美国和亚洲期权定价

如果（z[k+20]>=m[k+20]+s[k+20]* p[i][1]34。z[k+20]<m[k+20]+（p[i][1]+1）* s[k+20]）35。z[k+40]>=m[k+40]+s[k+40]* p[i][2]）36。z[k+40]<m[k+40]+（p[i][2]+1）* s[k+40]）37。z[k+60]>=m[k+60]+p[i][3]* s[l+60]38。z[l+60]<m[l+60]+（p[i][3]+1）* s[l+60]）39。那么f:=f+1:40。如果结束；41.结束；42.P:=（1/50）* F43.Prob:=Prob+P；44.a1:=（M[1]+p[i][1]* s0+M[2]+p[i][2]* s0+M[3]+p[i][3]* s0）/3- 前任；45.如果a1>0，则a2:=a1；如果结束；46.如果a1<=0，则a2:=0；如果结束；47.a3:=a2*经验(-0.02);48.w:=a3* P49.w0:=w0+w:50。结束做；51.w0；52.evalf（Prob）；为了便于解释，上面的Maple代码行已编号。这些数字不是程序的一部分，不应包含在实际应用程序代码中。第1-7行获取历史Glanbia数据，并将其导入程序，以便对其执行Maple计算。这些数据可以在中的Excel文件中找到https://sites.google.com/site/stieltjescomplete/and应存储在上述Maple代码所在的同一文件夹中，以便该代码能够访问它们。在Maple版本18中，首次使用时，必须关闭FILEWITH Import命令，然后重新打开，然后才能成功导入。第3行和第4行将股价数据转换为适合第5行的格式，使用2500天到5010天大约一半的可用价格；包括哪些数据是判断的问题。第5行计算价格数据的最小二乘回归，公式为y=a exp（ut）。这里的想法是，价格遵循某种“比例”特征的基本增长率；价格的随机变化叠加在这一基本趋势上。

换句话说，如果t日的股价为zt，且不考虑价格的叠加随机变化，则zt+1ZT为常数lnzt+1zt= u.在这种情况下，由Maple计算的指数最佳拟合度约为yy=0.1e0。0007吨，因此每日增长率约为u=0.0007。这意味着股票价值的年增长率约为20%。Maple代码的第7行和第8行生成了这一底层增长的图表（y），叠加在实际价格的图表上。请参见本文末尾的图8。为了对“今日”（2011年3月9日）的亚洲期权进行定价，当“今日”股价为3.7时，无风险日增长率为0.0003（低于基本增长率u=0.0007），因此亚洲期权期间（截至2011年6月1日，或总共60天）的股票基本趋势值取bey=0.1e0。0003t。然后，如果我们可以在这些价格趋势值上叠加适当数量的随机变化，我们可以使用（11）来估计亚式期权的价值。第8-13行是实现这一目标的第一步。这部分程序计算历史股价连续60天的平均值。还有相应的标准偏差。后者显示了这些股票价格的随机变化或波动的规模，和是联合似然分布F（I[N]的一种指标，它“决定”股价过程ZT\'ZT[RT+，F]。这些“移动平均值”和“移动标准差”如本文末尾的图7和图9所示。Maple程序还将使用这些平均值和标准差数据作为“3σ”RT+的规则分割中的分割点，T是亚式期权的60天周期或期限，用于估计期权估值（11）。第15行取60天标准偏差的平均s0。

这是亚洲期权60天期限内每天股价的标准差，见第44行。第16行计算期权60天期限内的三个20天趋势值M[1]、M[2]、M[3]。但这些都不是“真正的”趋势值；它们是假设值，表明进行（11）的风险中性鞅估值所需的无风险日增长率为0.0003。第17至19行将熟悉的符号z[k]（或zt）归因于历史股价值。第20-27行计算六个数字的重复排列-3.-2.-1,0,1,2一次取三个。有6=216个这样的条件，对于i=1到216，每个条件由（p[i][1]、p[i][2]、p[i][3]给出。不是实际趋势，只是鞅pricingof贴现值所需的假设无风险趋势。代码第16行显示了期权期限内20天内连续的“无风险趋势”值。一个这样的排列是（1，-1, 2); 那个isp[i][1]=1，p[i][2]=-1，p[i][3]=2。利用平均值m和标准偏差s，这些数字然后被用来构造3σ划分区间[m]- p[i][j]*s、 m- （p[i][j]+1）* s[，对于p[i][j]=-3.-2.2，给出六个单元格[m]-3s，m-2s[，[m]-2s，m-s[，[m]-s、 m[，[m，m+s[，[m+s，m+2s[，[m+2s，m+3s[。在任何特定的一天，股价通常会处于这些区间之一。zt- m |>3s很小，在期权估值计算中可以忽略。假设2011年3月9日的开始时间t=0，2011年6月1日的开始时间t=τ，t==0，τ]，t=τ=20，t=τ=40，t=τ=60。对于j=1,2,3，writeIj=[M[j]+p[i][j]* s0，M[j]+（p[i][j]+1）* s0[（14），其中s0和M[j]的值由Maple代码的第15行和第16行给出。然后，用N={τ，τ，τ}将选项的域RT+划分为Cylindersi[N]=Yj=1Ij×RT\\M+。

（15） 有216个这样的圆柱形单元，对应于216个排列（p[i][1]，p[i][2]，p[i][3]）。这是RT+中的常规分区。它并没有完全耗尽域RT+，但ZT不在这些圆柱状神经中的概率非常小。Maple程序的第28行将期权的行权价格设定为ex=3.5。赋值w0:=0设置（11）的黎曼和估计的初始值。黎曼和有216项，每项一项（p[i][j]；j=1,2,3）。黎曼和的每个项都有值w（第48行），在第48行和第49行的216次迭代中，项值w累积为w0。w0返回的最终值是（11）的黎曼和估计值。对于期权行使价格ex=3.5，Maple程序给出初始值W0=1.31。这是（11）中的w（0）。代码中使用了第29行的表达式Prob来跟踪或累积计算中生成的概率。第43行返回的总概率约为0.97，表明RT+的3σ正则划分虽然不是穷举的，但几乎是满的。使用历史Glanbia股价数据，程序的第30-43行使用“相对频率”类型的参数来产生计算（11）的黎曼和估计w0所需的联合转移概率F（I[N]的估计。第32行显示，该程序在分区单元（15）中只使用50个周期或3×20天转换的迭代。为了获得更高的准确度，增加样本量是很容易的。第42行计算了单个跃迁排列（p[i][j]：j=1,2,3）的相对频率。P的这个值是对（11）的黎曼和的单个项的F（I[N]的估计。对于i=1，216，每个置换（p[i][j]：j=1，2，3）生成（11）的黎曼和的单项。

第44-48行中给出了这些术语的计算方法。如何将值F（I[N]）转换为风险中性概率F（I[N]）？这是在第44行完成的。数量M[j]+p[i][j]*s0是（14）和（15）形式的分区单元的下限，它们是（11）中函数A（zT）的一个标记点或求值点。但这些边界点与第33–38行中的相应边界不同。后者以日趋势增长率u=0.0007增长，第44行中的界限以无风险增长率ρ=0.0003增长。因此，在某种意义上，从第33-42行产生的概率F（I[N]）在第44行应用于RT+的“错误”细胞。但这是在RT+中产生假想的“F（I[N]）所需的适当调整。（11）中的点被积函数是函数（12），计算为a2内线44–46。第47行计算了（12）的折扣值。将其乘以P=\'F（I[N]）得到黎曼和的单个项w的值。将所有排列相加，i=1，216，给出了初始时间t=0:w0=w=w（0）=1.3时期权价值的黎曼估计。为了测试上述Maple代码，建议单独测试其组成部分，以便更容易检测和纠正转录和编码错误。此外，在代码中的相关点上，可以试验替代参数和估计策略。在上述代码中，平均A（zT）仅以三个20天的间隔进行估计。对于60天期权，Excel文件中的Glanbia股价数据允许使用多达60个每日价格值来计算a（zT）。在实践中，必须在精度要求和可用计算能力之间取得合理的平衡。

当需要更高的准确性时，后者会迅速升级。[14] ，第480页，有一张20年的格兰比亚股价图。图8是部分数据的图表，叠加指数回归图=exp（0.0007t）。Maple项目第8–13行计算的第一个平均值是第1天（1991年3月8日）至第60天（含第60天）的平均价格。第二个平均值为第2天（1991年3月9日）至数据第61天（含第61天）。最终平均值是截至第5219天（2011年3月9日）的数据第5160天的平均价格。对于60天折扣，日利率0.0003约为60×0.0003=0.018。第47行使用e-0.02而不是e-0.018以无风险利率贴现。图7：所有移动平均值图8：指数回归图9：所有移动SD图10：选项值这是总共5160个周期，给出5160个平均值和5160个标准差。后者如图9所示。由于第一个移动平均值是前60天的平均值，因此它可以应用于第一个周期中间的第30天或第31天。其他移动平均线的情况也是如此；还有标准差。移动平均线图，图7，是原始格兰比亚股价数据图（图8）的“平滑”版本。但它不像图8所示的数据的指数回归图那样平滑。图10显示了亚式期权的初始价值如何取决于最终行使价格。3.0的低行使价格导致约5.5的高期权价格。

3.8的高行使价格产生约0的低期权价格。02.参考文献[1]R.G.巴特尔，《回归黎曼积分》，《美国数学月刊》103（8）（1980），625-632。http://mathdl.maa.org/images/upload图书馆/22/Ford/Bartle625-632。pdf[2]Bullen，P.S.，二十世纪的非绝对积分，美国数学学会非绝对积分特别会议，多伦多，2000年9月23日至24日，www.emis。de/proceedings/Toronto2000/papers/bullen。pdf[3]Chung，K.L.和Williams，R.J.，《随机积分导论》，伯克豪瑟，波士顿，1990年。[4] 格兰比亚，https://sites.google.com/site/stieltjescomplete/glanbia-smithglaxokline-and-rio-tinto-data[5] 亨斯托克，R.，连续实变量函数收敛因子的效率，伦敦数学学会杂志30（1955），273-286。[6] K.It^o和H.P.McKean，《扩散过程及其样本路径》，学术出版社，纽约，1965年。[7] R.Jarrow和P.Protter著，《随机积分和数学金融的简史：早期，1880-1970年》，http://people.orie.cornell.edu/protter/WebPapers/historypaper7。pdf[8]Karatzas，I.和Shreve，S.E.，布朗运动和随机微积分，斯普林格·维拉格，纽约，1991年。[9] 科尔莫戈罗夫，A.N.，格伦德贝格里夫·德瓦赫·谢因利奇特列赫农，埃尔格布尼塞·德马蒂克，柏林斯普林格，1933年（概率论的基础，切尔西出版公司，纽约，1950年）。[10] 麦基恩，H.P.，随机积分，学术出版社，纽约，1969年。[11] 麦克沙恩，E.J.，一个黎曼型积分，包括勒贝格-斯蒂尔特耶斯、博希纳和随机积分，美国数学学会回忆录第号。

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