方差动力学——经验之旅

波动率聚类的建模用于测量今天和明天的实际波动率之间的相关性，需要更高阶的非线性效应来捕捉相关性E[δ¨Wtδ¨Zt]。我们发现，非线性成分解释了大约三分之一的波动性聚集，并且在短期内更为显著。点因子的倾斜与线性点/体积相关性相结合，解释了剩余的三分之二。5.波动率的波动性本身就是波动的，并且似乎遵循一个半衰期低于一个月的均值回复过程。增加随机时变波动率可能是一种有趣的方法，可以推广当前的方法，并整合VVIX指数（和VIX期权）提供的额外信息。我们研究了非线性对微笑动力学的影响。正如在[21]中首次指出的，非线性模型产生的波动偏斜通常与基础数据的偏斜不同。在PX指数的情况下，线性斑点/体积相关性仍然是主导因素，非线性影响可以忽略，并且[4]中定义的倾斜粘性比实际上没有变化。更平和/或更凸的波动性微笑，如外汇市场上的微笑，可能会产生明显的差异。7.非线性对年度化方差的总波动性有重要影响，因此，应将其纳入波动性衍生品的定价、建模和对冲中。凸性贡献的下降速度比离散采样影响的下降速度慢，但这两个贡献很快都小于通过对隐含参数进行注释而产生的波动率。

然而，我们注意到，只要计算出正确的VEGA，使用即期方差进行套期保值将对不同的贡献进行套期保值。6附录：通过考虑θα一阶小扰动的证明，在时间v观察到的未来瞬时方差ξuv≥ t可通过以下公式从之前的值ξut近似得出：ξuv=ξut×1+XαθαZvtωα（τ，u，ξX）dWατ|{z}表示χα，ux，t→五、= ξut×1+Xαθαχα，ux，t→五、（19） 其中，函数ωα在未扰动状态（θα=0）下计算，方差在时间x冻结≤ t（更多细节见[4,21]）。通常，冻结时间被视为开始日期（即x=0）或当前时间（即x=t）。通过冻结方差，函数ωα变得确定，没有随机成分。6.1凸性校正在等式3中定义的波动率模型下，可以很容易地以协方差参数的一阶计算VIX期货的价值Ohmα,β. 我们将时间T的方差结构表示为在时间T观察到的项结构的扰动，通过用dψuT（v）=ξuT×Pαθαωα（v，u，ξT）写出ξuT=ξuT+ψuT（T），扰动曲线ψ中的二阶扩展导致：VTt=EtsTZTTξuTdu= EtsTZTT（ξut+ψut（T））du≈ EtsTZTTξutdu+TRTTψut（T）duqTRTTξutdu-(TRTTψut（T）du）(TRTTξ（utdu）≈ KTt-Et[(TRTTψut（T）du）]（KTt），其中KTt=sTZTTξutdu≈ KTt-Et[PαθαRTtδWαvTRTTξutωα（v，u，ξt）du]（KTt）≈ KTt×1.-8（KTt）Xα，βOhmα、 βZTtdvTZTTξutωα（v，u，ξt）du×TZTTξutωβ（v，u，ξt）du |{z}凸性校正6.2波动率对隐含微笑的影响波动率的存在改变了隐含波动率表面的形状。我们引入一个标度参数λ作为θα→ λθα，考虑看涨期权的价格FK（λ）=E[（ST- K） 存在volλ6的vol时，走向K的+]等于0。定价是在风险中性措施下实现的，即。

δzt和δwt遵循标准正态分布。我们也忽略了漂移部分。由vol的vol的存在引起的走向k处的波动性变化为：Δσ（k，t，t）=σλ（k，t，t）- σVS（t，t）=FK（λ）- FK（0）VegaK=λFK（0）VegaK，其中Vegaki是标准的Black Scholes vega。为了计算FK（0），我们遵循与[21]中相同的步骤。我们将spotat成熟度表示为未扰动状态（λ=0）和一阶校正的函数：logSTSt=Xulog（1+δSuSu）≈徐pξuuδZu-ξuuδZu≈徐pξuuδZu-ξuuδu≈徐pξutδZu-ξutδu| {z}LN+λXαθαXupξutχα，ut，t→uδZu- ξutχα，ut，t→uδu| {z}LαN从上面的等式19中，我们得到F（λ）=E[（SteLN+λPαθα）~LαN- K） 所以F（0）=PαθαStE[~LαNeLNLN>logKSt]。为了简单起见，我们去掉α项，定义σu=pξutδt和moneyness MK=logStK≈ -dKSt。积分FK（0）的计算是痛苦的，而且计算量很大。它需要对变量和部分积分进行多次更改。我们在下面概述一下证据。首先，我们将积分FK（0）表示为两个积分之和：FK（0）=StEhLNeLNLN>logKSti=StE~LN-1eLN-1Φ（MK+LN）-1+PNi=NσiqPNi=Nσi）+ σNStE埃尔恩-1χNN-1.√2πe-（MK+LN）-1+PNi=Nσi√PNi=Nσi）= St×[I（N）]- 1） +σNJ（N）- 1） ]然后我们利用以下等式√2πe-xΦ（ax+b）=Φ（b√1+a）来推导递归等式：I（k- 1） =I（k）- 2） +σk-1qPNi=k-1σiJ（k）- 2） 积分J（k）- 1） 可计算为：J（k- 1） =e-MKXu<kλkusPNi=kσiPi6=uσiE“δ”Wu√2πe-（σu）u+MK-Pσi）Pi6=uσi#=√2πe-（MK+Pσi）PσiXu<kλkusPNi=kσiPσiEfα（σ）上σi（Xσi）- MK）+sPi6=uσiPσiU）我们将VaR表示为Black-Scholes总方差VaR=PNu=0σu≈RTtξutdu。综合所有因素，我们发现：FK（0）VegaK=Xαθαp（T- t） VaRXu“ξutδuXv<uδvωα（u，v）E”√δtfα（pξutδuVaR（VaR- MK）+rVaR- ξutδuVaRU）##6.3年化方差的波动性为了得出年化方差的总方差ET[TRTT（δVuVu）]。

18.我们假设方差的期限结构相对宽松。我们假设u的Vt、隐含方差Itan和瞬时方差ξ之间的差异≥ t应为二阶（与涉及协方差参数、峰度和相关项的不同积分项相比）。虽然这种近似很少得到精确验证，但它确实带来了获得精确闭式解的优势。在我们的假设下，可以导出以下近似值zttdξutdu=nXα=1θαZTtξute-kα（T-u） dudWαt≈ ItnXα=1θαgα（T- t） dWα细枝gα（t- t） =1- E-kα（T-t） kα（t- t） ，适用于公式18，导致按市价计价δVt的变化≈TξttδZt- δt+T- TTItXθαgα（T- t） dWαt从那里很容易计算总方差。我们的浮动期限结构假设意味着不同的波动率比率（见下文）可以忽略，而不会对最终解决方案产生太大影响。ET[TZTT（δVuVu）]≈TZTTET[（ξuuVu）（δZu）- δu）]+德克萨斯州Ohmα、 βkαkβZTTET[IuVu]（1）- E-kα（T-u） ）（1- E-kβ（T-u） ）杜+TXθαkαZTTET[（ξuiuvu）（δZu）- δu）dWαu]（1）- E-kα（T-u） )≈κ+2NT+Xα，βOhmα、 βkαkβT(T-1.- E-kαTkαT-1.- E-kβTkβT+1- E-（kα+kβ）T（kα+kβ）T） |{z}l（kα，kβ，T）+2rκ+2NTXαραθα（kαT-1.- E-kαT（kα）T）{z}h（kαT）参考文献[1]E.Ayache。方差互换的讽刺之处在于。WILLMOT杂志，第16-23页，2009年。[2] D.巴克斯、S.弗雷西、K.赖和L.吴。解释布莱克·斯科尔斯的偏见。纽约大学斯特恩商学院工作文件，1997年。[3] 贝戈米。微笑动力学2。风险，2005年10月，第67-73页。[4] 贝戈米。微笑动力学iv.风险，2009年。[5] 贝戈米。还有J.Guyon。她有条不紊地微笑着。风险，60-662012年。[6] 博勒斯列夫。从词汇表到arch（garch）。工作文件；时间序列计量经济分析研究中心，2008年。[7] J-P.Bouchaud和M.Potters。

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