美国和亚洲期权定价

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英文标题：
《Pricing American and Asian Options》
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作者：
Pat Muldowney
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  An analytic method for pricing American call options is provided; followed by an empirical method for pricing Asian call options. The methodology is the pricing theory presented in \"A Modern Theory of Random Variation\", by Patrick Muldowney, 2012.
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中文摘要：
给出了美式看涨期权定价的分析方法；其次是亚洲看涨期权定价的经验方法。该方法是帕特里克·穆尔唐尼（Patrick Muldowney，2012）在《现代随机变化理论》（A Modern theory of Random Variation）中提出的定价理论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_American_and_Asian_Options.pdf (563.92 KB)

2022-5-8 14:29:46 上传

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关键词：期权定价 Quantitative QUANTITATIV derivatives Methodology

美式和亚式期权定价帕特·穆尔唐尼摘要给出了美式看涨期权定价的分析方法；其次是亚洲看涨期权定价的经验方法。该方法是[14]的定价理论，也是该符号的来源。假设一份股票在时间s时具有市场价值z（s），并且假设双方在时间s=0时签订了一份期权合同，以便合同的一方在任何时间t，0<t以固定价格κ从另一方获得购买该股票的权利，但不是义务≤ τ .期权在时间τ到期，因此没有权利在时间t>τ购买股份。这些是美式看涨期权的特点。美式看涨期权可在合同期限或有效期内的任何时间行使。这与欧洲看涨期权不同，欧洲看涨期权只能在合同终止之日行使。以下是一些关于美国看涨期权的问题。期权合同在时间0时的初始价值（或购买价格）是多少？在任何时间t，0<t≤ τ，（未行使的）看涨期权的市场价值w（t）是多少？如果时间t>τ，那么w（t）=0，因为该期权不能再行使。在t=τ时，美式调用（如果之前未执行）的值为w（τ）=max{z（τ）- κ、 0}，与相应的欧洲看涨期权相同。在时间t<τ时，美式看涨期权和相应的欧式看涨期权具有非零值，即使z（t）<κ。两者之间的区别在于，对于t<τ，即使z（t）>κ，也不能执行欧式调用。如果z（0）是标的股份在签订合同时的观察值，则本合同的购买价格w（0）和行权价格κ必须满足w（0）+κ≥ z（0）。

（1） 原因是，如果w（0）<z（0）- κ、 期权可以中期行使，股票可以以κ的价格购买，然后再以z（0）的价格出售，实现z（0）的无风险收益- κ - w（0）。对于t<τ，如果z（t）<κ，美式看涨期权将不会在时间t行使。如果z（t）>κ呢？在这种情况下，不考虑购买期权所需的费用，期权持有人将获得即时收益。如果κ过大，期权可能实际上毫无价值。参见下面的图5。z（t）-κ以期权行权价格κ购买股份，并立即以市场价格z（t）出售股份。如果t=τ，这就是预期发生的情况，因为没有进一步的机会以期权行使价格κ购买股份。但如果t<τ，即使z（t）>κ，那么，根据各种因素，美式看涨期权持有人可能决定不行权，以防他们预期基础股价在[t，τ]的时间间隔内进一步上涨。如果发生这种情况，那么利润（或报酬）z（s）- 在晚些时候通过行使期权s>t获得的κ将大于在时间t行使期权获得的κ。这引入了一个新的不可预测因素。如果时间t是“现在”，则股价z（t）具有已知或观察到的值。称该值为κt。即使κt>κ，期权持有人在预期标的股票价格进一步上涨时，可能会拒绝在时间t行使期权。从表面上看，在行使之前，考虑行使美式看涨期权的最佳时间t是股价z（t）最大的时间t，0<t≤ τ; 因此，对于s6=~t，x（~t）>x（s）。然而，货币的时间价值必须考虑到这个论点中。货币的时间价值由无风险利率ρ来衡量。

以下公式考虑了任何潜在期权支付的时间价值。Ifτ≥~t>s和z（s）>z（~t）>κ，在较早的时间s if（z（s）练习美国呼叫更有利- κ） eρ（t）-s） >z（~t）- κ.在时间s=0时，最佳运动时间是不可预测的。美式看涨期权持有人有可能在最适时间之前行使期权，或者在最适时间点过后行使期权。或者不锻炼身体。假设“可能性相等”，这些可能性中的每一个都和另一个一样可能。根据这个推理，美式看涨期权的行使时间（或日期）t是一个随机变量，其期望值为。为了进一步探索，假设t<τ是“存在的”，因此股价z（t）=κ是已知的。假设，即使κt>κ，期权持有人在预期标的股票价格进一步上涨的情况下，在时间t拒绝行使期权。假设期权持有人做出该决定的可能性等于z（s）>κt的概率∈]t、 τ]。也就是说，z（s）- κ>z（t）- κ=κt- κ.实际上，在这里有必要考虑货币的时间价值。如果期权持有人预期以下不平等性左侧条款的贴现值超过右侧条款的贴现值，他们将拒绝行使：- κ） e-ρ（t）-s） >z（t）- κ=κt- κ.同样，当s>0时，最佳运动时间未知，s≤  ≤ τ .如果给出了t，如果s是“现在”，且s<t，则类似的考虑适用于在[s，t]期间行使美国电话的任何决定。这一论点暗示了对期权持有人/买方作为一个整体的动机和行为的某些假设，这些假设与潜在股票的未来价格有关。

但据信，标的股票的未来市场价值是由买卖该股票的人的类似动机和行为“正确”确定的。因此，这些假设似乎有一定的合理性。花点时间0成为“现在”。假设s是一个给定的“未来”时间，0<s<τ；因此，不知道z（s）是否会小于或大于行使价格κ。考虑未来时间s的期权行使决定。对于任何行使日期s（0<s≤ τ）表示期权的贴现“差异”函数byp（s，z（s））：=（z（s）- κ） e-ρs.（2）如果时间t>0且0<t<s≤ τ、 然后将相关差异函数从时间s贴现到时间t:pt（s，z（s））：=（z（s）- κ） e-ρ（s）-t） 。（3） 花时间0来呈现，因此期权行使决策基于（2）。如果z（s）>κ（对于某些s），则期权是可行使的（或“在金钱中”）∈]0, τ]; 如果在s之前或之后的其他时间s，从时间到时间0的折扣支付不大于从时间s（zT）到时间0的折扣支付，则在时间s=s（zT）时最佳可行。如果锻炼是可行的，最佳锻炼时间s（zT）对于不同的历史zT是可变的。如果存在一个分布函数F，则图表或历史zT是联合基本观测ztti的潜在发生RT+，F.在这种情况下，对于0<s≤ τ贴现支付函数值p（s，zT）是一个或有可观测EP（s，zT）\'p（s，zT）的潜在发生RT+，F,其期望值为q（s）：=E[p（s，ZT）]=ZRT+p（s，ZT）F（I[N]）。（4） 如果选择了行使日期s，则s在该集成中固定。因此，点被积函数p是一个柱形函数，因此积分可化为R+=R{s}+上的一维积分。如果行权价格κ设定得太高，行权可能永远不可行。

参见下面的图4。有时错误地假设F是几何布朗分布函数G。如果F是几何布朗分布函数Gμσ，则积分为[14]第442页第5行给出的积分，但自然过程增长率u代替无风险增长率ρ，p（s，zT）代替最大{zτ- κ, 0}.选择s，使q（s）最大化，并用表示选择的s。然后呢≤  ≤ τ，如果存在时间0，则在时间0，预计美国看涨期权将在时间行使。问题还在于，如果“现在”是大于0的某个时间t，预测的锻炼日期是否会不同。本文的目的是考虑在任意时间t，0确定看涨期权的购买价格w（t），=wt的方法≤ t<τ；特别是期权的初始购买者应支付的价格w（0），=w。首先考虑后一个问题，因此t=0就是现在的情况。对于欧洲看涨期权，行权日期为τ，通过[14]第440页：e中的风险中性定价公式（8.46）获得期权的初始值-ρτZRT+fτ（zT）`f（I[N]），其中`f是第8节中讨论的风险中性鞅分布函数。14和8.15，第436-440页，共[14]，fτ（zT）=max{z（τ）- κ, 0}.对于相应的美式看涨期权，预计行权日期为，可能小于τ。但除此之外，定价论点是相同的，并给出了美式看涨期权的初始价值-ρZRT+f（zT）`f（I[N]），其中f（zT）=max{z（），0}。RT+上的积分可以替换为一个onR]0，]+。

无论哪种方式，由于被积函数是柱形的，因此积分在R+，=R{}+上退化为一维积分。当假设标的资产价格过程是几何下降的，F=Gμσ时，第8.16节（[14]第440–444页）显示‘F=Gρσ，其中σ是波动率，u是过程的增长率，ρ是无风险利率。在这种情况下，美式通话的初始值由[14]第442页的（8.53）给出，τ替换为。如何确定最佳运动时间？如果过程分布函数F是一个表达式，如Gμσ，那么（4）的预期贴现差q（s）具有一种特殊形式，其最大值可以估计；因此，相应的s，=，也可以被估计。另一方面，假设F（或至少F的近似值）是根据经验确定的，如第488页第9.11节[14]所示。然后，可以使用不同的s值，根据经验计算（4）的预期贴现差异q（s），并使用结果估计，即给出最大预期贴现差异的锻炼日期。作为确定最佳运动时间的练习，采用F=Gμσ，这是传统的（但通常不正确）假设。然后，利用引理，暂时搁置如何做出选择的问题。这种假设通常是不正确的。

参见[14]第9.9节，第479-485页。（第309-310页，共[14]页）随变量z（s）=eu，（4）becomesq（s）=ZR]0，s]+e的变化-s（z（s）- κ） Gμσ（I[N]）；（5） soq（s）=e-sZ∞-∞欧盟σ√2πse-U-uσ√s杜- κZ∞-∞σ√2πse-U-uσ√s杜= E-seus+σs- κ.当u=0、σ=0.5、τ=2，以及行使价格κ=0.1、2、1和5时，图1、2、3和4分别说明了相应期权的预期值q（s），如果它们在s时间行使0≤ s≤ 2.这些图表表明，如果行使价格κ非常低（图1），可以将情况与（1）进行比较，最好立即行使期权。换句话说，在t=0时，“此时此地”基本上没有风险；那么，为什么要等待潜在股价的上涨呢？毕竟，后者实际上可能会减少。如果κ稍大一点（图2），在时间t=0时，最安全的做法是计划在合同终止日期s=τ或其附近行使期权。因为，即使（如本文所描述的情况）基础股价的增长率u为零，由于波动性，存在σ的“结构性”平均增长率。因此，投资者在t=0时对美式看涨期权的态度将倾向于后期行使。对于κ的中间值（图3），最佳运动时间≈ 1介于0和2之间。对于非常大的κ（图4），期权合同中的多头仓位似乎没有吸引力。潜在买家可能对具有如此高行使价格的期权中的多头仓位不太感兴趣，也不会为此支付太多费用；所以它只能以很小的价格出售。图4并不意味着具有这些参数的选项永远不会出现在货币中。

函数q（s）产生的是预期值，而不是实际值。但图表表明，一旦期权达到货币状态，就应该立即行使，而不必等待潜在股价进一步上涨。其次，在时间t=0时，此类期权的购买价格应基于时间s=τ时的行权，而不是更早，以便考虑潜在股价的任何可能增长。最佳运动日期可以通过如图1至图4所示的方法进行估计。一旦建立了，就可以使用[14]第442页的Black-Scholes pricingformulae（8.53），用替换τ；图3给出了这种情况下更详细的q（s）图。结果表明，q（s）的最大值出现在s=1.83左右。一些关于美国看涨期权的评论表明，早期的期权根本没有价值。图1：κ=0.1图2：κ=1.1图3：κ=1.1，t=0，τ=2图4：κ=1图5：κ=5图6：κ=1.1，t=1.5，τ=2美式看涨期权的初始（t=0）值asw=zN0,1lnzκ+ρ +σσ√!- κe-ρN0,1lnzκ+ρ -σσ√!（6） 现在假设在时间s=0时创建的选项在时间t，0<t<τ时未执行。假设期权持有人希望在时间t出售该期权。该期权的价格应该是多少？换句话说，w（t）（或wt）的值是多少？是否可以预期，在时间t晚于0时，尚未行使的期权的预期行权日期为，即（2）中通过最大化获得的行权日期？如果是这种情况，那么[14]第442页的公式（8.54）可用于wt，用代替τ；因此，beztN0,1lnztκ+ρ +σ( - t） σ√ - T-κe-ρ(-t） N0,1lnztκ+ρ -σ( - t） σ√ - T（7） 这个论点的问题在于，不一定是实际的锻炼日期。这是一个在s=0时估计的日期，用于在该时间对期权进行定价。

期权持有人可以选择提前或晚于的某个时间行使期权。事实上，如果行使被推迟，那么t（在新定价方案中是“存在的”）可能大于（7）中的。在那种情况下（7）是没有意义的。然而，通过适当的修改，定价参数可能适用于t>0。时间t≥ 0估计的运动日期是s（t）的值≤ s≤ τ） 其中最大值sqt（s）：=E[pt（s，ZT）]=ZR]t，s]+pt（s，ZT）F（I[N]）。（8） 如果股票价格过程Z的分布函数F是Gμσ，（8）becomesqt（s）=ZR]t，s]+e-（s）-t） （z（s）- κ） Gμσ（I[N]）。（9） 与之前一样，由于点被积函数是圆柱形的，因此qt（s）=e-（s）-（t）Z∞-∞euσp2π（s）- t） e-U-uσ√s-T杜- κZ∞-∞σp2π（s）- t） e-U-uσ√s-T杜或qt（s）=e-（s）-（t）eu（s）-t） +σ（s）-（t）- κ在u=0、σ=0.5、κ=1.1、τ=2和t=1.5的情况下，图6是从s=1.5=t到s=2=τ的qt（s）图。该选项的参数（u、σ、κ、τ）与上面图2和图3中所述的参数相同，只是输入时间t=1.5而不是时间0。但是，图3显示了一个估计的Dexercise日期≈ 1.83，图6表示锻炼日期1.5=2。因此，美式看涨期权在时间t（0）的估计值w（t）（或wt）≤ t<τ）为wt=ztN0,1lnztκ+ρ +σt- t） σ√t- T-κe-ρ（t）-t） N0,1lnztκ+ρ -σt- t） σ√t- T（10） 在t=τ时，未行使的美式看涨期权的价值为wτ=max{zτ- κ, 0}.前面的研究使用了分布函数Gσ。但价格过程Z遵循几何布朗分布的假设通常是成立的，如[14]第9.9节第479–485页所示。此外，欧洲和美国期权的行权价值取决于标的资产在期权行权之日的价值。