金融市场的随机模型

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英文标题：
《Stochastic model of financial markets reproducing scaling and memory in
  volatility return intervals》
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作者：
Vygintas Gontis, Shlomo Havlin, Aleksejus Kononovicius, Boris
  Podobnik, H. Eugene Stanley
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We investigate the volatility return intervals in the NYSE and FOREX markets. We explain previous empirical findings using a model based on the interacting agent hypothesis instead of the widely-used efficient market hypothesis. We derive macroscopic equations based on the microscopic herding interactions of agents and find that they are able to reproduce various stylized facts of different markets and different assets with the same set of model parameters. We show that the power-law properties and the scaling of return intervals and other financial variables have a similar origin and could be a result of a general class of non-linear stochastic differential equations derived from a master equation of an agent system that is coupled by herding interactions. Specifically, we find that this approach enables us to recover the volatility return interval statistics as well as volatility probability and spectral densities for the NYSE and FOREX markets, for different assets, and for different time-scales. We find also that the historical S\\&P500 monthly series exhibits the same volatility return interval properties recovered by our proposed model. Our statistical results suggest that human herding is so strong that it persists even when other evolving fluctuations perturbate the financial system.
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中文摘要：
我们研究了纽约证券交易所和外汇市场的波动收益区间。我们用一个基于交互作用主体假说而非广泛使用的有效市场假说的模型来解释以前的实证结果。我们基于微观的羊群相互作用推导出宏观方程，发现它们能够用同一组模型参数再现不同市场和不同资产的各种风格化事实。我们证明了幂律性质以及收益区间和其他金融变量的标度具有相似的起源，并且可能是由一个由羊群相互作用耦合的主体系统的主方程导出的一类一般非线性随机微分方程的结果。具体而言，我们发现，这种方法使我们能够恢复纽约证券交易所和外汇市场、不同资产和不同时间尺度的波动收益区间统计数据以及波动概率和频谱密度。我们还发现，历史S\\&P500月度序列表现出与我们提出的模型恢复的波动-收益区间性质相同的波动性。我们的统计结果表明，人类的羊群行为非常强烈，即使其他不断变化的波动扰乱了金融系统，这种行为也会持续。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Stochastic_model_of_financial_markets_reproducing_scaling_and_memory_in_volatili.pdf (616.86 KB)

2022-5-8 14:34:37 上传

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关键词：金融市场 随机模型 Quantitative interactions Applications

金融市场的随机模型，在波动-收益区间重现标度和记忆。冈蒂萨，b，*, S.Havlina，c，A.Kononoviciusb，B.Podobnika，d，e，H.e.StanleyaaA聚合物研究中心和物理系，波士顿波士顿大学，马萨诸塞州02215，维尔纽斯大学，维尔纽斯，LT 10222，立陶宛物理系，巴伊兰大学，拉马特甘，伊利诺伊州52900，以色列土木工程学院，里耶卡大学，里耶卡，HR 51000，克罗地亚经济与管理学院，萨格勒布，人力资源10000，克罗地亚摘要我们研究纽约证券交易所和外汇市场的波动-回报区间。我们使用基于交互作用主体假设的模型来解释以前的经验发现，而不是广泛使用的有效市场假设。我们基于代理人的微观羊群相互作用推导出宏观方程，并发现他们能够用相同的模型参数集再现不同市场和不同资产的各种程式化事实。我们表明，幂律性质、收益区间的标度和其他金融变量具有相似的起源，可能是由一个由羊群相互作用耦合的代理系统的主方程导出的一类非线性随机微分方程的结果。具体而言，我们发现，这种方法使我们能够恢复纽交所和外汇市场、不同资产和不同时间尺度的波动收益区间统计数据以及波动概率和频谱密度。我们还发现，历史标准普尔500指数月度序列表现出与我们提出的模型相同的波动-收益区间特性。

我们的统计结果表明，人类的羊群行为非常强烈，即使其他不断变化的波动干扰了金融系统，这种行为也会持续。关键词：波动性、收益区间、基于代理的建模、金融市场、缩放行为1。引言为了估计金融市场的风险，我们必须了解所涉及的复杂市场动态[1,2]。统计物理学在处理复杂性的一般概念及其在金融中的应用方面非常有用[3,4,5]。金融市场是这种复杂社会系统中最有趣的例子之一*相应的authorEmail地址：vygintas@gontis.eu（V.Gontis）统计物理学面临极端挑战[6]。尽管我们目前对金融波动和微观市场互动性质的理解仍然有限且模棱两可[7,8]，但随着大量金融数据变得更加可用，我们现在能够应用先进的实证分析方法，更好地了解市场的复杂性[9,10,1,2]。在这里，我们使用基于一般代理的随机模型[11]，再现了金融市场绝对收益的一阶和二阶统计数据，并发现通过非常小的改动，它能够重现高波动性收益区间的各种统计特性[12、13、14、15、16]。我们关注的是波动性的启发式模型，它被定义为绝对收益的波动，跨越从一分钟到一个月的广泛时间尺度。对于金融市场中代理人的行为观点和动力学问题，还有许多其他计量经济学方法的尝试[17、18、19、20、21、22、23]能够解释厚尾和波动性聚集。

通常，基于广义或模拟矩量法（GMM或SMM）的计量经济分析仅限于参数数量较少的过于简化的代理模型。据我们所知，这些模型中的参数值取决于选定的收益定义时间窗，而不是其他时间尺度的通用值。我们在这里使用的金融市场早期提出的模型[11]积累了参考文献[24,25]中关于代理人动态和价格形成的一些一般特征。该模型通过连续随机微分方程进一步推广了三组主体的放牧动力学[26]，该方程是针对具有成对全局相互作用的有限数量主体推导的。同时，提出的模型能够解释市场波动对金融市场中观察到的市场交易活动的反馈[27、28、29、30、31、32、33]。这项工作的主要任务是证明，所提出的具有相同参数集的随机模型允许在大范围的时间和阈值范围内理解绝对收益间隔的统计特性，即使该值是极端的。我们发现，从纽约证券交易所（NYSE）到外汇交易所（FOREX），收益区间的统计特性在广泛的金融市场中具有普遍性。该模型可以通过使用不同时间尺度的同一组参数重现这些统计特性，从高频数据到145年期间的每月标准普尔500指数值[34]。

这些结果表明，金融市场的各种幂律统计数据可能是由于一种非线性随机性，我们将其纳入了基于羊群效应的金融市场模型[35,36]。虽然提出的模型旨在分析波动性的统计特性，并且没有考虑资产价格，但所揭示的破裂行为扩展了我们对金融市场泡沫的理解[34,33]。2.方法我们使用基于三态主体的模型[11,26]的修改版本来重现和解释波动率收益区间的统计特性的起源[12,13,14]。代理的内生动力学和外部噪声之间的相互作用是导致观察到的统计特性的主要机制。我们所说的外来噪音是指有序流动。虽然我们对金融市场的方法[11,26]继承了[24,25]和其他众多论文中提出的基于羊群的建模的一些基本特征，但我们在方法中使用了一些重要的扩展和不同的模型解释。让我们简要总结一下我们的主要假设：1。代理人（交易者）的成对全球羊群相互作用被认为是交易者在其贸易行为中的成对相互作用的结果。这就要求SDE对代理人的宏观描述独立于代理人总数，并对代理人的微观交易活动进行宏观状态反馈。2.波动性和交易活动的聚类、长期依赖性和多重分形性与为相应金融变量推导的SDE的非线性性质有关。3.该模型必须结合内生（基于代理）和外生（订单流）波动，因为它们在真实市场中共存和相互作用。4.

金融市场中至少有三种不同的回报波动时间尺度a）原教旨主义者和图表主义者的长期波动；b） 乐观主义者和悲观主义者的短期影响；c） 最常见的回报波动与订单流量有关。这些假设导致了一个一致的微观和宏观模型，该模型将基于代理的内在动力学与由外部噪声驱动的随机动力学结合起来。我们在这里使用基于双对数轴直方图的视觉经验测试来选择9个独立的模型参数，试图同时再现许多不同的幂律统计特性。对衍生衍生产品产生的噪音的启发性考虑使该参数选择程序优于正式的拟合方法，并有助于基于一阶和二阶统计数据，在不同的市场和不同的退货定义时间窗口中使用相同的参数集，重现许多程式化的事实。2.1. 内生与外生标准价格模型[37]和自回归条件异方差（ARCH）模型家族[38,39]作为现象学框架，与内生波动性和外生噪声一致。例如，通过类比ARCH族模型，我们可以假设对数返回rδ（t）=ln P（t）- lnp（t）- δ） 在市场价格P（t）中，在任意时刻t为一个时间间隔δ所定义的可建模为内生波动率σ（t）和外生噪声ω（t）rδ（t）=σ（t）ω（t）的乘积。（1） 这里为了简单起见，我们使用高斯噪声ω（t），波动率σ（t）被假定为绝对内生对数价格| p（t）|=| lnP（t）Pf |σ（t）=b（1+a | p（t）|），其中p（t）可以从基于代理的模型（ABM）中导出，该模型定义了市场价格p（t）与基本价格Pf的比率[11]。

这里的观测值作为归一化参数，确定内生动力学对观测时间序列的影响。我们的模型由等式定义。（1） （2）包括由σ（t）描述的动态部分和由ω（t）描述的纯随机部分。金融布朗粒子的运动与实际金融市场中的极限指令流相碰撞[40]，可能是等式（1）中高斯噪声的一种物理解释。此处选择的时间窗口δ受到σthas变化不可忽略的要求的限制。这意味着该模型中的外生波动要比内生波动频繁得多。注意，计量经济学中的等式（1）不包括δ的任何限制，因为σ（t）与类似的物理解释无关，只是通过自回归模型正式定义。2.2. ABMWe使用一种基于三态主体的羊群模型[11,26]来描述金融市场中主体的内在动态，并重现波动性收益区间的统计特性[12,13,14]。代理人在全球范围内进行互动，就像假定交易员在交易过程中进行成对互动一样。这种假设有助于克服agent建模方法[41]中通常考虑的交互作用的空间结构问题，并允许解释观察到的收益与交易活动的关系。主体种群NiUnderConstraintsSpini=1的动力学由随机微分方程（SDE）描述，该方程由具有一步跃迁i的主方程导出→ Kirman[42]提出的j比率：uij=σij+hijnjN，（3）其中σij描述了个人主义的转换趋势，以及h对同龄人的影响（njN）。

请注意，通常假设对称关系hij=HJII，并且在代理成对全局耦合的情况下，对等点的数量与代理总数n成正比。对金融市场动态的基本理解使我们能够做出简化模型的假设。我们首先假设这三种状态对应于三种交易策略：基本面（f）、乐观面（o）和悲观面（p），因此我可以取f、o和p的值。基本面交易者假设价格将接近纯粹由市场基本面决定的基本面价格。乐观和悲观交易是同一个图表（c）交易策略中的两种相反的方法，即乐观者总是买入，悲观者总是卖出。[24]Df=nf[ln-Pf]给出了基本策略和图表策略的超额需求Di的数学形式- lnp（t）]，（4）Dc=r（否- np）=rncξ，（5）其中P（t）是资产的当前市场价格，r图表师的相对影响，ξ=否-这是平均情绪。这三种交易策略在许多其他类似的方法中也被考虑[43,24,44,45,46]。此外，如本文所述，原教旨主义交易策略可能与[47,48,49,50]中使用的“理性”代理概念有关，而图表学家，无论是乐观主义者还是悲观主义者，大多相当于[47,48,49,50]中的“不适应”代理。结合df和Dc，我们得到了对数价格[24,11]，p（t）=lnP（t）Pf=rncnfξ=r1- nfξ。（6） 接下来，我们假设乐观主义者和悲观主义者是高频趋势追随者，即图表主义者，从而简化模型。图表主义者之间的交易频率是原教旨主义者的H倍。在羊群互动方面，乐观主义者和悲观主义者之间没有真正的定性差异，因此某些对称关系被简化（σop=σpo=σc和hop=Hhfc=Hh）。

图表主义者对基本交易（σpf=σof=σcf）持相同的态度，而原教旨主义者对任意情绪（σfp=σfo=σfc/2和hfp=hfo=h）持不同态度。原教旨主义者是长期交易者，图表主义者是短期交易者的假设可以写成（H） 1，σcc σCf和σcc σfc）。在这些假设下，动力学由两个近乎独立的SDE[26,11]很好地近似，这两个SDE类似于两态放牧模型[42,24]中的原始SDE，dnf=（1）-nf）εcf-nfεfcτ（nf）dt+q2nf（1）-nf）τ（nf）dWf，（7）dξ=-2Hεccξτ（nf）dt+q2H（1-ξ） τ（nf）dWξ，（8）其中τ（nf）是交易间时间，wf和Wξ是独立的维纳过程。方程（7-8）可以从6个一步跃迁概率和相应的主方程开始推导，详情见[26]，或者在[11]中对乐观-悲观动力学的描述中使用绝热近似。请注意，在上述方程中，εcf=σcf/h，εfc=σfc/h，εcc=σcc/（Hh），以及timets=ht（忽略方程中的下标s）。我们认为交易间时间τ（nf）是一个宏观反馈函数，其形式为τ（nf）=1+aτ1.- nfnfα. （9） 这种形式受到实证分析[27,28,29,51]的启发，其中交易活动与绝对回报的平方成比例（因此α=2）。这种形式取决于拟议模型中收益的长期成分（见[52]），当nf接近1时，τ（nf）收敛到单位。交易活动永远不会达到零，并且在非波动期，它会在某个平衡值附近波动。注意，在这种方法中，τ（nf）通过成双贸易行动中的交换，实现基于成双全球羊群相互作用的宏观反馈，详情参见之前的论文[52,26,11]。注意，Eq的现在形式。

（9） 与之前在[11]中发表的结果略有不同，因为这里我们认为，对高频函数ξ和参数值aτ的依赖性将与a略有不同。这种简化非常重要，因为它使公式（7）独立于公式（8），并提供了对模型和结果更透明的解释。模型的这一微小变化会影响其他参数值的某些变化。方程式（7-9）构成了内生代理动力学宏观描述的完整集合，并与方程式（6）一起构成了金融市场的模型。模型模拟基于方程的数值解。（7） 和（8）。这种特殊方法的显著特点是其以DES（7）-（8）的形式进行分析的可处理性。如[52]所示，为变量高值区域的新变量x编写的等式（（7））属于非线性SDE类，再现幂律统计：PDF和PSD[53,35]。此外，这些方程表现出一种迷人的缩放特性[35]：变量xs=ax的缩放相当于时间ts=a2（η）的缩放-1） t，其中η是乘性噪声项的指数。这是在幂律和P（x）之间关系的背景下~ 十、-λ、 和x，S的PSD~ fβ，其中SDE的一般类，仅具有两个参数λ和η以及PSD forxβ的相关指数，可以写成dx=（η）-λ） x2η-1dt+xηdW，β=1+λ- 32(η - 1). （10） 式（10）的必要条件为η6=1，见式。（8,9）在[54]中，对于相应的福克-普朗克方程及其稳态解。金融模型通常考虑η<1的情况，很少考虑η>1的情况[37]。我们基于放牧的考虑属于第二个，与3/2区域的经验数据最为吻合≤ η ≤ 5/2. 请注意，将代理人的可变交易活动引入Eq。