一致性问题。我们忽略了这个潜在的问题，仅从上述数字得出结论，高斯假设显然被违反。波动率是正偏态的，峰度大得多（快因子比慢因子更极端）。这并不令人惊讶，因为波动性的行为是出了名的疯狂。根据2%（以下）和98%（以上）分位数的极值计算得出的尾系数也代表了基本分布。正偏斜ζ≈ +0.5，显著的过度峰度κ>3，以及小的正尾系数ν+≈ 3清楚地表明，隐含波动率可以表现出反复无常的行为，甚至随着自然度的降低而变得更加反复无常。3.2.1小心波动率结转这些统计数据还强调了波动率空间中最常见的两种策略：短期波动率结转和隐含期限结构结转[19]。这两种策略都包括抑制波动性。

他们的目标是通过观察一个危险的短期波动头寸来获得小而正常的正回报，从而对抗隐含波动率飙升这一罕见但毁灭性的风险事件短期波动率携带短期波动率的目的是通过做空已实现波动率与长期隐含溢价来获得众所周知的波动率风险溢价，即隐含波动率与已实现波动率之间的差异。根据目前的数据，VolatityRik溢价估计约为1- σZ≈36%（显然不包括交易成本）。这是相当大的，并解释了为什么波动性风险溢价如此受欢迎。然而，风险溢价的波动性可以大致近似于√2+κσZ≈ 120%，绝不是微不足道的隐含期限结构利差隐含期限结构策略利用波动性期限结构中存在的负利差。瞬时方差曲线通常是连续的，反映了与进一步到期相关的更大的不确定性。在这个数据集上，期限结构溢价的特征是波动因素的负趋势，幅度超过50%！iPath标准普尔500波动率指数短期期货ETN系统性地推出短期波动率指数期货的多头头寸，可能是套利成本的最典型例子。尽管上述统计数据是在整个时期内计算出来的，但应该清楚的是，它们并不是一直持续的。例如，在σZ左右的值上，实现的过度隐含的可用性的比率平均值≈ 80%，但在考虑的时间段内达到了非常大的值。平方即期因子δtδzt的分布代表了短期波动头寸的危险性。预测波动性风险溢价的演变很困难。在实践中，很少有从业者能长期成功。

然而，尽管存在这些明显的危险，大多数波动性策略，实施复杂的基于规则的策略，这些策略应该能够预测风险逆转，最近已经浮出水面，并获得了惊人的普及。。。直到下一次危机？3.3节理密度和非线性我们现在研究节理变化的特征。除了即期汇率和波动率之间的负相关性之外，我们预计还会出现非线性。波动性倾向于对冲击做出线性反应，直到某一点，在此点之后（即低于该点），波动性倾向于迅速飙升。我们定义了中心变量和归一化变量δ′Zt=δZt- uZδtσZ√δtandδWαt=δWαt- μαWδtσαW√δt，并在图6中显示它们的关节变化。正如我们所观察到的，存在一个小的非线性关系，对于快速因子来说更为明显。图6：联合动力学快速（左）和慢速（右）波动系数δ′Wα皮重与现货系数δ′Zt绘制。我们还通过函数关系fα将非线性建模的结果绘制成图表。给出了估计参数。我们建议将波动率的日变化建模为两项的总和，即对现货因子δZt的非线性依赖性，以及由高斯Uαt建模的外生因子：δ′Wαt=fα（δ′Zt）+γαUαt，（11），其中函数fα被选为二次函数fα（δ′Zt）=aα（δ′Zt）- 1) - bαδ′Zt。本可以引入更复杂的关系，但我们发现这个简单的二次函数很好地捕捉了波动率的非线性依赖性。有趣的是，通过在有限的时间尺度上工作，可以很容易地引入非线性。

这不适用于有限元建模，因为二次变量d¨Zt=1会将函数fα降低为简单线性依赖。简单的计算结果是：aα=E[δWαt（δZt- ζδ′Zt）]2+κ- ζ、 bα=ζE[δ′Wαtδ′Zt]- （2+κ）E[δ′Wαtδ′Zt]2+κ- ζ≈ -E[δWαtδZt]，γα=1- aα（2+κ）- bα+2aαbαζ，ρ=γαγβE[UαtUβt]+（2+κ）aαaβ+bαbβ- ζaαbβ- ζaβbα外生变量Uα与皮重没有强相关性。此外，目视检查似乎表明与点变量δ′Zt无关——注意，根据构造，E[Uαtδ′Zt]=0。δWα和δZt之间的距离相关性[20]约为70%，但Uα和δZt之间的距离相关性低于10%。在两个波动系数δWαt中，只有快速波动系数需要二次项。在这两种情况下，由γα衡量的外源因素的贡献都是显著的，对快速因素γF>γS的影响更大。短期波动性比长期波动性更为剧烈，更不可预测。使用第三个更快的因子，即k>kF，会产生略高的凸度，但不会显著增加。更进一步，我们从方程3中推导出，方差曲线变形也可以建模为两个独立项的总和，一个是点因子δZt的二次函数，另一个是独立分量：Δξutξut=Xαθαωα（u，t，ξt）αδt+√δtfα（δ′Zt）（12） +σV（u，t，ξt）√δtVT是一个标准正态变量，σV（u，t，ξt）依赖于波动率：σV（u，t，ξt）=sXα，βθαθβωα（u，t，ξt）ωβ（u，t，ξt）γαγβE[uαuβ]波动率σV的大小应提请注意隐含波动率的不可预测性。外生因素约占总波动率的三分之一。

虽然波动性的动力学与其潜在的联系紧密，但将其简化为一个简单的函数关系肯定会大大低估波动性的微妙行为。这自然会导致我们讨论GARCH模型的一些局限性。3.3.1与GARCH模型的联系在金融计量经济学中，ARCH模型非常流行。他们通常假设条件波动率σG，t=ERt[σt]仅由现货变化δZt中存在的单一风险源驱动。这些模型并不试图对隐含波动率进行建模，而是关注未来即期回报的“真实”方差。因此，他们自愿忽略波动的独立性。存在许多方差[14]，但简而言之，他们试图将下一步方差σG，t+1建模为过去方差σG，t的函数-过去的土地-如果我≥ 0.一个典型的非对称GARCH（1，1）模型可以表示为：σG，t+1=φ+φrtδt+φrt√δt+（1+φ）σG，t+剩余（13），其中常数φi将在历史时间序列上进行校准。模型方程11及其求积项暗示了潜在的GARCH模型。我们可以首先推导方程式12，以找到以下表达式：ξt+δt+δ≈ φt+φtrtδt- φtqξttrt√δt+（1+φt）ξtt+ξttφtVt√δt（14）与Vta标准高斯变量和参数验证：φt=ξutu|tδtφt=Pα′θαaασZ√δt，其中θα=θαe-kαδtφt=Pα′θα（2aαuZσZ√δt+bασZ）√δtφt=Pα′θαμαWδt-Pα′θαaα√δt+Pα′θα（aαuZσZ√δt+bαuzσz）δtφt=σV（t，t+δt，ξt）等式13和.14之间的差异来自于模型方差；在前一种情况下，它是实际实现方差ERt[σt]的度量，而在后一种情况下，它对应于隐含的市场观点ξtt=EMt[σt]。

然而，由于我们可以期望市场预期提供真实隐藏分布的合理估计，两种方法在一开始应该是等效的，在公式14中，通过标准化方差因子σZ的存在来考虑差异。当前数据集上公式13的校准显示出与模型值的良好一致性（我们在时间依赖性上进行了平均）：φφφφφ数据0.15%1.53%0.15%-3.13%127%型号0.00%0.96%0.15%-1.50%141%直接在数据集上校准时，二次项φ大于根据模型参数计算得出的值。这部分是由于隐含的杠杆效应和我们在下一节分析的波动聚集效应。在具有波动性期限结构的随机模型中，冲击δZtat timet对整个方差曲线有影响。这种影响反映在期限结构的斜率中，并间接反映在系数φt中。另一方面，等式13中的建模和等式14提供的近似值是短视的，因为它们忽略了长期的过去贡献，试图通过过去的回报来解释方差变化。具有隐含变动期限结构的随机波动率模型，如公式3的当前模型，很好地模拟了市场现实。特别是，由于术语结构的建模（见第3.3.2节），比GARCH模型更容易捕捉长期现象。在GARCH模型中显然可以引入长期相关性，但随着自由度的增加，校准可能会变得困难。3.3.2程式化事实尽管是多方面的，但现货和波动性表现出令人担忧的特征，在文献中通常被称为“程式化事实”；其中，隐含波动率微笑的负陡度（反映负的现货/成交量相关性）、波动率的异方差（即。

波动率聚集现象[11]），以及隐含的杠杆效应（即ATM波动率随基础市场下跌而增加的趋势[10]）。在对非线性现货/成交量关系进行建模后，我们研究了隐含杠杆和波动率聚集效应的建模含义。两者都将今天的新闻与明天的波动联系起来。隐含的杠杆效应量化了今天的冲击对明天的波动率（信号振幅）的影响，而波动率聚类将今天的波动率与明天的波动率（振幅与振幅）联系起来。在我们的模型中，波动性的期限结构显然提供了直接的联系：今天的新闻会影响方差的完整期限结构，从而影响明天的波动性。我们用bX表示随机变量X的趋势，即bX=X- E[X]。杠杆相关函数l（t，) 衡量今日时间t的（去趋势化）回报率与明天波动率[rt]之间的相关性+在时间t+. 通过在t+时刻对过滤进行迭代调节，进行直接计算 和t+δt，然后使用等式3（见[21]）得出：L（t，) =Et[brt[rt]+]宠物[brt]Et[[rt]+]=Xαθαωα（t，t+, ξt）E[δ¨Ztδ¨Wαt]|{z}aαζ-bα≈-bα√δt因此，就股票而言，杠杆相关函数的主要驱动力是现货/成交量相关性[δ\'Ztδ\'Wαt]≈ -bα。非线性是可以忽略的。波动率聚类函数C（t，) 测量在时间t计算的今天的波动率与明天的波动率[rt]之间的相关性+在时间t+. 使用类似的推导步骤，我们发现：C（t，) =Et[brt[rt]+]Et[brt]Et[[rt]+]]=Xαθαωα（t，t+, ξt）E[δ¨Ztδ¨Wαt]|{z}aα（2+κ）-bαζ√δ在波动率聚类的情况下，必须考虑即期收益率和波动率因子之间的完全非线性关系。

值得注意的是，如果我们假设一个标准的正态模型，即通过强制ζ=0和κ=0，假设点因子δzt为高斯分布，我们将无法准确地匹配数据。波动性聚集是非线性（通过术语aα（2+κ）贡献三分之一）和非高斯效应（通过术语Bαζ贡献三分之二）的结果。图7：杠杆相关性和波动性聚类图7显示了根据我们的模型和数据集估计的杠杆相关性函数和波动性聚类函数。增广随机模型捕捉了两个典型的事实。3.4关于vol of vol的期限结构尽管现货收益率rt=δStSt在一天的尺度上显示出很小的自相关，但这不是以| rt |或rt测量的收益幅度的情况。这种现象被称为我们在上一节中详细研究的波动聚集效应。在我们的模型中，变量δzt和δWαtar被假定为独立的、同分布的。因此，它们不应该显示任何自相关。这可以通过波动系数δZt、其大小δZt以及波动系数δWαt来验证。然而，一些股票指数的波动幅度似乎存在一个小的负自相关，从而产生均值回归策略。因子|δWαt |不是独立的，存在正自相关。

对整个公司结构的简单自相关检查证实了这一结论：在不同到期日观察到的曲线的绝对变量也是自相关的（可以对波动率指数期货的变量进行类似的检查）。这种自相关特性暗示了现货收益率的波动率变化Δξutξutas的类似行为：与今天的冲击对未来市场波动率产生持久影响的方式相同，今天的波动率冲击也会影响未来的波动率。随着前者转化为隐含波动率的期限结构，也存在类似的波动率的期限结构。为了更好地理解波动性的行为，我们研究了VVIX指数。与代表未来30个日历日SPX指数预期波动性的VIX指数类似，VVIX指数反映了VIX指数的预期波动性。同样，它被计算为VIX期权的插值，这些期权写在VIX期货上。由于波动率指数期货根据到期时间对新信息的到达做出不同的反应，因此情况与波动率指数略有不同。短期波动率指数期货的波动率自然高于较远的波动率指数期货的波动率，因此产生了一个在VVIX指数计算中反映的期限结构。VIX指数的情况并非如此，VIX指数是根据所有写在同一页下方的期权计算得出的。在我们的模型中，假设波动率具有固定的波动率参数，并假设波动率的期限结构，VIX到期日的预期总方差可以评估为：Et[Ti]- tZTit（dVTiuVTiu）]=Xα，βOhmgα，βg（（kα+kβ）（Ti）- t） ）|{z}表示gα+β（Ti-t） （15）与Ohmgα，β=Ohmα、 βgα(T）gβ(T）。

因此，波动性指数期货的期限结构正在下降——正如我们刚才提到的，越远的波动性指数期货对新闻的反应越少，因此波动性越小。与历史数据（芝加哥期权交易所提供VVIX期限结构）的比较表明，我们的模型低估了波动率期权定价中的波动率。这是意料之中的。与波动性风险溢价类似，波动性风险溢价也存在波动性。仔细检查还发现，术语结构取决于vol of vol的水平：vol of vol越高（即VVIX越高），历史术语结构越陡峭。这清楚地表明了我们的方法的局限性：使用恒定的vol-of-vol参数Ohm, 公式15的项结构是递减的，但不会随时间而改变。更进一步，我们计算模型中VVIX指数的模型值。由于递减期限结构和插值方法，该值取决于所选到期日的到期日（同样，VIX指数的情况并非如此）。在我们的模型中，预期VVIX指数的平方应等于：Xα，βOhmα、 βgαgβ2gα+β（T- （t）- E-（kα+kβ）（T-t） gα+β(（T）t插值过程中使用的第一个和第二个到期日，以及T=T- T≈. 这意味着VVIX的平均值约为75%，显著低于实际历史平均值（约为86%），这意味着VIXoptions中的风险溢价的数量是显著的。图8表示平方o fix指数和我们的模型之间的比率。