金融市场的随机模型

S&P500指数月度序列的收益区间我们使用希勒[34]提供的跨越145年的S&P500月度序列的数据来证明极长时间尺度的收益区间行为。图7：每日收益区间的模型和经验标度条件PDF之间的比较。黑线-每日回报区间的模型条件PDF，P（Ti+1q | Tiq）和Tiq≤ Qand Tiq≥ Q组；圆和钻石——根据Nystocks归一化序列计算的相应经验PDF；加号和叉号——根据货币兑换的标准化系列计算出的相应经验PDF。该模型的所有参数与之前的图中相同，阈值如下：1.7、2.0、3.0、4.0。图8显示，上述模型重现了高频数据的统计数据，成功地模拟了波动率-收益间隔的PDF，即使是最长的时间尺度。我们绘制了名义标准普尔500指数和经通胀调整的系列的回归区间的经验PDF，并将其与模型系列进行比较。选择的阈值范围为1.0到3.5，代表PDF的几个指数。在最长的时间尺度中，最低和最高阈值的返回间隔分布都偏离3/2幂律。尽管数据点的数量有限，但该模型能够捕捉这些偏差并重现索引数据的行为。3.6. 与3/2定律的偏差由于我们的模型在广泛的资产和时间尺度上再现了经验数据的统计特性，我们可以用它来解释为什么增加阈值q会导致与理论3/2幂律的偏差，以及在返回区间的条件PDF中似乎没有记忆。

特别是，该模型允许我们逐步切换各种噪声，并分析其如何改变返回间隔的统计特性。模型条件PDF和经验数据条件PDF在近似相同的阈值下重叠，在该阈值下，无条件PDF偏离3/2幂律，例如，见图6（d）和图7（d）。这种现象在更长的时间内更强烈 我们在实证标准普尔500指数月度SEF中没有看到记忆效应。图8：模型与实证标普500指数月度回报区间无条件PDF之间的比较。黑线——每月返回间隔的PDF模型；圆圈——根据标准普尔500指数历史数据的标准化系列计算的经验PDF；优点——经通胀调整的标准普尔500系列代表实际价格。所示的直线引导眼睛，显示指数为3/2的幂律。该模型的所有参数与之前的图中相同，阈值q的值如下：（a）-1，（b）-2，（c）-3.5。在子图（d）中，无条件烫伤PDF的数值计算为四个阈值q:1.5（红色）、2（蓝色）、3（绿色）、5（紫色）。瑞斯。图8（d）显示了对几个q值进行数值计算的无条件PDF，其类似于参考文献[12]中讨论的指数函数，并通过重新计算绝对返回时间序列获得。这间接证实了标准普尔500指数历史时间序列的波动率-收益区间不显示记忆效应。我们对模型的数值模拟表明，重现期3/2幂律行为的主要原因是长期SDE（见等式（7））。其他动态过程，如投机情绪ξ（见等式（8））和日内季节性，有助于这种现象的稳定性。虽然Eq。

（1） 导致无条件PDF偏离3/2幂律，这种噪声是有条件PDF中出现记忆效应的必要条件。通过数值模拟，我们得出结论，当随机分量比动态分量强时，会出现偏离3/2幂律的情况，记忆效应消失。当阈值太高，以至于当噪声被切换时，动态过程无法达到阈值时，就会发生这种控制过程。请注意，阈值q是用收益的标准差来衡量的，其增长速度大约为1/2. 用σtof方程量化的动态过程。（6） （2）只有当其值大约等于日收益时间序列的标准偏差时，这组模型参数才能接近阈值。因此，当阈值高得多时，动态分量比随机分量弱，重现期开始偏离3/2幂律。回归时间序列的普遍随机性破坏了记忆效应，这要求系统中同时存在动态和随机成分。4.讨论我们在纽约证券交易所和外汇交易所的实证数据中观察到了波动率收益区间的标度和记忆特性[12,13,14]。我们的模型与经验收益区间一致，经验收益区间随平均收益区间<T>asPq（T）=<T>-1f（T/<T>）。标度函数f（x）与幂律形式f（x）是一致的~ 十、-3/2，源于一维随机过程中首次通过时间的一般理论[61,37]。我们对从纽约证券交易所和外汇市场分析的所有资产的收益定义时间恢复相同的比例表 从一分钟到一个月不等，并且适用于范围广泛的阈值q，代表经验收益率序列的幂律成分。

我们的模型还捕获了波动率回报区间PDF指数与主值3/2的偏差，并解释了这些偏差的来源。我们还观察到，在经验收益序列幂律成分开始时的低q值下，对于一分钟和一天的周期，Tiq的条件ALPFSP（Ti+1q | Tiq）为≤ Qand Tiq≥ 这表明记忆效应的存在。我们的模型表明，这种影响是由系统中所有噪声的复杂相互作用造成的。记忆效应的必要条件是长期的个体动力学和外源性噪声的存在。随着波动性的随机成分开始盛行，高阈值q值似乎会导致记忆效应消失。当我们将模型的结果与标准普尔500指数的月度数据进行比较时，我们能够将我们对波动率-收益率区间的标度特性的研究扩展到现象的自然极限。因此，我们认为，DPF指数与3/2的偏差是由药剂动力学和外生噪声之间的相互作用引起的。标准普尔500指数月度序列的收益率标准差非常高，以至于系统的动态成分变得可以忽略，而随机成分占主导地位。这导致返回间隔的指数标度函数和记忆效应的消失。我们发现，可以使用非线性随机建模来解释统计和标度特性，例如收益中的可观测幂律行为[11]。在所有资产、市场和时间尺度上观察到的极端幂律标度特性可以用一类非线性随机微分方程的标度特性来解释，参考文献中有详细描述。[53, 35].

我们的模型是基于主体的羊群相互作用，其宏观版本是作为一个随机方程组导出的。这些方程可能是长程记忆所代表的功率谱密度和信号自相关的幂律特性的起源。我们还证明，该模型可以针对交易时间不同的市场进行缩放，并且持续时间可以延长到24小时一天。这就允许采用一种通用的方法来衡量经验数据，并在不同的市场和不同的资产中检索相同的幂律属性。确认这项工作得到了波罗的海美洲自由基金会和CIEE的部分支持。波士顿大学的这项工作得到了NSF拨款PHY 1444389、PHY 1505000、CMMI 1125290和CHE-1213217，以及DTRA拨款HDTRA1-14-1-0017和DOE合同DE-AC07-05Id14517的支持。参考文献[1]J.P.Bouchaud，M.Potters，《金融风险和衍生产品定价理论》，剑桥大学出版社，纽约，2004年。[2] D.Sornette，《为何股市崩溃：复杂金融系统中的关键事件》，普林斯顿大学出版社，美国普林斯顿，2004年。[3] M.Karsai，K.Kaski，A.L.Barabasi，J.Kertesz，相关突发行为的普遍特征，NIHScienti Fic Reports 2（2012）397。[4] A.Chakraborti，I.M.Toke，M.Patriarca，F.Abergel，经济物理学评论：I.实证事实，定量金融7（2011）991–1012。[5] X.Gabaix，《经济学和金融中的幂律》，经济学年鉴1（2009）255–293。[6] J.D.Farmer，M.Gallegati，C.Hommes，A.Kirman，P.Ormerod，S.Cincotti，A.Sanchez，D.Helbing，《构建更好的金融市场和经济管理模型的复杂系统方法》，欧洲物理杂志专题214（2012）295–324。[7] R.J.Shiller，《投机资产价格》，美国经济评论104（6）（2014）1486–1517。

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