衡量金融连通性和系统性的频率动态

由于方差分解矩阵θHdo的行不一定和为一，因此每个条目都由行和规范化为eθHj、 k=（θH）j，k/NXk=1（θH）j，keθHj、 k=1，通过构造，所有元素的和ineθHis等于N。注意eθHj、 K提供了地平线H处从j到i的成对连通性度量。该信息可聚合以度量系统的总连通性。然后，将连通性度量定义为除自身误差以外的误差在预测中所占的方差份额，或者定义为有效对角线元素之和与整个矩阵之和的比率（Diebold and Yilmaz，2012）CH=100·Pj6=keθHj、 kPeθH=100·1.-TrneθHoPeθH, （2） 式中，Tr{·}是迹算子，分母表示θHmatrix的所有元素之和。因此，连通性是系统中其他变量对预测方差的相对贡献。注释：（A）j，k表示矩阵A的第j行和第k列，用粗体表示。（A） j，·表示完整的第j行；这与列的情况类似。APA，其中A是一个矩阵，表示矩阵A.2.2方差分解和连通性测量的谱表示描述连通性的频率动态（长期、中期或短期）的自然方法是考虑基于冲击频率响应而非脉冲的方差分解的谱表示对冲击的反应。作为所提出理论的一个组成部分，我们考虑频率响应函数ψ（e）-iω）=Phe-iωhψh，可通过系数ψh的傅里叶变换获得，i=√-1.

然后，可以方便地将xtat频率ω的光谱密度定义为MA的傅里叶变换(∞)过滤系列asSx（ω）=∞Xh=-∞E（xtxt）-h） e-iωh=ψ（e）-iω∑ψ（e+iω）功率谱Sx（ω）是理解频率动力学的一个关键量，因为它描述了Xt的方差如何分布在频率分量ω上。使用协方差的谱表示，即e（xtxt-h） =Rπ-πSx（ω）eiωhdω，以下定义自然引入了方差分解的频域对应项。定义2.1。频率ω上的广义因果谱∈ (-π、 π）定义为（f（ω））j，k≡σ-1kkΨE-iωΣj、 k（ψ（e）-iω∑ψ（e+iω））j，j，其中ψ（e-iω）=Phe-iωhψhis是冲激响应ψh的傅里叶变换。需要注意的是，（f（ω））j，kre表示在给定频率ω下，由于kth变量中的冲击，JTH变量的频谱部分。我们可以将数量解释为频率因果关系中的数量，因为分母在给定频率ω下保持第j个变量（xt互谱密度的对角线元素）的频谱。为了获得方差分解到频率的自然组合，我们可以通过第j个变量方差的频率份额来加权（f（ω））j，kb。加权函数可以定义为Γj（ω）=ψ（e）-iω∑ψ（e+iω）j、 j2πRπ-π（ψ（e）-iλ∑ψ（e+iλ））j，jdλ，表示给定频率下第j个变量的功率，它将整个频率相加为2π的常数值。

请注意，虽然脉冲响应的傅里叶变换通常是一个复数，但广义因果谱是加权复数的平方模，因此产生了一个实数。下面的命题建立了方差分解的谱表示，它对频域中连通性度量的发展至关重要。提议2.1。假设Xt与σ是广义平稳的-1kkP∞h=0|（ψh∑）j，k|<+∞, j、 k.那么，（θ）∞)j、 k=2πZπ-πΓj（ω）（f（ω））j，kdω。证据见附录A.2。利用命题2.1中的结果，（θH）j，kat H→ ∞ 可以看作广义因果关系谱（f（ω））j，k的加权平均值，它给出了给定频率上的关系强度，由该频率上的级数的幂加权。容许频率上的积分完美地重建了原始（θ）的理论值∞)j、 这个命题不仅是一个重要的理论结果，而且提醒我们，当用（θH）j测量连通性时→ ∞ 在时域中，我们通过频率来观察信息聚合，忽略了对时钟的异质频率响应。还需要注意的是，影响整个频率范围（θ∞)j、 k.在经济应用中，我们通常感兴趣的是评估短期、中期或长期的连通性，而不是单一给定频率下的连通性。因此，为了更好地遵循经济直觉，更方便的方法是使用频带，将其定义为在凸集频率上产生的预测误差方差量。然后，通过仅对期望频率ω进行积分给出该量∈ （a，b）。形式上，让我们有一个频带d=（a，b）：a，b∈ (-π、 π），a<b。

频带d上的广义方差分解定义为（θd）j，k=2πZdΓj（ω）（f（ω））j，kdω。（3） 因为引入的关系是一个恒等式，积分是一个线性算子，在覆盖整个范围的不相交区间上求和(-π、 π）将恢复原始的方差分解。下面的评论正式说明了这一事实。备注2.1。用构成区间划分的区间集合D的实线上的区间表示(-π、 π），这样∩ds∈Dds=, 和∪ds∈Dds=(-π, π). 由于积分的线性和ds的构造，我们得到了（θ）∞)j、 k=Xds∈D（θds）j，k。使用广义方差分解的谱表示，可以直接定义给定频带上的连通性度量。定义2.2。让我们定义频带D=（a，b）：a，b上的标度广义方差分解∈ (-π、 π），a<b aseθdj、 k=（θd）j，k/Xk（θ∞)j、 k，其中θ和θ∞由等式（3）和命题2.1定义o然后将频带d上的内部连通性定义为asCWd=100·1.-TrneθdoPeθd.o 然后将频带d上的频率连通性定义为asCFd=100·PeθdPeθ∞-TrneθdoPeθ∞= CWd·PeθdPeθ∞,其中Tr{·}是迹算子，θd表示θd矩阵所有元素的和。定义2.2涉及两个概念：频率连通性和无连通性。内连通性给了我们在频带内发生的连通性效应，并由给定频带上序列的幂加权。然而，频率连通性将等式（2）中定义的整体连通性分解为不同的部分，当求和时，给出原始连通性度量C∞.

下面的命题形式化了重建整体连通性的概念。命题2.2（频率连通性的重建）。由构成区间分区的区间D集合的实线上的区间D表示(-π、 π），这样∩ds∈Dds=, 和∪ds∈Dds=(-π, π). 然后我们有了C∞=Xds∈DCFds，（4）其中C∞在方程式（2）中用H定义→ ∞.证据见附录A.2。为了说明频率和内部连通性之间的差异，回想一下，经济变量的典型谱形状在低频率（长期运动或趋势）上的影响力最大。因此，我们可以将连通性分解为两部分：一部分涵盖长期运动，另一部分涵盖短期运动。假设90%的光谱密度集中在长期运动中，因此10%集中在短期运动中。现在，假设短期运动的连通性较高，比如说80%，而长期运动的连通性较低，比如说25%。80%和25%的连通性数字代表内部连通性。总连通性将非常接近25%，因为80%的短期连通性将被短期频率上非常低的频谱密度（10%）所降低。除此之外，尽管短期活动因短期频率的小部分差异而紧密相连，但这种联系在总体系统连通性中变得微不足道。这可以在下一节的模拟中清楚地观察到。我们在结束理论部分时指出，当整个频带d=(-π、 π）被考虑。提议2.3。让我们看看d=(-π, π). 然后我们得到cfd=CWd=C∞. （5） 证据。

参见附录A.2.2.3频率域中的连通性估计先前定义的连通性度量的估计在很大程度上依赖于VAR近似模型中系数的精确估计。虽然标准VAR估计器在许多情况下运行良好，但包括收缩或贝叶斯方法在内的先进技术可以帮助处理大维度数据、偏离分布假设等情况。预测误差的方差分解直接从移动平均系数计算。由于这些理论量的计算是基于一个有限的过程，我们使用有限的视界H近似（如上述定义中所用）使其可行，注意到近似误差随着H的增长而消失（L¨utkepohl（2007））。然后通过标准递归模式bψ=I，bψh=Pmax{h，p}j=1Φ（j）bψh计算bψ系数-1，其中p是VAR和h的顺序∈ {1，…，H}。在这里，我们注意到，通过研究频域中的量，H仅作为一个近似因子，它没有时域中的解释。在应用中，我们建议将H设置得足够高，以获得更好的近似值，尤其是当需要较低的频率时。使用标准离散傅里叶变换估计光谱量。以下定义准确说明了使用的数量估算。定义2.3。区间d=（a，b）：a，b上的互谱密度∈ (-π、 π），a<bZdψ（e）-iω∑ψ（e+iω）dω估计为ω的xωbψ（ω）b∑bψ（ω）∈aH2π, ...,bH2π式中bψ（ω）=H-1Xh=0bψhe-2iπω/H，和b∑=bB/（T）- z） ，其中z是自由度损失的修正值，取决于VAR规范。然后，在给定频带上的脉冲响应函数的分解被估计为asbψ（d）=Pωbψ（ω）。

定义2.3最终允许在所需频带估计广义方差分解，如下所示：bθdj、 k=XωbΓj（ω）bf（ω）j、 k，在哪里bf（ω）j、 k≡bσ-1kkbψ（ω）b∑j、 kbψ（ω）b∑bψ（ω）j、 jis估计的广义因果谱和BΓj（ω）=bψ（ω）b∑bψ（ω）j、 j(Ohm)j、 j，使用精确制定的时变参数模型可能允许预测连通性度量。是加权函数的估计，其中Ohm =Pωbψ（ω）b∑bψ（ω）。然后，连通性度量bc和bcfat可以通过插入bθdj、 K在定义2.2.3模拟研究中，我们通过模拟来研究产生依赖于频率的连通性的过程，以激发建议措施的有用性。我们关注通过双变量AR过程之间的横截面相关性或相互作用诱导的连通性。然后通过双变量VAR（1）情况下的系数变化来说明连通性及其光谱足迹的出现。假设数据由以下方程式生成：x1，t=βx1，t-1+sx2，t-1+ 1，tx2，t=sx1，t-1+βx2，t-1+ 2，t，（6）在哪里(1，t，2.t）~ N（0，∑）带∑=1 ρρ 1.通过改变生成数据的真实系数，我们研究了几个具有理论连通性估计已知值的案例。我们从β=β=β的对称过程开始，三个重要的情况产生明显连接的变量x1，tand x2，t。第一种情况是β=β=β=0，当我们有两个独立的过程，在所有频率下都具有零连接性。

其次，我们研究了参数β=β=β=0.9和s=0.09或β=β=β=-0.9和s=-0.09分别为正系数和负系数，从交叉谱密度的低频和高频与不同来源产生相等的总连通性。除了激发连通性频率动力学的重要性外，我们还展示了横截面相关性的重要性，这种相关性转化为所有频率，可能会使连通性度量产生偏差。因此，对于所有情况，我们考虑两个极端的横截面相关性：无相关性ρ=0和相关性ρ=0.9。为了说明横截面相关性如何影响连通性度量，我们在估计过程中增加了一个步骤来计算度量，只考虑残差协方差矩阵的对角线，并去除横截面相关性。通过这种方式，我们将相关性的影响从真实动力学中分离出来。在本文中，我们始终仅给出模拟数据的估计值，并将测量值的真实值保存在附录B.2的表4中。表1显示了结果。我们可以观察到，系统的两个不相连和不相关的过程的连通性在总的和所有的光谱部分实际上都为零。在相关噪声的情况下，估计的相关矩阵的总连通性约为45，所有尺度上的足迹相等。仅考虑残差估计协方差矩阵中的对角元素，并去除横截面相关性，正确估计所有频率下的无连通性。对于AR系数等于0.9的情况，不相关的情况表明，过程之间的联系是长期的（正如预期的那样，由于底层过程的光谱密度）。

然而，引入相关性会增加总的连通性，最重要的是，整个估计是使用R软件中的包频率连通性来完成的。该包装可在CRAN或on上提供https://github.com/tomaskrehlik/frequencyConnectedness.Connectedness（0，π／4）4）总（π／2，π／4，π／2）（0，π／4）总（π／2，π／2，π／4，π／4，π／4，π／4，π／2）（0，π／4）（0，π／4）（0，π／4，π／4）（0，π／4）（0，π／4）（0，π／4）（0，π／4）（0，π／4）（0，π／4）（0，π／4）4）0，0，0，π／4）0，0，0，π／4）4）0，0，4）0，0，0，0，π／4）0，π／4（0，0，π／4）0，π／4）0，4）0，0，4）0，0，0，0，0，0，π／4）0.50）0.90 0.09 0.00 37.65 0.69 1.26 37.77 37.24 0.64 1.2237.84(4.55) (0.76) (0.76) (4.36) (4.64) (0.93) (0.92) (4.81)0.90 0.09 0.90 49.24 43.97 44.15 49.36 35.31 0.37 0.79 35.07(0.33) (0.64) (0.62) (0.27) (6.27) (0.45) (0.53) (5.10)-0.90 -0.09 0.00 39.33 38.91 0.96 0.87 38.97 38.68 0.81 0.71(3.90) (4.24) (1.19) (1.20) (4.31) (4.21) (0.88) (0.89)-0.90 -0.09 0.90 49.40 49.43 43.81 43.77 35.10 35.74 0.44 0.37(0.32) (0.23) (0.62) (0.63) (6.28) (4.95) (0.30)（0.29）表1：模拟结果。前三列描述了方程式（6）中描述的模拟参数。我们设定β=β=β。结果基于100次VAR模拟。指定参数的长度为1000，燃尽期为100。

估计值是在100次模拟中计算平均值，标准误差是样本标准偏差。（0，π/4）4）3.3 3.3 3.3.0（3.3）38.3（0.14 38）38.03（4.79）（1.32）（1.27）（1.27）（3.27）（3.27）（3.27）（3.94）（3.94）（4）（3.94）（3.94）（4）（4.94）（4）（4）（4）（4.94）（4）（4）（4.49）（4）（4）（4）（4.49）（4.49）（4）（4）（4）（4.49）（4）（4）（4.49）（4）（4）（4.49）（4）（4）4）（4）4）4）4）4.49）（4.49）（4.49）（4）4）（4）4）4.49）4）4）0.49）0.49）0.49）0.49）（4.49）0.49）（4）0.49）（4）0.49）0.49）0.49）0.49）0.0.90）（0.46）（0.53）（4.80）0.90 0.400.09 0.00 5.62 0.43 0.95 7.50 5.69 0.29 0.82 7.36(1.52) (0.31) (0.32) (2.19) (1.48) (0.07) (0.19) (1.94)0.90 0.40 0.09 0.90 46.11 44.10 44.35 46.53 5.40 0.30 0.82 7.38(0.36) (0.57) (0.53) (0.30) (1.62) (0.06) (0.17) (2.17)0.90 0.00 0.09 0.00 2.70 0.42 0.93 4.21 2.54 0.31 0.78 3.95(0.91) (0.38) (0.35) (1.16) (0.68) (0.08) (0.21) (1.23)0.90 0.00 0.09 0.90 45.37 44.37 44.61 45.87 2.66 0.29 0.74 3.77（0.36）（0.42）（0.39）（0.37）（0.78）（0.06）（0.16）（1.20）0.90-0.90 0.09 0.00 0.53 0.59 0.54 0.53 0.49 0.47 0.45 0.45（0.15）（0.38）（0.20）（0.31）（0.10）（0.12）（0.10）（0.11）0.90-0.90 0.09 0.90 44.90 44.78 44.61 44.76 44.82 0.46 0.46 0.47（0.35）（0.35）（0.36）（0.15）（0.10）（0.10）（0.10）（0.10）（0.12）（0.12）（0.10）（0.10）（0.10）（0.10）（0.10）（0.11）（0.11）模拟结果）（表0.11）（0.11）（0.11）（0.11）（0。前三列描述了模拟的参数，如等式（6）所述。结果基于100次VAR模拟，具体参数长度为1000，燃尽期为100。估计值是通过对100次模拟进行平均来计算的，标准误差是简单的样本标准偏差。混淆了动态的来源。仅考虑估计残差的协方差矩阵的对角线，我们可以看到估计协方差矩阵中的相关性正确地揭示了潜在的动力学。