金融市场的随机模型

（7） [52]我们加强了基本随机微分方程（10）的非线性，增加了乘法指数η。SDE（10）表现出几乎相同的统计特性，与在没有图表师ξ（t）高频波动的情况下考虑的建议的多源模型相同。这种幂律行为的主要参数可以写成如下[52]：η=3+α，λ=εcf+α+1，β=1+εcf+α- 21 + α. （11） 由于模型x的这种简化表示具有长期绝对收益（波动率）的含义，其幂律行为对所提出模型的统计特性非常有用。例如，通过幂律指数对α，seeqs的依赖性，可以恢复引入的反馈对交易活动的贡献。(11).对金融市场中观察到的自相似性和长期依赖性的理解通常基于分数布朗运动[55,56,57]。我们认为，这类非线性随机微分方程（10）可以作为解释金融市场长期相关性的另一种机制。从我们的角度来看，有太多的模型仅仅基于代理的内生动力学。首先，它们不够现实，在我们的方法中，不可能将绝对收益幂律行为λ和β的两个指数调整为具有相同参数集的经验数据。对于更现实的模型，有必要将市场的外生和内生波动结合起来。作为外生因素，我们考虑有序流动的噪声。我们用等式（6）代替内生价格p（t）。（7-9）对于NF和ξ，转化为等式。（1-2）完成该模型，该模型现在包括内源性和外源性波动。

已经证明[36]该模型现在类似于非线性GARCH（1,1）模型的版本[58,59]。与纯随机模型相比，基于agent的模型的优势在于，它们的参数与现实世界的场景和真实的人类行为更密切相关。下面我们分析一分钟、每日和每月记录的时间序列。在数值模拟中，我们将一个交易日的1/390设为最小的刻度大小δ，并在这些刻度之间计算个人收益。我们计算长期的回报, e、 例如，一天，将连续的短期收益rδ（t）相加。为了解释在纽约证券交易所和外汇交易所的实际数据中观察到的每日模式，我们在参数b中引入了时间依赖性[11]，即b（t）=bexp[-（{tmod1}- 0.5）/w]+0.5，（12），其中w表示日内波动的宽度。尽管该模型旨在产生绝对收益率PDF和PSD的幂律行为，但它也再现了在波动收益区间观察到的统计特征。3.结果在本研究中，我们分析了金融市场[12,13,14]中根据经验确定的波动率回归区间的统计特性，并使用了与图1所示金融变量相同的定义。图1：返回间隔Tq的定义。收益区间指高于某个阈值q的价格变化波动率之间的区间，以收益的标准偏差（非绝对收益）为单位进行测量。这里，绝对返回时间序列中显示了阈值q=2和q=4的两个值。对于两个绝对返回阈值q=2和q=4，返回间隔分别为Tand T。它们测量超过阈值q的绝对收益连续峰值之间的时间间隔，以特定资产时间序列中收益的标准偏差为单位进行测量。3.1.

绝对收益率的PDF和PSD我们测试模型在很大的时间间隔内重现纽约证券交易所和外汇汇率的经验PDF和PSD的效果 从第390个交易日到第1个交易日。我们将模型参数设置为δ=1/390天=3.69分钟，相当于纽约证券交易所的1个交易分钟，εcf=1.1和εfc=3，这定义了nf的反对称分布，εcc=3，这确保了ξH=1000的对称分布，该分布调整了经验和模型时间序列的PSD，a=1和τ=0.7，这是定义市场回报和交易活动对代理国人口的敏感性的经验参数，α=2，这是基于实证分析[27,28,29,51]和我们的数值模拟选择的，也证实了这一选择，h=0.3×10-8s-1，这是调整模型以适应实时比例的主要时间比例参数。在接下来的分析中，所有参数值都保持不变。无花果。2（a）–2（f）将纽约证券交易所和外汇交易所的高频经验数据与模型结果进行比较：等式的数值解。（1,2,6,7,8,9,12），详见[11]。数据包括从2005年1月开始的27个月内交易的26只股票，以及从2000年开始的10年期间的美元/欧元汇率，并使用收益标准差σ对经验收益序列进行标准化. 无花果。2（a）–2（f）表明，模型结果与高频经验PDF和PSD吻合良好。3.2. 各种噪声对收益区间统计的贡献波动率的启发式模型旨在重现金融市场绝对收益的一阶和二阶统计[11]。

其想法是找到最简单的基于同意代理的随机模型，该模型能够重现各种金融市场和资产观察到的绝对收益的PDF和PSD。这意味着我们首先通过标准偏差将所有经验回报数据标准化为相同的绝对回报PDF，然后定义一组模型参数，以再现具有所有特性的经验（风格化）PDF和PSD。这一过程更多地依赖于对随机微分方程类（10）产生的统计特性的理解，而不是GMM或SMM等正式计量经济学过程。具有指数β两个不同值的psd和与季节性相关的峰值等程式化特性，使得模型不太适合正式考虑。这种方法的主要成就是能够在所有时间窗口范围内重现相同的模型比例和风格化的统计特性.有了尽可能简单但足够复杂的绝对收益模型，我们展示了该模型在相同参数集下重现一类新的经验统计特性的能力：高波动性收益区间的无条件和有条件PDF。首先，我们证明了该模型中包含的所有噪声。图2：理论和经验平稳PDF和绝对收益PSD之间的比较。理论计算结果——黑线，纽约证券交易所股票的经验结果——圆圈和外汇兑换率——加上。固定式PDF：（a）、（c）、（e）、（g）和PSD：（b）、（d）、（f）、（h）。（a） （b）时间尺度 = 1/390交易日；（c） 和（d）—— = 1/39交易日；（e） 和（f）—— = 4/39交易日，PSD图形中的频率以1/（1个交易日）表示。

时间尺度的结果 = 纽约证券交易所（circles）所有考虑资产的一个交易日和外汇汇率的10个交易日（pluses）在（g）和（h）中，其中纽约证券交易所（NYSE）系列的经验序列为1962年至2014年，外汇系列的经验序列为1971年至2014年。模型参数设置如下：h=0.3×10-8s-1.δ=3.69分钟。；εcf=1.1；εfc=3；εcc=3；H=1000；a=1；aτ=0.7；纽约证券交易所和外汇交易所的α均为2。贡献于绝对收益区间的PDF。作为第一步，我们分析了长期的图表主义原教旨主义动态，可以用比率x=nc/nf=（1）来描述- nf）/nf由式（7）定义，并具有由式（10）产生的统计特性，可由式（7）在高x值区域得出。请注意，这是长期回报波动的主要组成部分。第二，我们打开外部噪声，但保持ξ和b恒定。这使我们能够通过分析| rδ（t）|和| r来研究长期内生动力X与外源噪声的相互作用（t） |。第三，我们打开优化压力动力学ξ（t）并分析绝对收益序列，保持b恒定。最后，我们打开日内波动，用公式（12）定义的bde分析完整模型。图3比较了使用模型的四种不同成分计算的绝对收益区间的比例PDF，以及纽约证券交易所股票的经验数据。在这两个子图中，TQI的完整模型PDF与经验数据非常一致，可以观察到图3：各种噪声对绝对收益区间PDF的贡献。（a） 返回定义时间窗口的TQ缩放PDF = δ=1/390交易日；（b） TQM的缩放PDF = 1交易日。

红色加号——仅图表主义原教旨主义动力学x；蓝色方块——开启外部噪音的原教旨主义动力学x；绿色三角形-原教旨主义和宪章主义联合动力学xξ，开启exogenousnoise；灰色圆圈——包括季节性的全尺度模型；黑线——根据纽约证券交易所股票的标准化系列计算得出的经验PDF。该模型的所有参数与前一张图相同，阈值q=2.0。当部分噪声被排除在模型之外时，与经验数据存在相当大的偏差。在子图（a）中，其中 = δ、 乐观主义者-悲观主义者动力学ξ（t）的贡献看起来并不明显，因为外源性波动的频率远高于ξ（t）和x（t）波动的频率，然而，其他噪声的贡献非常明显。图（b），其中 = 1个交易日，TQ的PDF对于模型的所有四个组成部分都是不同的。这些和其他数值结果证实，所提出模型中的所有假设都需要重现经验收益区间的统计数据。3.3. 高频收益序列的收益区间我们现在的目标是使用模型解释股票和货币收益区间的统计特性[12,13]。图4比较了模型的无条件PDF与纽约证券交易所股票和美元/欧元外汇交易所1/390交易日收益率的PDF，图5比较了条件分布函数。这些结果支持该模型，表明它成功地再现了无条件分布函数和条件分布函数。当q值与PDF幂律部分的收益相比较时，q>1.5，收益区间的幂律行为占主导地位SP（Tq）~ T-3/2季度。请注意，对于q的每个值，TQ的缩放无条件PDF以及图4中给出的模型几乎相同。

我们在模型中观察到指数为3/2的幂律行为，即使我们用x=1的随机动力学替换整个模型来简化它-式（7）中定义了NF，其他噪声被切换为EFF。当其他噪音再次打开时，这种幂律行为对高TQ值的影响就会出现。我们对该模型的数值模拟表明，对于q值，与幂律PDF尾部的收益率相当，当ξ和日内交易活动动力学迫使缩放PDF回归幂律3/2行为时，等式（1）中的外源噪声是导致偏离3/2定律的原因。异源噪声的这种影响随着时间窗的增大而增大.图4：模型与高频返回间隔的经验缩放无条件PDF之间的比较。黑线——型号PDF；圆圈——根据纽约证券交易所股票和加价的标准化系列计算[12,13]的经验PDF——外汇美元/欧元汇率。该模型的所有参数与之前的图中相同，阈值q的值如下：1.5,2.0,2.5,3.0。显示出引导眼睛的直线，显示指数为3/2的幂律。对于阈值q=1.5，当Tiq≤ Qand Tiq≥ Q条件分布函数P（Ti+1q | Tiq）明显不同，表明存在记忆效应。这里是连续TQ序列中的索引，即TQ序列的第1/8分位数和第7/8分位数。当阈值较高时，条件PDF变得接近，并且可能重叠。我们的数值模型证实，这种记忆效应的必要条件是存在长期动力学方程（7）和外源噪声方程（1）。推测动态ξ和日内季节性有助于系统的动态行为、3/2幂律的持续性和记忆效应。

请注意，该模型定义的所有噪声都反映在波动性收益区间的PDF中。由公式（12）计算的模型中的熵影响有助于回归区间的高频条件PDF，见图5，并有助于与经验数据达成定性一致。然而，我们必须承认，我们用于计算日内波动的方法过于简单，对于较高的阈值q值，存在一些与经验数据的定量偏差。我们的结果支持实证结果[12,13,14]，即收益区间的PDF可以缩放为不同阈值q的相同形式。请注意，我们在之前的研究中获得的（3/2）和获得的（2）之间的差异指数与使用不同的收益标准化程序有关，这反过来会导致不同的阈值选择。之前论文中使用的阈值比我们在模型模拟中使用的阈值低得多，并且超出了PDF的幂律部分。因为公式（7）中主要SDE的贡献高于其他噪声。图5：模型与高频返回间隔经验标度条件PDF之间的比较。黑线——收益区间P（Ti+1q | Tiq）、圆圈和菱形的缩放条件PDF——根据纽约证券交易所股票、加号和交叉点的标准化序列计算的经验PDF——美元/欧元汇率的经验PDF。使用与参考文献[13,12]Tiq中相同的算法计算条件PDF≤ Q-较低的PDF和Tiq≥ Q——上PDF，其中Qand QA对应于Tsequence的1/8和7/8分位数。

该模型的所有参数与之前的图中相同，阈值SQ的值为：1.5,2.0,2.5,3.0。仅在返回PDF的幂律部分，我们为thresholdq选择更高的值，并显示q=1.5时与3/2定律的偏差。该最低值q=1.5，表明向返回间隔极短且信号动态复杂度极高的状态过渡。我们不能认为这种情况下的高频波动是由一维随机过程引起的，因为其他噪声也有影响。因此，回归区间的指数往往高于3/2。回归区间统计的实证研究见参考文献。[60,15,16]演示无条件PDF从3/2幂律到指数分布的转变。请注意，这些研究的作者也选择了较低的阈值。3.4. 每日收益序列的收益区间接下来，我们分析从雅虎金融获得的10只纽约证券交易所股票的每日收益数据，以及美元与在外汇市场交易并从联邦储备获得的货币AU、NZ、英镑、CD、克朗、日元、克朗和法郎的历史汇率。我们首先确定在交易所和纽约证券交易所的每日收益序列的适当比例。因为那些超过50年的收益率序列不太可能是平稳的，所以我们使用移动标准差程序对其进行标准化，并在5000天的时间窗口内进行调整。这两个市场中所有资产的每个时间序列都使用此程序进行正常化。图2（g）将归一化经验PDF与模型PDF进行了比较，图2（h）显示了PSD。请注意，高频区股票绝对收益的PSD值略高于模型和货币兑换PSD值。在低频区，psd的性能有很好的一致性。无花果

6表明，纽约证券交易所和外汇汇率的每日标度收益区间的无条件PDF与每个阈值一致。请注意，在博思和外汇市场中，无条件PDF与模型PDF一致。这表明返回间隔的缩放程度很高。我们的模型提供的理论框架能够解释这种缩放。注意，对于最高阈值q=4，图6中无条件PDF的幂律指数偏离3/2并接近1。图6：模型与经验标度无条件日收益率区间PDF之间的比较。黑线——返回间隔的无条件PDF模型；圆圈——根据纽约证券交易所股票的标准化收益率序列计算的经验PDF；加号——根据货币交易所的标准化收益率系列计算的经验PDF。该模型的所有参数与之前的图中相同，阈值如下：1.7、2.0、3.0、4.0。所示的直线引导眼睛，显示指数为3/2的幂律。图7显示，该模型的条件PDF与纽约证券交易所和外汇市场每日波动收益间隔记录的条件PDF一致。当增加阈值时，条件PDF变得更接近，并且在经验数据和模型结果中似乎重叠，但我们不能排除这种重叠是由于高q.3.5的噪声水平增加所致。