方差动力学——经验之旅

我们表示λtappers的比率是平均值回复到一个可以估计为130%左右的值≈ (86%75%).图8：波动率的波动率我们显示了平方VVIX指数和我们的理论值之间的比率，用固定的vol of vol参数计算。该比率的动态性表明，均值回复过程可以用来模拟vol-of-vol的随机性。例如：dλtλt=-kλ（对数λt）- （对数λ）∞+σλ2kλ））dt+σλdWλt带校准参数λ∞kλμλσλζλκλ126%16 0%152%0.78 2.66以及与其他因素的相关性ρδZtδWFtδWStδWλt-60%56%59%这将产生vol of vol等于toEt[logλu]=logλ的期限结构∞+ （对数λt）- 对数λ∞)E-kλ（u）-t） （16）在这个增强的框架内，瞬时方差将遵循一个扩散方程：dξutξut=rλtλ∞x nXα=1θαωα（t，u，ξt）dWα在vol-of-vol参数中的第一阶，只需要对我们的随机波动性框架进行轻微调整——然而，它将变得不那么容易处理。凸度校正将被改变，因此，随着vol的增大，凸度校正将略微增加。更重要的是，存在随机的交易量意味着VIX到期日的总方差将通过使用从等式16推导出的二阶近似值来反映交易量的均值回复行为，λut=Et[λu]=λ∞（λtλ）∞)E-kλ（u）-t） eσλ（u）-t） ，VIX到期日Ti的总方差将与公式15不同：Xα，βOhmgα，βe-σλt-（kα+kβ）Ti4（Ti- t） ZTitλutλ∞e（kα+kβ+σλ）uduth对于短期到期、小平均回归率kλ或小水平的vol，vol对vol的影响最小。在所有其他情况下，需要对上述积分进行数值评估。随着vol of vol的增加，从历史数据来看，期限结构变得更加陡峭。

为了将来的工作，我们在模型中集成了大量信息。因此，我们通过深入研究非线性的理论含义来探索spot/vol特性。WenInvestigate对衍生品定价和对冲的影响，这是一个活跃的研究领域[2,4,10,5,21]。我们首先关注标准香草选项，并回顾基础偏斜和隐含偏斜之间的联系（第4.1节）。然后仔细研究隐含偏差和ATM隐含波动率演变之间的关系（第4.2节）。最后，我们来看一下对年化方差波动性的一些影响（第4.3节）。4.1偏态和偏态我们研究了收益ζt的偏态和偏态、Tof隐含期权微笑之间的关系。众所周知，一个模型产生的收益偏斜与同一模型定价的期权隐含偏斜有关[2]。这并不奇怪，因为偏度和偏度都是现货波动相关性的函数。在vol-of-vol参数的vol中，关系可以表示为Skewt，T=ζTt√T-t、 然而，只有当模型是线性的时，这个表达式才成立。当存在一些非线性时，例如通过函数fα，质量会出现问题，如[21]所述。我们在模型的范围内研究了这种关系。我们验证了当忽略非线性时，即假设α=0，等式在一阶有效。非线性的存在改变了这种关系。

然而，在现货/成交量线性相关性占主导地位的股票中，其影响可以忽略不计。4.1.1收益的偏度收益的偏度可以很容易地从2阶和3阶矩中计算出来：ζTt=Et[（\\logSTSt）]Et[（\\logSTSt）]。按照与[3]相同的推导步骤，我们首先发现偏斜度可以表示为：ζTt≈Pu（ξutδu）（Puξutδu）ζZ（17）+3XαθαPuξutPv<upξvtωα（v，u，ξt）E[δ\'Zud\'Wαu]δuδv（Puξutδu）假设波动性的期限结构相对较低，上述方程进一步简化为ζTt≈ζ√N+3√T- tXαθαE[δ¨Zd¨Wα]|{z}-bαh（kα（T- t） 式中，h（x）定义为h（x）=xRxug（u）du=x-1+e-xx。到期收益率的偏态- t是时间尺度δt上现货过程的内在偏度和现货波动率相关性的结果。在没有vol的情况下，即θα=0，偏度在减小√Nas期望采用独立增量的fora流程。这个词很快就会被忽略。4.1.2挥发物的微笑为了研究vol对期权隐含微笑的影响，我们引入了一个标度参数λ作为θα→ λθα. 参数λ控制模型中的随机波动量。在没有vol的vol的情况下，即λ=0，我们的模型的恒常性等于var掉期波动率σVS（t，t）=pVt→Tt，期权的隐含波动率为FL。在vol of vol的存在下，隐含波动率的形状发生了改变，ATM波动率发生了变化，偏差从零开始。这一特性是随机波动率模型的一个众所周知的事实，在最近的工作[4,5]中，在二阶线性模型的情况下已被精确量化。当存在非线性时，随机参数对隐含波动率的影响是不同的，正如[21]在单因素GARCH模型中指出的那样。

我们进行了类似的分析，并在我们的增广非线性随机波动率模型中计算了隐含波动率。在走向K=St+dK的一阶，波动率近似为：∑λ（K，t，t）≈ σλATM（St，t，t）+Skewλt，t×dkst，其中σλ（K，t，t）是在罢工K时观察到的Black-Scholes隐含波动率。注意，对于罢工K，σλ=0（K，t，t）=σVS（t，t）。买入期权的价格FK（λ）=Et[（St-K） K的+]是通过参数λ的vol参数的vol的函数。定价是在风险中性度量下实现的，即我们假设δzt和δwt是标准正态分布，我们忽略了漂移分量。首先，由特定走向K的随机波动性的存在所暗示的波动性变化可以计算为：Δσ（K，t，t）=σλ（K，t，t）- σVS（t，t）=λFK（0）织女星，织女星是标准的Black Scholes织女星。我们推断：oATM价差ATM波动率移动σλ（St，t，t）- σVS（t，t）=λFSt（0）VegaSto倾斜由随机波动性产生的倾斜等于倾斜λt，t=λFK（0）VegaK-FSt（0）VegaStstdk经过一些繁琐的计算（见附录6.2），我们发现k（0）vegak的比率可以表示为：XαθαPuhξutδuPv<uδvωα（u，v）√δtEt[fα（Av+BvW）]i（T- t） pVt→其中，W是标准高斯变量，Av，bv定义为：Av=pξvtδv（T- t） Vt→Tt（（T- t） Vt→Tt+logKSt）Bv=s1-ξvtδv（T）- t） Vt→tt上述表达式与[21]中推导的表达式相同。这并不奇怪，因为外部波动对隐含微笑或扭曲的表达没有可测量的影响。通过对函数fα的定义，我们发现上述期望可以表示为：Et[fα（Av+BvW）]=aα（Av+Bv）- 1) - bαav线性情况我们首先考虑线性模型，通过简单假设aα=0忽略二次项。

然后可以直接检查表达式Skewt，T=ζTt√T-t在第一阶时有效（记住，对于定价，我们假设ζ=0——我们忽略了回报的内在偏度）。此外，我们可以精确地表示线性模型所隐含的ATM扩展和倾斜的值。为了简单起见，我们假设方差的期限结构相对灵活；我们发现：Spread | lin=-Xαθαbαh（kα（T- t） ）（t- t） σVS（t，t）歪斜| lin=-Xαθαbαh（kα（T- t） ）这正是[5]中更一般设置下得出的结果。vol of vol的存在会降低ATMvolatility，并与equalitySpread | lin=（T）成比例地产生倾斜-t） σVS（t，t）Skew | lin.非线性情况在存在非线性的情况下，Skew和Skew不再直接相关。在浮动期限结构的情况下，我们可以表示差异基特，T-ζTt√T-tas:Xαθαaαh（kα（T- t） ）σVS√δt非线性的影响通过αbασ与√δt≈fα2fασVS√δt.在SPXindex的情况下，主导因素仍然是点/体积的线性相关性。非线性影响可以忽略，比率为零。然而，当相关性变小和/或非线性变大时，差异和比率将变得可见。对于微笑程度较低且现货/成交量相关性接近于零的资产，如外汇资产，情况就是如此。还要注意的是，当观测的时间框架变小时，即δt→ 0，我们以线性情况结束。还可以计算对ATMvolatilities传播的影响，以发现：排列=排列|非lin- 扩散| lin=Xαθαaαh（kα（T- t） ）σVS√δt（（t- t） σVS- 1） 我们发现这也是可以忽略的。

虽然非线性会改变收益偏度和隐含波动率偏度之间的关系，但修正的幅度很小，可以安全地忽略。4.2歪斜粘性比率在最近的研究[4]中，Bergomi表明波动率模型的两个先验的非常不同的特征，即隐含微笑的静态形状和ATM波动率的动态，是紧密联系的。为了测量它们的相关性，他引入了倾斜粘性比R（t，t）作为：R（t，t）=Et[δσATM（t，t）δSt]倾斜（t，t）Et[dSt]这个比率提供了对粘性走向R=1、粘性增量R=0和局部体积冲击=2的定量解释。在我们的模型中，可以很容易地计算ATM波动性与点变化之间的相关性：Et[δσATM（t，t）δSt]Et[δSt]=XαθαRTtξutwα（t，u）Et[δWαtδZt]pξttVt→Tt（T- t） δt在波动率的期限结构中，它可以表示为asXαθαg（kα（t- t） g（x）=1时的E[δ′Ztδ′Wαt]-E-xx。忽略非线性（设置aα=0），我们因此发现倾斜粘性比可以表示为r（t，t）=Pαθαbαg（kα（t- t） Pαθαbαh（kα（t- t） 这正是Bergomi在[4]中发现的表达式。在小到期日的限制下，倾斜粘性比收敛到2。如果将微笑解释为期权伽马加权的所有波动路径的平均值，那么这个值就非常合理。

在长期债券的情况下，该比率趋于1。虽然非线性改变了倾斜粘性比的值，但我们并未发现差异对SPX指数有显著影响。4.3方差的波动性互换在最后一节中，我们进入了波动性衍生品的世界[9,1]，并研究了年化方差的波动性。方差互换提供固定期间内收益的累计年化方差敞口[T，T]。大多数情况下，收益率是近距离计算的，但也存在其他约定。在贸易生涯中≤ T≤ T、 年化方差标记为市价vt→Tt=Et[T- 特瓦特→T] 根据每日收益进行的变动，增加了累计实现的差异，但也由于与到期前剩余差异相对应的隐含可用性的变动。利用方差的可加性，计算了年化方差δVT的变化→ttt在时间步长内δt（对应于一天）可以写成两个显式项之和：T（δStSt）- ξttδt| {z}T+T- TT（δIt）- Et[δIt]）|{z}隐含方差（18）的变化，其中It=Vt→TT表示到期前的隐含年化方差。这个表达式清楚地表明，我们提供了一个简单的直观证明。在时间t时，观察到的到期日t+2δt的波动率σBS（K）可以用σBS（K=St+dK）=σBS（St）+SkewtdKSt来近似货币周围的冲击。在时间t，对应于时间间隔[t，t+δt]和[t+δt，t+2δt]的局部波动率分别表示为σ和σt+δt（St+dK）。在小δt和小dK的极限下，我们必须有σBS（K=St+dK）=σt+σt+δt（St+dK）。局部波动率σt+δt（St+dK）表示区间[t+δt，t+2δt]上定义的ATM波动率的时间t预期。

通过将σt+δt（St+dK）=σt+δt（St）+R×skewtdkstwi与代表歪斜粘性比的未知系数R相加，我们立即发现R=2。瞬时隐含方差ξtt必须验证ξttδt=Itδt- （T）- t） Et[δIt]。年化方差的波动性，即ET的平方根[TZTT（δVuVu）]，取决于协方差参数Ohmα、 β（通过第二项），但也取决于归一化返回δZt的峰度κ（通过第一项）。这意味着，即使在没有vol of vol的理想化场景下，也就是说。Ohmα、 β=0时，收益的离散化会产生一些波动。离散抽样对总方差的贡献是众所周知的。第三个贡献是存在的，尽管记录较少。大型意外冲击，即δ′Zt>>1，也通过其与隐含波动率的相关性对总波动率作出贡献。这最后一项是非线性的直接后果，伴随着巨大的意外冲击，通常是负的，与隐含的方差跳跃密切相关。我们用ρα冲击表示这种相关性，即ρα冲击=Et[δWαt×δZ]-1.√2+κ]. 使用公式11中定义的近似值，我们可以明确地计算相关性为ρα=aα√κ + 2 - bαζ√κ+2. 从我们估计的参数来看，这两种相关性都在25%左右。与波动率聚类效应类似，与负的现货量相关性相关的变量δzt的偏度本质上决定了相关系数的大小。根据我们通常的假设，方差的期限结构相对较低（见附录。

6.3对于推导），方差交换的总方差可以近似为三项之和：抽样影响κ+2NTimplied参数spα，βOhmα、 βl（kα，kβ，T）意外电击2qκ+2NTPαραθαh（kαT）用h（x）=x定义的函数-1+e-xxx和l（x，y，z）=xyz（z-1.-E-xzxz-1.-E-YZ+1-E-（x+y）z（x+y）z）。对于小到期日，他们验证了l（kα，kβ，（T）≈和h（kα（T）≈, 而对于大到期日，gα，β(（T）≈kαkβTand h（kα（T）≈kα根据估计的模型参数，我们可以定性地计算总方差。如图4.3所示，所有三个术语都有显著影响，包括非线性影响。事实上，不应忽视大型意外冲击的影响，因为其对短期波动的贡献可能很大（例如，对于3个月的掉期交易，约为10%）。方差互换方差将方差互换的预期方差绘制为到期日的函数。方差分解为三项，反映了非线性、离散采样和隐含参数标注的影响。我们还显示了数据集上计算的历史变量（黑色十字）。波动性衍生品的定价和对冲，如波动性掉期，以及波动性或方差期权，取决于我们刚刚计算的总方差。由于非线性有助于增加总方差，它们将影响衍生品的定价和套期保值。在这种情况下，这三个术语可以直接解释为伽马成本、现场伽马、参数标注伽马以及两者之间的交叉伽马。然而，重要的是要认识到，每天使用相同成熟度的即期方差互换对方差衍生工具进行套期保值可以同时对冲三个Gamma。

不同的是，只要一个人知道正确的对冲工具vega，三个条款就会同时对冲。最后，我们注意到方差的期限结构很少发生变化。在实践中，斜坡的存在应整合到总方差中（见附录6.3）。因此，波动性衍生品，如方差期权，将需要额外的中间交易T<T<T的方差互换套期保值。结论在本文中，我们从实证角度研究了现货和波动性的一些特征。我们总结了以下发现：1。方差曲线的Karhunen-Lo`eve分解表明，前两个本征模式几乎占方差的99%，证实了[12]中报告的结果。只有两个因素的随机波动率模型能够高度准确地捕捉长达半年的方差曲线的每日变化。2.现货和波动因子的密度明显偏离正态分布。它们表现出明显的倾斜、巨大的过度峰度和肥尾，这是一个经常被记录的已知事实[7]。现货和波动率之间的关系不是线性的；波动性是凸的。对于SPX指数，可以使用二次函数fα实现精确建模。随着成熟度的增加，非线性成分的强度减弱。由函数关系无法解释的方差的分数占三分之一。3.杠杆相关性量化了今天的即期汇率变动与明天的变现收益率之间的相关性，通过术语隐含方差结构（等式3）以及即期汇率与波动率之间的线性相关性精确建模[10,21]。