美国和亚洲期权定价

相比之下，亚洲型期权的价值不仅取决于期权行使日期的股票价值，还取决于期权存续期内股票的平均价值：w（τ）=max{A（zT）- κ、 0}，其中A（zT）是股票在行权日期τ之前获得的已知或观察值的平均值，为此目的，该值为“存在”。因此，如果期权的寿命由100万个“时间刻度”组成，到时间τ时，将观察到100万个z（s）值中的每一个的共享值z（s），并且，当T==0时，τ]，A（zT）是100万个z（s）值除以100万的总和。然而，在τ之前的任何时间t，包括期权合约创建时的时间t=0，未来值z（s）（0<s≤ τ） 都是未知和不可预测的。但如果它们的联合分布F已知，那么A（ZT）是一个联合连续可观测的，A（ZT）\'A（ZT）RT+，F,同样，fτ（ZT）\'max{A（ZT）-κ, 0}RT+，F. Asian选项在时间t，0时的值≤ 然后可以从[14]第440页的（8.47）中推导出t<τ：wt=e-ρ(τ -t） E\'Ffτ“ZT= E-ρ(τ -t） ZR]t，τ]+fτ（zT）`f（I[N]）。【14】第9.9节（第479-485页）概述了上述论点背后的假设（几何布朗运动假设）的缺陷。

[14]第9.10和9.11节概述了估算此类过程实际联合分布函数的经验方法。本文的其余部分使用Maple程序，应用这种方法来估计Glanbia股票的亚洲看涨期权的价值。欧洲和美国期权都有行权价值，行权价值取决于标的资产在期权行权之日的价值。相比之下，其他类型的期权合同的价值不仅取决于期权行权日的股票价值，还取决于期权合同有效期内标的资产在不同时间的价值。例如，亚洲类型的期权取决于期权有效期内股票的平均价值：w（τ）=max{A（zT）- κ、 0}，其中A（zT）是股票在行权日期τ之前获得的已知或观察值的平均值。因此，如果期权的寿命由100万个“时间刻度”组成，当达到时间τ时，将观察到100万个z（s）值中的每一个的共享值z（s），并且，对于T==0，τ]，A（zT）是100万个z（s）值除以100万的总和。然而，在τ之前的任何时间t，包括期权合约创建时的时间t=0，未来值z（s）（0<s≤ τ） 都是未知和不可预测的。但如果它们的联合分布F已知，那么A（ZT）是一个联合连续可观测的，A（ZT）\'A（ZT）RT+，F,同样，fτ（ZT）\'max{A（ZT）-κ, 0}RT+，F. Asian选项在时间t，0时的值≤ 然后可以从[14]第440页的（8.47）中推导出t<τ：wt=e-ρ(τ -t） E\'Ffτ“ZT= E-ρ(τ -t） ZR]t，τ]+fτ（zT）`f（I[N]），（11）根据[14]第8.13-8.19节第433-466页的风险中性鞅定价论证，其中fτ（zT）=max{A（zT）- κ、 0}（12）表示zT∈ RT+。

在欧洲和美国期权的情况下，fτ取决于单个变量xτ或x，且τ（或）固定，因此后一个积分减少为Rτ+（或R+）上的积分。但（11）中的积分是有限维的。请注意，如果t>0表示“存在”，则zT的一些值，={z（s）：0<s≤ τ}是已知值，而其他值仍在未来，必须视为不可预测的可观测值。Sowt=e-ρ(τ -t） ZR]t，τ]+fτ（（zT，zT））-f（I[N]），其中值zT∈ R] 0，t]+是已知的，值为zT∈ R] t，τ]+是联合基本观测的潜在出现点，t\'zThR]t，τ]+，Fi。与对数正态性假设不同，这些论点似乎相当可靠。总之，w=e-ρ（τ）ZR]0，τ]+fτ（zT）`f（I[N]），其中fτ（zT）=max{A（zT）- κ}. （13） [14]第486-489页没有假设F=Gσ，而是建议使用[14]第436-438页第8.14节风险中性、无套利定价论点的实证方法。将这一论点应用于格兰比亚股价系列[224]，可以通过以下步骤来解决这一问题：使用历史Glanbia数据zT，按照第487–489页[14]第9.11节的规定，构造经验分布值SF（I[N]）估计价格过程的增长率。

例如，可以通过计算Glanbia数据zT的最小二乘回归来实现计算折扣版本z（s）=e-格兰比亚价格数据的usz.o使用增长率估计值u，调整分布值F，以便就修正值F而言，折扣价格z（s），w（s）是所有s的鞅ZT\'ZT[RT+，\'F]，WT\'WT[RT+，\'F]：E\'F[Zs]=z（0），E\'F[Ws]=w（0），0<s≤ τ; z（0）=z（0），w（0）=w（0）。o通过估算积分w（0）=w（0）=E\'F[wτ]=ZR]0，τ]+w（τ）\'F（I[N]）=ZR]0，τ]+Fτ（zT）\'F（I[N]），计算估算值w（0）。对于亚式期权，后一个积分取决于所有出现的z（s），0<s≤ τ.因此，积分不是柱形的，为了估计它，可以使用适当的R]0，τ]+，=RT+规则分区，以及被积函数的阶跃函数估计。至少在原则上，阶跃函数近似是很容易理解和应用的，即使是在多维积分的情况下，当积分是一个柱形函数，其积分恰好减少为一维积分时，我们不需要求助于巨大的简化，就像在欧美期权的情况下一样。但是，即使存在阶跃函数简单性，仍有必要遵循风险中性估值中涉及的财务原则。这让我们面临许多棘手的问题。主要问题是将过程分布F转换为鞅分布F。

例如，在格兰比亚的价格过程中，如何解决这个问题？（r，q）-分区在实践中有点麻烦，下面将使用其他类型的常规分区。接受F不能被视为几何布朗函数[14]第9.10节和第9.11节（第486-489页）建议使用计数或“相对频率”方法来估计可观测的XT\'XT[RT，F]的F。这是有问题的。假设一个可观测的X在样本空间R，X\'X[R，P]上有分布函数，那么一个P-可测的潜在发生率集合a R有概率P（A）。相对频率的概念意味着A的“多次出现”，以总出现次数的一小部分表示，提供了P（A）的估计值。大数定律（见[14]第5.9节，第224-233页）对该估算进行了一些解释。问题在于，随机变量X（或过程ZT）的“多次出现”与通常对随机变量或过程的数学理解相反。

随机变量/可观测值通常被理解为某事物未来可能发生的数学描述；也就是说，一个未来的观测或测量有多个可能的值，其中只有一个可能真正“发生”。因此，不存在“多次发生”，从中可以计算出相对频率作为概率估计。另一方面，多次出现和相对频率可以通过假设从大数定律中提取出来，假设不是一个多次出现的单一随机变量，而是多个每次出现的单一随机变量。但为了将这条推理路线与“相对频率近似概率”的概念联系起来，这一系列随机变量必须由统计上独立的随机变量组成。Glanbia（或任何其他）历史股价数据构成了一系列联合观察的单一事件{Zt:t∈ T}，写为进程ZT\'ZT[RT+，F]。过程的分布函数F（I[N]）可以被认为是由联合发生的转移概率（z（tj）组成的∈ I（tj），1≤ J≤ n） n={t，…，tn}。相对频率可以用来估计F（I[N]）？这个问题在[14]第486-489页中有说明。想法如下。Glanbia股价系列从1991年3月8日星期五的收盘价0.8开始，继续以5天工作日的每日价格计算，直到2011年3月9日星期三，收盘价为3.692。

因此，这些系列包含5000多个单项。（11）的I[N]中的价格变化是未来可能的变化。假设在数据的“历史”（过去、现在或未来）的任何阶段，这种转换模式的可能性对于这一特定系列的股价或多或少是固定的。可以计算历史数据或过去数据中与I[N]表示的一组可能的未来转换相对应的转换数量。要将其转换为相对频率，请将该数字除以与过去数据中的I[N]对应的可能转换总数。假设事件I[n]中的价格转换次数n与5000相比较小，则递减假设表明，该相对频率可作为F（I[n]）的近似值。接下来，为了执行风险中性估值，必须将（估计的）分布函数值F（I[N]）转换为（估计的）鞅分布值F（I[N]），用于I[N]∈ I（RT+）。如何做到这一点？考虑某个固定时间t的单一股价zt，0<t≤ τ . 对于cellsIt[]u，v]∈ I（R+），上述方法可用于确定可观测Zt’Zt[R+，Ft]，P（Zt）的估计分布函数Ft（It）∈ It=Ft（It），ut=E[Zt]=ZR+ztFt（It）=Z∞ztdP。基本可观测ZT可被视为RT+中的或有可观测，其中f（ZT）=ZT，f（ZT）\'f（ZT）[RT+，f]。

那么f是圆柱函数，f（zT）=zT，t固定；andE[ZT]=ZRT+f（ZT）f（I[N]）=ZR+ztFt（It）=utsince f（I[N]）=Ft（It）对于N={t}，I[N]=It。给定一个价格过程ZT\'ZT[RT+，F]，风险中性定价理论要求构造一个过程ZT\'ZT[RT+，F]，以便在分布函数F下，贴现值e-ρsz（s）是一个鞅的出现，带有e′FE-ρs′Zs= z（0）或E\'F\'Zs= 每个s的eρsz（0）∈ T，其中z（0）是已知的初始价格，其中，出于目前的目的，所有s的无风险利率ρ均为常数。示例1“fta”的构造可以如下所示。假设我们有一个可观测的X\'X[R，H]，平均值u=E[X]。假设我们希望通过改变H的值来构造一个不同的可观测的“X”，其平均值是某个给定的数字E“H[”X]=”u，6=u。这可以分两个阶段完成。首先用平均值0构造X\'X[R，H]，然后用平均值u构造\'X=\'X[R，H]。对于第一阶段，假设I=]u，v]∈ R.Writeu=u+u，v=v+u，所以u=u- u，v=v- u，对于它=]u，v]，定义H（I）=H（I），所以EH[X]=0。第二阶段是相似的。对于“It=]”u，“v]∈ R writeu=\'u+u- \'u，v=\'v+u- u，所以u=u- u+u，v=v- u + u;对于它，定义H（\'I）=H（I），因此E\'H[\'X]=\'u，根据需要。这可以从多个角度加以批评。然而，一个好处是没有恢复独立。

任何条件作用或依赖都会通过计数过程来识别。元素x、x、x不是不同的数字；它们中的每一个都代表了R中可能出现的任意情况。回到“ZT”ZT[RT+，“F]的构造，示例1显示了如何为每个t构造“FTT”∈ 所以，对于N={T}，可以找到值F（I[N]）。但是，如果要将“zt”定义为一个过程或联合可观测，则必须定义联合分布函数“F（I[N]），不仅针对单态N={t}，而且针对所有N∈ N（T）和所有相应的I[N]∈ I（RT+）。计数程序通过考虑各种过渡模式来进行调整。[14]第9.11节（第487-489页）中所述的格兰比亚每日价格份额数据包括5225每日收盘格兰比亚股价，从1991年3月8日星期五开始，到2011年3月9日星期三结束。假设后一个时间点是现在，并且在那一刻就格兰比亚股份签订了一份为期3个月的看涨期权合同。由于股票价格每周5天每天报告一次，因此将3个月的期权期限定为60天，从2011年3月10日上午开始，到2011年6月1日星期三结束，共计5219个单日/价格。假设期权为亚洲型，其报酬取决于期权期限内的平均股价。为了确定签订本合同的经济价格，有必要对期权60天期限内的股票每日预期价值进行估计；同样，股票价格的每日标准差也是如此。

此外，在期权期限内，还需要估计股票价格过程中的联合概率值F（I[N]）。Maple对历史股价的计算可以用来制作这样的模型。历史上的格兰比亚价格数据[4]可以在Excel文件中找到inhttps://sites.google.com/site/stieltjescomplete/The近期目标是估算期权期限内每天的预期股价价值，即2011年3月10日、2011年3月11日等日期（截至2011年6月1日）的预期股价；所有这些都在“未来”。同样，估算期权期限内每天的股价标准差。Maple对历史或过去数据的计算提供了这样的估计。计算11。使用（工具）；（统计数据）；2.Q:=导入（“glanbia.xls”）：3。A1:=seq（Q[j][2]，j=2500..5010）：A2:=[A1]：A3:=向量（A2）：4。J1:=seq（j，j=2500..5010）；J2:=[J1]；J3:=向量（J2）；5.y:=指数位（J3，A3，t）；6.格兰比亚图：=[seq（[t，Q[t+7][2]，t=2500..5000]）；7.绘图（[GlanbiaGraph，y]，t=2500..5000）8。p:=7；q:=p+59；9.对于k，从1到5160 do10。A[k]：=seq（Q[j][2]，j=p..Q）；11.B[k]：=[A[k]；p:=p+1；q:=q+1；12.m[k]：=平均值（B[k]）；s[k]：=标准偏差（B[k]）：13。结束做；14.m:=seq（m[k]，k=1..5160）；s:=seq（s[k]，k=1..5160）；15.S:=seq（S[k]，k=5000..5160）；T:=[S]；s0:=平均值（T）16。M[1]：=3.7*exp（0.006）；M[2]：=3.7*exp（0.012）；M[3]：=3.7*exp（0.018）：17。k从1到5219 do18。z[k]：=Q[k+6][2]：19。完：20。N:=6；J:=seq（J，J=-3..2); seq（q，i=1..3）；seq（b，i=1..3）；21.我从1岁到216岁。对于j，从1到3 do23。q[j]：=trunc（（i）- 1） /N（j）- 1)) + 1;24.b[j]：=mod（q[j]- 1，N）+1；25.p[i][j]：=j[b[j]]26。结束do27。结束do28。ex:=3.5；w0:=0；29.概率：=0；30.我从1岁到216岁。f:=0；32.k从4550到5000 do33。