股市收益时间序列的周期性行为分析

SMI数据的值仅在交易日列出，也就是说，它们根据市场日历进行记录，从数据集中删除所有周和假日。3.2. 股票市场数据的小波谱我们已经计算了所有SMI系列的WT功率谱，以及这些数据系列的所有周期（持续时间）。我们只考虑了a=1的最小时间尺度和a=N/5的有统计意义的最大时间尺度[32]之间的WT光谱值，并在这些限制范围内搜索特征峰（局部最大值）。为了确保我们通过这种方式获得的pe AK不是所使用的WT方法的人工制品，我们还使用[35]中描述的工具包和[36]上提供的现成软件，对每个峰值进行了统计显著性测试。为了评估每个峰值的重要性，我们将它们与它们所属的背景全球小波谱进行了比较。我们首先计算了每个SMI系列的局部WT规格，并搜索了具有10%显著值的rWT系数。然后，我们计算了时间尺度上的局部WT光谱，表明在许多时期存在广泛的WT意义。然后，将出现在全球光谱上方的峰值作为进一步分析的重要参数。图1。以EGX 30时间序列为例，描述了这一重要测试的方式。SMI时间序列是一个复杂系统的产物，该系统由许多不同时间尺度的成分相互作用而成，因此，选择使用全局小波谱作为背景来测试峰值的重要性是有指导意义的。

因此，SMI时间序列是过程中涉及的不同输入的噪声分量的混合体[37]；这一事实表明，将SMI小波规范中的pe AK与信号本身以外的任何特定非ise背景进行比较非常重要[38]。图1:EGX 30小波功率谱峰值显著性测试示例。（a） 原始数据；（b） 局部小波功率谱。选择轮廓级别时，每个级别上分别有75%、50%、25%和5%的小波功率。黑色轮廓是10%的显著水平，使用全局小波作为背景光谱；（c） 在1500个点计算的局部小波功率谱与相同sat数据的全局小波谱的比较。显著峰值出现在全球光谱之上。我们在数据集的所有SMI系列中发现了多个峰值。此外，我们发现的pe AK在整个数据集上表现出共同的特性，即，如果它们在相对相似的位置（分形时间）存在峰值。我们的分析确定了以下常见的特征峰值，或者更确切地说是特征峰值周围的特征周期：工作周周期（或5天峰值）、一周周期（或7天峰值）、两周周期（或14天峰值）、月周期（或30天峰值）、四分之一周期（或90天峰值）、4到5个月周期（或150天峰值），半年周期（或6到7个月的峰值）、年周期（或360天峰值）和abi年周期（或600天）多周期。表2列出了我们在每个SMI系列中发现的峰值。

我们观察到的来自不同经济体的SMI记录之间的差异仅出现在缺乏光谱峰值k（见表2）或特定峰值位置的轻微不同步（也就是说，我们发现在所有分析的SMI序列中，峰值不在完全相同的时间点，这促使我们引入峰值或周期间隔的概念）。在表2中，周期和周期间隔以天数为单位（根据包含原始数据的交易日重新计算）。表2：通过小波谱分析确定的SMI时间序列周期概述。峰值间隔数I II III IV V VI VII VIII IX峰值（天）57143090150360600间隔长度（天）2-6 6-10 10-25-60-110-190-250-450 0-900BELEXline x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x。2和3.3.3。股票市场数据小波变换的统计特征为了能够比较和表征我们获得的股票市场数据的小波谱，我们计算了所有数据系列特征峰下所有区域（表2所列）的相对能量含量和相对振幅。

WT功率谱中第i个峰值的相对能量含量定义为[11]：Ei（si1，si2）=Ei（si1，si2）Etotal，（6），其中Ei（si1，si2）表示第i个峰值周围周期的平均能量含量：Ei（si1，si2）=tZtZ1/2πsi11/2πsi2a | W（a，b）| dadb，（7）10 100 1000 NYSEEW（a）a（天）图2：NYSE SMI数据系列中检测到的峰值示例。10 100 1000Ew（a）a（天）TepixIII VII图3：在TEPIX SMI数据的时间序列中定位两个峰值间隔的图示。Etotalis是所分析的股票市场系列WT光谱的总能量含量。能量含量是WT功率谱中的一个物理量，所以它代表了它的自然特性。同样，第i个峰值下光谱带的相对振幅定义为：aWi（si1，si2）=Ai（si1，si2）原子，（8）withAi（si1，si2）=tZtsi2- si1Z1/2πsi11/2πsi2aW（a，b）dadb，（9）其平均振幅，和原子感兴趣的股票市场系列的WT功率谱的总振幅。WT功率谱的振幅取决于[11]频率（标度）b的可变性，并进行了分析——频率越恒定，振幅越高。我们计算了所有分析谱中获得的所有峰的相对能量含量和相对振幅。然后，我们对三组数据进行了统计分析——分别属于发达经济体、新兴市场和欠发达经济体。我们首先对这三个数据组的分布正态性进行了Shapiro-Wilk检验。如果我们的数据集中存在分布的正态性，我们进行了单因素方差分析测试，以比较样本均值，显著性水平为p<0.05。

如果ANOVA测试证实存在均值差异，则使用Bonferroni方法比较所有数据组的平均均值。然而，如果Shapiro-Wilk检验不能证实数据集中分布的正态性，我们将使用Kruskal-Wallis方差分析检验来比较均值，其显著性水平为p<0.05。如果Kruskal-Wallis方差检验证实各组均值存在差异，则使用Wilcoxon-Mann-Witney方法对所有三组数据的平均均值进行比较。表3。列出三个SMI组的所有峰值的相对能量含量Ewio和相对振幅Awio的计算平均值。各组之间每个峰值的统计显著差异值用黑体标记——如果只有一个值用黑体标记，则它与峰值组中的其他两个市场组不同；如果两个值以粗体显示，它们会相互区别；如果这三个价值观都是大胆的，那么这三个市场群体的价值观就会彼此不同。表3:WT峰值下的相对能量含量和相对振幅值。各组之间每个峰值的统计显著差异值用粗体标出。当一个值被加粗时，它就不同于峰值组中的其他两个市场组。

如果两个值被加粗，它们会相互区别，如果所有三个值都被加粗，那么所有三个市场组的值都会相互区别。在（天）5 7 14 30 90 150 210 360 600未开发峰下的相对能量含量0.0004 0.0006 0.0028 0.0055 0.012 0.0087 0.024 0.051 0.34新兴0.0017 0.0022 0.0079 0.015 0.017 0.016 0.039 0.09 0.45未开发峰下的相对振幅0.0032 0.0033 0.012 0.019 0.023 0.014 0.038 0.39未开发峰下的相对振幅0.0098 0.019 0.016 0.037 0.063 0.32新兴0.002 0.0025 0.011 0.017 0.023 0.024 0.046 0.081 0.37发达0.0026 0.003 0.013 0.019 0.026 0.022 0.046 0.066 0.34我们的结果也如图4所示，其中三个市场组的相对能量含量和相对振幅的平均值，在三个峰值区域中——一个小尺度区域在5天时围绕峰值，一个中等尺度区域在150天时围绕峰值，以及一个大尺度区域在600天时围绕峰值。表3和图4显示，在小范围区域（峰值高达90天），欠发达市场在峰值下的相对能量含量和相对安培数均小于其他两组的值，具有明显的统计学意义。更重要的是，对于所有三个市场组，5天和14天的小规模峰值的相对能量含量值在统计学上是不同的。对于更大范围的峰值（150天及以上的峰值），欠发达市场数据的行为与其他两组没有区别，但在600天时峰值的大范围区域除外。

因此，在几天、几周和几个月的短时间内，过渡市场似乎不像新兴或发达经济体的市场那样遵循同样的行为模式。因此，我们的结果表明，小规模区域峰值的Ewif和Awif等指标可用于市场经济之间的部分差异。欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区欠发达地区对以下三个市场组的平均值之间差异的统计分析结果：a）相对能量含量ewi和b）相对振幅awi。对三个峰值区域的结果进行了描述——一个小规模区域在5天时围绕峰值，一个中等规模区域在150天时围绕峰值，以及一个大规模区域在600天时围绕峰值。正方形包围了S MI组内75%的值，而误差条描绘了同一组内的最大值和最小值。4.股市数据的时间相关分析为了进一步了解SMI数据的局部复杂性，并获得一种可能性，以提高我们定量区分我们使用的三组SMI数据的能力，我们将时间相关的去趋势移动平均（tdDMA）算法应用于所有SMI序列。

在图5中，我们给出了在2008年到2011年的时间间隔内，随机选择的SMI市场群代表的tdDMA计算值示例，移动窗口为Fns=1000，步长δs=1。为了量化SMI数据的局部行为，并最终比较我们股票市场的效率，我们构建了SMI-Hurst向量hα，其中每个坐标hαi与所选峰值区间（包括和包围每个峰值）的局部Hurst指数的值相关。我们的计算是在九个区间上进行的，这九个区间分离了九个市场峰值（见表2，图2和图3），以指数i（i=1…9）为标志，而α计算SMI系列。根据所有这些值，我们构建了Hurst参考SMI向量m，其中re m（i）代表数据集中所有SMI的hαifor eac hcoordinate（peak）i的平均值。赫斯脱。00.51.00.00.51.02008 2009 20100.00.51.0DAX0。41HJSE0。48日期（年）BELEXLine0。69图5:BELEXline SMI系列（代表不发达经济体的市场）、JSE SMI系列（代表新兴市场）和DAX系列（代表发达经济体的市场）计算的tdDMA值（当地赫斯特标度指数）的图示。计算的tdDMA值是针对2008年至2011年的时间段给出的。水平实线标记同一时间段的平均（或全局）赫斯特标度指数值。这里，使用了Ns=1000的移动窗口和s-tepδs=1。这里没有描述错误条；有关局部赫斯特指数误差的估计，请参见[32]。因此，对于数据集中的n=18个不同SMI指数，参考SMI向量定义为：mi=nnXα=1hαi，（10）。

我们观察了参考向量Mi的值如何随着新SMI数据（市场）的增加而变化，在我们的数据集中，当n>15时，这种变化变得非常小。表4列出了计算的Hurst矢量和Hurst参考矢量的值。根据两个向量hα和m，我们计算了相对SMI-Hurst单位向量sα，我们定义为：sαi=hαi- miqPni=1（hαi- mi）。（11） 通过这种方式定义，单位向量sα为我们提供了关于每个市场的赫斯特向量hα和赫斯特参考向量m之间差异方向的信息。我们希望这个标准评分将在一定程度上准确地标记我们使用的数据集中市场的整体状态（即发展）。然而，就我们的数据集而言，赫斯特参考点代表点sα的存在并没有为我们提供有关市场发展或效率的任何相关补充信息。这可以通过使用余弦相似性来证明，余弦相似性是两个sα向量的标度积，可以量化不同SMI序列sα位置的相似程度。可缩放4：Hurst向量hα和股票市场时间序列的Hurst参考向量MIO。在这里，指数i表示峰值区域，而指数α表示股票市场。7.0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0.71 1.0 0.01 0.01 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0.48 0 0.48 0 0.47 0.47 0.47 0.47 0.0 0.0.0 0.0 0.47 0.47 0.0.0.0 0 0 0.0.0.0 0 0.48 0.47 0.47 0 0.0.0.0.0.0.0 0 0.0.0 0 0.48 0 0 0 0 0.48 0.47 0.0.0 0 0.0.0.0.0.0.47 0.0 0.47 0.0 0 0 0 0.0.0.0.0.0 0.85 0.77 0.72 0.437 BOVES PA 0.37 0.46 0.39 0.490.57 0.72 0.71 0.71 0.698 JS E 0.38 0.51 0.51 0.55 0.36 0.48 0.98 0.729 S E 0.34 0.53 0.51 0.55 0.57 0.58 0.44 0.60 0.7310 CROBEX 0.36 0.48 0。

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 49 0.45 0.53 0.50 0.51 0.5717 DAX 0.36 0.49 0.44 0.45 0.47 0.550.580.590.5618标准普尔500指数0.380.500.470.490.470.530.520.550.52mi0。37 0.51 0.49 0.54 0.54 0.62 0.64 0.63 0.61 sαi的产品定义为：Hαβ=pXi=1sα是βi，（12）其中α和β计数SM i系列（α，β∈ {1,2，…，18}），而P=9个数的峰值（峰值区域）。我们在图e6中给出了所有数据和三个人工生成的时间序列中这些标量积的范围和图形化值，在所有分析的峰值区域中，H值分别为0.4、0.5和0.7。我们添加的这些新系列作为视觉指南，用于区分不同类型的长程行为（即，H=0.4时的长程反相关行为，H=0.5时的不相关行为，以及H=0.7时的长程相关行为）。图6显示了两个独立的块矩阵的存在，它们区分了欠发达市场组（左上角）和发达市场组（右下角）内的强相似性，以及相反的强相异性。此外，在图6中可以看到第三个市场群的存在，既不属于发达市场，也不属于欠发达市场。